Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Transkript

1 Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet... si. 4 Integrtion ved sustitution Sætning : Integrtion ved sustistution for uestemte integrler... si. 5 Sætning 3: Integrtion ved sustistution for estemte integrler... si. 7 Plot f løsningsrelet... si. 8 Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion: pgve : Beregn den ekskte værdi f xc $ln x dx Vi hr et produkt f to funktioner: xc $ln x Ld f x xc og g x ln x F x er en stmfunktion til f x : F ' x f x Ld os tge udgngspunkt i produktet F x $g x F x $g x )' F ' x $g x C F x $g ' x f x $g x C F x $g ' x dvs. F x $g x er en stmfunktion til f x $g x C F x $g ' x d F x $g x )' f x $g x C F x $g ' x Vi omytter højre og venstre side f ligningen: f x $g x C F x $g ' x F x $g x )' og integrerer på egge sider med grænserne og. f x $g x C F x $g ' x dx F x $g x 5 f x $g x dx C F x $g ' x dx F x $g x 5 Beregning f integrle ved prtiel integrtion og sustitution f John V. Petersen --9 side / 8

2 f x $g x dx F x $g x K F x $g ' x dx Vi hr nu sætning : Prtiel integrtion f estemt integrle: Ld f være en kontinuert funktion, der hr F som stmfunktion, og ld g være en differentiel funktion. D er f x $g x dx F x $g x K F x $g ' x dx Vi skl nu ruge sætningen: f x $g x dx F x $g x K F x $g ' x dx ) til t løse opgven: xc $ln x dx Vi vælger så den funktion der er nemmest t integrere: dvs. f x xc og F x x C x g x ln x er jo nem t differentiere : g ' x x Vi indsætter nu i ) : xc $ln x dx x C x $ln x K x C x $ x dx x C x $ln x $x C dx x C x $ln x K 4 x C x Beregning f integrle ved prtiel integrtion og sustitution f John V. Petersen --9 side / 8

3 x C x $ln x K 4 x C x 4$ln K3 K 3 $ln K 5 4 4$ln K 3 C 5 4 4$ln K 7 4 xc $ln x dx 4$ln K 7 4, er den ekskte løsning. som tilnærmet er: Vi gør prøve. Den fundne stmfunktion er : H x x C x $ln x K 4 x C x H ' x x C x $ln x K 4 x C x ' xc $ln x C x C x $ x K x C xc $ln x K KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK Beregning f integrle ved prtiel integrtion og sustitution f John V. Petersen --9 side 3 / 8

4 Her er et plot f løsningen: fdx/ xc $ln x ; f : x/ xc ln x with plots : Ad plot f x, x...5, view...5,k5..3, color lue : Bd plot f x, x.., view...5,k5..3, filled true : disply A, B ; 3 f(x) xc $ln x () K,5,5,5 x Arelet K 4$ln K 7 4 K3.59 K4 K5 Beregning f integrle ved prtiel integrtion og sustitution f John V. Petersen --9 side 4 / 8

5 Beregning f estemt integrle ved integrtion ved sustitution: Denne opgve løses på en måde, så metoden "integrtion ved sustitution" smtidig indføres og forklres pgve : Beregn den ekskte værdi f xc $e x C$xC dx Det er ikke lige til t finde en stmfunktion til funktionen xc $e x C$xC Derfor vil vi her enytte integrtion ved sustitution. Når mn skl finde stmfunktioner til smmenstte funktioner, kn det nogle gnge gøres ved denne metode. Vi ser først på det uestemte integrle: xc $e x C$xC dx Vi sætter x C$xC g x. g x er den "indre funktion" i den smmenstte funktion f g x e x C$xC g x x C$xC g ' x $xc $ xc 5 $g ' x xc g f t f g x e x C$xC, t g x Nu hr vi: xc $e x C$xC dx e x C$xC $ xc dx f g x $ $g ' x dx $ f g x $g ' x dx dvs. xc $e x C$xC dx $ f g x $g ' x dx Bemærk, t f g x liver multipliceret med den fledede f den indre funktion g x : Det er l.. den smmenhæng mn skl lægge mærke til ved et integrle, hvis mn vil ruge sustitution. Nu vil jeg opskrive sætningen om integrtion ved sustitution, og derefter få det hele til t se mere meningsfuldt ud: Sætning : Integrtion ved sustitution Ld f være en kontinuert funktion, der hr F som stmfunktion, og ld g være en differentiel funktion. D er f g x $g ' x dx f t dt F t C c F g x C c, hvor t g x Beregning f integrle ved prtiel integrtion og sustitution f John V. Petersen --9 side 5 / 8

6 t indføres som ny integrtionsvriel på en enkel og fornuftig måde. Se udregningerne nedenfor: Vi sustituerer med værdierne til højre: venfor så vi, t t g x x C$xC xc $e x C$xC dx dt dx g ' x $xc $ xc dt $ xc dx e x C$xC $ xc dx xc dx dt e t $ dt e t dt $e t Cc $ex C$xC C c!kk vi sustituerer tilge med g x Nu hr vi smlet, t xc $e x C$xC dx $ex C$xC C c KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK KKKKKKKKK Vi gør prøve. Hvis F x er stmfunktion til f x : F ' x f x $exc$xc C c ' $ exc$xc $ $xc xc $e xc$xc K KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK xc $e x C$xC dx $ex C$xC $ e 4 K e $ e 4 K e Så den ekskte værdi f integrlet xc $e x C$xC dx $ e 4 K e En tilnærmet værdi er: $ e 4 K e , dvs. c Nu vil jeg indføre sætningen om integrtion ved sustitution for estemte integrler, og så udføre integrtionen kort og enkelt. Beregning f integrle ved prtiel integrtion og sustitution f John V. Petersen --9 side 6 / 8

7 Pg. lt forrejdet skulle det gerne være noget nemmere t forstå, end hvis jeg lot vr strtet med t gøre nedenstående: Sætning 3: Integrtion ved sustitution, for estemte integrler: Ld f være en kontinuert funktion, der hr F som stmfunktion, og ld g være en differentiel funktion. D er f g x $g ' x dx g g g f t dt F g x g hvor t g x F g K F g Vi indsætter nu lot i Sætning 3: xc $e x C$xC dx Fr tidligere ved vi, t t g x x C$xC og dermed : 4 $ e t dt xc dx dt $ e t 4 $ e 4 K e Desuden får vi nemt de nye grænser g og g : x g C$C x g C$C 4 xc $e x C$xC dx $ e 4 K e Beregning f integrle ved prtiel integrtion og sustitution f John V. Petersen --9 side 7 / 8

8 fdx/ xc $e x C$xC ; f : x/ xc e x C xc with plots : Ad plot f x, x K..., view K..,.., color lue : Bd plot f x, x.., view K..,.., filled true : disply A, B ; xc $e x C$xC () 5 Arelet $ e 4 K e K x Beregning f integrle ved prtiel integrtion og sustitution f John V. Petersen --9 side 8 / 8