Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet
Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes således, at der ikke kan være tvivl om, hvad der står, og hvad der ønskes bedømt. Alle hjælpemidler er tilladt. Alt materiale i forbindelse med opgavebesvarelsen afleveres påført navn og eventuelt eksamensnummer. Notatpapir (kladdepapir) sendes ikke til bedømmelse.
Side 1 af 7 Opgave 1 Billedet viser overbygningen af et fællesområde ved et hotel. Overbygningen består af en del af en pyramide. Figur 1 viser en tegning af overbygningen. Punkterne som er vist på figuren har koordinaterne A(10; 0; 0), B(0; 10; 0), C(0; 0; 0) og D(; 0; 17). Alle mål er angivet i meter. E Figur 1
Side af 7 Grundplanen i konstruktionen er udformet som en ligebenet, retvinklet trekant. Figur viser en tegning af denne trekant. Figur I bygningen er der en elevator, hvis ene kant følger en lodret linje m. Linjen m går igennem punktet O, se figur. Punkt O er centrum i den indskrevne cirkel til grundplanens trekant (trekant ABC). a) Bestem koordinaterne for punkt O. b) Bestem en parameterfremstilling for m. Planen α går gennem punkterne A, B og D. c) Bestem en ligning for α. Elevatortårnets kant, som følger linje m, stopper ved punktet E som har z =1. d) Bestem afstanden fra punkt E til planen α.
Side 3 af 7 Opgave En linje l er i det viste koordinatsystem på figur 3 givet ved: l : 3 + y + 1 = 0 a) Bestem vinklen v, mellem grafen for l og y-aksen. b) Vis at linjen l kan beskrives ved parameterfremstillingen: 1 l : = + t y 1 3 t R B Figur 3 En banekurve, som er vist med blåt på figur 3, er givet ved vektorfunktionen: ( t) 0,50 t + t 1 r ( t) = = y( t) 0,15 t + 1,01 t + 1 c) Bestem koordinaterne til det punkt, hvor banekurven for r (t) har lodret tangent. Skæringspunktet A mellem banekurven for r (t) og linien l har koordinaterne A(,6; 3,). d) Bestem koordinaterne til det andet skæringspunkt B.
Side af 7 Opgave 3 En elev har i fysiklokalet fået til opgave at bestemme sammenhængen mellem snorlængde og svingningstid for et pendul. For at opnå en større nøjagtighed på målingen af en for en enkelt svingning har eleven målt tiden for 10 svingninger for et pendul som vist på figur og billede. θ L Skemaet herunder viser de opnåede resultater. Snorlængden betegnes L og svingningstiden T. L (m) 1,00 1,5 1,50 1,75,00,5,50 10 T (s) 1,0 3,8 5,6 8, 30, 3,7 3,1 T (s),10,38,56,8 3,0 3,7 3,1 Data: Thomas Lundgaard a) Vis at data tilnærmelsesvis kan beskrives ved en potensfunktion. b) Bestem en forskrift for potensfunktionen. På internetencyklopædien Wikipedia findes følgende beskrivelse af det matematiske pendul: Det matematiske pendul er en simplificeret fysisk beregningsmodel for et pendul. Det består af en masseløs snor med længde L, som i den ene ende er fastgjort til et punkt, og i den anden ende er forsynet med et uendeligt lille lod. Når pendulet foretager små udsving, kan svingningstiden T beregnes ved hvor g er den lokale tyngdeaccelerationen 9,8 m/s. T = π Formlen gælder approksimativt, fordi den bygger på Taylorapproksimationen sin(θ) θ for små værdier af θ. L g c) Omskriv udtrykket fra Wikipedia til formen Hvilke værdier får man for k og n? T n = k L.
Side 5 af 7 Opgave y En CNC-maskine skal benyttes til indgravering af et stiliseret hjerte. Designeren har bestemt hjertets form som det område, der afgrænses af funktionerne f ( ) = 3sin( + π ) og g ( ) = 3sin( + π ) samt de rette linier, der forbinder punkterne (, f()) hhv. (-, g(-)) med P(0, -3). Se figur. a) Bestem hjertets areal. CNC-maskinen arbejder udelukkende med polynomier, og man erstatter derfor f() og g() med deres Taylorapproksimationer. Figur π b) Bestem Taylorpolynomiet p for f af. grad med udviklingspunkt 0 =. c) Indtegn f() og p () i samme koordinatsystem for [ 0, ]. d) Bestem en øvre grænse for den fejl E ( ) (se sætning 1 i forberedelsesmaterialet) man begår 0,. ved at benytte p () i stedet for f() i intervallet [ ]
Side 6 af 7 Opgave 5 I produktionen af et bestemt emne indgår en zinkplade som vist på figur 5. Pladen har form som en ligesidet trapez med en halvcirkel. a) Vis at pladens omkreds er givet ved udtrykket L = ( π + 1) r + r + h r b) Bestem pladens omkreds når r = 0 cm og h = 5 cm c) Bestem arealet af pladen når r = 0 cm og h = 5 cm Virksomheden er interesseret i at vide, hvordan pladen skal dimensioneres, for at opnå det størst mulige areal ved en fastlagt omkreds. I det følgende vælges omkredsen L = 100 cm. h d) Bestem r og h så pladen får det størst mulige areal for L = 100 cm. e) Bestem størrelsen af dette areal. r Figur 5
Side 7 af 7 Opgave 6 Herunder er vist graferne for fire funktioner f, g, h og k. y y 3 f 3 1 1 g - -1 1 - -1 1 y y 3 3 h k 1 1 - -1 1 - -1 1-1 For hver af de funktioner er det tilsvarende Taylorpolynomium af. grad med udviklingspunkt 0 = 0 bestemt. Disse er angivet nedenfor: p ( ) = + q ( ) = + + r ( ) = + ( ) = + s Bestem for hver af funktionerne det tilhørende Taylorpolynomium. Svaret skal begrundes.