Delmængder af Rummet

Transkript

1 Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 To måder at tænke på Ligningstanken Parametriseringstanken Frihedsgrader Linjer Parameterfremstilling af linjer Planer En plan, planen, Koordinatplanerne Parametrisering af planer Normalvektor for en plan Ligning for en plan Kugler Tangentplaner Parametrisering af en kugle? Parameterkurver 14 7 Parametriserede flader 14

3 Resumé I dette dokument kigger vi på nogle forskellige delmængder af det tredimensionelle koordinatsystem: Linjer, Planer og Kugler. Vi ser på hvordan de kan beskrives og giver simple eksempler på hvad man kan gøre ved dem. 1 Introduktion Velkommen i det tredimensionelle rum! Her er masser af plads til alle mulige forskellige delmængder. Vi skal se på nogle af de mest fundamentale af disse i dette dokument, nemlig linjer, planer og kugler. Forudsætninger For at læse dette dokument får du brug for at kende til tredimensionelle vektorer 1. Vi får både brug for prikproduktet og krydsproduktet og mange af de sætninger som gælder om dem. Men hvis ikke du gider at læse en masse teori om vektorer først, kan du klare dig med at slå disse ting op efterhånden som vi får brug for dem. Det er desuden vigtigt at du allerede har arbejdet med analytisk geometri i 2 dimensioner (rette linjer, cirklens ligning og sådan noget), og det er en fordel hvis du har arbejdet med parametriserede linjer (og meget gerne vektorfunktioner) i 2 dimensioner også. 1 Læs om vektorer i rummet her. side 1

4 2 To måder at tænke på Når vi nu skal beskrive delmængder af rummet, bliver der for alvor brug for to helt forskellige måder at tænke på. Du kender dem begge i forvejen, men nu er det på tide at blive helt bevidst om forskellen på dem. 2.1 Ligningstanken Den første måde at tænke på kunne passende kaldes ligningstanken. Det er den du har kendt i længst tid, for det er den ide der for eksempel ligger bag den rette linjes ligning, cirklens ligning o.s.v. i det todimensionelle koordinatsystem. Det kan formuleres sådan her: Målet er at karakterisere de punkter som er med i mængden. Altså at sige noget som gælder for punkterne i mængden, og ikke gælder for andre punkter. I det todimensionelle koordinatsystem foregår det ved at opskrive en ligning med to ukendte, x og y, sådan at et punkt (x; y) er med i delmængden præcis hvis koordinaterne opfylder ligningen. F.eks. beskriver ligningen: y = 2x + 1 en ret linje, hvor punktet (3; 7) ligger på (fordi 7 = ), mens punktet (1; 8) ikke ligger på den. 2.2 Parametriseringstanken Den anden måde at tænke på er helt anderledes, og sandsynligvis meget nyere for dig. Du har muligvis allerede arbejdet med den hvis du har hørt om parametriserede linjer i planen, eller ligefrem om parameterkurver. Den kan formuleres sådan her: side 2

5 Målet er at producere de punkter som er med i mængden. Altså at give en opskrift på hvordan samtlige punkter i mængden kan fremstilles. I det todimensionelle koordinatsystem har du muligvis set at en opskrift på formen: ( x y ) = ( 1 2 ) + t ( 3 4 ), t R beskriver( en ret ) linje som går gennem punktet (1; 2) og som har 3 vektoren som retningsvektor. Hvis dette lyder som kinesisk 4 for dig, skal du ikke give op. Det hele bliver gentaget i dette dokument. Det vigtigste er at du lige nu forstår hvordan den ovenstående opskrift fungerer: Hver gang man vælger en værdi at t (den såkaldte frie parameter, kan man udregne højresiden af opskriften, og de to koordinater, x og y, som fremkommer giver et af punkterne i delmængden. Derfor skulle det gerne være klart at punktet (4; 6) er med i den beskrevne delmængde (fordi det fremkommer ved at sætte t = 1. Til gengæld er det lidt mindre klart at punktet (4; 7) ikke er med i delmængden. Det er fordi den eneste værdi af t som kan give x-koordinaten 4, må være t = 1, og den giver ikke y-koordinaten 7 (men derimod 6 som vi lige regnede ud.) 2.3 Frihedsgrader I det todimensionelle koordinatsystem kan alle linjer beskrives med en ligning af typen: ax + by = c hvor a, b og c er reelle tal. Hvis linjen ikke er lodret, kan man endda nøjes med ligninger af typen: y = ax + b side 3

6 hvor a er linjens hældningskoefficient og b er højden hvori linjen skærer y-aksen. Linjer i rummet kan desværre ikke beskrives ved hjælp af en enkelt ligning. En god intuitiv måde at forstå dette på er ved at bruge begrebet frihedsgrader 2 I det tredimensionelle rum har man som udgangspunkt tre frihedsgrader, forstået på den måde at man altid har tre uafhængige retninger at bevæge sig i. Hvis man opstiller en begrænsning af hvilket punkter der må bruges, i form af f.eks. en ligning som punkternes koordinater skal opfylde, så fjerner man en frihedsgrad. Derfor vil en ligning som regel 3 beskrive en delmængde af rummet med 2 frihedsgrader. Det kunne f.eks. være en plan eller (overfladen af) en kugle som vi skal se på senere. Hvis man vil beskrive noget som kun har 1 frihedsgrad (som f.eks. en linje) kan man derfor vælge at gøre en af følgende to ting: 1. Opstille to ligninger, som hver fjerner en frihedsgrad. Vi skal senere se at dette svarer til at definere to forskellige planer. Og linjen består dermed af de punkter som opfylder begge ligninger (dvs. skæringspunkterne mellem de to planer). 2. Starte fra den modsatte ende, idet vi ikke fortæller hvad et punkt i rummet skal opfylde for at være med, men i stedet fortælle præcis hvordan man fremstiller de punkter som er med. Altså lave en parameterfremstilling af linjen. Når vi skal arbejde med planer vil du se at begge disse strategier kan være fordelagtige, alt efter hvad vi vil bruge beskrivelsen til. 2 Vi vil ikke kaste os ud i at definere dette begreb præcist, eftersom det faktisk er meget svært. I stedet vil vi gøre som man ofte gør i fysik og antage at alle ved hvad det betyder. 3 Det er ikke en præcis regel. F.eks. beskriver ligningen x 2 + y 2 + z 2 = 0 noget 0-dimensionalt, nemlig punktet (0; 0; 0). side 4

7 3 Linjer Det første objekt man kommer i tanker om at tegne i det tredimensionelle rum, som ikke bare er et punkt, er sandsynligvis en linje. Hvis bare man udpeger to forskellige punkter i rummet, så har man indirekte udpeget en linje, nemlig den der går igennem disse to punkter. Bemærk at vi med ordet linje altid mener ret linje. Hvis vi nogensinde vil tale om streger som kan bøje eller krumme, så vil vi bruge ordet en kurve i stedet for. 3.1 Parameterfremstilling af linjer Den bedste måde at beskrive linjer i rummet på er altså ved at give en måde at producere punkterne på dem med en såkaldt parameterfremstilling. Først skal vi lige bruge et nyt begreb: Definition 1. Hvis L er en linje i rummet, så vil vi sige at en vektor v, som ikke er nulvektor, er retningsvektor for L hvis v opfører sig sådan at når den indtegnes fra et punkt på L, så peger den på et andet punkt på L. Med andre (mere upræcise) ord: Hvis v peger i en retning som er parallel med L. Nu er det så rigtig vigtigt at fange ideen: Vi vil lave en opskrift på hvordan samtlige punkter på linjen kan beregnes 4. Hvis man allerede kender et punkt på en linje og en retningsvektor for denne linje, så er det næsten oplagt at finde på sådan en opskrift: 4 Hvis du allerede kender til begrebet vektorfunktioner, så lyder dette som en opgave for lige præcis en vektorfunktion. Men eftersom vektorfunktioner i rummet er en (meget gennemskuelig) hemmelighed i gymnasiematematik vil vi krybe uden om at tale om vektorfunktioner, og holde os til begrebet en opskrift. side 5

8 Hvis man indtegner retningsvektoren fra det punkt som vi kender i forvejen, så peger den ihvertfald på et punkt mere som ligger på linjen. Dette punkts koordinater er givet som vores kendte punkts koordinater plus retningsvektorens koordinater. Men hvis man skalerer retningsvektoren (altså ganger den med et reelt tal), så har vi en ny retningsvektor. Hvis vi skalerer med et negativt tal, så vender den bare den modsatte vej, men stadig parallelt med linjen. Kun hvis vi skalerer med nul, så kommer der ikke en retningsvektor ud af det, fordi det giver nulvektor. Ved at indtegne alle de skalerede retningsvektorer fra det punkt som vi kender i forvejen kan vi lave uendeligt mange andre punkter. Selv hvis vi bruger skaleringen med nul så fremkommer får vi bare det punkt vi havde fra starten. Ethvert punkt på linjen kan produceres på denne måde. Det er bare et spørgsmål om at vælge den rigtige skalering af retningsvektoren og lægge til punktet. Man skal have et billede i stil med figur?? i hovedet. Sætning 2. Hvis og P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) R 3 v = a b c V 3 så udgør punkterne givet ved koordinaterne: x x 0 a y = y 0 + t b, t R z z 0 c den linje som går gennem P og har v som retningsvektor. side 6

9 Allerede med linjer kan man finde på mange forskellige spørgsmål. Det skal vi lige se et par eksempler på. Eksempel 1. Lad os starte med punkterne: og P = (3; 4; 7) Q = ( 1; 18; 4) Der findes præcis en linje som går igennem disse to punkter, og vi kan nemt finde en parameterfremstilling for den. Det eneste vi skal bruge er en retningsvektor for den, og det kan findes som den forbindende vektor: r = P Q = = Dermed er punkterne på linjen givet ved parameterfremstillingen: x 3 4 y = 4 + t 14 z 7 3 (Bemærk at den samme linje har uendeligt mange andre parameterfremstillinger. F.eks. kunne vi sagtens have brugt Q s koordinater som den første vektor, og vi kunne have brugt QP eller en hvilken som helst skalering af den som retningsvektor.) 4 Planer Nu kaster vi os ud i at beskrive den næste type objekt, nemlig de såkaldte planer. Altså helt flade, uendeligt tynde og uendeligt vidstrakte delmængde af det tredimensionelle koordinatsystem. side 7

10 Allerførst skal vi lige have styr på en sproglig detalje. 4.1 En plan, planen,... Det hedder en plan. Så er den historie ikke længere. Ganske vist er der journalister og andre svage sprogbrugere som har indført begreberne et skråplan og et højere plan i det danske sprog. Men det oprindelige danske ord for et fladt, uendeligt tyndt område er altså en plan. Og i matematik bryder man sig ikke om at lave om på de navne som allerede findes. Nogle vil så sige noget i retning af Nej, nej, nej. En plan er sådan noget som Egon fra Olsenbanden har. Men det er altså det samme ord. På samme måde som at en bas kan betyde både et musikinstrument med en dyb lyd og en sanger med en dyb stemme. Og det er altså ikke nær så fjollet som når de dumme mennesker skal bruge ordet plan i bestemt form og skriver planet. 4.2 Koordinatplanerne Der ligger tre særlige planer i det tredimensionelle koordinatsystem, nemlig de såkaldte koordinatplaner. De kaldes henholdsvist xy-planen, yz-planen og xz-planen. Det er de planer som hver især indeholder to af akserne. De er skitseret på figur 1 nedenfor. Disse er naturligvis slet ikke de eneste planer vi har, men de skal vise sig at være gode eksempler når vi skal afprøve vores generelle metoder på nogle konkrete planer som er nemme at forestille sig. 4.3 Parametrisering af planer Nu skal vi finde en måde at beskrive en hvilken som helst plan på, sådan at alle andre kan vide præcis hvilken plan vi snakker om. Sjovt nok er det parametermetoden den nemmeste at finde på, så den starter vi med. Vi skal først have defineret et begreb: side 8

11 Figur 1: De tre koordinatplaner i det rumlige koordinatsystem. Definition 3. Hvis α er en plan i rummet, så vil vi sige at en vektor v, som ikke er nulvektor, er retningsvektor for α hvis v opfører sig sådan at når den indtegnes fra et punkt i α, så peger den på et andet punkt på α. Dette minder meget om retningsvektorer for linjer. Læg dog mærke til at en plan vil have mange flere forskellige retningsvektorer end en linje. To forskellige retningsvektorer for den samme linje vil altid være parallelle. Det er ikke nødvendigvis tilfældet for en plan. Derfor indfører vi et ekstra begreb: Definition 4. To retningsvektorer for den samme plan, α kaldes uafhængige hvis de ikke er parallelle. side 9

12 Hvis man kender to punkter i en plan, så kan kan lave en retningsvektor ved at lave en forbindende vektor mellem de to punkter. Sætning 5. Hvis α er en plan, hvor P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) er et punkt som ligger i α og v 1 og v 2 er to 4.4 Normalvektor for en plan 4.5 Ligning for en plan 5 Kugler De sidste objekter behøver vist ikke nogen nærmere præsentation. Sætning 6 (Kuglens ligning). Hvis P = (a; b; c) R 3 og r > 0 så er kuglen med centrum i P og med radius r beskrevet ved ligningen: (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r 2 Bevis. Dette er en direkte konsekvens af afstandsformlen i rummet. Ligningen siger ganske enkelt at afstanden fra punktet (x; y; z) til P skal være lig med r. Bemærk at når man taler om en kugle i rummet, så er det overfladen af denne kugle, på samme måde som en cirkel i to dimensioner kun refererer til cirklens periferi. side 10

13 5.1 Tangentplaner Hvis man kender et punkt på en kugle, så er det nemt at finde en beskrivelse af kuglens tangentplan i dette punkt: Eksempel 2. Lad os sige at vi har gang i kuglen med ligningen: (x 2) 2 + (y 1) 2 + (z + 3) 2 = 9 Altså den kugle som har centrum i punktet og radius C = (2; 1; 3) R = 3 Det er ikke svært at se at punktet: P = (4; 1; 4) ligger på kuglen. Lad os finde en beskrivelse af tangentplanen i dette punkt. For det første må P være et punkt i denne plan. Og for det andet må vektoren som går fra centrum ud til P være en normalvektor for denne plan. Vi har altså en normalvektor n givet ved: n = CP = ( 3) = Dermed er tangentplanen givet ved ligningen: (x 4) 2 (y ( 1)) 1 (z ( 4)) = 0 eller omskrevet: 2x 2y z 14 = 0 side 11

14 5.2 Parametrisering af en kugle? Så er vi nået til det punkt hvor forfatteren går i selvsving. Hvis du har svært ved at følge med til dette afsnit, så er det ikke noget problem at stoppe med at læse lige her. Hvis du alligevel hænger på, så lover jeg at det bliver sjovt og spændende. Kan vi mon producere overfladen af en kugle med en parameterfremstilling i stedet for at beskrive den med en ligning? Dette spørgsmål opstår nogle gange når man sidder med et af de sjældne grafprogrammer som kan tegne tredimensionelt, hvis de f.eks. ikke tillader at beskrive delmængder ved hjælp af ligninger 5. Svaret er heldigvis ja, men vi skal være lidt kreative. Her er en ide som virker. Vi vil parametrisere enhedskuglen, men det er ret nemt at ændre til alle andre kugler. Vi vil lade den ene parameter, s, løbe fra 1 til 1, og forestille os at dette angiver et punkt på x-aksen. Til hver værdi af s vil vi så lade den anden parameter, t, styre os igennem en cirkelbevægelse som foregår i yz-retningerne omkring det aktuelle punkt på x-aksen, og med den rigtige radius. Det ser sådan her ud: x y z = s r cos(t) r sin(t), s [ 1; 1], t [0; 2π] Det eneste som vi mangler er at indse hvordan den rigtige radius afhænger af de to parametre. Det kan man indse hvis man forestiller sig at det aktuelle punkt på x-aksen (med koordinaterne: (s; 0; 0)) som vi tegner en cirkel omkring indgår i en retvinklet trekant. Nemlig den trekant som opstår hvis hvis først vi tegner en kant fra origo ud til punktet på x-aksen. Denne kant har længden s. Derfra fortsætter 5 Det er ret ofte tilfældet ikke fordi programmøren har været ond, men fordi det faktisk er en kollosal beregning for computeren at finde de punkter i rummet som opfylder en given ligning. side 12

15 vi vinkelret ud (f.eks. lodret opad) indtil vi møder kuglen. Denne kant har længden r den rigtige radius. Til sidst tegner vi en kant tilbage til origo. Denne har længde 1, fordi den er en radius i enhedskuglen. Nu siger Pythagoras at: dvs. s 2 + r 2 = 1 2 r = 1 s 2 (Vi valgte den positive løsning fordi radius bør være positiv). Nu er det blot at indsætte denne viden i parameterfremstillingen: x y z = s 1 s2 cos(t) 1 s2 sin(t), s [ 1; 1], t [0; 2π] Det er ganske nydeligt, men hvis man tænker lidt over det, så er der en enkelt detalje som måske virker irriterende: Når s = ±1, svarende til at vi står ude i de alleryderste punkter på kuglen på x-aksen, så kører vi rundt på en cirkel med radius nul. Med andre ord: Vi får det samme punkt frem uanset hvad vi sætter den anden paramter, t til at være. Dette virker som temmeligt meget spild af gode parametre, ikke? Man kunne så spørge om kugleoverfladen kunne parametriseres mere elegant. Dermed vi snuser vi faktisk til en meget dybsindig (og meget flot) sætning, som vi desværre ikke har magt nok til at bevise på dette niveau. Men den er nem nok at forstå: Sætning 7. Der findes ikke nogen (kontinuerte) parametriseringer af kugler i rummet, hvor hvert punkt gennemløbes præcis 1 gang, og hvor begge parametre kan tage alle værdier inden for et lukket interval. side 13

16 Eksempel 3 (Lidt om computerspil). Den foregående sætning kan faktisk blive enormt relevant i praksis. Lad os forestille os at vi er i gang med at programmere et computerspil, hvor spillerne skal styre et eller andet som bevæger sig på overfladen af en kugle. Dermed har vi brug for hele tiden at holde styr på hvilket punkt på kuglen en spiller befinder sig i. Det gør man i praksis ved at lave en eller anden form for koordinater dvs. nogle talvariable som tilsammen angiver en entydig position på kuglen. Et oplagt valg kunne være længdegrad og breddegrad sådan som man f.eks. gør med GPS-koordinater på jordoverfladen. Men det har en irritende bivirkning som minder meget om problemerne vi så ovenover; Nemlig at når man befinder sig på nordpolen eller sydpolen, så kan breddegradskoordinaten ændre sig uden at man flytter sig. Dette kan føre til mange besværligheder i praksis. F.eks. kan man ikke se om to spiller er kørt ind i hinanden alene ved at undersøge om begge deres koordinater er ens. Et andet (og værre) problem kommer når man gerne vil lave en måde at styre på, som fungerer ens uanset hvorhenne man befinder sig. Vi skal slet ikke gå ind i detaljerne om disse problemer her, men blot afsløre at det hænger nøje sammen med en masse spændende matematik som hedder topologi. Og sætningen ovenover er et eksempel på et resultat fra denne gren af matematikken. 6 Parameterkurver 7 Parametriserede flader side 14