Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38
Omskrivning af ligninger og formler : Claus og Christina skal dele 00 kr. De behøver ikke at få lige mange penge. Claus beløb kaldes x. Christinas beløb kaldes y. a: Lav og udfyld en tabel som denne: x 0 0 0 30. 00 y. Sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved ligningen x + y = 00 b: Omskriv ligningen til en lineær funktion. c: Tegn en graf for funktionen. Prøv også at forklare hvad de forskellige punkter på grafen betyder. : Lars vil købe kager og minirugbrød for 50 kr. Antal kager kaldes x. Antal minirugbrød kaldes y. a: Hvor mange kager kan han højst få? b: Hvor mange minirugbrød kan han højst få? c: Lav og udfyld en tabel som denne: x 0 3 4 5 Brødkiosken Kager... 0 kr. Minirugbrød... 5 kr. y d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion. e: Tegn en graf for funktionen. Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder. 3: Mette skal købe æbler og pærer for 75 kr. Antal kg æbler kaldes x. Antal kg pærer kaldes y. a: Hvor mange kg æbler kan hun højst få? b: Hvor mange kg pærer kan hun højst få? c: Lav og udfyld en tabel som denne: x 0 3 osv. y Æbler 5 kr. pr. kg. Pærer 0 kr. pr. kg. Frugt og grønt d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion. e: Tegn en graf for funktionen. Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder. Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 39
4: Hvilke formler passer sammen? a: y = x + A: x = y : b: y = x B: x = y I formlerne med i anden og kvadratrod skal du kun tænke på x og y som positive tal. c: y = x C: x = y d: y = x : D: x = y + e: y = x E: x y f: y = x F: x = y 5: Hvilke formler passer sammen? a: R = S + T A: = Hvis opgaverne er svære, kan du starte med at tænke på R, S og T som tal, der passer sammen. Fx som tallene, 7 og 5 i a: R S = aa: T = S R T b: R = S T B: S = R T bb: T = R S c: R = S T C: S = R T cc: d: R = S : T D: S = R + T dd: T = S R R T = S 6: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: 0x + 5y = 0 A: y = 4x + b: 8x + y = 6 B: y = 4x 3 c: x + 0,5y = C: y = x d: x 6y = D: y = x + 4 3 7: Omskriv disse ligninger til lineære funktioner: a: 4x + 4y = 8 b: x y = 3 c: 5y 3x = x + 4y Tegn evt. også graferne for funktionerne (ligningerne). Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 40
8: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: x y = 4 b: x 4 = 4 A: y = x + 4 C: y = y x c: x + y = 4 d: x y = 4 B: y = x 4 D: y = x 4 e: y x = 4 f: y = 4 x E: y = 4 x F: y = x + 4 9: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: 3x 6y + 8 = x 5y + 5 A: y = 0,5x 3 b: y 4x = 3y 5x + 6 B: y = x, 5 c: x + 5y = x y C: y = x + 3 d: x + 5 = y + 6x + 0 D: y = x 3 0: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen? a: 4x + y 7 = 5(x 3) A: y = x + 6x + y b: = 8 3 B: y = x + 6 c: 3(x + ) = (y 3) x C: y = 3x 5x + 3y d: = x + y 4 D: y = 3x 4 : Omskriv formlen for rumfanget (V) af en kasse V = l b h så.. a: længden (l) står alene b: bredden (b) står alene c: højden (h) står alene : Omskriv formlen for arealet (A) af en trekant A = h g så.. a: højden (h) står alene. b: grundlinien (g) står alene. 3: Omskriv formlen for arealet (A) af et trapez A = h (a + b) så.. a: højden (h) står alene. b: siden a står alene. Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 4
4: Formlen for omkredsen (O) af en cirkel O = π r skal omskrive, så radius (r) står alene. a: Hvilke af formlerne til højre kan bruges? r = b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem radius og omkreds: O π r = O : π r = O : : π r = O : ( π) r O = π r Radius (r) i cm 0 3 Omkreds (A) i cm c: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem radius og omkreds. d: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem omkreds og radius: Omkreds (A) i cm 0 5 0 5 70 75 Radius (r) i cm e: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem omkreds og radius. f: Marker på begge grafer det punkt, som svarer til: - en cirkel med radius 3,5 cm - en cirkel med omkreds cm 5: Formlen for arealet (A) af en cirkel A = π r skal omskrive så radius (r) står alene. a: Hvilken af formlerne til højre kan bruges? r = A π r = A π r b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem radius og areal: A = π r Radius (r) i cm 0 3 9 0 Areal (A) i cm c: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem radius og areal. d: Lav og udfyld en tabel der sammenhængen mellem areal og radius: Areal (A) i cm 0 50 00 50 00 50 300 Radius (r) i cm e: Lav ud fra tabellen en graf der viser sammenhængen mellem areal og radius. f: Marker på begge grafer det punkt, som svarer til: - en cirkel med radius 5,5 cm - en cirkel med areal 95 cm Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 4
6: Rektangel længde, bredde og areal a: Find arealet af et rektangel med længden 8 m og bredden 5 m. b: Et rektangel har arealet 30 cm og længden 7,5 cm. Hvad er bredden? c: Omskriv formlen således, at længden står alene. d: Omskriv også formlen således at bredden står alene. Forestil dig nogle forskellige rektangler, som alle har arealet 4 cm. e: Lav og udfyld en tabel der viser nogle mulige sammenhænge mellem længde og bredde: Længde (l) i cm 6 7 8 9 Bredde (b) i cm f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem l og b. g: Lav en tilsvarende tabel og graf for et rektangel på 50 m. Rektangel A = l b længde bredde 7: Rektangel længde, bredde og omkreds a: Find omkredsen af et rektangel med længden 0 m og bredden 5 m. b: Formlen for omkredsen af et rektangel skal omskrives, således at længden står alene. Hvilke af disse formler er rigtige? O - b O l = l = O - b : l = ( O - b) : l = b c: Omskriv selv formlen, således at bredden står alene. Forestil dig nogle forskellige rektangler, som alle har omkredsen 30 cm. b l = O - d: Lav og udfyld en tabel der viser nogle mulige sammenhænge mellem længde og bredde: Længde (l) i cm 8 9 0 Bredde (b) i cm e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem l og b. Rektangel O = l + b længde bredde 8: Omskriv disse formler så x kommer til at stå alene: a: y = 5 x + 4 5 b: y = + 4 x 9: Omskriv disse formler så x og y kommer til at stå alene. Der er altså to svar pr. opgave: a: z = 5 x + 4 y b: y = 5 x + 4 y Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 43
To ligninger med to ubekendte 0: Line skal købe 30 stykker frugt til sin klasse. Hun må købe for 00 kr., og hun vil gerne have flest mulige appelsiner. Antal bananer kaldes x. Antal appelsiner kaldes y. Fredes Frugtbod Bananer Appelsiner 3 kr. pr. stk. 4 kr. pr. stk. a: Sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved to af disse ligninger. x + y = 30 x + y = 00 3x + 4y = 30 3x + 4y = 00 Find de rigtige ligninger: b: Omskriv de rigtige ligninger til lineære funktioner c: Lav x-y-tabeller og tegn grafer for funktionerne d: Hvor mange appelsiner og hvor mange bananer kan Line købe? : Peter skal købe 40 flasker vin til en stor fest. Han må købe for.500 kr., og han vil gerne have flest mulige flasker af den dyre vin. a: Opstil to ligninger, der kan bruges til at finde ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe. b: Find ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe. Fine vine Château Henri Pr. flaske kun 30 kr. Château Superb Pr. flaske kun 50 kr. : Mahmut er i byen. Det er blevet sent, den sidste bus er kørt, og han har meget langt hjem. Han ringer hjem til sin kone, som lover at hente ham i bil, hvis han går hende i møde. Konen begynder at køre samtidig med, at Mahmut begynder at gå. Du skal finde ud af, hvor på turen de mødes. Den strækning, Mahmut når at gå, kaldes x. Den strækning, Mahmuts kone når at køre, kaldes y. 5 km/t 75 km/t a: Hvor mange min. tager det Mahmut at gå en km? c: Find x og y ved at løse disse to ligninger: x + y = 0 0 km b: Hvor lang tid tager det Mahmuts kone at køre en km? Den tid det tager at gå x km = Den tid det tager at køre y km d: Hvor lang tid går der fra, at Mahmut begynder at gå, til at han er helt hjemme? Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 44
3: Løs (nogle af) disse ligningssystemer. Du kan både løse dem ved at tegne grafer og beregne løsningerne. a: x + y = b: x + y = 8 x y = 0 x + y = 3 c: e: g: i: 3x + y = 7 d: x + y = 5 3x + y = 6 f: x + 4y = 4 x + y = 3 h: x y = 3 x y = 3 j: x + y = 8 x + y = x + 5y = 0 x 4y = 0 x y = x + y = 4 x + y = x + y = 7 8x y = 4: Løs disse ligningssystemer. Du kan kun løse dem ved at tegne grafer. a: x + y = 6 b: x y = 4 4x y = y x = 5: Løs (nogle af) disse ligningssystemer. Du kan både løse dem ved at tegne grafer og beregne løsningerne. a: x y = 6 b: x + y = x + y = x y = 6 c: e: g: x 0y = 0 d: 3x + 5y = 35 x + 3y + 7 = 4x + y 7 f: x + 5y + = 3x + y + 3 3x + y = (x 3) h: 3x + y = 4x 4y = 3 x + y = 6 x + 6y = 4x + y + x + y + 3 = y + 0 x + 8y = (x y) + 5(x + y) =,5x + 5y + 7 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 45