Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning Kursusholder oul Henning Kirkegaard, institut 5, Aalborg Universitet November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 1/58 Introduktion Giver en introduktion til Styrkelære med henblik på at lave simple design beregninger. Introduktion til Mekanik og Styrkelære 1 på 5. semester, hvor matematiske modeller opstilles for spændinger og deformation i stænger og bjælker og emnet Styrkelære behandles i detaljer. November 3, 00.H. Kirkegaard Slide /58 Tøjninger og spændinger Spændinger (σ) mål for indre last i konstruktionselement Tøjning (ε) - mål for indre derformation i konstruktionselement November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 3/58 1
Spændingskomponeter σ z F τ σ zx τ y zy τ τ xz yz Normalspændinger Forskydningsspændinger σ x F 1 σ x τ xy τ yx σ z σ y SI enheder: a (ascal) N/mm November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 4/58 Spændingskomponeter En positiv værdi for σ indikerer en træk spænding. Dvs. spændingen udfører et træk på arealet, hvor den virker. En negativ værdi for σ indikerer en tryk spænding. Dvs. spændingen udfører et tryk på arealet,hvor den virker. November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 5/58 Normalspændinger Aksial last på stang F 0; df σ da; σ z A A L L+δ σ /Α z y x November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 6/58
Normalspændinger Spændninger i rør π A ( do di ) 636mm 636 10 m 4 3 F 150 10 σ 3.6 Ma b 6 A 636 10 6 November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 7/58 Normalspændinger 10kN/m 1.5kN 0.4m 0.4m 8kN R 1.5kN 30mm 10mm F x 0; R 1.5 + 8 0 R 6. 5kN N max 6.5 Nmax 6.5 σ max 1.7 Ma A 0.01(0.03) November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 8/58 Forskydningsspændinger Enkel forskydning Dobbelt forskydning / V V V / τ V ave A Forskydningsspændinger November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 9/58 3
Nødvendigt areal ved design A σ allow design V A τ allow design November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 10/58 Normaltøjninger November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 11/58 Normaltøjninger November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 1/58 4
Forskydningstøjninger November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 13/58 Tøjningskomponeter z Udeformeret Deformeret x y z y x π γ xy π π γ ( xy 1+ ε y ) z y γ yz ( 1+ ε x ) x ( 1+ ε y ) y Normaltøjninger ændrer volumet af elementet Forskydningstøjninger ændrer formen af elementet November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 14/58 Normaltøjninger Normaltøjning i wire CB når θ 0.00 rad. Lsin(θ) Lθ November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 15/58 5
Normaltøjninger Normaltøjningen langs kanten AB November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 16/58 Forskydningstøjninger Forskydningstøjningen relativ til x-y akserne November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 17/58 Arbejdskurver Materialers arbejskurver (σ-ε diagram) bestemmes i en trækprøvemaskine røveelement November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 18/58 6
Arbejdskurver Elastisk lastisk Brud røveelement November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 19/58 Arbejdskurver σ Flydespænding: σ y roportionalitetspænding: σ pl Stål σ pl E ε pl Aluminum Elasticitetsmodul ε Hooke s lov: σ Eε Elastisk lastisk November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 0/58 oisson s forhold Longitudinal forlængelse lateral sammentrækning (og omvendt) Longitudinal retning Lateral retning Træk ε lat oisson s fohold ν ε long Typisk imellem 0.5 og 0.3 ( 0 υ 0.5) Tryk November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 1/58 7
Før deformation Efter deformation Vandret linier krummer lane tværsnit forbliver plane November 3, 00.H. Kirkegaard Slide /58 Spændinger er proportionale til tøjninger (σeε) pga. lineær elastisk materiale (Bernoulli-bjælke) Ingen tøjning (ε0) Sammenpresning (ε<0) Forlængelse (ε>0) November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 3/58 Spændinger på tværsnit for positivt moment M November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 4/58 8
November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 5/58 Formel for bøjningsspændninger November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 6/58 Normalspændinger og tøjninger neutral akse spændninger tøjninger November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 7/58 9
Inertimoment Inertimoment I er en tværsnitskonstant, som angiver et tværsnits stivhed. b I y da A For rektangulært tværsnit I bd3 1 mm 4 d November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 8/58 Modstandsmoment Modstandsmoment W er en tværsnitskonstant, som b angiver et tværsnits stivhed. For rektangulært tværsnit d W bd 6 mm 3 November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 9/58 Et 50 x 50mm tværsnit i en plan bjælke er påvirket af det maksimale moment på 4kNm 50 50 Tilladelig spænding σ t 8Ma Modstandsmoment W bd / 6 Spændning i tværsnit σ M / W 4 / 0.5 x 10-3 7.69 Ma σ < σ t ΟΚ! 50 x 50 / 6 0.5 x 10 6 mm 3 0.5 x 10-3 m 3 November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 30/58 10
Det maksimale moment M for et tværsnit antages kendt. Bestem nødvendigt modstandsmoment W n Tilladelig spænding σ t (findes i Norm) Nødvendig modstandsmoment W nødn M/σ t Vælg b og d således at W > W nødn b? Slå op i profil tabel/teknisk ståbi d? November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 31/58 Teknisk Ståbi November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 3/58 Bestem de maksimale normalspændinger i den simpel understøttede bjælke November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 33/58 11
November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 34/58 November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 35/58 Bjælke med aksial last + eller e Naviers formel: σ A x + ey I November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 36/58 1
Lineær elastisk bjælke med plane tværsnit Uden sammenlimning Med sammenlimning November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 37/58 Lineær elastisk bjælke med ikke plane tværsnit!!!!! Før deformation Efter deformation November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 38/58 Fordeling af forskydningsspændinger November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 39/58 13
Forskydningsspændinger i rektangulært tværsnit November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 40/58 November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 41/58 Forskydningsspændinger i I-tværsnit November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 4/58 14
Bestem forskydningsspændinger i pkt for den simpel understøttede bjælke November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 43/58 Forskydningskræfter i den simpel understøttede bjælke November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 44/58 Forskydningsspændinger i pkt November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 45/58 15
Bestem forskydningsspændingerne i I-tværsnittet for den simpel understøttede bjælke November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 46/58 Forskydningskræfter i den simpel understøttede bjælke November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 47/58 November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 48/58 16
Design af plan bjælke En simpel understøttede bjælke er lavet af et materiale med en tilladelig bøjningsspænding σ t 150 Ma og en tilladelig forskydningsspændning τ t 100 Ma. Bestem det nødvendige modstandsmomentet W nødn. November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 49/58 Design af plan bjælke November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 50/58 Design af plan bjælke Valgt tværsnit med W > W nødn. November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 51/58 17
Design af plan bjælke Kontrol af forskydningsspændinger τ t > τ max November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 5/58 Design af plan bjælke Kontrol af en kombination af normalspændinger og forskydningsspændinger bør også foretages, se dagens opgave. November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 53/58 Design af plan bjælke En bjælke har en jævn fordel last på 1kN/m. Hvis bjælken skal have et højde-til-bredde forhold på 1.5, ønskes den smalest bredde bestemt, når σ t 9 Ma og τ t 0.6 Ma. Egenvægt ses der bort fra. November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 54/58 18
Design af plan bjælke November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 55/58 Design af plan bjælke Kontrol af normalspændinger σ t > σ max November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 56/58 Deformationer i plan bjælke wl/ x w L w M wl/ V wl wx M 0; x M 0 dv wl wx M EI x dx 3 dv wl wx EI x + C1 dx 4 6 4 wl/ wl 3 wx EIv x + C1x + C 1 4 November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 57/58 19
Deformationer i plan bjælke Randbetingelser: v( x 0) 0; C 0 4 4 3 1 wl wl wl v( x L) 0; v C1L 0; C1 EI + 1 4 4 wx 3 3 v( x) ( x + Lx L ) 4EI 3 3 4 L wl L L 3 5wL vmax x L 48EI + 8 384EI November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 58/58 Deformationer i plan bjælke Randbetingelser: v( x 0) 0; C 0 4 4 3 1 wl wl wl v( x L) 0; v C1L 0; C1 EI + 1 4 4 wx 3 3 v( x) ( x + Lx L ) 4EI 3 3 4 L wl L L 3 5wL vmax x L 48EI + 8 384EI November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 59/58 Deformationer i plan bjælke L θmax EI v max 3 L 3EI x v 3 6EI ( L x) w 3 wl θmax 6EI v max 4 wl 8EI ( x 4Lx 6L ) wx v + 4EI M ML θ max EI v max ML EI Mx v EI November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 60/58 0
Deformationer i plan bjælke L θmax 16EI v max 3 L 48EI x v 48EI ( 3L 4x ) w 3 wl θmax 4EI v max 4 5wL wx 3 384EI v ( x Lx + L ) 4EI ML M θa 3EI ML θb 6EI v max ML Mx v x 3Lx + L 43EI 6EIL ( ) November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 61/58 Deformationer i plan bjælke w For lineær elastiske konstruktioner gælder superposition w ( 3L 4x ) 0 x L / x v 48EI wx 3 3 v x Lx + L 4EI ( ) wx 3 3 ( 3L 4x ) + ( x Lx + L ) x v 48EI 4EI 3 4 L L 5wL v( x ) 48EI 384EI November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 6/58 Opgave 1 Se udleverede note November 3, 00.H. Kirkegaard Slide 63/58 1