HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens hovedsætning) Hvis f(x) er en kontinuert funktion og f(x) 0 for alle x i intervallet [a; b], så er b f(x) dx lig med arealet af den punktmængde, der begrænses af grafen a for f(x) og x-aksen i intervallet [a; b]. Analysens hovedsætning siger altså, at vi kan beregne arealet af det skraverede område (punktmængden) på figuren her til højre ved hjælp af integralregning. Men hvad betyder egentlig arealet af sådan en figur? Som udgangspunkt kan vi jo kun beregne arealet af polygoner (mangekanter). Det kan vi fordi polygoner kan deles op i trekanter, og det kan denne figur jo tydeligvis ikke. I denne note skal vi derfor prøve at definere hvad man egentlig mener med arealet af de figurer som analysens hovedsætning udtaler sig om. Vi skal opbygge (dele af) en matematisk teori for arealer. Du vil opdage at der er lighedspunkter med opbygningen af differentialregningen: I differentialregningen kan vi ikke direkte fortælle hvad en differentialkvotient er, vi kan kun udtrykke den som en grænseværdi af sekanthældninger. Når vi skal definere arealet af figuren ovenfor gør vi noget lignende. Hov, der er lige en ting mere: Hvad betyder egentlig analyse her? Matematisk analyse er den gren af matematikken, der beskæftiger sig med grænseværdier og kontinuerte funktioner. Differentialregningen og integralregningen hører altså under matematisk analyse. 2 Kontinuerte funktioner I det følgende får vi brug for en vigtig sætning om kontinuerte funktioner.
HJ/marts 2013 2 Sætning 2 En kontinuert funktion defineret på et lukket, begrænset interval [a; b] har både et maksimum og et minimum indenfor intervallet. Denne sætning kan vi ikke bevise! Det kræver et dybtgående kendskab til både kontinuerte funktioner og de reelle tal. Denne note er for lille til at rumme dette, så vi nøjes med at illustrere sætningen. Opgave 1 (a) Grafen nedenfor viser en kontinuert funktion defineret på intervallet [ 2; 3]. Aflæs maksimum og minimum for funktionen. (b) Tegn grafen for en kontinuert funktion, hvor både minimum og maksimum ligger i det indre af intervallet [a; b]. (c) Tegn grafen for en kontinuert funktion, hvor både minimum og maksimum ligger i endepunkterne af intervallet [a; b]. (d) Tegn grafen for en ikke-kontinuert funktion, som ikke har et maksimum i intervallet [a; b]. 3 Areal 3.1 Oversummer og undersummer For at definere arealet fra før vil vi i første omgang lave en geometrisk tilnærmelse til området med en figur vi kender arealet af, nemlig en polygon. Vi kigger altså på en kontinuert funktion, som er defineret og ikke-negativ i intervallet [a; b]. Den metode vi vil benytte er 1. Inddel først intervallet [a; b] i lige brede delintervaller. Antallet af intervaller kaldes n og bredden af intervallerne kaldes h. 2. Tegn et rektangel over hvert interval, hvor højden vælges til den mindste funktionsværdi i intervallet. Det samlede areal af disse rektangler kaldes undersummen U n.
HJ/marts 2013 3 3. Tegn et rektangel over hvert interval, hvor højden vælges til den største funktionsværdi i intervallet. Det samlede areal af disse rektangler kaldes oversummen O n. Rektanglerne hørende til undersummen U 4 og oversummen O 4 er illustreret på figuren her: Hvis man bruger et større n får man en bedre tilnærmelse til figuren, her illustreret med U 8 og O 8. Opgave 2 I definitionen af oversummer og undersummer brugte vi sætning 2. Forklar hvordan! Opgave 3 Der er givet funktionen f(x) = x samt grænserne a = 0 og b = 8. (a) Inddel intervallet [0; 8] i fire lige store delintervaller. Indtegn de tilsvarende rektangler på figuren og beregn undersummen U 4 og oversummen O 4 med 4 decimaler.
HJ/marts 2013 4 (b) Samme spørgsmål, men denne gang med 8 delintervaller, dvs. du skal beregne U 8 og O 8 med 4 decimaler. (c) Beregn 8 0 x dx ved hjælp af stamfunktioner og sammenlign resultatet med de to summer. (d) Beregn U 16 og O 16 med 4 decimaler og kommenter resultatet. Vink: Find systemet ud fra de to første spørgsmål; så kan du beregne summerne uden at lave en tegning.
HJ/marts 2013 5 Man kan forholdsvis let bevise denne sætning: Sætning 3 For alle tal n og m gælder at U n O m. Opgave 4 Bevis sætningen ved at tegne fire figurer, der viser hvorfor U n U mn O mn O m. Vink: Tegn figurerne med nogle små værdier af n og m. Vi har altså at enhver undersum er mindre end enhver oversum. 3.2 Definition af arealet Vi ved endnu ikke hvad arealet af det skraverede område betyder. Men man kan lægge mærke til, at: Rektanglerne hørende til en undersum er den del af det skraverede Det skraverede er en del af rektanglerne hørende til en oversum. Hvis vi skal give mening til arealet af det skraverede område så må det være rimeligt at kræve Arealet skal være større end enhver undersum. Arealet skal være mindre end enhver oversum. Figuren her illustrer dette: U viser alle undersummerne og O viser alle oversummerne. Som figuren viser kunne der i princippet være flere tal, der kravene. Men det er der faktisk ikke. Sætning 4 Hvis f(x) er en kontinuert funktion og f(x) 0 for alle x i intervallet [a; b], så er der netop ét tal T som skiller undersummerne og oversummerne i intervallet.
HJ/marts 2013 6 At der er mindst et tal lyder oplagt, men er ikke så nemt at bevise. Det kræver et dybere kendskab til de reelle tal. At der er højst et tal er lidt kompliceret at bevise generelt, men i specielle tilfælde er det let nok. Opgave 5 Bevis sætning 4 i det tilfælde, hvor funktionen er voksende. Vink: Tegn en figur, der viser at O n U n = (f(b) f(a)) b a n. Brug dette til at forklare, hvorfor der ikke kan være to forskellige tal, som skiller undersummerne og oversummerne. Og så kan vi endelig definere hvad arealet af det skraverede område er, nemlig tallet T. Med mange ord kan det skrives på sådan: Definition 1 Hvis f(x) er en kontinuert funktion og f(x) 0 for alle x i intervallet [a; b], så defineres arealet af den punktmængde, der begrænses af grafen for f(x) og x-aksen i intervallet [a; b] som det tal, der skiller oversummerne fra undersummerne i intervallet. 3.3 Indskudssætningen for arealer Ved hjælp af sætning 3 og 4 har vi fået en definition af arealet af de områder, vi er interesserede af. Man kan bevise en række sætninger om arealer, men vi vil nøjes med at opskrive denne, som er helt afgørende hvis man vil bevise analysens hovedsætning. Sætning 5 (Indskudssætningen for arealer) Antag f(x) er en kontinuert funktion og f(x) 0 for alle x i intervallet [a; b], og c er et tal i ]a; b[. Så er arealet af den punktmængde, der begrænses af grafen for f(x) og x- aksen i intervallet [a; b] lig summen af arealerne af de punktmængder, der begrænses af grafen for f(x) og x-aksen i intervallerne [a; c] og [c; b]. Opgave 6 Pyh det var mange ord! Tegn en figur, der illustrerer indskudssætningen for arealer. Hvad er det nu indskudssætningen for integraler siger? Sætning 5 lyder helt oplagt, men faktisk er det ikke helt ligetil at bevise den ud fra det foregående. Årsagen er at vi ikke umiddelbart har en sammenhæng mellem summerne på de tre intervaller. Den bedste løsning på dette er at udvide definitionen af undersummer og oversummer, så intervallerne ikke behøver at være lige brede. Så bliver sætning 3 og 4 lidt mere komplicerede at bevise. Til gengæld kan man så også bevise sætning 5!
HJ/marts 2013 7 4 Numerisk integration I differentialregning er vi heldigt stillet: Uanset hvilken forskrift vi skriver op for en funktion (baseret på vores standardfunktioner), så kan vi altid beregne den afledede funktion ved hjælp af regnereglerne. Sådan er det ikke med integralregning. Her kan man let stille en funktion op, hvor vi ikke kan finde forskriften for en stamfunktion. Et eksempel er funktionen f(x) = e x2. I dette afsnit skal vi derfor se på hvordan man kan bruge summer til at beregne en tilnærmelse til arealet uden at kende en stamfunktion. Dette kaldes numerisk integration. 4.1 Middelsummer Vi skal indføre endnu en type sum. Inddel igen i intervaller som ovenfor 1. Vælg et vilkårligt tal i hvert delinterval. Tallene kaldes t 1, t 2,..., t n. 2. Tegn et rektangel over hvert interval, hvor højden vælges til f(t i ). Middelsummen M n er så det samlede areal af disse rektangler Dette er illustreret på figuren: Vi kan skrive en formel for middelsummen op sådan: M n = f(t 1 ) h + f(t 2 ) h + + f(t n ) h Læg mærke til at der er mange forskellige middelsummer til hvert n, men det er klart at de alle opfylder U n M n O n (1)
HJ/marts 2013 8 Opgave 7 Der er givet funktionen f(x) = x samt grænserne a = 0 og b = 8. (a) Inddel intervallet [0; 8] i otte lige store delintervaller og lad t 1, t 2,..., t 8 være midtpunkterne i de otte delintervaller. (b) Indtegn de tilsvarende rektangler på figuren og beregn middelsummen M 8 med 4 decimaler (som i dette tilfælde kaldes midtsummen pga. den måde tallene er valgt). (c) Beregn desuden venstresummen V 8 og højresummen H 8 (gæt selv betydningen af dette). (d) Beregn endeligt trapezsummen T 8 = 1 2 (V 8 +H 8 ), og prøv at gennemskue hvorfor den hedder sådan! (e) Hvilke af de beregnede summer giver den bedste tilnærmelse til arealet? Note: Nogle af figurerne stammer fra disse bøger: MAT 2A af Jens Carstensen og Jesper Frandsen (Systime 1998). Matematik 2.1 af Erik Kristensen og Ole Rindung (G.E.C. Gads forlag 1973)