Kurver i planen og rummet
|
|
- Hans Thomsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er en genopfriskning af det mest basale vektorregning. Afsnit 3 og 4 er lidt generel teori om funktioner og uegentlige integraler. I afsnit 5 gives de vigtigste definitioner fra kurveteorien, herunder definitionen af en glat, regulær kurve. I afsnit 7 definerer vi, hvad man mener med, at en kurve er parametriseret ved buelængde. Afsnit 8 handler om krumning af kurver og approksimation af kurver i planen med cirkler. Afsnit 6 behandler nogle berømte eksempler, herunder ellipsen og cykloiden. Afsnit 1 er opgaver, der ligger i naturlig forlængelse af indholdet i noterne. 2 Vektorer En pil i rummet svarer til en parallelforskydning af pilens startpunkt til pilens slutpunkt. Hvis to pile svarer til samme parallelforskydning kaldes pilene ækvivalente. Mængden af ækvivalente pile kaldes en vektor. Hvis man vælger et startpunkt, har man ved pilen givet en repræsentant for vektoren. Hvis man vælger den repræsentant, der starter i (,, ), kaldes repræsentanten en stedvektor. Koordinater for stedvektorens endepunkt angiver entydigt parallelforskydningen og dermed vektoren. Koordinaterne for en vektor er koordinaterne for stedvektorens endepunkt og betegnes a = (a 1, a 2, a 3 ). Addition foretages koordinatvis på repræsentanten, der er givet ved stedvektoren. Det vil sige, hvis a = (a 1, a 2, a 3 ) og b = (b 1, b 2, b 3 ) er a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). Additionsoperationen er associativ i den forstand at a+( b+ c) = ( a+ b)+ c. Addition af to vektorer er kommutativ, det vil sige, at a + b = b + a. Disse to egenskaber følger direkte fra definitionen af addition og fra den tilsvarende egenskab for reelle tal. Nulvektoren er additivt neutralelement, idet a + = + a = a. Man kan også multiplicere en vektor med en konstant k. Geometrisk betyder det, at man forkorter eller forlænger vektorens længde med konstanten k, men at retningen forbliver uændret. Multiplikation af en vektor med k foretages koordinatvis på repræsentanten, der er givet ved stedvektoren. Det vil sige, for a = (a 1, a 2, a 3 ) er k a = k(a 1, a 2, a 3 ) = (ka 1, ka 2, ka 3 ). Multiplikation med en konstant er kommutativ, det vil sige at k a = ak. Multiplikation med konstanter er også associativ, det vil sige, at r(s a) = (rs) a for r, s. At disse to regler gælder ses direkte fra definitionen af multiplikation og fra den tilsvarende egenskab for reelle tal. Da 1 a = a1 = a, er 1 det multiplikative neutralelement. Addition og multiplikation med en konstant er distributiv i følgende forstand. Lad k, c 1
2 . Da er r( a + b) = r a + r b, (r + s) a = r a + s a. Dette følger også direkte fra definitionerne og fra de tilsvarende egenskaber for reelle tal. Når man har addition og skalering definerer man subtraktion ved, at man adderer a med b. Det vil sige, at a b = a + ( b). a kaldes det additive inverselement til a. Længden af en vektor fås fra Pythagoras sætning. Det vil sige, at a = a a a 2 3. Formlen er let at forstå, hvis man tegner stedvektoren i et koordinatsystem. Bemærkning 2.1. På præcis tilsvarende vis defineres vektorer i planen. I planen er koordinaterne for en vektor givet ved a = (a 1, a 2 ). Længden af en vektor i planen er a = a a Funktioner Vi har brug for at udvide det sædvanlige funktionsbegreb en lille smule. Lad I være et interval, eventuelt. Hvis I er et interval, lader vi Indre(I) betegne det indre af I, det vil sige, hvis I = [a, b] er Indre(I) lig det åbne interval (a, b). Hvis I er åben, er Indre(I) = I. Definition 3.1. f: I 3 er en funktion, der til et t I giver en vektor i 3. For x, y, z: I er f givet ved f(t) = (x(t), y(t), z(t)). Vi siger, at f er kontinuert på I, hvis x, y, z er kontinuerte på I. Ligeledes er f differentiabel på I, hvis x, y, z er differentiable på I. f (t) bliver en vektor nemlig f (t) = (x (t), y (t), z (t)). Vi siger, at f er uendelig ofte differentiabel, eller glat, på I, hvis d n x(t) dt n, d n y(t) dt n, d n z(t) dt n eksisterer for alle n og t I. Hvis I er lukket, er f differentiabel eller glat på I, hvis den er differentiabel eller glat på Indre(I). Bemærkning 3.2. Definitionen af en funktion f: I 2 er helt tilsvarende, blot bliver funktionsværdierne vektorer i 2. Kontinuitet og differentiabilitet defineres præcis som for funktioner f: I 3. 4 Integration Hvis [a, b] er et begrænset interval, kender vi udtrykket b a f(t)dt. Vi ønsker at indføre integralet af en funktion f over et ubegrænset interval eller over hele den reelle akse. Vi definerer det uegentlige integral af f over, I 1 = [a, ) og I 2 = (, b], hvor a, b således. 2
3 Definition 4.1. Lad f: være en kontinuert funktion. Integralet af f over, I 1, I 2 er defineret ved K2 f(t)dt = lim K 1,K 2 f(t)dt + K 1 f(t)dt a b f(t)dt = f(t)dt = lim K lim K K a b K f(t)dt f(t)dt. Hvis grænseværdien er endelig, siges integralet at konvergere. Hvis grænseværdien er uendelig, siges integralet at divergere. Hvis f(t)dt er konvergent er f(t)dt = K lim K K f(t)dt. Man skal stadig opfatte de uegentlige integraler af f som arealet under grafen for f. Eksempel 4.2. Lad f: (1, ) være givet ved f(t) = 1/t. 1 1 t dt = K lim 1 K 1 t dt = Det vil sige, at 1 (1/t)dt er divergent. lim K [ln(t)]k 1 =. Eksempel 4.3. Lad f: (, ) være givet ved f(t) = e t. e t dt = K lim e t dt = lim K K [ e t ] K = 1 Det vil sige, at e t dt er konvergent og har værdien 1 (areal 1 under grafen). 5 Kurver Vi begynder med en fundamental definition. Lad I være et lukket interval eller. Definition 5.1. En parametriseret, glat kurve, eller blot en glat kurve i 2, 3 er en funktion α: I 2, 3, der er glat. For en kurve α(t) kaldes I parameterintervallet for α og t parameteren for α. Bemærkning 5.2. Inspireret af fysisk terminologi kaldes vektoren α (t) hastighedsvektoren og α (t) kaldes accelerationsvektoren. Definition 5.3. En glat kurve α(t) er regulær, hvis α (t) for alle t Indre(I). Definition 5.4. Lad α være en glat, regulær kurve. Buelængden af α fra s til s er s(s) = s s α (t) dt. Eksempel 5.5. Lad α(t) = (cos(t), sin(t)), t [, 2π] være enhedscirklen i 2. α er en glat kurve, da sin og cos er uendelig ofte differentiable funktioner. α er regulær, da α (t) = ( sin(t), cos(t)) for alle t [, 2π]. 3
4 6 Berømte eksempler Vi vil nu betragte nogle berømte eksempler på kurver. Den første kurve vi vil betragte er cykloiden. I 16-tallet var der en bitter strid mellem matematikere på fastlandet og de engelske matematikere om, hvem der havde opfundet differential- og integralregningen, Newton eller Leibniz. De fik begge følgende opgave de skulle løse (Brachistoproblemet): Givet to punkter A og B. Find den kurve hvorpå en kugle, der ruller uden modstand, kommer hurtigst fra A til B. Løsningen er kurven α(t) = r(t sin(t), 1 cos(t)), t (Cykloiden). Geometrisk fremkommer kurven ved at rulle et cykelhjul af radius r henover en plan overflade. Ventilen vil da følge en cykloidebane. x x r t y Cykloiden. Begge løste problemet; Newton imponerede ved at løse det på 12 timer! Vi har følgende sætning om cykloiden. Sætning 6.1. Cykloiden 1. er en glat kurve. 2. er løsning til Brachistoproblemet. 3. er Tautokron. Det vil sige, at ligegyldigt hvor på kurven kuglen starter tager det lige lang tid for kuglen at komme til bunden. 4. har buelængden 8r for en hel omdrejning af hjulet. 5. er regulær for t 2kπ, k. Bevis. (1) Er oplagt. (2) Kræver, at man kender til den gren af matematikken, der hedder variationsregning. Det vil føre for vidt at komme ind på det her. 4
5 (3) Udelades. (4) Vi har at α (t) = r(1 cos(t), sin(t)). Vi regner på α (t) og får at α (t) = (r 2 ((1 cos(t)) 2 + sin 2 (t))) = r (1 cos(t)) 2 + sin 2 (t) = r 1 + cos 2 (t) + sin 2 (t) 2 cos(t) = r 2 2 cos(t) = r 2(1 cos(t)) = 2r sin(t/2). I sidste lighedstegn er der brugt følgende trigonometriske identitet, 1 cos(t) = sin(t/2). 2 Per definition af buelængden har vi s = 2π α (t) dt = 2r 2π sin(t/2) dt = 4r π sin(t/2)dt = 8r. (5) Det ses af ligningen α (t) = 2r sin(t/2), at α er regulær for t 2kπ, k. Et andet berømt og illustrativt eksempel er den logaritmiske spiral. Den logaritmiske spiral er en kurve α: 2, der er givet ved α(t) = (e t cos(t), e t sin(t)) Geometrisk skal man forestille sig en cirkel hvis radius bliver mindre, når t vokser. Den spirallerer omkring (, ). Vi har følgende sætning om den logaritmiske spiral. Sætning 6.2. Lad α være den logaritmiske spiral. Da gælder 1. α er en glat og regulær kurve, 2. α() = (1, ) og α(t) (, ) for t, 3. α (t) dt <. Bevis. (1) Det er klart, at α er en glat kurve. At α er regulær følger af denne udregning. Ved at benytte produktreglen for differentiation fås α (t) = ( e t (cos(t) + sin(t)), e t (cos(t) sin(t))), der er forskellig fra for alle t. (2) At α() = (1, ) er oplagt. For at se at α(t) (, ) for t, er det nok at se, at e t for t og, både sin(t) og cos(t) er begrænset af 1 for alle t. (3) Her benytter vi først beregningen af α (t) ovenfor til at beregne α (t). Vi får α (t) 2 = e 2t (cos(t) + sin(t)) 2 + e 2t (cos(t) sin(t)) 2 = e 2t (cos 2 (t) + sin 2 (t) + 2 cos(t) sin(t)) + e 2t (cos 2 (t) + sin 2 (t) 2 cos(t) sin(t)) = 2e 2t. 5
6 Hvilket giver α (t) = 2e 2t = 2 e t. Per definition af det uegentlige integral har vi α (t) dt = lim t = lim t t α (t) dt t 2 e t dt = 2 lim t [ e t ] t = 2 ( lim t e t + 1) = 2. Bemærkning 6.3. Den logaritmiske spiral er et eksempel på, at en kurve, der er defineret på et uendeligt parameterinterval, her (, ), kan have endelig buelængde. Det tredje berømte eksempel, vi vil betragte, er ellipsen. En ellipse er givet ved α(t) = (a cos(t), b sin(t)), a, b og t [, 2π]. Vi har følgende sætning om ellipsen. Sætning 6.4. Lad α være en ellipse. Da er 1. α en glat og regulær kurve, 2. buelængden af α 2π a 2 ( sin(t)) 2 + b 2 cos 2 (t) dt Bevis. Både (1) og (2) følger direkte fra definitionerne. Bemærkning 6.5. Hvad der ikke er så oplagt er, at man ikke kan beregne integralet i sætning 6.4 med mindre a = b, det vil sige, at ellipsen er en cirkel. Integralet hører under den klasse af integraler, man kalder elliptiske integraler, og man kan faktisk vise, at man ikke eksplicit kan nedskrive en stamfunktion for et sådant integral! 7 Kurver parametriseret ved buelængde Definition 7.1. Lad α være en glat, regulær kurve. α siges at være parametriseret ved buelængde, hvis s(t) = t t. Lemma 7.2. Lad α være en glat, regulær kurve. α er parametriseret ved buelængde hvis og kun hvis α (t) 1. Bevis. : Antag, at α er parametriseret ved buelængde, da er s(s) = s s α (t) dt = s s per definition. Men det medfører, at α (t) 1. : Antag, at α (t) 1, da er s s α (t) dt = s s 1dt = s s, og α er parametriseret ved buelængde. 6
7 Bemærkning 7.3. Geometrisk kan man fortolke parametrisering ved buelængde som følger. Betragt en cykelrytter, der cykler. Hvis der er maling på fordækket, vil det give en glat og regulær kurve (overvej!) på vejen, det vil sige sted på vejen som funktion af tiden. Hvis vi siger, at længdeenheden er 1m og tidsenheden er 1s, ses det fra ligheden s(t) = t t at, hvis cykelrytteren skal følge en kurve, der er parametriseret ved buelængde, skal han i tidsrummet (t t )s have kørt præcis (t t )m. Af lemma 7.2 fremgår det, at det kun kan lade sig gøre, hvis cykelrytteren kører med konstant fart 1m/s. Eksempel 7.4. Eksempler på kurver, der er parametriseret ved buelængde er ikke svære at konstruere. Fx er linjer som α(t) = (k, t) og α(t) = (t, l), hvor t og, hvor k, l er konstanter, parametriseret ved buelængde. Et andet godt eksempel er cirklen α(t) = (cos(t), sin(t)), t [, 2π], der også er parametriseret ved buelængde, idet α (t) = ( sin(t)) 2 + cos 2 (t) = 1 = 1. Geometrisk kan man forstå det således: Hvis vi går rundt på enhedscirklen, angiver en t-værdi mellem og 2π, hvilken vinkel vi danner med den positive 1.-akse, dvs vi ved hvor på cirklen vi er. Samtidigt angiver t-værdien også, hvor langt vi er gået, hvis vi startede i (1, ). Eksempel 7.5. Et simpelt eksempel på en kurve der ikke er parametriseret ved buelængde er α(t) = (t, t 2 ), t. Dette ses ved en direkte udregning. Vi har faktisk allerede set et eksempel på en kurve, der ikke er parametriseret ved buelængde. Den logaritmiske spiral fra sætning 6.2 opfylder ikke at s(t) = t t og er dermed ikke parametriseret ved buelængde. Det fremgår af følgende sætning, at det ikke er nogen indskrænkning kun at kigge på kurver, der er parametriseret ved buelængde. Sætning 7.6. Lad α: I 2, 3 være en glat, regulær kurve. Da eksisterer der en glat, regulær kurve β: J 2, 3, der er parametriseret ved buelængde, så de to kurver har det samme billede, α(i) = β(j). β kaldes reparametriseringen ved buelængde af α. Bevis. Udelades. Eksempel 7.7. Lad α: [, 1] 2 være givet ved α(t) = (a 1 t + v 1, a 2 t + v 2 ). Det ses, at α (t) = (a 1, a 2 ). Buelængden af α fra til s er givet ved s(s) = s a a 2 2 dt = s a a2 2. Hvis konstanten a a2 2 ikke havde været der, ville α være parametriseret ved buelængde. Vi ønsker at finde en reparametrisering ved buelængde af α. Inspireret af beregningerne ovenfor definerer vi en kurve β: [, a a2 2 ] 2 ved ( a 1 a β(t) = t + v a a 2 1, 2 t + v 2 a a 2 2 ). 2 Vi skal nu vise, at β er parametriseret ved buelængde. Først beregner vi β (t). ( ) β a (t) 1 a = a 2 1 +, 2 a2 2 a a2 2 Dernæst ses det, at s(s) = s a 2 1 a a2 2 + a2 2 a 2 1 a dt = s + a2 2 a2 2 a a2 2 = s. 7
8 Det vil sige, at β er parametriseret ved buelængde. Idet α() = β() og α(1) = β( a a2 2 ) og begge kurver er rette linjer i 2, har de to kurver det samme billede i 2. Da β er parametriseret ved buelængde, er β reparametriseringen ved buelængde af α. 8 Krumning af plane kurver Vi starter med en vigtig definition. Definition 8.1. Lad α være en glat kurve i 2, 3, der er parametriseret ved buelængde. α (t) = k α (t) kaldes krumningen af α i t. Bemærkning 8.2. Geometrisk er krumningen af en kurve et mål for, hvor hurtigt kurven bevæger sig væk fra sin tangentvektor i det pågældende punkt. Eksempel 8.3. Lad α(t) = (r cos(t/r), r sin(t/r)), t [, 2πr] være cirklen med radius r parametriseret ved buelængde. En simpel beregning giver, ( r α (t) = r sin(t/r), r ) r cos(t/r), ( ) 1 α 1 (t) = cos(t/r), r r sin(t/r). Ved at benytte idiotformlen får man, at α (t) = 1/r = k α (t). Det ses, at jo større r er, jo mindre er krumningen. Vi har følgende sætning om krumning af rette linjer, der stemmer fint med den geometriske fortolkning af krumningen i bemærkning 8.2. Sætning 8.4. Lad α være en glat kurve i 2, 3, der er parametriseret ved buelængde. Da er α (t) hvis og kun hvis α er en ret linje. Bevis. Først ser vi, at α (t) hvis og kun hvis α (t). Vi viser sætningen, hvis α er en kurve i 2. Beviset er tilsvarende, hvis α er en kurve i 3. : Antag, at α (t). Integration en gang giver α (t) = (a 1, a 2 ), hvor a a2 2 = 1, da α skal være parametriseret ved buelængde. Integration endnu en gang giver α(t) = (a 1 t + v 1, a 2 t + v 2 ), der jo er en ret linje i 2. : Antag, at α er en ret linje parametriseret ved buelængde, det vil sige α(t) = (a 1 t + v 1, a 2 t + v 2 ), hvor a a2 2 = 1. Ved at differentiere α ser man, at α (t) = (a 1, a 2 ). Differentiation endnu engang giver at α (t). Ganske som man kan approksimere en funktion f: I med det approksimerende førstegradspolynomium, kan man approksimere kurver i planen med cirkler. Inspireret af eksempel 8.3 laver vi følgende definition. Definition 8.5. Lad α være en glat, regulær kurve i 2, der er parametriseret ved buelængde. Den bedste approksimation for α i punktet t er en cirkel β(t) med radius 1/k α (t ), hvor β(t ) = α(t ), og hvor β (t ) = α (t ). Hvis k α (t ) =, er den bedste aproksimation for α en cirkel gennem α(t ) med uendelig radius. 8
9 Bemærkning 8.6. Man skal ved en geometrisk betragtning, eventuelt en tegning, sikre sig, at centrum kommer til at ligge på den rigtige side af kurven, man ønsker at approksimere. Eksempel 8.7. Den bedste approksimation for α, hvis α er en ret linje, er en cirkel med uendelig radius, da k α (t) =. Den bedste approksimation for α, hvis α er en cirkel, er naturligvis en cirkel med samme krumning, der går gennem punktet α(t ). Det følger fra formlen for en cirkel, at de to cirkler har samme centrum. 9 Notation Vi giver en kort liste over den mest udbredte notation. Håbet er, at det øger læsevenligheden. : for alle. : tilhører. : forskellig fra. : de reelle tal. : identisk lig med., : medfører. : hvis og kun hvis. 9
10 1 Øvelser Herunder følger fire øvelser, der alle har tilknytning til stoffet beskrevet på de foregående sider. Øvelse 1.1. Lad α: 3 være givet ved α(t) = (a cos(t), a sin(t), bt), a, b (Helix). 1. Gør rede for at α er en glat og regulær kurve. 2. Beregn buelængden af α for t [t 1, t 2 ]. 3. Lad β: 3 være givet ved β(t) = (a cos(t/c), a sin(t/c), bt/c), hvor a, b og c 2 = a 2 + b 2. Vis, at β er en reparametrisering ved buelængde af α. 4. Beregn krumningen af β. Øvelse 1.2. Lad α: [, 2π] α(t) = (a cos 3 (t), a sin 3 (t)) 2 være givet ved (Astroide). 1. Gør rede for om α er en glat og regulær kurve. 2. Tegn α når t [, π/2] (helst uden lommeregner). Gæt på hvordan resten kommer til at se ud ved hjælp af symmetribetragtninger. Øvelse 1.3. Lad α: 2 være givet ved α(t) = (t 3 + 4, (t 3 + 4)). 1. Gør rede for at α er en glat kurve. 2. Er α regulær? Argumenter. 3. Beregn buelængden af α når t [t 1, t 2 ]. 1
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereDen svingende streng
Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mere1. Vis, at hvis realdelen af en holomorf (analytisk) funktion er konstant (på et åbent område) er funktionen konstant.
Matematik F2 - sæt 2 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 1 I denne uge vil vi studere Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs102-matn/a-12082010 Torsdag den 12. august 2010 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve
Læs mereAfstand fra et punkt til en linje
Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereOm hvordan Google ordner websider
Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske
Læs mereTal, funktioner og grænseværdi
Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereInverse funktioner. John V Petersen
Inverse funktioner John V Petersen Indhold Indledning: Indledende eksempel. Grafen for en funktion. Og grafen for den inverse funktion.... 3 Afbildning, funktion og inverse funktion: forklaringer og definitioner...
Læs mereStamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole
Matematik A Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole HTX MATEMATIK A Katrine
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit
Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus
Læs mereDesignMat Uge 11 Vektorrum
DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mereInduktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen
36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske
Læs mereMatematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven
Højere Teknisk Eksamen 007 Matematik A Vejledende opgaver 5 timers prøven Undervisningsministeriet Prøvens varighed er 5 timer. Opgavebesvarelsen skal dokumenteres/begrundes. Opgavebesvarelsen skal udformes
Læs mereVejgeometri. Erik Vestergaard
Vejgeometri Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, Haderslev 007 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk 3 Indholdsfortegnelse. Indledning... 5. Plane kurver... 5. Parametriserede
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereVIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium
VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...
Læs mereVektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...
Læs mereDen bedste dåse, en optimeringsopgave
bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det
Læs mereRumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor
Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereEr A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.
Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv
Læs mereProjekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser
Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereTekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereOpg. 1. Cylinder. Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen
Opg. 1 spm. a løses i hånden. Cylinderens radius er 10 cm og keglen er 20 cm høj. Paraboloidens profil kan beskrives med ligningen Opg. 1 a) Bestem de funktioner h(t), der beskriver vandhøjden i beholderen,
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereINTRODUKTION TIL VEKTORER
INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereInverse funktioner og Sektioner
Inverse funktioner og Sektioner Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTaxageometri og metriske rum
Taxageometri og metriske rum Douglas LaFontain og Troels Bak Andersen 8. oktober 2011 Målet med denne kursusdag er at introducere en ny geometri, der er forskellig fra vores sædvanlige Euklidiske plangeometri.
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2013-2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Lærer(e) Helle Kruchov
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mere