Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 2 2 Linjer 3 2.1 Frihedsgrader....................... 3 2.2 Parameterfremstilling af linjer............. 4 3 Planer 7 3.1 Parametrisering af planer................ 7 3.2 Normalvektor for en plan................ 7 3.3 Ligning for en plan.................... 7 4 Kugler 7 4.1 Tangentplaner....................... 7 4.2 Parametrisering af en kugle?............... 8 5 Parameterkurver 11 6 Parametriserede flader 11
Resumé I dette dokument kigger vi på nogle forskellige delmængder af det tredimensionelle koordinatsystem: Linjer, Planer og Kugler. Vi ser på hvordan de kan beskrives og giver simple eksempler på hvad man kan gøre ved dem. Her slutter MatBog.dk Figur 1: På dette sted løb jeg desværre tør for fritid. Derfor er dette dokument ikke færdigt. Hvis du køber et abonnement (eller får din lærer eller skole til at gøre det), så kan jeg tillade mig at tage lidt mere fri til at skrive på MatBog, og så vil disse huller blive lappet meget hurtigere! side 1
1 Introduktion Velkommen i det tredimensionelle rum! Her er masser af plads til alle mulige forskellige delmængder. Vi skal se på nogle af de mest fundamentale af disse i dette dokument, nemlig linjer, planer og kugler. Forudsætninger For at læse dette dokument får du brug for at kende til tredimensionelle vektorer 1. Vi får både brug for prikproduktet og krydsproduktet og mange af de sætninger som gælder om dem. Men hvis ikke du gider at læse en masse teori om vektorer først, kan du klare dig med at slå disse ting op efterhånden som vi får brug for dem. 1 Læs om vektorer i rummet her. side 2
2 Linjer Det første objekt man kommer i tanker om at tegne i det tredimensionelle rum, som ikke bare er et punkt, er sandsynligvis en linje. Hvis bare man udpeger to forskellige punkter i rummet, så har man indirekte udpeget en linje, nemlig den der går igennem disse to punkter. Bemærk at vi med ordet linje altid mener ret linje. Hvis vi nogensinde vil tale om streger som kan bøje eller krumme, så vil vi bruge ordet en kurve i stedet for. 2.1 Frihedsgrader I planen kan alle linjer beskrives med en ligning af typen: ax + by = c hvor a, b og c er reelle tal. Hvis linjen ikke er lodret, kan man endda nøjes med ligninger af typen: y = ax + b hvor a er linjens hældningskoefficient og b er højden hvori linjen skærer y-aksen. Linjer i rummet kan desværre ikke beskrives ved hjælp af en enkelt ligning. En god intuitiv måde at forstå dette på er ved at bruge begrebet frihedsgrader 2 I det tredimensionelle rum har man tre frihedsgrader, forstået på den måde at man altid har tre uafhængige retninger at bevæge sig i. Hvis man opstiller en begrænsning af hvilket punkter der må bruges, i form af f.eks. en ligning som punkternes koordinater skal opfylde, så fjerner man en frihedsgrad. 2 Vi vil ikke kaste os ud i at definere dette begreb præcist, eftersom det faktisk er meget svært. I stedet vil vi gøre som man ofte gør i fysik og antage at alle ved hvad det betyder. side 3
Derfor vil en ligning som regel 3 beskrive en delmængde af rummet med 2 frihedsgrader. Det kunne f.eks. være en plan eller (overfladen af) en kugle som vi skal se på senere. Hvis man vil beskrive noget som kun har 1 frihedsgrad (som f.eks. en linje) kan man derfor vælge at gøre en af følgende to ting: 1. Opstille to ligninger, som hver fjerner en frihedsgrad. Vi skal senere se at dette svarer til at defineret to forskellige planer. Og linjen består dermed af de punkter som opfylder begge ligninger (dvs. skæringspunkterne mellem de to planer). 2. Starte fra den modsatte ende, idet vi ikke fortæller hvad et punkt i rummet skal opfylde for at være med, men i stedet fortælle præcis hvordan man fremstiller de punkter som er med. En sådan beskrivelse kaldes en parameterfremstilling. Når vi skal arbejde med planer vil du se at begge disse strategier kan være fordelagtige, alt efter hvad vi vil bruge beskrivelsen til. 2.2 Parameterfremstilling af linjer Den bedste måde at beskrive linjer i rummet på er altså ved at give en måde at producere punkterne på dem med en såkaldt parameterfremstilling. Først skal vi lige bruge et nyt begreb: Definition 1. Hvis L er en linje i rummet, så vil vi sige at en vektor v, som ikke er nulvektor, er retningsvektor for L hvis v opfører sig sådan at når den indtegnes fra et punkt på L, så peger den på et andet punkt på L. Med andre (mere upræcise) ord: Hvis v peger i en retning som er parallel med L. 3 Det er ikke en præcis regel. F.eks. beskriver ligningen x 2 + y 2 + z 2 = 0 noget 0- dimensionalt, nemlig punktet (0;0;0). side 4
Nu er det så rigtig vigtigt at fange ideen: Vi vil lave en opskrift på hvordan samtlige punkter på linjen kan beregnes 4. Hvis man allerede kender et punkt på en linje og en retningsvektor for denne linje, så er det næsten oplagt at finde på sådan en opskrift: Hvis man indtegner retningsvektoren fra det punkt som vi kender i forvejen, så peger den ihvertfald på et punkt mere som ligger på linjen. Dette punkts koordinater er givet som vores kendte punkts koordinater plus retningsvektorens koordinater. Men hvis man skalerer retningsvektoren (altså ganger den med et reelt tal), så har vi en ny retningsvektor. Hvis vi skalerer med et negativt tal, så vender den bare den modsatte vej, men stadig parallelt med linjen. Kun hvis vi skalerer med nul, så kommer der ikke en retningsvektor ud af det, fordi det giver nulvektor. Ved at indtegne alle de skalerede retningsvektorer fra det punkt som vi kender i forvejen kan vi lave uendeligt mange andre punkter. Selv hvis vi bruger skaleringen med nul så fremkommer får vi bare det punkt vi havde fra starten. Ethvert punkt på linjen kan produceres på denne måde. Det er bare et spørgsmål om at vælge den rigtige skalering af retningsvektoren og lægge til punktet. Man skal have et billede i stil med figur?? i hovedet. Sætning 2. Hvis P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) R 3 4 Hvis du allerede kender til begrebet vektorfunktioner, så lyder dette som en opgave for lige præcis en vektorfunktion. Men eftersom vektorfunktioner i rummet er en (meget gennemskuelig) hemmelighed i gymnasiematematik vil vi krybe uden om at tale om vektorfunktioner, og holde os til begrebet en opskrift. side 5
og v = a b c V 3 så udgør punkterne givet ved koordinaterne: x y z = x 0 y 0 z 0 + t a b c, t R den linje som går gennem P og har v som retningsvektor. Allerede med linjer kan man finde på mange forskellige spørgsmål. Det skal vi lige se et par eksempler på. Eksempel 1. Lad os starte med punkterne: og P = (3;4;7) Q = ( 1;18;4) Der findes præcis en linje som går igennem disse to punkter, og vi kan nemt finde en parameterfremstilling for den. Det eneste vi skal bruge er en retningsvektor for den, og det kan findes som den forbindende vektor: r = PQ = 1 3 18 4 4 7 = 4 14 3 Dermed er punkterne på linjen givet ved parameterfremstillingen: x y z = 3 4 7 + t 4 14 3 side 6
(Bemærk at den samme linje har uendeligt mange andre parameterfremstillinger. F.eks. kunne vi sagtens have brugt Q s koordinater som den første vektor, og vi kunne have brugt QP eller en hvilken som helst skalering af den som retningsvektor.) 3 Planer 3.1 Parametrisering af planer 3.2 Normalvektor for en plan 3.3 Ligning for en plan 4 Kugler Sætning 3. Hvis og så P = (a;b;c) R 3 r R 4.1 Tangentplaner Hvis man kender et punkt på en kugle, så er det nemt at finde en beskrivelse af kuglens tangentplan i dette punkt: Eksempel 2. Lad os sige at vi har gang i kuglen med ligningen: (x 2) 2 + (y 1) 2 + (z + 3) 2 = 9 side 7
Altså den kugle som har centrum i punktet og radius C = (2;1; 3) R = 3 Det er ikke svært at se at punktet: P = (4; 1; 4) ligger på kuglen. Lad os finde en beskrivelse af tangentplanen i dette punkt. For det første må P være et punkt i denne plan. Og for det andet må vektoren som går fra centrum ud til P være en normalvektor for denne plan. Vi har altså en normalvektor n givet ved: n = C P = 4 2 1 1 4 ( 3) = 2 2 1 Dermed er tangentplanen givet ved ligningen: 2 (x 4) 2 (y ( 1)) 1 (z ( 4)) = 0 eller omskrevet: 2x 2y z 10 = 0 4.2 Parametrisering af en kugle? Så er vi nået til det punkt hvor forfatteren går i selvsving. Hvis du har svært ved at følge med til dette afsnit, så er det ikke noget problem at stoppe med at læse lige her. Hvis du alligevel hænger på, så lover jeg at det bliver sjovt og spændende. Kan vi mon producere overfladen af en kugle med en parameterfremstilling i stedet for at beskrive den med en ligning? Dette spørgsmål side 8
opstår nogle gange når man sidder med et af de sjældne grafprogrammer som kan tegne tredimensionelt, hvis de f.eks. ikke tillader at beskrive delmængder ved hjælp af ligninger 5. Svaret er heldigvis ja, men vi skal være lidt kreative. Her er en ide som virker. Vi vil parametrisere enhedskuglen, men det er ret nemt at ændre til alle andre kugler. Vi vil lade den ene parameter, s, løbe fra 1 til 1, og forestille os at dette angiver et punkt på x-aksen. Til hver værdi af s vil vi så lade den anden parameter, t, styre os igennem en cirkelbevægelse som foregår i y z-retningerne omkring det aktuelle punkt på x-aksen, og med den rigtige radius. Det ser sådan her ud: x y z = s r cos(t) r sin(t), s [ 1;1], t [0;2π] Det eneste som vi mangler er at indse hvordan den rigtige radius afhænger af de to parametre. Det kan man indse hvis man forestiller sig at det aktuelle punkt på x-aksen (med koordinaterne: (s;0;0)) som vi tegner en cirkel omkring indgår i en retvinklet trekant. Nemlig den trekant som opstår hvis hvis først vi tegner en kant fra origo ud til punktet på x-aksen. Denne kant har længden s. Derfra fortsætter vi vinkelret ud (f.eks. lodret opad) indtil vi møder kuglen. Denne kant har længden r den rigtige radius. Til sidst tegner vi en kant tilbage til origo. Denne har længde 1, fordi den er en radius i enhedskuglen. Nu siger Pythagoras at: s 2 + r 2 = 1 2 dvs. r = 1 s 2 5 Det er ret ofte tilfældet ikke fordi programmøren har været ond, men fordi det faktisk er en kollosal beregning for computeren at finde de punkter i rummet som opfylder en given ligning. side 9
(Vi valgte den positive løsning fordi radius bør være positiv). Nu er det blot at indsætte denne viden i parameterfremstillingen: x y z = s 1 s2 cos(t) 1 s2 sin(t), s [ 1;1], t [0;2π] Det er ganske nydeligt, men hvis man tænker lidt over det, så er der en enkelt detalje som måske virker irriterende: Når s = ±1, svarende til at vi står ude i de alleryderste punkter på kuglen på x-aksen, så kører vi rundt på en cirkel med radius nul. Med andre ord: Vi får det samme punkt frem uanset hvad vi sætter den anden paramter, t til at være. Dette virker som temmeligt meget spild af gode parametre, ikke? Man kunne så spørge om kugleoverfladen kunne parametriseres mere elegant. Dermed vi snuser vi faktisk til en meget dybsindig (og meget flot) sætning, som vi desværre ikke har magt nok til at bevise på dette niveau. Men den er nem nok at forstå: Sætning 4. Der findes ikke nogen (kontinuerte) parametriseringer af kugler i rummet, hvor hvert punkt gennemløbes præcis 1 gang, og hvor begge parametre kan tage alle værdier inden for et lukket interval. Eksempel 3 (Lidt om computerspil). Den foregående sætning kan faktisk blive enormt relevant i praksis. Lad os forestille os at vi er i gang med at programmere et computerspil, hvor spillerne skal styre et eller andet som bevæger sig på overfladen af en kugle. Dermed har vi brug for hele tiden at holde styr på hvilket punkt på kuglen en spiller befinder sig i. Det gør man i praksis ved at lave en eller anden form for koordinater dvs. nogle talvariable som tilsammen angiver en entydig position på side 10
kuglen. Et oplagt valg kunne være længdegrad og breddegrad sådan som man f.eks. gør med GPS-koordinater på jordoverfladen. Men det har en irritende bivirkning som minder meget om problemerne vi så ovenover; Nemlig at når man befinder sig på nordpolen eller sydpolen, så kan breddegradskoordinaten ændre sig uden at man flytter sig. Dette kan føre til mange besværligheder i praksis. F.eks. kan man ikke se om to spiller er kørt ind i hinanden alene ved at undersøge om begge deres koordinater er ens. Et andet (og værre) problem kommer når man gerne vil lave en måde at styre på, som fungerer ens uanset hvorhenne man befinder sig. Vi skal slet ikke gå ind i detaljerne om disse problemer her, men blot afsløre at det hænger nøje sammen med en masse spændende matematik som hedder topologi. Og sætningen ovenover er et eksempel på et resultat fra denne gren af matematikken. 5 Parameterkurver 6 Parametriserede flader side 11