Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Figurfortegnelse Tabelfortegnelse i v ix A Trafikberegning 1 A.1 Fremskrivning til år 2027............................... 1 B Belægningsdimensionering 3 B.1 Ækvivalente lagtykkelser............................... 4 C Stopsigt og mødesigt 9 D Overhalingssigt 11 D.1 Overhalingssigt i horisontalkurver.......................... 11 D.2 Overhalingssigt i vertikalkurver........................... 12 E Beregning af mindste horisontale og vertikale radius 15 E.1 Beregning af mindste horisontale radius....................... 15 E.2 Beregning af mindste vertikale radius........................ 15 F Bestemmelse af klotoideparameter 17 F.1 Kriterier........................................ 17 F.2 Indgangsdata..................................... 18 F.2.1 Inddatafil................................... 18 F.2.2 Uddata.................................... 18 F.2.3 Tittabel.................................... 20 G Rundkørsel 23 G.1 Trafikfordeling.................................... 23 G.2 Kapacitetsberegninger................................ 25 G.3 Kapacitet og serviceniveau.............................. 26
ii INDHOLDSFORTEGNELSE H Skitseprojekt 29 H.1 Skitseprojekt 1.................................... 29 H.2 Skitseprojekt 2.................................... 34 I Dimensionering 41 I.1 Bropladen....................................... 41 I.1.1 Bropladen................................... 44 I.1.2 Bropladen med 2 U-profiler......................... 46 I.1.3 Bropladen med 4 U-profiler......................... 52 I.1.4 Konklusion.................................. 54 I.2 H-profil........................................ 55 I.2.1 Brudgrænsetilstand.............................. 56 I.2.2 Anvendelsesgrænsetilstand.......................... 60 I.3 I-profil......................................... 61 I.3.1 Brudgrænsetilstand.............................. 61 I.3.2 Anvendelsesgrænsetilstand.......................... 63 I.3.3 Opsummering................................. 67 I.4 Vindafstivning..................................... 68 I.5 Gitterkonstruktion................................... 70 I.5.1 Trykstænger................................. 70 I.5.2 Trækstænger................................. 73 I.6 Søjler......................................... 75 I.7 Boltesamlinger.................................... 76 I.7.1 Vindafstivning................................ 78 I.7.2 Gittersamling................................. 80 I.8 Deformation...................................... 85 J Vandføring i Mastrup bæk 89 J.1 Udførelse af målinger................................. 89 J.2 Måleresultater..................................... 89 J.2.1 Vandføring.................................. 89 J.3 Beregning af vandføringen i Mastrup bæk...................... 93 J.3.1 Fejlkilder ved målinger............................ 94 J.3.2 Dimensionsgivende vandføring....................... 95
INDHOLDSFORTEGNELSE iii K Afvanding 97 K.1 Afstrømning...................................... 97 K.1.1 Den rationelle formel............................. 97 K.1.2 Samlet afstrømning.............................. 100 K.2 Grøfter......................................... 100 K.2.1 Tværsnitsareal af vandføring......................... 100 K.2.2 Middelhastighed............................... 101 K.2.3 Beregning af naturlig dybde......................... 102 K.3 Regnvandsbassin................................... 103 K.4 Rørstrømning..................................... 105 K.4.1 Beregning af rørdiameter........................... 108 K.5 Dimensionering af rør................................. 108 K.5.1 Dimensionering af rør 1........................... 109 K.5.2 Dimensionering af rør 2........................... 110 K.5.3 Dimensionering af rør 3........................... 112 K.5.4 Dimensionering af rør 4........................... 113 K.5.5 Resultat af beregningerne.......................... 113
iv INDHOLDSFORTEGNELSE
Figurer B.1 Vejreglernes diagram til bestemmelse af lagtykkelser................ 8 D.1 Horisontalforløb af omlagt strækning........................ 11 D.2 Vertikalforløb af omlagt strækning......................... 12 D.3 Overhaling...................................... 13 F.1 Skema til indgangsdata............................... 21 G.1 De tolv mulige trafikstrømme i en rundkørsel.................... 23 G.2 Trafikprognose for år 2027, hvor Nibevej/Buderupholmvej krydser Hobrovej... 24 G.3 Trafikkens fordeling ved de to spidstimetilfælde.................. 24 H.1 Skitseprojekt 1.................................... 29 H.2 Friskæring af broen................................. 29 H.3 En friskæring af broen................................ 31 H.4 Momentkurven for snit 1, 2 og 3.......................... 33 H.5 Momentkurven for skitseprojekt 1.......................... 34 H.6 Forslag2....................................... 34 H.7 En simpelt statisk model af skitseprojekt 2..................... 34 H.8 Rittersnit....................................... 36 I.1 Brodækket...................................... 41 I.2 Snitkræfterne..................................... 43 I.3 Snitkræfterne..................................... 44 I.4 Tværsnit af rektangel................................ 44 I.5 Brodækket med 2 U-profiler............................. 46 I.6 Tværsnit af U-profil................................. 47 I.7 Strækning mellem 2 U-profiler........................... 48 I.8 Snitkræftkurver for en indspændt bjælke...................... 49 I.9 Deformationskurven................................. 50 I.10 Statisk system mellem H-profilerne......................... 51 I.11 Brodækket med 4 U-profiler............................. 52 I.12 Strækningen mellem 2 af de 4 U-profiler...................... 53 I.13 Statisk model..................................... 55 I.14 Beskrivelse af forskydnings- og momentkræfter for en simpel understøttet bjælke 56 I.15 Statiske model for tværsnit............................. 56 I.16 Simplificering af HE300A.............................. 57
vi FIGURER I.17 Arealberegning til statisk moment......................... 58 I.18 Beskrivelse af forskydningsspændinger i flangen.................. 59 I.19 Beskrivelse af forskydningsspændinger i kroppen................. 59 I.20 Beskrivelse af spændingerne for H-profilet..................... 60 I.21 Bredde imellem U-profiler.............................. 61 I.22 Laster der påføres bjælken.............................. 62 I.23 Statiske model af I-profilet............................. 62 I.24 Moment- og forskydningskurvene i bjælken.................... 64 I.25 I-profilets tilnærmede størrelse........................... 65 I.26 Spændninger i I-profilet............................... 65 I.27 Tværsnit med forskellige niveauer af flydning................... 66 I.28 De plastiske kraftkurver............................... 66 I.29 Tværsnit med fuldt udviklet flydning........................ 67 I.30 Broens tværsnit over en understøtning og de kræfter der påvirker den....... 68 I.31 Løsskæring af punkt F................................ 69 I.32 Profilets rektangulere tværsnit............................ 71 I.33 Beskrivelse af brosektionerne............................ 75 I.34 Det statiske system................................. 76 I.35 Blokforskydningsevne................................ 77 I.36 Påsvejset plade og samling ved vindafstivning................... 78 I.37 Bolthullernes placering............................... 79 I.38 3D billede af samling................................ 80 I.39 Stangkræfter i samlingen.............................. 80 I.40 Vandretforskydning i bolten............................. 81 I.41 Lodretforskydning i bolten............................. 82 I.42 Længder på samlepladen.............................. 82 I.43 Placering af huller.................................. 83 I.44 Længder til blokforskydning............................ 84 I.45 Længder til blokforskydning............................ 84 I.46 Tværsnit ved en understøtning............................ 85 I.47 Simpel model af de deformerende stænger..................... 85 I.48 Løsskæring af knudepunkt A............................ 85 I.49 Simpelt model med den påførte fiktive kraft.................... 86 I.50 Deformationerne i gittertoppen........................... 87 J.1 Tværsnit af Mastrup bæk.............................. 89 J.2 Hastighedsprofiler i tværsnit............................. 91 J.3 Trapezdiagram over nedstik 4............................ 92
FIGURER vii J.4 Arealhastigheden som funktion af bredden..................... 94 K.1 Tilnærmet tværprofil af Mastrup bækdal...................... 97 K.2 Tværsnit af grøft................................... 100 K.3 Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.1......................... 102 K.4 Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.1......................... 109 K.5 Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.2......................... 110 K.6 Tilnærmet tværprofil af Mastrup bækdal...................... 111 K.7 Eksempel på et klassisk regnvandsbassin...................... 111
viii FIGURER
Tabeller G.1 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for etsporet rundkørsel.................................. 26 G.2 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for etsporet rundkørsel med sidespor fra Nibevej til Hobrovej syd............ 27 G.3 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for tosporede tilfarter på Nibevej............................. 27 G.4 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for tosporede tilfarter på Hobrovej............................ 27 G.5 Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for fire to-sporede tilfarter.................................. 27 H.1 Forhold mellem længderne a og b.......................... 30 H.2 Forhold mellem længderne c og b.......................... 32 H.3 Længderne a, b og c................................. 32 H.4 Reaktionerne til forslag 2.............................. 36 H.5 Stangkræfterne til forslag 2............................. 39 I.1 Maksimal moment og forskydningskræfter..................... 43 I.2 Snitkræfter i indspændt bjælke på 401 2 3mm..................... 49 I.3 Snitkræfter ved indspænding............................ 53 I.4 Volumen og højden af de forskellige broplader................... 54 I.5 Kræfterne som påvirker det statiske system..................... 55 I.6 Udregninger ved brudgrænse............................ 57 I.7 Resultater af von Mises brudhypotese........................ 60 I.8 Undersøgelse af nedbøjning............................. 61 I.9 Værdier for IPE 360................................. 62 I.10 Værdier for INP 425................................. 63 I.11 Spændinger i bjælken og resultatet af von Mises brudhypotese........... 65 I.12 Stangkraft og radius ved de to lasttilfælde..................... 70 I.13 Dimensionerne på de dimensionsgivende trykstænger............... 73 I.14 Dimensionerne på de dimensionsgivende trækstænger............... 74 I.15 Volumen og vægt af sektion 1............................ 74 I.16 Volumen og vægt af sektion 2............................ 74 I.17 Volumen og vægt af sektion 3............................ 75 I.18 Volumen og vægt af sektion 4............................ 75
x TABELLER I.19 De Fastsatte dimensioner.............................. 76 J.1 Måleresultater.................................... 90 J.2 Arealhastigheden.................................. 93 K.1 Afløbskoefficienten................................. 98 K.2 Landsregnrækker.................................. 99 K.3 Rør 1......................................... 110 K.4 Rør 2......................................... 112 K.5 Rør 3......................................... 113 K.6 Rør 4......................................... 114 K.7 Beregnede rørdiametre................................ 114
Bilag A Trafikberegning A.1 Fremskrivning til år 2027 I det følgende er trafikken, på strækningerne rundt om Nibevej fremskrevet til år 2027. Nibevej mellem E45 og Vesterprimærvej. ÅDT = 5000 i år 2002 Vesterprimærvej. ÅDT = 2000 i år 2002 T = 5000 (1 + 0,028) 25 T = 9972kjt 10000kjt (A.1) T = 2000 (1 + 0,028) 25 Hobrovej i den sydlige del af Støvring. ÅDT = 6200 i år 2002 T = 3989kjt 4000kjt (A.2) = 6200 (1 + 0,028) 25 T = 12366kjt (A.3) Hobrovej i den sydlige del af Støvring, efter omlægning. ÅDT = 4200 i år 2002 Buderupholmvej i år 2002. ÅDT = 2000 T = 4200 (1 + 0,028) 25 T = 8377kjt (A.4) T = 2000 (1 + 0,028) 25 T = 3989kjt (A.5) 1
2 Bilag A: Trafikberegning Hobrovej syd for Nibevej og Buderupholmvej i år 2002. ÅDT = 3000 T = 3000 (1 + 0,028) 25 T = 5983kjt (A.6)
Bilag B Belægningsdimensionering Fremgangsmåden hvorpå lagtykkelserne er bestemt er: 1. Skæringspunktet mellem den fundne Æ 10 -belastning og underbundens elasticitetsmodul findes. 2. Der trækkes en linie lodret til skæring med bundsikringslagets elasticitetsmodul, hvor den samlede ækvivalente tykkelse over underbunden aflæses til 110cm. 3. Der trækkes en linie vandret til den fundne Æ 10 -belastning skæres, hvor den ækvivalente tykkelse over grusbærelaget aflæses til 80cm. 4. Tykkelsen for bundsikringslaget findes ved at trække denne tykkelse fra tykkelsen der blev fundet under punkt 2, hvilket giver en tykkelse af bundsikringslaget på 30cm. 5. Der trækkes en linie lodret til skæring med grusbærelagets elasticitetsmodul, hvor tykkelsen 60cm aflæses. 6. Der trækkes en linie vandret til skæring med den fundne Æ 10 -belastning. Her aflæses tykkelsen 48cm. 7. Denne værdi multipliceres med 0,8 hvilket giver 38cm. Denne værdi trækkes fra de 60cm og giver en tykkelse af grusbærelaget på 22cm. 8. Der trækkes en linie lodret til skæring med asfaltlagets elasticitetsmodul, der aflæses til at være 17cm. I tabel 7.1 på side 26 er de forskellige lags tykkelser og elasticitetsmoduler E-værdier stillet op. De enkelte lags elasticitetsmoduler er fundet udfra Vejregeludkastet [Aalborg Universitet 2002]. Det skal dog nævnes at asfaltlagets elasticitetsmodul er beregnet udfra et vægtet gennemsnit, hvor asfaltlagets tykkelse er 16cm. De øverste 10cm vil have et elasticitetsmodul på 3000MPa og de nederste 6cm vil have et elasticitetsmodul på 5000MPa. Dette giver asfaltlaget et elasticitetsmodul på [Aalborg Universitet 2002]: Kontaktfladens radius E AB = 10 16 3000MPa + 6 5000MPa = 3750MPa (B.1) 16 For at finde de ækvivalente lagtykkelser, skal radius for kontaktfladen, mellem det dimensionerende hjultryk og vejoverfladen, kendes. 3
4 Bilag B: Belægningsdimensionering For at finde denne radius benyttes følgende udtryk. Hvor: P = σ o π a 2 (B.2) P er det dimensionsgivende hjultryk, fastsat til 70kN, svarende til 11,5tons akseltryk + stødtillæg. σ o er kontakttrykket, fastsat til 0,9MPa. a er radius af kontaktfladen. For at beregne radius af kontaktfladen, omskrives formel B.2 til: Hvilket giver en radius på: B.1 Ækvivalente lagtykkelser P a = σ o π 70 10 a = 3 0,9 10 6 π = 157mm De ækvivalente lagtykkelser er et udtryk for, hvor tykt et enkelt lag skal være for at have samme bæreevne som laget/lagene over det pågældende lag. De ækvivalente lagtykkelser beregnes udfra forskellige formler. Disse formler og beregningerne af dem er foretages herunder. Den ækvivalente højde af grusbærelaget beregnes. Hvor f 1 er: Hvilket giver en f 1 -værdi på: h e,2 = f 1 h 1 3 E1 E2 f 1 = 0,99 0,07 h1 a (B.3) f 1 = 0,99 0,07 170 157 = 0,914 Denne værdi sættes ind i formel B.3, hvilket giver en ækvivalent højde af grusbærelaget: 3750 h e,2 = 0,914 3 300 = 361mm Den ækvivalente højde af bundsikringslaget beregnes: Hvor f 2 er: ( h e,3 = f 2 [h 1 3 E1 ) + h 2 ] 3 E 2 f 2 = 1.04 0,176 log ( E2 E 3 E2 ) E 3 (B.4)
Afsnit B.1: Ækvivalente lagtykkelser 5 Hvilket giver en f 2 -værdi på: f 2 = 1.04 0,176 log ( ) 300 = 0,973 125 Denne f 2 -værdi sættes ind i formel B.4, hvilket giver en ækvivalent tykkelse af bundsikringslaget på: [ ( )] 3 3750 300 h e,3 = 0,973 170 300 + 220 3 125 = 801mm Den ækvivalente højde af underbunden beregnes: [( ) ] E1 E2 E3 h e,4 = f 3 h 1 3 + h 2 3 + h 3 3 E 2 E 3 E 4 (B.5) Hvor f 3 er: f 3 = 0,96 0,176 log ( E3 E 4 ) Hvilket giver en f 3 -værdi på: f 3 = 0,96 0,176 log ( ) 125 = 0,873 40 Denne f 3 -værdi sættes ind i formel B.5, hvilket giver en ækvivalent tykkelse af underbunden på: 3750 300 125 h e,4 = 0,873 [(170 3 300 + 220) 3 125 + 300] 3 40 = 143mm De aktuelle normaltrykspændinger, der optræder i oversiden af de ubundne lag, er beregnet ud fra formel B.6: ( ) 1 σ h = σ o 1 [1 + ( a h )2 ] 2 5 Dette giver følgende spændinger i de ækvivalente lag. σ 2 = 0,9 σ 3 = 0,9 σ 4 = 0,9 ( ( ( 1 1 1 1 [1 + ( 157 361 )2 ] 5 2 1 [1 + ( 157 801 )2 ] 5 2 1 [1 + ( 157 1433 )2 ] 5 2 ) ) ) (B.6) = 0, 317MPa (B.7) = 0, 081MPa (B.8) = 0, 027MPa (B.9)
6 Bilag B: Belægningsdimensionering Bøjningstræktøjningen Bøjningstræktøjningen ε a i asflastlagets underside er beregnes udfra følgende formel: ε a = h 1 (B.10) 2 R Her er (R) er krumningsradius ved asfaltlagets underside. Denne er udregnes udfra følgende udtryk: Hvor: R = E 1 a [1 + ( h ε (1 ν 2 a ) 2 ] 2 5 ) σ o [1 + (1 + 3 2 (1 ν) ) ( h ε a ) 2 ] (B.11) ν er Poissions forhold = 0,35 h ε regnes udfra følgende formel: E1 h ε = f ε h 1 3 E 2 f ε afhænger af om følgende udtryk B.13 er større eller mindre end 10: (B.12) h 1 a E1 170 E 2 157 3750 = 13,5 (B.13) 300 Da værdien fra udtrykket B.13 er større den 10, er f ε udregnet udfra følgende formel: [ (h1 ) ] 2 f ε 1,13 0,0565 ln E1 (B.14) a Formel B.14 giver en f ε -værdi på: f ε 1,13 0,0565 ln [ (170 157 E 2 ) ] 2 3570 0, 988 300 (B.15) Denne f ε -værdi sættes ind i formel B.12, hvilken giver en h ε -værdi på: 3750 h ε = 0,98755 170 3 = 386mm (B.16) 300 Den fundne værdi af h ε sættes ind i formel B.11 og krumningsradius findes. R = 3750 157 (1 0,35 2 ) 0,9 [1 + ( 386 157 )2 ] 2 5 3 [1 + (1 + 2 (1 0,35) ) ( 386 157 )2 ] = 775,16m Udfra den fundne krumningsradius findes bøjningstræktøjningen i asfaltlagets underside udfra formel B.10. ε a = 0,170 2 775,16 = 110 10 6 (B.17) De tilladelige lodrette normaltrykspændinger, på et ubunden bærelags overside, må ikke overskride følgende værdi: ( ) E 1,16 ( NÆ10 σ till = 0,085MPa 160MPa 10 6 ) 0,263 (B.18)
Afsnit B.1: Ækvivalente lagtykkelser 7 For at undersøge om tykkelsen af de tre nederste lag er tilstrækkelig, undersøges hvor store de tilladelige normaltrykspændinger er. ( ) 300 1,16 ( ) 3,5 10 6 0,263 σ till,2 = 0,085textrmMPa 160MPa 10 6 = 0,127MPa (B.19) ( ) 125 1,16 ( ) 3,5 10 6 0,263 σ till,3 = 0,085MPa 160MPa 10 6 = 0,046MPa (B.20) ( ) 40 1,16 ( ) 3,5 10 6 0,263 σ till,4 = 0,085MPa 160MPa 10 6 = 0,012MPa (B.21) For at tykkelsen af lagene er tilstrækkelig, skal de tilladelige normaltrykspændinger være større end de aktuelle normaltrykspændinger. Dette medfører at følgende udtryk skal overholdes. σ till σ h Den tilladelige bøjningstræktøjning i asfaltlaget underside er givet ved: (B.22) Dette giver en tilladelige bøjningstræktøjning på: Og her skal følgende udtryk overholdes: ( ) N 0,191 ε till = 0,000230 10 6 (B.23) ( ) 3,5 10 6 0,191 ε till = 0,000230 10 6 = 181 10 6 ε till ε a (B.24)
8 Bilag B: Belægningsdimensionering Figur B.1: Vejreglernes diagram til bestemmelse af lagtykkelser [Vejdirektoratet 2002c].
Bilag C Stopsigt og mødesigt Kilde til dette bilag er Veje og stier [Thagesen et al. 1998, s. 82-85], samt Veje og stier i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b, side 23]. Mødesigt er defineret som en addition af bremselængde og reaktionslængde. For at finde den maksimale bremselængde, skal den største hældning på vejen findes. For dette projekt er den på 10,4 0 / 00. Bremselængde L B : Hvor: L B = V 2 3,6 2 2 g (µ + s) L B = 126,7m (C.1) V er den ønskede hastighed + 20km/t, dvs 80km/t+20km/t=100km/t g er 9,81m/s 2 µ er friktionskoefficient for 80km/t = 0,3 s er den maximale hældning s=0,0104 Den reaktionstid det tager for en person fra vedkommende opdager "faren", til personen reagerer, sættes til 2 sekunder hvilket giver følgende reaktionslængde: Hvor: t R er reaktionstiden i sekunder L R = t R V 3,6 L R = 55,6m (C.2) For at finde stopsigtelængden adderes bremselængden (L B ) og reaktionslængden (L R ): S = L B + L R 137,8m + 55,6m = 182,3m (C.3) Maksimal mødesigt defineres som 2 gange stopsigt ved den ønskede hastighed (V ). Mødesigt i dette projekt: L B = V 2 3,6 2 2 g (µ + s) L R = t R V 3,6 L B = 81,1m (C.4) L R = 44,4m (C.5) 9
10 Bilag C: Stopsigt og mødesigt Mødesigtelængde: L B + L R 81,1 + 44,4 = 125,5m (C.6) S = 2 125,5m = 251m (C.7)
Bilag D Overhalingssigt I dette bilag er procenten for overhalingssigt for Nibevej før og efter omlægning udregnet. Længde (L) af Nibevej Eksisterende strækning, aflæst på kort (målestok 1 : 2325): L gammel = (26cm + 6cm + 6cm + 2,5cm) 2325 + 1000m 1941m Omlagt strækning, den tilbageblivende del af eksisterende + nyanlagt: (D.1) Ændring i længde L: L ny = 400m + 1400m 1800m L = 1800m 1941m = 141m (D.2) (D.3) D.1 Overhalingssigt i horisontalkurver Eksisterende strækning På Nibevej er der kun overhalingssigt ned til første sving, når man kommer fra E45 mod støvring. Denne længde er bestemt ved aflæsning på kort (målestok 1 : 2325): Altså bliver andelen med overhalingssigt: 28cm 2325 651m (D.4) 651 100 = 33,5% (D.5) 1941 Omlagt strækning Figur D.1: Horisontalforløb af omlagt strækning 11
12 Bilag D: Overhalingssigt Ud fra ønsket hastighed (V ø ) aflæses sigtelængden (s) i Veje og stier i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b]: Afstand til sigthindrende genstand: s = 625m (D.6) d = kørebane + kantbane + rabat d = 3,5m + 0,6m + 2,5m = 6,6m (D.7) Længder af kurver: l 1 l 2 330m 408m Minimums kurveradius (R min ) udregnes udfra nedenstående formel fra Veje og stier i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b]: R min = R min,l1 = R min,l2 = (2 s l)l d 8 (2 625 330) 330 = 5750m (D.8) 6,6 8 (2 625 408) 408 = 6506m (D.9) 6,6 8 Da den valgte R er 1500m er det ikke muligt at overhale i kurverne. D.2 Overhalingssigt i vertikalkurver Eksisterende strækning Da der kun kan overhales på de første 34%, af den eksisterende strækning, er det kun denne del der vil blive vurderet. 500m fra Vester Primærvej er der en konvekskurve på Nibevej, hvilket forringer sigtforholdende så det er usikkert at overhale. På grund af dette skal der trækkes yderligere 10% fra overhalingssigt på strækingen. Dette resulterer i at den samlede andel med overhalingssigt bliver 24%. Dermed bliver korrektionsfaktoren til udregningen af kapaciteten bestemt efter 20% [Aalborg Universitet 2002, s. 4.23]. Omlagt strækning Figur D.2: Vertikalforløb af omlagt strækning.
Afsnit D.2: Overhalingssigt i vertikalkurver 13 Det er kun konvekskurven som skal undersøges for overhalingssigt, da der er fuld overhalingssigt på konkav- og ligeudstrækninger. Strækning med konvekskurve er lig med 418m. Strækning med konkav kurve og ligeud strækning er lig med 1358m. Ud fra formel D.10 fra Veje og stier i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b] regnes R min. R min = R min = s 2 2( h 1 + h 2 ) 2 (625m) 2 2( 1m + = 48828m (D.10) 1m) 2 Radius på den omlagte strækning er sat til 15000, dette overholder ikke R min. Det betyder at der ikke kan overhales på disse dele af strækningen. Nu sammenlægges horisontal og vertikal, for at finde andelen med overhalingssigt, og der afmærkes hvor der må og ikke må overhales, se figur D.3. Figur D.3: Overhaling Andelen med overhalingssigt bliver da: 755 1800 100 = 42% (D.11) Men da strækningerne med konvekskurver ikke er lige så lange som sigtlængden vurderes det, at det er ca. 45% af strækningen der overholder kravene til overhalingssigt. Dermed bliver korrektionsfaktoren til udregningen af kapaciteten bestemt efter 40% [Aalborg Universitet 2002, tabel 3.6].
14 Bilag D: Overhalingssigt
Bilag E Beregning af mindste horisontale og vertikale radius Kilde til disse beregninger er Veje og stier i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Vejdirektoratet - Vejreglerådet 1999b, s. 23 og 51-52]. E.1 Beregning af mindste horisontale radius Den mindste horisontale radius for stopsigt er givet ud fra følgende formel: Hvor: S er stopsigtelængden. R min = S2 8 d R min = 856,5m (E.1) d sættes lig afstanden fra yderste rabatkant til midten af kørespor for at regne på den sikre side, da grøfter og trug også kan regnes med. I dette projekt 4,85m. Bestemmelse af den mindste horisontale radius for mødesigt: Hvor: s er mødesigtlængden. R min = s2 8 d R min = 1193,2m (E.2) d sættes lig afstanden fra yderste rabatkant til midten af kørespor for at regne på den sikre side, da grøfter og trug også kan regnes med. I dette projekt 6,60m. I dette projekt er horisontal radius sat til 1500m, da der også skal være mulighed for overhaling. E.2 Beregning af mindste vertikale radius Som håndregel er mindste vertikale radius sat til 10 gange horisontal radius. Således beregnes (R min ) for konvekse vertikalkurver: Hvor: R min = 2 V 2 R min = 12800m (E.3) 15
16 Bilag E: Beregning af mindste horisontale og vertikale radius V er den ønskede hastighed her 80km/t. (R min ) i konkave vertikalkurver bestemmes som følger: Hvor: R min = V α R min = 80 0, 0104 R min = 7,69m (E.4) α er stigningsændringen I dette projekt vælges dog at bruge mindst 10 gange horisontal radius til bestemmelse af den vertikale radius både for konkave og konvekse kurver. 10 1500 = 15000m (E.5)
Bilag F Bestemmelse af klotoideparameter Kilde til bestemmelse af klotoideparameter er Veje og stier i åbent land, Hæfte 2 Tracering [Thagesen et al. 1998, s. 124-133] Til bestemmelse af klotoideparameteren anbefales det at klotoidevinklen(τ) skal være 3 grader, Da det medfører en høj kørselskomfort. Dette giver længden: Hvor: sin(τ) = L er overgangskurvens længde L 2 R R er cirklens radius, i dette projekt R=1500m Dette giver følgende klotoideparameter (A): F.1 Kriterier L = sin(τ) 2 R L 157m (F.1) A = L R A = 485,3m (F.2) For at bestemme om klotoiderne overholder funktionskravene for etablering af overhøjde i kurver og kørselsdynamik skal følgende overholdes: For overhøjde: Overhøjde b i L h 8,2 0,025 157 0,006 0,205 0,945 (F.3) Hvor: b er vejens bredde b = 8,2m i = 0,5 v2 R g i = 0,017, hvis mindre end 25 vælges 25 med hensyn til afvanding V er den ønskede hastighed i meter pr sekund V =22,2 m/s g er 9,81m/s 2 h er den maksimale forskel længdegradienten mellem højre og venstre side af vejen h = 6 Rykket ( ) d V 2 R Rykket = < 0,5 m dt s 3 A 2 V 3 = 2 22,2 150 485 (F.4) Rykket skal holdes lavere end klotoideparameteren af hensyn til kørselskomforten. 17
18 Bilag F: Bestemmelse af klotoideparameter F.2 Indgangsdata F.2.1 Inddatafil 90 nadb-2101 TM aau 02 Beregning 23/10-2002\\ 91 Test med beregning\\ 92 Ny Nibevej\\ 93 forslag til sydlig forlægning\\ 01 - +1 0\\ 02 1\\ 02-272076.968-271977.644 244004.180 243787.891 - - - - 3 3\\ 02 2-1500 485.3\\ 02 3 1500 1500\\ 02-271845.894-243560.265 - - - - - 3\\ 02 4 1500-485.3\\ 02 5 - -1500 485.3\\ 02 6-1500 -1500 - - 3\\ 02-271567.025-243194.529 - - - - - 1\\ 02 7-1500 - 485.3\\ 02 8\\ 02-271411.978-271371.059 242913.261 242810.296 - - - - 3 3\\ 99\\ 90 nadb-slut F.2.2 Uddata HOVEDPUNKTER INNGANGSDATA PROSJ.NR. BER.NR. KOSTN.STED BEST.DATO BER.DATO aau 02 Beregning 23/10-2002 26/11-2002 KJEDINGSGRUNNLAG BEG.PKT. RETNING PR.NR. 0. 1..000 EL. R-BEG. PARAM. I X Y L-BEG. S-BEG. I NR. R-SLUTT LENGDE L-SLUTT S-SLUTT I 1.000.000 0-272076.968 244004.180.000.000 3.000.000-271977.644 243787.891.000.000 3 2.000 485.300 0 1500.000.000 3 1500.000.000 0-271845.894 243560.265.000.000 3 1500.000.000.000.000.000.000 0 4 1500.000 485.300 0.000.000
Afsnit F.2: Indgangsdata 19 5.000 485.300 0-1500.000.000 6-1500.000.000 3-271567.025 243194.529.000.000 1-1500.000.000.000.000.000.000 0 7-1500.000 485.300 0.000.000 8.000.000 0-271411.978 242913.261.000.000 3.000.000-271371.059 242810.296.000.000 3 L I N J E B E R E G N I N G SIDE STATENS VEGVESEN H O V E D P U N K T E R 1 R E S U L T A T PROGRAM NADB-2101 Test med beregning Ny Nibevej forslag til sydlig forlægning PROSJ.NR. BER.NR. KOSTN.STED BEST.DATO BER.DATO aau 02 Beregning 23/10-2002 26/11-2002 EL. BEG.-PR.NR. R-BEG. PARAM. KOORDINATER B-RETN NR. LENGDE R-SLUTT X Y S-RETN 1.000 - - B-272076.968 244004.180 327.406 153.808 - S-272012.781 243864.405 327.406 2 153.808-485.300 B-272012.781 243864.405 327.406 157.011 1500.000 S-271944.786 243722.902 330.738 V-271969.092 243769.268 3 310.819 1500.000 - B-271944.786 243722.902 330.738 249.107 1500.000 S-271811.382 243512.866 341.310 V-271886.824 243612.333 C-270616.260 244419.334 4 559.926 1500.000 485.300 B-271811.382 243512.866 341.310 157.011 - S-271712.204 243391.169 344.642 V-271779.746 243471.156 5 716.937-485.300 B-271712.204 243391.169 344.642 157.011-1500.000 S-271613.026 243269.472 341.310 V-271644.662 243311.183 6 873.948-1500.000 - B-271613.026 243269.472 341.310 327.445-1500.000 S-271445.078 242989.136 327.413
20 Bilag F: Bestemmelse af klotoideparameter F.2.3 V-271513.692 243138.507 C-272808.148 242363.004 7 1201.392-1500.000 485.300 B-271445.078 242989.136 327.413 157.011 - S-271384.563 242844.277 324.081 V-271423.226 242941.565 8 1358.403 - - B-271384.563 242844.277 324.081 36.566 - S-271371.059 242810.296 324.081 1394.969 Tittabel 10 1.000.000.000.000.000.000\\ 10244004.180 272076.968 243864.405 272012.781 153.808.000\\ 10 2.000 153.808.000 1500.000 485.300.000\\ 10243864.405 272012.781 243722.902 271944.786 310.819.000\\ 10 3.000 310.819 1500.000 1500.000.000.000\\ 10243722.902 271944.786 243512.866 271811.382 559.926.000\\ 10 4.000 559.926 1500.000.000 485.300.000\\ 10243512.866 271811.382 243391.169 271712.204 716.937.000\\ 10 5.000 716.937.000-1500.000 485.300.000\\ 10243391.169 271712.204 243269.472 271613.026 873.948.000\\ 10 6.000 873.948-1500.000-1500.000.000.000\\ 10243269.472 271613.026 242989.136 271445.078 1201.392.000\\ 10 7.000 1201.392-1500.000.000 485.300.000\\ 10242989.136 271445.078 242844.277 271384.563 1358.403.000\\ 10 8.000 1358.403.000.000.000.000\\ 10242844.277 271384.563 242810.296 271371.059 1394.969.000\\
Afsnit F.2: Indgangsdata 21 Figur F.1: Skema til indgangsdata
22 Bilag F: Bestemmelse af klotoideparameter
Bilag G Rundkørsel G.1 Trafikfordeling Figur G.1: De tolv mulige trafikstrømme i en rundkørsel [Vejdirektoratet 1997a, s. 17]. 23
24 Bilag G: Rundkørsel Figur G.2: Trafik prognosen for år 2027. Figur G.3: Trafikkens fordeling ved de to spidstimetilfælde.
Afsnit G.2: Kapacitetsberegninger 25 G.2 Kapacitetsberegninger Et Matlab regneark der blev brugt til at bekræfte DanKaps beregninger: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Nmax for en tilfart % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N = 383 % Den indkørende trafik gennem tilfarten PE/h H = 803 % Cirkulær Fodgænger-, cykel- og biltrafik der % passerer tilfarten i PE/time Lb = 0.2; % Andelen af tunge køretøjer i tilfarten % (f.eks. 10% = 0,10 ) Lpe = 1.75; tau = 4.5; delta = 2.8; % Antal personbilenheder pr. tungt køretøj % (f.eks. 2 PE pr. tungt køretøj) % Det kritiske interval i sek. % Passagetiden i sek % Bemærk at hvis du har en to-sporet tilfart, så er du nødt til at regne % for hvert enkelt spor. Du kunne måske bruge værdierne for tau og delta % fra det vejregelforberedende udkast, som er en del af % KAFKA-projektet [Vejdirektoratet 2002, s.7]. % tau = 4.0 og delta = 2.6. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % En faktor til at omregne trafikmængden fra PE/h til køretøjer/h % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% of = 1/(1+Lb*(Lpe-1)); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Den maksimale trafikmængde, der kan køre ind i rundkørslen % % igennem en tilfart % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nmax = H*(exp(-((H*tau)/3600))/(1-exp(-((H*delta)/3600)))) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Den gennemsnitlige ventetid % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Middelforsinkelse = 3600/(of*(Nmax-N))
26 Bilag G: Rundkørsel %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Belastnings grad % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Belastningsgrad = N/Nmax %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % En undersøgelse af om tilfarten har tilstrækkelig kapacitet % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if N < Nmax Tilfarten har tilstrækkelig kapacitet elseif N > Nmax Tilfarten har ikke tilstrækkelig kapacitet else error( Der er en fejl i de indsatte værdier ) end G.3 Kapacitet og serviceniveau Der er opstillet to spidstimetilfælder, her sat lig 30. største time I 30 : 1. Hvor 1/3 af trafikken på Hobrovej nord for krydset kører mod krydset. 2. Hvor 2/3 af trafikken på Nibevej og Hobrovej nord kører mod krydset. Der blev derefter foretaget et skøn over hvordan trafikken ville fordele sig på de tolv kørselsretninger, der findes i rundkørselen, bilag G.1. Trafikfordelingen ved de to spidstimetilfælde blev undersøgt ved hjælp af DanKap. Dette blev gjort for fire forskellige udformninger: en et-sporet rundkørsel, tabel G.1 en et-sporet rundkørsel med sidespor fra Nibevej til Hobrovej syd, tabel G.2 en to-sporet rundkørsel med to-sporet tilfart fra Nibevej, tabel G.3 en to-sporet rundkørsel med to-sporede tilfarter fra Hobrovej, tabel G.4 en to-sporet rundkørsel med fire to-sporede tilfarter, tabel G.5 Tilfælde 1 Tilfælde 2 Tilfartsspor B t n 5% N H B t n 5% N H s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t Nibevej 0,39 7 2 403 145 1,06 169 41 802 483 Hobrovej Syd 0,69 14 6 627 396 0,24 8 1 156 650 Buderupholmvej 0,70 23 6 404 910 0,14 6 1 115 400 Hobrovej Nord 0,59 13 3 383 587 0,65 10 5 735 151 Tabel G.1: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for en et-sporet rundkørsel.
Afsnit G.3: Kapacitet og serviceniveau 27 Tilfælde 1 Tilfælde 2 Tilfartsspor B t n 5% N H B t n 5% N H s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t Nibevej 0,35 6 1 354 145 0,67 16 6 512 483 Hobrovej Syd 0,69 14 6 627 396 0,24 8 1 156 650 Buderupholmvej 0,70 23 6 404 910 0,14 6 1 115 400 Hobrovej Nord 0,59 13 3 383 587 0,65 10 5 735 151 Tabel G.2: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for en et-sporet rundkørsel med sidespor fra Nibevej til Hobrovej syd. Tilfælde 1 Tilfælde 2 Tilfartsspor B t n 5% N H B t n 5% N H s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t Nibevej H 0,24 5 1 268,7 145 0,61 12 4 534,7 483 Nibevej V 0,12 4 1 134,3 145 0,32 7 1 267,3 483 Hobrovej Syd 0,69 14 6 627 396 0,24 8 1 156 650 Buderupholmvej 0,70 23 6 404 910 0,14 6 1 115 400 Hobrovej Nord 0,59 13 3 383 587 0,65 10 5 735 151 Tabel G.3: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for to-sporede tilfarter på Nibevej. Tilfælde 1 Tilfælde 2 Tilfartsspor B t n 5% N H B t n 5% N H s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t Nibevej 0,39 7 2 403 145 1,06 169 41 802 483 Hobrovej Syd H 0,40 7 1 418 396 0,14 6 1 104 650 Hobrovej Syd V 0,21 5 1 209 396 0,07 6 1 52 650 Buderupholmvej 0,70 23 6 404 910 0,14 6 1 115 400 Hobrovej Nord H 0,32 8 1 255,3 587 0,39 5 1 490 151 Hobrovej Nord V 0,16 6 1 127,7 587 0,20 4 1 245 151 Tabel G.4: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for en to-sporet rundkørsel med to-sporede tilfarter på Hobrovej. Tilfælde 1 Tilfælde 2 Tilfartsspor B t n 5% N H B t n 5% N H s/kt kt PE/t PE/t s/kt kt PE/t PE/t Nibevej H 0,24 5 1 268,7 145 0,61 12 4 534,7 483 Nibevej V 0,12 4 1 134,3 145 0,32 7 1 267,3 483 Hobrovej Syd H 0,40 7 1 418 396 0,14 6 1 104 650 Hobrovej Syd V 0,21 5 1 209 396 0,07 6 1 52 650 Buderupholmvej V 0,39 10 1 269,3 910 0,08 5 1 76,7 400 Buderupholmvej H 0,20 7 1 134,7 910 0,04 5 1 38,3 400 Hobrovej Nord H 0,32 8 1 255,3 587 0,39 5 1 490 151 Hobrovej Nord V 0,16 6 1 127,7 587 0,20 4 1 245 151 Tabel G.5: Belastningsgrad, middelforsinkelse, kølængde, sekundær- og primærstrøm for en to-sporet rundkørsel med fire to-sporede tilfarter.
28 Bilag G: Rundkørsel
Bilag H Skitseprojekt I dette kapitel beregnes de skitseprojekter, som står beskrevet i hovedrapporten. I de følgende afsnit er reaktionerne navngivet efter, i hvilken understøtning de forekommer, i og om de er vandrette eller lodrette. F.eks. er R AL en lodret reaktion i punkt A. De lodrette reaktioner defineres positivt opad, og de vandrette positivt til højre. H.1 Skitseprojekt 1 Det ønskes at optimere momentkurven på konstruktionen med en jævn fordelt last (q). Dette gøres ved hjælp af charnierenes placering i konstruktionen, se figur H.1. Ved optimeringen ønskes at Figur H.1: Skitseprojekt 1. optimere længden (a) og (c) ved længden (b), så der bliver lige så meget positiv og negativ moment. For at optimere længden (a) friskæres en del af broen, se figur H.2. Figur H.2: Friskæring af broen. Kraften (P) er den forskydningskraft som overføres i charnieret. Kraften er halvdelen af den 29
30 Bilag H: Skitseprojekt last, der er på det frie stykke (b-2 a) mellem to charniere. P = q (b 2 a) 2 (H.1) De vandrette reaktioner beregnes ved moment omkring de to charniere under den vandrette broplade. Moment omkring charniere nr. 9 + : R EV d = 0 R EV = R FV = 0 (H.2) På grund af broens symmetri er den lodrette reaktion i henholdsvis E og F lige store, og disse bestemmes ved lodret projektion + : 2 q (b 2 a) 2 q (b + 2 a) + 2R EL = 0 R EL = R FL = q a (H.3) Nu er alle kræfter og reaktioner udtrykt ved længderne (a) og (b), og udfra dette beregnes momentsnitkræfterne ved at tage moment i forskellige snit. Moment i snit 1 + for 0 x a: M(x) + q x2 2 Moment i snit 2 + for a x b: M(x) = q x2 2 q (b 2 a) + 2 q (b 2 a) 2 x = 0 x (H.4) q (b 2 a) M(x) + x + q x2 q b(x a) = 0 2 2 q (b 2 a) M(x) = x q x2 + q b(x a) (H.5) 2 2 Der fastsættes en længde af b og derefter gættes der på længder af a indtil det maximale negative moment i formel H.4, ved x = a, har samme numeriske størrelse som det maximale positive moment i formel H.5, ved x = a + b 2. Resultatet ses i tabel H.1. b b a a 40 5,86 6,83 50 7,32 6,83 60 8,79 6,83 Det resulterer i et forhold mellem a og b: Tabel H.1: Forhold mellem længderne a og b b = 6,83 a (H.6) Nu er længden a optimeret ved b, men det ønskes også at optimere c ved b. Dette gøres ved at friskære den ene ende af broen, se figur H.3.
Afsnit H.1: Skitseprojekt 1 31 Figur H.3: En friskæring af broen i enden. Der er den samme P-kraft som før og ud fra dette bestemmes reaktionerne. I disse ligninger bruges forholdet mellem a og b som blev fundet tidligere. R AL bestemmes ved moment om A + : ( q 2 c + 1 ) 2 6,8284 b + q (b 2 6,8284 b) ( c + 1 ) 2 6,8284 b R BL c = 0 ( ) 2 ( ) q c + 1 6,8284 b 0,5 + q 0,3536 b c + 1 6,8284 b R BL = (H.7) c Vandret projektion : + ( q c + 1 ) 6,8284 b + q (b 2 6,8284 b) R BL R AL = 0 2 ( R AL = q c + 1 ) 6,8284 b + q 0,3536 b R BL (H.8) Da alle reaktioner og kræfter er udtrykt ved b og c bestemmes, ligningerne for momentkurverne. Moment om snit 1 + for 0 x c. Moment om snit 2 + for c x c + a. M(x) R AL x + q x2 2 = 0 M(x) = R AL x q x2 2 (H.9) M(x) R AL x + q x2 2 = 0 M(x) = R AL x + R BL (x c) q x2 2 (H.10) Der fastsættes igen en værdi for b og formel H.9 og H.10 er nu begge afhængig af længden c. Til bestemmelse af forholdet mellem c og b findes minimumsværdien for formel H.9. For at finde formel H.9 s minimumsværdi afledes formlen og sættes lig med 0, se formel H.11. Dette giver den x-værdi hvor formlen har sit minimumspunkt. dm(x) dx = R AL q x = 0 x = R AL q (H.11)
32 Bilag H: Skitseprojekt Nu gættes der på en c-værdi til formel H.10 s maksimale værdi. Ved x = c, er den samme som formel H.9s minimumsværdi, ved x = R AL q. Disse resultater og forholdet mellem disse ses i tabel H.2. b b c c 40 34,14 1,17 50 42,68 1,17 60 51,21 1,17 Tabel H.2: Forhold mellem længderne c og b. Dette giver et forhold mellem c og b: b = 1,17 c (H.12) Da længderne på figur H.1 er optimeret og nu optegnes den rigtige statiske model. Der regnes reaktioner, snitkræfter og tegnes snitkræftkurver. Længden på broen er 260m og den har 6 søjleunderstøtninger og yderligere 2 understøtninger i enderne, b bliver da: 260m = 2 b 1,1716 + 5 b b = 38,764m (H.13) Længderne a, b og c er vist i tabel H.3: a b c 5,677 m 38,764 m 33,087 m Tabel H.3: Længderne a, b og c. Reaktionerne beregnes hvor alle afstande og kræfter kendes. Der tages udgangspunkt i figur H.1 med hensyn til symbolsk beskrivelse. Der laves moment omkring charniere 1 for at vise, hvilke vandrette reaktioner der går ud. Moment om charniere 1 +, af den del der er under brobjælken: R BV 22m = 0 R BV = 0 (H.14) Ud fra formel H.14 konkluderes det at reaktionerne R CV, R DV, R EV, R FV og R GV er lig 0. Ved at lave moment om charniererne 1, 4, 5, 8, 9 og 12. R AV kan bestemmes ud fra vandret projektion + : R AV 10kN = 0 R AV = 10kN (H.15) Moment omkring charniere 2 + på venstre side: (c + a)2 R AL (c + a) R BL a + q = 0 2 R AL = 0,146 R BL + 193,82kN (H.16)
Afsnit H.2: Skitseprojekt 2 33 Moment omkring charniere 3 + på venstre side. Resultatet fra H.16 bruges til udregningerne: 0 = (c + b a)2 R AL (c + b a) R BL (b a) + q 2 R BL = 387,65kN (H.17) R AL = 137,05kN (H.18) Grundet symmetri konkluderes følgende: R BL = R CL = R DL = R EL = R FL = R GL (H.19) R AL = R HL (H.20) For at vise snitkræftene beregnes den i de 3 snit, der ses på figur H.5. Moment om snit 1 + for 0 x 33,087: M(x) + q x2 2 R AL x = 0 M(x) = 5 kn m x2 + 137,05kN x (H.21) Moment om snit 2 + for 33,087m x 38,764m: M(x) + q x2 2 R AL x R BL (x 33,087) = 0 M(x) = 5 kn m x2 + 524,7kN x 12826,18kNm (H.22) Moment om snit 3 + for 38,764m x 66,175m: M(x) + q x2 2 R AL x R BL (x 33,087) = 0 M(x) = 5 kn m x2 + 524,7kN x 12826,18kNm (H.23) Kurverne for de 3 snit optegnes på figur H.4, og viser fra understøtningen til charniere nr. 3. Figur H.4: Momentkurven for snit 1, 2 og 3. Snitkræftkurverne optegnes nu for hele konstruktionen og disse ses på figur H.5.
34 Bilag H: Skitseprojekt Figur H.5: Momentkurven for skitseprojekt 1 Figur H.6: Forslag 2. H.2 Skitseprojekt 2 Der blev foreslået flere forskelige udformninger til dalbroen. Et af disse ses på figur H.6. I dette bilag bestemmes stangkræfter og reaktioner af denne. Skitseprojekt 2 er en gitterkonstruktion med en charnier i midten af hvert af de tre fag. For at illustrere broens statiske system, og dermed de kræfter der påvirker broen blev opstilles der en simpel statisk model, se figur H.7. Figur H.7: En simpelt statisk model af skitseprojekt 2. I det følgende regnes der kun på gitterdragerne, dvs. der ikke tages hensyn til de kræfter der forekommer i understøtningerne. Reaktioner Broen har seks ukendte reaktioner, og der kan opstilles seks ligninger til at bestemme reaktionerne, dvs. den er statisk bestemt. I det følgende er flade lasten (q), 10kN/m og L er længden mellem understøtninger, 260/3m. Først regnes der moment om 1, venstre side + : R AL L ( 2 q L 1 ) 2 1 2 2 = 0 R AL = R DL = 216 2 3 kn (H.24) Moment om C + :
Afsnit H.2: Skitseprojekt 2 35 R DL L 10kN 11m q L 2 1 2 q (2 L)2 1 2 +R BL L + R AL 2 L = 0 Moment om B + : R BL = 1084,60kN (H.25) Moment om 2 + R AL L R CL L R DL 2 L 10kN 11m q L 2 1 2 + q (2 L)2 1 2 = 0 højre side: R CL = 1082,06kN (H.26) ( ) 3 2 q 2 L 1 2 R CV 11m R DL 3 2 L R CL 1 2 L = 0 Moment om 1 + højre side: R CV = 858,5kN (H.27) ( ) 2 2 q 3 L 1 2 R BL 1 2 L R CL 5 2 L R DL 5 2 L 11m(R BV + R CV ) = 0 R BV = 848,5kN (H.28) Dermed kendes alle reaktionerne. Disse kontrolleres ved at beregne lodret og vandret projektion: Lodret + : R AL + R BL + R CL + R DL = q 3 L Vandret : + R BV + R CV = 10 Resultaterne fra de foregående formler samles i tabel H.4. (H.29) (H.30) Stangkræfter De eneste kræfter, der er i stængerne i en gitterkonstruktion som denne, er normalkræfter. Disse bestemmes vha. Ritters snitmetode. Dvs. ved at lave et fiktivt snit i konstruktionen og beregne moment om et vilkårligt punkt i planet. Punktet vælges mht. at isolere de enkelte snitkræfter. Det vælges at tage fem fiktive snit, se figur H.8, da det vurderes at de fem er beskrivende for de stangkræfter der forekommer i konstruktionen. I det følgende indføres følgende benævnelser: S 2 4 er stangkraften der går fra knudepunkt 2 til knudepunkt 4. Denne er samme størrelse som S 4 2 P er punktlasten, P = 86, 66kN
36 Bilag H: Skitseprojekt Reaktioner R AL R DL R BL R CL R CV R BV Størrelse 216,66kN 216,66kN 1084,60kN 1082,06kN 858,55kN 848,47kN Tabel H.4: Reaktionerne. Snit 1 Moment om 2 + : S 1 3 sin(77,83 ) = 0 S 1 3 = 0 (H.31) Moment om 3 + : S 2 4 8,82m + R AL L 10 P 2 L 10 = 0 S 2 4 = 170,32kN (H.32) Moment om 1 + : S 2 4 11m + S 2 3 11msin(44,7 ) = 0 S 2 3 = 242,14kN (H.33) Snit 2 Moment om 14 + : Figur H.8: Rittersnit.
Afsnit H.2: Skitseprojekt 2 37 P L n=5 10 x i P 2 6 L 10 + R AL 6 L 10 S 11 b 13 5m sin(91,56 ) i=1 ( ) L S 11b 13 10 0,05 cos(91,56 ) = 0 S 11b 13 = 430,62kN (H.34) Moment om 11 b + : S 12 14 5m P n=4 i=1 ( x i L ) 10 + 0,05m P ( 2 5 L ) 10 + 0,05m ( +R AL 5 L ) 10 + 0,05m P 0,05m 5 P = 0 S 12 14 = 2,60kN (H.35) Moment om 12 + : P L n=4 10 x i P 2 5 L 10 + R AL 5 L 10 S 11 b 13 5m sin(91,56 ) i=1 +P 0,05m cos(91,56 ) S 11b 14 5m sin(60,02 ) = 0 S 11b 14 = 496,19kN (H.36) Snit 3 Moment om 19 + : S 20 22 8,82 P L n=8 10 x i P 2 9 10 L + R AL 9 10 L = 0 i=1 S 20 22 = 1532,9kN (H.37) Moment om 22 + : S 19 21 8,82m sin(104 ) S 19 21 L 10 sin(14 ) P 2 L P L n=9 10 x i + R AL L = 0 i=1 S 19 21 = 1759,3kN (H.38) Moment om 20 + :
38 Bilag H: Skitseprojekt S 19 22 8,82m sin(45 ) S 19 21 8,82m sin(104 ) P 2 9 10 L P L n=8 10 x i + R AL L = 0 i=1 S 19 22 = 244,6kN (H.39) Snit 4 Moment om 22 + : Moment om 23 + : R BV 11m S 21 23 11m sin(104,17 ) P L n=9 10 x i P 2 L + R AL L = 0 i=1 S 21 23 = 885,48kN (H.40) S 22 24 8,82m + R BL L 10 R BV (11m 8,82m) P ( 2 L 1 + 1 ) 10 Moment om 21 + : P L n=10 10 i=1 ( x i + R AL L 1 + 1 ) = 0 10 S 22 24 = 1534,8kN (H.41) S 22 23 11m sin(45 ) + S 22 24 11m P 2 L P L n=9 10 x i + R AL L = 0 i=1 S 22 23 = 243,6kN (H.42) Snit 5 Moment om 30 + : S 29 31 5,24m sin(88,44 ) + R BL 4 L 10 R BL 11m P 2 14 L 10 P L n=13 10 i=1 x i + R AL L ( 1 + 4 ) = 0 10 S 29 31 = 73,76kN (H.43)
Afsnit H.2: Skitseprojekt 2 39 Moment om 31 + : S 30 32 5m + 5 R BL L 10 R BV 6 P 2 15 L 10 P L n=14 10 i=1 x i + R AL L ( 1 + 1 ) = 0 2 S 30 32 = 848,54kN (H.44) Moment om 29 + : S 30 32 5,23m + S 30 31 5,23m sin(60 ) R BV (11m 5,23m) +R BL 4 L 10 P 2 14 L 10 P L n=13 10 i=1 ( x i + R AL L 1 + 4 ) = 0 10 S 30 31 = 85,17kN (H.45) Kontrol af stangkræfter Der opstilles en computermodel af gitterkonstruktionen og denne beregnes vha. Trusslab. Stangkræfterne der er findes ved håndberegning kan derfor sammenlignes med de, der findes af Trusslab. Tabel H.5 illustrerer stangkræfterne og deres afvigelse fra computermodellen. Stangkræfter Håndberegninger Trusslab Afvigelse S 1 3 0kN 0kN 0% S 2 3 242,14kN 242,78kN 0,3% S 2 4 170,32kN 170,19kN 0,07% S 11b 13 430,63kN 433,32kN 0,6% S 11b 14 496,19kN 494,78kN 0,28% S 12 14 2,6kN 2,6kN 0% S 19 21 1759,3kN 1762,17kN 0,16% S 19 22 244,6kN 246,65kN 0,83% S 20 22 1532,9kN 1535,75kN 0,19% S 21 23 885,48kN 886,24kN 0,08% S 22 24 1534,8kN 1536,85kN 0,13% S 22 23 243,6kN 245,08kN 0,60% S 29 31 73,76kN 74,27kN 0,69% S 30 32 848,54kN 849,37kN 0,13% S 30 31 85,17kN 85,67kN 0,06% Gennemsnitafvigelse 0,27% Tabel H.5: Stangkræfter. Tabel H.5 fremviser klart at det er god overanstemmelse mellem håndberegningerne og Trusslabmodellen.
40 Bilag H: Skitseprojekt
Bilag I Dimensionering I.1 Bropladen For at regne på bropladen udformes der et statisk system. Det statiske system ses på figur I.1 og viser, at pladen betragtes som simpel understøttet. Pladen er boltet fast i den ene ende, så den kan optage vandrette og lodrette kræfter. Ellers er pladen kun fastspændt, så den kan optage lodrette kræfter. Kraften (P) er et akseltryk på 130kN, der virker midt på pladen, da dette er det farligste sted. Fladelasten (q) er en kombination af trafiklast (q 2 ) og belægningslast (q 1 ). Figur I.1: Brodækkets opbygning. Fladelast (q): Belægningslasten (q 1 ) er lasten fra asfalten. Hvor: q 1 = ρ l ve j b ve j t ve j g q 1 = 1,03 kn m 2 l ve j b ve j (I.1) ρ er densiteten for vejbelægningen, 1500kg/m 3 [Teknisk Forlag 1999] l ve j b ve j er længden af vejen i meter er bredden af vejen i meter t ve j er vejbelægningens tykkelse, 0,07m 41
42 Bilag I: Dimensionering g er tyngdeaccelleration 9,82m/s 2 Trafiklasten (q 2 ): Lastkombination på pladen: q 2 = 5 kn m 2 (I.2) Ved brudgrænsetilstand bruges der i dette tilfælde lastkombination B.2.1 a, kapitel 11.2, da trafiklasten er den eneste last på konstruktionen. q brud = q 2 1,3 + q 1 = 5 kn 1,3 + 1,03kN m2 m 2 = 7,53kN m 2 P Brud = P 1,3 = 130kN 1,3 = 169kN Ved anvendelsesgrænsetilstand bruges alle laster med partialkoefficient på 1. q Anv = q 2 + q 1 = 5 kn m 2 + 1,03kN m 2 = 6,03kN m 2 (I.3) (I.4) (I.5) P Anv = P = 130kN Da konstruktionen har lidt skæve mål, multipliceres lasterne, q Brud og q Anv, med 13 12m, som en dybde dimension. Når alle kræfterne er bestemt, regnes der reaktioner og snitkræfter for den statiske model på figur I.1. Vandret projektion : + R av = 0 (I.7) Lodret projektion +. På grund af symmetri er R al lige så stor som R bl. R al = R bl = P Brud + 13 12 m 1m q Brud 2 R al + R bl P Brud 13 12 m 1m q Brud = 0 = 13 kn 169kN + 12m 1m 7,53 m 2 2 R al = R bl = 177,158 2 (I.6) = 88, 58kN (I.8) Nu kan snitkræfterne bestemmes. Der foretages 2 snit, snit 1 mellem den faste understøtning (a) og kraften (P), og snit 2 på den anden side af P, se figur I.1. Moment + om snit 1: 0m x 0,5m Forskydning + i snit 1: R AL x + 13 12 m q kn x 2 Brud m 2 2 + M(x) = 0 M(x) = 88,58kN x 8,15 kn m x2 2 (I.9) V (x) = dm(x) dx (I.10) V (x) = 88,58kN + 8,15 kn m x (I.11)
Afsnit I.1: Bropladen 43 Moment + om snit 2: 0,5m x 1m R AL x + 13 12 m q kn Brud m 2 x2 2 + P BrudkN (x 0,5) + M(x) = 0 M(x) = 80,42kN x 8,15 kn m 2 x2 + 84,5kN (I.12) 2 Forskydning + i snit 2 med udgangspunkt i formel I.10: Snitkraftkurverne kan nu optegnes, se figur I.2. V (x) = 80,42kN + 8,15 kn m x (I.13) Figur I.2: Snitkræfterne. Snitkræfterne undersøges ved specielle punker i bjælken, se tabel I.1. x 0m 0,5m 1m M(x) 0kNm 43,27kNm 0kN V(x) -88,58kN -84,50kN og 84,5kN 88,57kN Tabel I.1: Maksimal moment og forskydningskræfter. Det maksimale moment og eventuel normalkræft i bjælken undersøges ud fra følgende formel fra stålkonstruktioner [Bonnerup & Jensen 2002, s. 32]: σ = N A + M I y σ = σ N + σ M σ f yd (I.14) Hvor: σ er normalspændingen i konstruktionen N er normalkraften i konstruktionen A er arealet af tværsnittet M er det maksimale moment i konstruktionen I er inertimomentet for tværsnittet y er afstanden fra massemidtpunktet til det yderste af konstruktionen f yd er den regningsmæssige flydespænding for den valgte stålkvalitet
44 Bilag I: Dimensionering Følgende formel fra stålkonstruktioner [Bonnerup & Jensen 2002, 32] bruges til at undersøge den maksimale forskydningsspænding i bjælken: τ = V S I b τ f yd 3 (I.15) Hvor: τ er forskydningsspændingen i konstruktionen V er forskydningsspændingen i konstruktionen S er det statiske moment af konstruktionen I er inertimomentet for tværsnittet b er tværsnittets bredde Spændingerne i formel I.15 og formel I.14 har følgende fordeling i et tværsnit, se figur I.3. Figur I.3: Snitkræfterne. I.1.1 Bropladen Det ønskes en højde af pladen ved et spænd over 1m og en bredde (b) på 13 12m. Først bestemmes afstand til massemidtpunktet ( ȳ), inertimomentet (I) og det statiske moment (S) for en rektangulær flade, se figur I.4. ȳ(h) = h 2 (I.16) Hvor: h højden af fladen Hvor: I(h) = b h3 12 (I.17) b bredden af fladen Figur I.4: Tværsnit. Det statiske moment for figur I.4. h ( ) 2 h 2 S(z) = b z dz = b z 8 z2 2 (I.18)
Afsnit I.1: Bropladen 45 Det statiske moment har størst værdi når z = 0, det maksimale statiske moment ses i formel I.19. Det maksimale statiske moment er en variabel af højden (h), da længden (b) kendes. S(h) = 1 8 b h2 (I.19) Formlerne I.16 og I.17 sættes ind i formel I.14, og da normalkraften er 0, fås følgende: σ = M 12 b h 3 h 2 Formlerne I.17 og I.19 sættes ind i formel I.15: σ = 6 M b h 2 h σ = 6 M b σ (I.20) τ = V b h2 8 b h 3 b 12 τ = V 1,5 h b h τ = V 1,5 τ b (I.21) I dette tilfælde sættes σ lig med f yd og τ lig med f yd 3 for at finde den mindste værdi for højden (h). Nu beregnes højden for forskellige stålkvaliteter: S235, 16 < h 40: S235, < h 16: h σ = f yd = 225 106 1,287 6 43,27 10 3 Nm 13 12 m 174,825 106 Pa f yd = 174,825MPa h = 37,0mm (I.22) S275, 16 < h 40: f yd = 235 106 1,287 h τ = 88,58 103 N 1,5 182,596 10 6 Pa 3 13 12 f yd = 182,596MPa m h = 1,16mm (I.23) S275, h 16: h σ = f yd = 265 106 1,287 6 43,27 10 3 Nm 13 12 m 205,905 106 Pa f yd = 205,905MPa h = 34,1mm (I.24) S355, 16 < h 40: f yd = 275 106 1,287 h τ = 88,58 103 N 1,5 213,675 10 6 Pa 3 13 12 f yd = 213,675MPa m h = 0,99mm (I.25) h σ = f yd = 345 106 1,287 6 43,27 10 3 Nm 13 12 m 268,065 106 Pa f yd = 268,065MPa h = 29,9mm (I.26)
46 Bilag I: Dimensionering S355,h 16: f yd = 355 106 1,287 h τ = 88,58 103 N 1,5 275,835 10 6 Pa 3 13 12 f yd = 275,835MPa m h = 0,77mm (I.27) Som det ses har forskydningsspændingen ikke den store betydning. Derfor dimensioneres de næste konstruktioner først ud fra moment, og derefter udfra forskydningsspændingen. Selv ved den stærkeste stålstyrke bliver højden ca. 30mm, og det er for meget, hvis der ses på stålforbruget og økonomi. Der undersøges 2 alternativer til pladen, for at se om det mindsker stålforbruget. Der undersøges en plade understøttet med 2 U-profiler og en plade med 4 U-profiler. Til senere konklusion skal stålforbruget bruges. Volumenen af stål for pladen alene, S355: V plade = 13 12 m 1m 0,030m = 0,0325m3 (I.28) I.1.2 Bropladen med 2 U-profiler For at forstærke pladen påsvejses der under pladen 2 U-profiler. Dimensionerne på U-profilen fastsættes fra start, og det er kun højden (h) af pladen, der skal findes, se figur I.5. For at dimensionere en special fremstillet profil skal inertimoment (I) og afstand til massemidtpunktet ( ȳ) kendes. Der findes ikke nogle forudbestemte ( ȳ) og (I) for en sådan konstruktion og, derfor må disse bestemmes først. Først undersøges U-profilen og pladen hver for sig, for massemidtpunkt og inertimoment. Figur I.5: Brodækket med 2 U-profiler. Afstanden til massemidtpunktet ( ȳ) for en konstruktion bestående af flere enkelte elementer, bestemmes ved forholdet mellem det statiske moment (S) og det samlede areal (A). Statisk moment er summen af arealet (A) af hvert enkelt element gange afstanden (y) til et fælles udgangspunkt. Afstanden ( ȳ) måles også fra dette udgangspunkt, se figur I.6. Udregningerne tager udgangspunkt i figur I.6. S = (A y) S = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 S ȳ 4 = A 1 + A 2 + A 3 (I.29) (I.30) Formlen for inertimomentet (I) ses herunder: I = ( I element + A element y 2) (I.31) I = I A1 + A 1 (y 1 ȳ 4 ) + I A2 + A 2 (y 2 ȳ 4 ) + I A3 + A 3 (y 3 ȳ 4 )
Afsnit I.1: Bropladen 47 Figur I.6: Tværsnit. Statiske moment (S u ), samlet areal (A u ), afstand til massemidtpunkt ( ȳ u ) fra bunden af U-profilet og inertimomentet (I u ) beregnes for U-profilet, alle mål i mm: I u = S u = 2 (9,5 65 32,5) + 121 6 3 = 42315,5mm 3 (I.32) A u = 9,5 65 + 121 6 + 9,5 65 = 1961mm 2 (I.33) ȳ u = 84631 21,57mm (I.34) 3922 121 63 12 ( ) 9,5 65 + 6 121 ( ȳ u 3) 2 3 + 2 + 65 9,5 (32,5 ȳ u ) 2 12 I u = 8,349 10 5 mm 4 (I.35) Pladens inertimoment (I p ) og afstand til massemidtpunkt ( ȳ p ) fra udgangspunktet i bunden af U-profilet findes. Alle disse udtryk er en funktion af h, da det er denne det ønskes at bestemme senere, alle mål i mm: A p (h) = 13 1000 h (I.36) 12 ȳ p (h) = h + 65 (I.37) 2 I p (h) = 13 12 1000 h3 12 (I.38) Ud fra formlerne I.29, I.30 og I.31 bestemmes det statiske moment (S kons ), arealet (A kons ), afstanden til massemidtpunktet ( ȳ kons ) og inertimomentet (I kons ) for den samlede konstruktion. Værdierne udregnet i formlerne I.33, I.34 og I.35 for U-profilen multipliceres med 2, da der er 2 U-profiler under pladen, alle mål i mm: S kons (h) = 2 (21,57 1961) + 13000 12 ( h 65 + h ) 2 S kons (h) = 541 2 3 h2 + 70416 2 h + 84631 (I.39) 3 A kons (h) = 13000 12 h + 2 1961 (I.40) ȳ kons (h) = 541 2 3 h2 + 70416 2 3 h + 84631 13000 12 h + 3922 (I.41) I kons (h) = 2 (I u + A u ( ȳ kons (h) ȳ u )) + I p (h) + I p (h) ( ȳ p (h) ȳ kons (h)) (I.42)
48 Bilag I: Dimensionering Det statiske momentet er konstrueret så at ved indsættelse af en h værdi, fås det maksimale statiske moment til højden h. ( ) 65 ykons (h) S kons (h) = A p (h) ( ȳ p (h) ȳ kons (h)) + 4 (9,5 (65 y kons (h)) (I.43) 2 Ved hjælp af formelerne I.14 og I.15 dimensioneres pladen i brudgrænsetilstand. Stålkvaliteten sættes til S355, og f yd bliver da 275,8MPa, da der regnes med en tykkelse under 16mm. σ sættes lig 275,8MPa for at bestemme h, når den er mindst (h min ). Momentet der bruges, er det maksimale moment fra tabel I.1: 275,8 10 6 Pa = 43,27 106 Nmm I kons (h) ȳ kons (h) h min = 12,98mm (I.44) Minimumshøjden undersøges nu for forskydningsspændingen. Til dette bruges formlerne I.42 og I.43. Forskydningskraften ses i tabel I.1. 88,58kN S(12,98mm) τ = I(12,98mm) 13000 = 1,32MPa 12 mm τ = 88,58kN 154,1 103 mm 3 9,507 10 6 mm 4 13000 = 1,32MPa (I.45) 12 mm 275, 835MPa 3 = 159,3MPa 1,32MPa (I.46) Uligheden er sand og det konkluderes derfor, at pladens højde (h) bliver 12,98 mm. Da konstruktionen ikke er en standard, undersøges den nu for lokale svagheder. Der findes flere områder i konstruktionen der kan undersøges. De lodrette sider i U-profilet og bunden i profilet. Men da den største frie strækning imellem de 2 U-profiler er 401 2 3mm, se figur I.7, vælges det at undersøge denne. Da U-profilen er påsvejset regnes dette stykke som indspændt. Figur I.7: Strækning mellem 2 U-profiler. Da det ikke er muligt at regne på en statisk ubestemt bjælke, se figur I.7, findes momentet og forskydningskraften for en sådan bjælke i [Teknisk Forlag 1999]: M(x) = 1 ( x 2 q l2 l x2 l 2 1 ) + 12 (x 6 p 14 ) l (I.47) ( q l2 1 V (x) = 2 L 2 x 1 ) L 2 1 2 p (I.48)
Afsnit I.1: Bropladen 49 De maksimale snitkræfter findes ved enden eller i midten af bjælken, og ud fra formel I.47 og I.48 beregnes snitkræfternes størrelse når l = 401 2 3 mm, se figur I.12, q = q Brud og p = P Brud fra formel I.3. Formlerne I.47 og I.48 giver snitkraftkurverne, optegnet på figur I.8. Figur I.8: Snitkræftkurver for en indspændt bjælke. Resultaterne af maksimalværdierne på kurverne ses i tabel I.2. x 0 l 2 l M(x) -8,59kNm 8,54kNm -8,59kNm V(x) -86kN -84,5kN og 84,5kN 86kN Tabel I.2: Snitkræfter i indspændt bjælke på 401 2 3 mm. Formel I.14 bruges til at dimensionere pladen ud fra moment, stålkvaliteten er S355, bredden (b) er 1000 mm og højden (h) sættes som variabel og bestemmes. σ sættes lig f yd for at bestemme h, når den er mindst (h min ). Momentet er den maksimale værdi i tabel I.2: 275,8 10 6 MPa = 8,59kNm b h 3 12 h 2 h min = 13,66mm (I.49) Denne h skal undersøges for forskydningsspændingen. Det statiske moment fra formel I.19 og inertimoment fra formel I.17 bruges i denne formel. τ = h2 86kN b 8 mm3 = 9,45MPa (I.50) b h 3 12 mm4 bmm 275, 8MPa 3 = 159,3MPa 9,45MPa (I.51) Uligheden er overholdt, hvilket betyder at en pladehøjde på minimum h = 13,66mm gør at pladen ikke går i brud. Dimensionen på pladen i brudgrænsetilstand bliver så den tykkeste af de to udregnede tykkelser. Pladen får en tykkelse på 13,66mm, da den overholder begge minimums højder. Nu regnes der deformationer i anvendelsesgrænsetilstand, for at se om kravet til deformationerne (u) overholdes. Det vejledende krav er opstillet i Stålkonstruktioner [Bonnerup & Jensen 2002] og er: u = l (I.52) 400 Flytningerne (u y ) af pladen mellem to U-profiler findes ved hjælp af differentialligninger. Flytningen u y er flytningen i y-retningen, se figur I.9. Disse differentialligninger er som følger: d 2 u y (x) dx 2 = κ(x) = M(x) IE (I.53)
50 Bilag I: Dimensionering du y (x) dx = θ(x) = u y (x) = θ(x)dx κ(x)dx (I.54) (I.55) Figur I.9: Deformationskurven. Hvor M(x) er det moment, der blev fundet i formel I.47. Sættes dette moment ind i formel I.53 fås følgende udtryk: Ved integration af κ fås θ: κ(x) = 1 ( ( 1 x ( x EI 2 q l2 l l ) ) 2 1 + 12 (x 6 p 14 )) l θ(x) = 1 ( ( x 2 ) ( 2 EI l q 2 x3 3 xl2 x 2 + p 6 2 xl )) +C 1 (I.56) 4 Randbetingelserne for en indspændt bjælke siger at θ(x = 0) = 0, hvilket giver C 1 = 0. Deformationerne (u y ) findes ved at integreres θ, hvilket giver: u y (x) = q ( x 3 2 EI l 6 x4 12 x2 l 2 ) + p ( ) x 3 12 4 EI 3 + x2 l +C 2 (I.57) 4 Randbetingelserne for en indspændt bjælke, siger at u y (x=0) = 0. Hvilket resulterer i at C 2 = 0. Den endelige deformation som funktion af x skrives derfor som: Hvor: u y (x) = l er længden mellem de to U-profiler. q ( x 3 2 EI l 6 x4 12 x2 l 2 ) + p ( ) x 3 12 4 EI 3 + x2 l 4 q er fladelasten, der kommer fra trafikken i anvendelsesgrænsetilstand. p er en punktlast, som i dette tilfælde er et akseltryk i anvendelsesgrænsetilstand. E er det karakteristiske elasticitets modul for stål. I er inertimomentet for den bjælke, der skal undersøges. (I.58) Konstruktionen mellem U-profilerne undersøges ud fra formel I.58 med en pladetykkelse på 13,66mm. x sættes lig l 2, da det er her, momentet er størst. Da kræfterne er q = q Anv og p = P Anv, formel I.5, fås følgende deformation: u y (200,83mm) = 0,99mm (I.59)
Afsnit I.1: Bropladen 51 I Stålkonstruktioner [Bonnerup & Jensen 2002, s. 32] er den vejledende maksimale nedbøjning sådan en konstruktion må have angivet, ifølge formel I.52. u = 401 2 3 mm = 1mm (I.60) 400 Det konkluderes at konstruktionen overholder det nedbøjnings krav, der er stillet til den. Dette er kun deformationerne imellem U-profilerne, og der skal derfor også beregnes deformationer på hele køreplade konstruktionen. Det statiske system for denne ses på figur I.10. Figur I.10: Statisk system mellem H-profilerne. Der tages udgangspunkt i formel I.9, som sættes ind i formel I.53. Værdierne i formel I.9 skal dog revideres med kræfterne fra anvendelsesgrænsetilstand. Først bestemmes reaktioner udfra formel I.8. R al = R bl = P Anv + 13 12 m 1m q Anv = 2 Momentet udregnes udfra formel I.9: 13 kn 130kN + 12m 1m 6,03 m 2 2 R al = R bl = 136,532 2 R al x + 13 12 m 6,03kN m 2 x2 2 + M(x) = 0 M(x) = 68,27kN x 6,53 kn m x2 2 = 68, 27kN (I.61) (I.62) Deformationsformlen findes nu ved at sætte ovenstående ind i formel I.53. Som randbetingelser til bestemmelse af konstanter bruges at θ( l 2 ) = 0 og u(0) = 0. Dette giver følgende formel: u(x) = 1 ( 68,27 x 3 6,53 ) E I 6 12 x4 3,98 10 3 x (I.63) Inertimomentet (I) bestemmes ved at indsætte h = 13, 66mm i formlen I.42. Da l = 1000mm bliver deformationerne: u y (500mm) = 1,37mm (I.64) Kravet til denne konstruktion er det samme som de andre: u = 1000mm = 2, 5mm (I.65) 400 Konstruktionen overholder kravet om deformationerne, og grundet standard højder på en plade i Teknisk Stabi, bliver bropladetykkelse (h) rundet op til 15mm. Til senere konklusion skal stålforbruget bruges. Stålforbrug ved pladen med 2 U-profiler med stålsyrken S355 er: V 2u pro f il = 13 12 m 1m 0,015m + 2 (0,001961m2 1m) = 0,020m 3 (I.66)
52 Bilag I: Dimensionering I.1.3 Bropladen med 4 U-profiler Bropladen med 4 U-profiler undersøges for samme dimensionering og deformationer som pladen med 2 U-profiler. Figur I.11: Brodækket med 4 U-profiler. Statisk moment (S u ), areal (A u ), afstand til tyngdepunkt akserne ( ȳ u ) og inertimomentet (I u ) findes for et U-profil, se figur I.11, alle mål er i mm: I u = 100 53 12 S u = 2 (8,5 50 30) + 5 100 2,5 = 26750mm 3 (I.67) A u = 2 (8,5 50) + 5 100 = 1350mm 2 (I.68) ȳ u = 535 19,81mm (I.69) 27 ( ) 8,5 50 + 5 100 ( ȳ u 2,5) 2 3 + 2 + 50 8,5 ((25 + 5) ȳ u ) 2 12 I u = 4,162 10 5 mm 4 (I.70) Pladens inertimoment (I p ) og afstand til massemidtpunkt fra udgangspunktet i bunden ( ȳ p ) findes. Alle disse udtryk er en funktion af h, da det er denne der ønskes bestemt senere, mål i mm: A p (h) = 13 1000 h (I.71) 12 ȳ p (h) = h + 55 (I.72) 2 I p (h) = 13 12 1000 h3 12 (I.73) Statisk moment (S kons ), areal (A kons ), afstand til tyngdepunkt akserne ( ȳ kons ) og inertimomentet (I kons ) findes for den samlede konstruktion, alle mål i mm: S(h) = 4 535 ( 13000 1350 + h 55 + h ) 27 12 2 S(h) = 541 2 3 h2 + 59583 1 h + 107000 (I.74) 3 A kons = 13000 12 h + 4 1350 (I.75) ȳ kons = 541 2 3 h2 + 59583 1 3 h + 107000 13000 12 h + 5400 (I.76) I kons (h) = 4 (I u + A u ( ȳ kons (h) ȳ u )) + I p (h) + A p (h) ( ȳ p (h) ȳ kons (h)) (I.77)
Afsnit I.1: Bropladen 53 Det statiske moment (S kons ) for konstruktionen er konstrueret, så at ved indsættelse af en h værdi, fås det maksimale statiske moment til højden h. ( ) 55 ykons (h) S kons (h) = A p (h) ( ȳ p (h) ȳ kons (h)) + 8 (8,5 (55 y kons (h)) (I.78) 2 Til dimensionering i brudgrænsetilstand af pladen bruges formel I.14. Stålkvaliteten er sat til S355, og σ sættes lig med f yd for at bestemme h, når den er mindst: 275,8 10 6 Pa = 43,27 106 Nmm ȳ kons (h) I kons (h) h = 8,46mm (I.79) Denne h undersøges nu for forskydnings spændingen. Forskydningskraften regnes nu for h = 8,46 mm. Til dette bruges formlerne I.42 og I.43. Forskydningskraften er fra tabel I.1. τ = 88,58kN 201 103 mm 3 6,99 10 6 mm 4 13000 = 2,35MPa (I.80) 12 mm 275, 8MPa 3 = 159,3MPa 2,35MPa (I.81) Konstruktionen undersøges nu for lokale svagheder. Imellem 2 U-profiler er der den største frie strækning. Denne er 170 10 12mm. Da U-profilen er påsvejset regnes dette stykke som indspændt. Figur I.12: Strækningen mellem 2 af de 4 U-profiler. Snitkræfterne udtrykt ved x står i formel I.47. De maksimale snitkræfter findes ved indspændingen eller i midten: x 0 l 2 l M(x) -3,63kNm 3,618kNm -3,63kNm V(x) -85,14kN -84,5kN og 84,5kN 85,14kN Tabel I.3: Snitkræfter ved indspænding. Til dimensionering af pladen bruges formel I.14, stålkvaliteten er S355, bredden (b) er 1000 mm og højden (h) sættes som variabel og bestemmes: 275,8MPa = 3,63kNm b h 3 12 h 2 h = 8,88mm (I.82)
54 Bilag I: Dimensionering Denne h skal undersøges for forskydningsspændingen. Det statiske moment fra formel I.19 og inertimoment fra formel I.17 bruges i denne formel. τ = 85,14kN b h2 8 b h 3 12 b = 14,38MPa (I.83) 275, 8MPa 3 = 159,3MPa 14,38MPa (I.84) Pladetykkelsen i konstruktionen skal i brudgrænsetilstand være den største af de udregnede højder, derfor bliver h = 8,88mm. Nu regnes deformationerne i anvendelsesgrænsetilstand, for at undersøge om kravet til deformationerne overholdes. For at finde deformationer bruges formel I.58, hvilket giver en deformation mellem to U-profiler på: u y (85,42mm) = 0,28mm (I.85) Den maksimale nedbøjning konstruktionen må have, ses på formel I.52. u = 10 170 12 mm = 0, 43mm (I.86) 400 Dette overholdes tydeligt, men disse er kun deformationerne imellem U-profilerne. Der skal også beregnes deformationer på køreplade konstruktionen. Da det er de samme laster, tages der udgangspunkt i formel I.63. Inertimomentet bestemmes ved at sætte højden h = 8, 88mm i formel I.78. Deformationerne bliver da: u y (500mm) = 1,86mm (I.87) Kravet til denne konstruktion er det samme som de andre: u = 1000mm 400 = 2, 5mm (I.88) Konstruktionen klarer kravet om deformationerne, så bropladetykkelse (h) bliver, grundet standard højder på plader i Teknisk Ståbi, rundet op til 10 mm. Det samlede stålforbrug af pladen med 4 U-profiler under, S355: I.1.4 Konklusion V 4u pro f il = 13 12 1 0,010 + 4(0,001350 1) = 0,016m3 (I.89) De 3 forskellige plader er undersøgt for det samme lasttilfælde og størrelserne af de forskellige er undersøgt med samme ståltype, S355: Plade Volumen (v) Pladehøjden (h) Kun plade 0,032m 3 30mm Plade m. 2 u-profiler 0,020m 3 15mm Plade m. 4 u-profiler 0,016m 3 10mm Tabel I.4: Volumen og højden af de forskellige broplader. Det konkluderes at pladen med 4 U-profiler er den mest optimale som broplade på denne bro. Dette ud fra at stålforbruget halveres ved at bruge denne konstruktion i stedet for pladen alene.
Afsnit I.2: H-profil 55 Beregning af egenvægt Rumvægten på stål aflæses i Teknisk Ståbi til 7850kg/m 3. Vægten pr. del, 13 12m i længde retingen og 1m i tværretningen bliver så: Fladelasten bliver da: I.2 H-profil 0,01623m 3 7850 kg m 3 = 127,4kg (I.90) q bropladen = 127,432kg 9,82 m s 2 13 12 m 1m = 1155,1 N m 2 (I.91) Grunden til at der vælges et H-profil, er at der ønskes en så lille højde som muligt, da bjælken skal placeres mellem de 2 INP-profiler. For at bestemme H-profilets dimensioner opstilles der et statisk system. Hvert H-profil har en længde på 13 3 m, hvilket giver følgende statiske system, se figur I.13: Figur I.13: Statisk model. Det ses at der er 2 lasttyper på broen, fladelasten (q) og de 3 akseltryk (p). Der ses her bort fra bremselasten, som beskrevet i brobeskrivelsen kapitel 12. Disse er som tidligere nævnt forskellige for brudgrænsetilstand og anvendelsesgrænsetilstand. Da afstandene mellem H-profilerne er 1m er kræfterne defineret i formel I.3 og I.5 multipliceret med 1m. Desuden er kraften (q) adderet med vægten fra pladen på 1,115 kn m. Kraft anvendelse [ kn m ] brudgrænse [ kn m ] q 7,145 8,645 p 150 169 Tabel I.5: Kræfterne som påvirker det statiske system. Det statiske system fra fig. I.13 giver følgende reaktioner ved brudgrænse: Vandret projektion + : R Av = 0 Moment om A + : q Lodret projektion + : (I.92) ( 52 12 m) 2 3 2 2 m p 13 6 m p 11 3 m p + R Bl 52 12 m = 0 (I.93) R Bl = 272,2kN (I.94) R Al + R Bl q 52 12 m p 3 = 0 R Al = R Bl = 272,2kN (I.95)
56 Bilag I: Dimensionering I.2.1 Brudgrænsetilstand For at dimensionere bjælken ved brudgrænsetilstand bestemmes de største momentsnitkræfter og forskydningskræfter for bjælken. Punktet, hvor dette forekommer, bestemmes ud fra afstanden x. Det største moment (M max ) for det statiske system bestemmes ud fra figur I.14 til at være midt på bjælken. Ligeledes bestemmes den største forskydningskraft (V max ) ud fra figuren. Denne er bestemt til at være yderst i bjælken. Figur I.14: Beskrivelse af forskydnings- og momentkræfter for en simpel understøttet bjælke Til videre dimensionering bestemmes det at bruge konstruktionsstål S355 og en tykkelse af H- profilet på under 16mm. Dette giver en karakteristisk flydespænding ( f y ) på 355MPa, hvilket giver følgende regningsmæssige flydespænding ( f yd ): f yd = 275,8MPa (I.96) Bestemmelse af normalspændinger for momentet Momentet bestemmes for snit 2 vist på figur I.15. Denne er nærmere beregnet i formel I.97. Figur I.15: Statiske model for tværsnit 2 3 m x 26 12 m (I.97) Moment i tværsnittet findes som funktion af afstanden (x 2 ) a x 2 26 12 m M(x 2 ) = R Al x 2 q (x 2) 2 ((x 2 23 ) ) 2 m p (I.98) For at finde maksimal moment sættes x 2 = 26 12m dermed fås: ( ) 26 M 12 m = 316, 0kNm (I.99)
Afsnit I.2: H-profil 57 Dette giver følgende momentspændinger for forskellige HEA-profiler fundet ved hjælp af ligning I.14. Profilnumer Inertimoment i mm 4 Afstand til profilets σ m i MPa midte (y) i mm 260 104,5 10 6 125 378,2 280 136,7 10 6 135 312,2 300 182,6 10 6 145 275,8 Tabel I.6: Udregninger ved brudgrænse. Forskydningsspændingen Herefter bestemmes de maksimaleforskydningskræfter i bjælken. Dette gøres ved at differentiere momentligningen for det første snit (x 1 ), da det er i afstanden 0 hvor forskydningskræften for denne bjælke er størst, se figur I.14. Moment snit 1 + : M(x 1 ) = R Al x 1 + q x2 (I.100) 2 Ovenstående formel differentieres for at finde V (x 1 ): V (x 1 ) = d(m(x 1)) dx Nu sættes V (x 1 = 0) for at finde den maksimale forskydningskraft: = R Al q x (I.101) V (0) = Ral = 272,2kN (I.102) For at bestemme forskydningsspændingen (τ), ses der på den maksimale forskydningskraft (V (x 1 )) der påvirker profilet. Dernæst bestemmes inertimomentet. Inertimomentet for den valgte profil er for indviklet at regne, grundet udformningen, så den er simplificeret. Dette er vist på figur I.16: Figur I.16: Simplificering af H-profilet. Inertimomentet for det simplificerede H-profil beregnes: I = 1 ( h 12 d (h 2 t)3 + 2 t b 2 t ) 2 I = 172,7 10 6 mm 4 (I.103) 2
58 Bilag I: Dimensionering Nu da forskydningskraft og inertimoment er bestemt, defineres et nyt begreb, kraft pr. længdeenhed: H = τ t (I.104) Hvor: H er kraften pr. længdeenhed τ er forskydningsspændningen t tykkelsen for flangen Da forskydningsspændingen er udtrykt ved t udledes følgende formel : τ = V s S I t H = V s S I (I.105) Hvor: V s er forskydningsspændingen S er det statiske moment ȳ er afstand fra eget massemidtpunkt til hele profilens massemidtpunkt Figur I.17: Arealberegning til statisk moment.. Først bestemmes forskydningsspændingen i den øverste flange. Dette gøres nemmest ved at beregne fra enden af flangen, se venstre del af figur I.17, hvor τ er 0. Der defineres en tilfældig længde z, som gør, at arealet (A) defineres som t z. Afstanden fra massemidtpunktet af arealet (A) til samlet massemidtpunkt er ȳ. Nu kan kraften pr. længdeenhed udtrykkes ved z: H 1 (z) = V s (t z) ȳ I (I.106) Forskydningsspændingen i flangen er størst, hvor forskydningskraften angriber, i dette tilfælde midt på flangen. Dette giver en spændingsfordeling som vist på figur I.18. Forskydningsspændingen af kroppen bestemmes ved at beregne det statiske moment (S) i højden (y). For at gøre dette skal arealerne A1 og A2 og deres afstand til massemidtpunktet bestemmes, se figur I.17. Disse bestemmes herunder: ( h 2 A1(y) = d t + y ) (I.107) 2
Afsnit I.2: H-profil 59 Figur I.18: Beskrivelse af forskydningsspændinger i flangen. ȳ 1 = h 2 t + y 2 A2 = b t ȳ 2 = h t 2 Det statiske moment er udtrykt som en funktion af y: S = A1(y) ȳ 1 (y) + A2 ȳ 2 (I.108) (I.109) (I.110) (I.111) Dette giver følgende H 2 for kroppen afhængig af y, når det sættes ind i formel I.105: H 2 (y) = V s (A1(y) ȳ 1 (y) + A2 ȳ 2 ) I (I.112) Forskydningsspændingen er størst omkring massemidtpunktet, hvilket ses på figur I.19, hvor H 2 s forskydningskræfter for kroppen er vist.. Figur I.19: Beskrivelse af forskydningsspændinger i kroppen. Ud fra H 1 og H 2 kan den maksimale forskydningsspændning i H-profilet bestemmes: τ(z) = H 1(z) t (I.113) τ(y) = H 2(y) t (I.114) Der blev tidligere vist at den maksimale τ i flangen er den halve bredde, sættes z = b 2, se figur I.18. Ligeledes er τ i kroppen maksimal ved at sætte y = 0, se figur I.19. Spændingsfordelingen af τ og σ m ses på figur I.20.
60 Bilag I: Dimensionering Figur I.20: Beskrivelse af spændingerne for H-profilet. Sættes den valgte profil ind i beregningerne, fås følgende τ værdier: τ maks Flange ( b 2 ) = 55, 3MPa (I.115) τ maks Krop (y = 0) = 205,2MPa (I.116) For at undersøge om H-profilet overholder kravene for alle spændninger på en gang, bruges Von Mises brudhypotese [Bonnerup & Jensen 2002, s.34]: (σ m ) 2 + 3 τ 2 f y (I.117) Hypotesen undersøges i enden, halvvejs til midten( 13 26 12m) samt på midten af profilet ( 12m). Resultaterne ses i tabel I.7 Sted på profilet τ σ m von Mises (y = 0) 205,2MPa 0MPa OK! (y = h 2 t) 39,94MPa 184,2MPa OK! (y = h 2 ) 0MPa 275,8MPa OK! Tabel I.7: Resultater af von Mises brudhypotese Det ses i tabel I.7 at HE300A-profil overholder kravet σ m f yd. For at fastslå om dette profil også overholder kravet for anvendelsesgrænsetilstand bruges lasterne fra tabel I.5. I.2.2 Anvendelsesgrænsetilstand Efter H-profilet er undersøgt ved brudgrænsetilstand, undersøges det om anvendelsesgrænsetilstanden overholdes. Dette gøres ved at undersøge om bjælken, som førnævnt, har en deformation, der overskrider: Hvor: u ve jl = 1 400 l u ve jl = 10,82mm (I.118) l er 52 12 m.
Afsnit I.3: I-profil 61 Profil Inertimoment C 1 Nedbøjning HE320A 229,3 10 6 mm 4 7,57 10 3 9,49mm Tabel I.8: Undersøgelse af nedbøjning. Dette gøres på samme måde som under bestemmelse af udbøjningen af bropladen. Resultaterne fra beregningerne er taget fra Trusslab. Resultatet for HE300A giver en udbøjning på 11,92mm. Da dette er en større nedbøjning end den vejledende, gentages beregningerne for det H-profil, der er et nummer større. Resultaterne fremgår i tabel I.8: Dette profil overholder de opstillede krav, hvilket betyder, at det er H-profil, HE320A, der bruges som længdebjælker under brodækket. Profilet har en masselast på 96,7 kg/m og profilerne er 4 1 3m lange. H-profilerne virker med en kraft på: P H pro f il = 96,7 kg m 41 3 m 9,82 m s 2 = 4115N (I.119) I.3 I-profil Denne dimensionering foretages for at finde en bjælke, der kan holde til de førnævnte laster. I- profilen må ikke være bredere end de 170mm, der er imellem de fire U-profiler under pladen, se figur I.21. Figur I.21: Bredde imellem U-profiler. De tværgående I-profiler belastes lodret med egenvægten af belægningen, U-profilerne (q) og H-profilerne (H) der føres i 13 punkter med 1m mellemrum. Yderligere belastes bjælken lodret med en jævn trafiklast (t), en fri trafiklast ( f ), to store hjultryk (R) og to mindre hjultryk (r) der begge er frie laster dog med restriktioner på deres placering. Lasterne, (t) og ( f ), er fladelaster. Disse skulle dog have været påført via de 13 H-profiler med en meters mellemrum. Det vurderes at fejlen ved at lave denne tilnærmelse er uden større betydning. Derudover belastes bjælken vandret med både vindlast (V ) og bremselast (Brv), disse angriber henholdsvis 1m over bjælken og i oversiden af brodækket. I det følgende ses der bort fra de moment påvirkninger, der fremkommer af de vandrette kræfters placering, da det vurderes at de har minimal betydning. De frie laster placeres, hvor de giver den mest ugunstige påvirkning. I-bjælken udføres med et charniere i midten. Bjælkens statiske model illustreres på figur I.23. I.3.1 Brudgrænsetilstand Bjælken undersøges for brudgrænsetilstand ved at de førnævnte kræfter påføres den statiske model udfra lastkombination B.2.1.a. Den lodrette trafiklast og egenvægten, er tidligere beskrevet i kapitel 11. Bremsekraften (sidekraften) udregnes på følgende måde [Vejdirektoratet 2002a]: Brv = 0,25 500kN 0,5 = 62,5kN Vindkraften udregnes på følgende måde [Vejdirektoratet 2002a]: V = 1,8 kn 2m 4,333m 0,5 = 7,8kN m2 (I.121) (I.120)
62 Bilag I: Dimensionering Figur I.22: Laster der påføres bjælken. Figur I.23: Statiske model af I-profilet. Dette giver en samlet normalkraft på: N = 62,5kN + 7,8kN = 70,3kN (I.122) Med disse påførte kræfter, opstilles den statiske model i Trusslab, og det maksimale moment findes til: M max = 190,42kNm (I.123) Efter det maksimale moment er fundet, opstilles følgende ligning til bestemmelse af spændingen i bjælken: σ = M I y + N A Denne spænding skal være mindre en den regningsmæssige flydespænding, som er: (I.124) f yd = 345MPa = 268,07MPa (I.125) 1,1 1,17 Det undersøges om profilet IPE 360 overholder de krav, der er opstillet ovenfor. Dette gøres ved at indsætte værdierne fra tabel I.3.1 i formel I.124. Profil Inertimoment Areal y I 425 162,7 10 6 mm 4 7,27 2 180mm Tabel I.9: Værdier for IPE 360.
Afsnit I.3: I-profil 63 Dette giver en spænding på: σ = 220, 35MPa (I.126) Denne værdi er mindre end f yd, hvilket vil sige, at dette profil er stærkt nok til at modstå spændingerne. Dette profil undersøges derfor for deformation ved anvendelsesgrænsetilstand. I.3.2 Anvendelsesgrænsetilstand Efter IPE-profilet er undersøgt for brudgrænsetilstand, undersøges det, om det valgte profil også overholder de krav, der er stillet for anvendelsesgrænsetilstand. Det vejledende krav til maksimal nedbøjning, for den del af profilet der er mellem de to understøtninger er: u ymaks1 = 4000mm = 10mm (I.127) 400 Nedbøjningen, når den værst tænkelige last påføres, se figur I.23, findes ved hjælp af Trusslab. Hvilket giver en maksimal nedbøjning af bjælken på: u y = 7,36mm (I.128) Ved samme lastpåvirkning er det vejledende krav til den maksimale deformation i den del af bjælken, der ikke er understøttet: u ymaks2 = 2000mm 400 = 5mm (I.129) Denne del af bjælken vil med den førnævnte lastpåførelse få en deformation, der er mindre end den, stykket har ved den før påsatte last. Denne deformation er: u y = 10,17mm (I.130) Bjælkens deformation undersøges også ved et lasttilfælde, hvor alle de frie laster er påført yderst på bjælken, dog inden for de restriktioner der gælder om deres placering. Dette gav en mindre deformation end det første, og derfor undersøges det ikke videre. Da deformationen for stykket uden understøtning i den ene ende ikke overholder de opstillede krav, undersøges et nyt profil. Det var IPE 360, der blev undersøgt, da der er ikke noget større IPEprofil, der har en flange mindre end 170 mm, som er længden mellem to U-profiler under bropladen. Derfor undersøges profilet INP 425 i stedet for deformationer. Dette gøres ved at indsætte data for profilet i Trusslab, værdierne ses i tabel I.3.2. Profil Inertimoment Areal y INP 425 369,7 10 6 mm 4 13,2 mm 2 212,5 mm Tabel I.10: Værdier for INP 425. INP-profilet giver følgende derformationer mellem de to understøtninger: u y = 3,36mm (I.131) Og for den del af bjælken der er uden understøtning i den ene ende, er deformationen: u y = 4,46mm (I.132) Dette er deformationer, der er mindre end den tilladelige, så dette profil overholder de krav, der er stillet, når der ses på anvendelsesgrænsetilstanden.
64 Bilag I: Dimensionering For at undersøge om dette profil også overholder de krav, der stilles til brudgrænsetilstanden, sættes værdierne fra tabel I.3.2 ind i formel I.124, hvilket giver en spænding på: σ = 115, 97MPa Da dette er mindre end f yd udersøges INP 425 for forskydningsspændinger. (I.133) Forskydningsspændning INP-profilet er den ene bjælke i brodækket, der påvirkes af normal-, moment- og forskydningskræfter. Derfor undersøges denne både plastisk og elastisk. De elastiske snitspændinger kontrolleres via von Mises brudhypotese, og de plastiske snitspændinger ifølge [DS 412 1998]. Formålet med en undersøgelse af forskydningsspænding er at vurdere, om bjælken har tilstrækkelig bæreevne, hvor både moment- og forskydningskraftskurvene forekommer. Dette undersøges, 1m fra den faste understøtning, se figur I.24, da både moment- og forskydningskraften har en høj numerisk værdi der: Momentets størrelse i det valgte snit er: Figur I.24: Moment- og forskydningskurvene i bjælken. M = 189, 3kNm (I.134) Forskydningskraftens størrelse i det valgte snit er: V s = 186,46kN (I.135) Og normalkraftens størrelse i det valgte snit er som før, se formel I.122: N s = 70,3kN (I.136) Elasticitetsteori Til udregning af forskydningsspændingen (τ) bruges formlerne fra afsnit I.2.1. For at simplificere beregningen laves en tilnærmelse af profilets størrelse, denne ses på figur I.26. Inertimomentet findes med formel I.103, hvilket giver: I = 3,723 10 4 mm 4 (I.137) Formlen for forskydningsspændningen i flangen I.140er: τ f langs (z) = V s (t z) ȳ I t τ f langs (z) = 0,1007 z 0 z b 2 N mm 3 0 z 81,5mm (I.138)
Afsnit I.3: I-profil 65 Figur I.25: I-profilets tilnærmede størrelse. Figur I.26: De forskelige spændninger i snittet. Formlen for forskydningsspændningen i kroppen er: τ krop (y) = V s (A1(y) ȳ 1 (y) + A2 ȳ 2 ) I t 0 y h 2 t τ krop (y) = 3,831 10 3 y 2 MPa 33,66MPa 0 y 212,5mm (I.139) mm2 Der undersøges om INP-profilet overholder von Mise brudhypotese: (σ N + σ M ) 2 + 3τ 2 F yd (I.140) Dette gøres ved indsættelse af forskellige værdier for z og y i formel I.138 og I.139. Der undersøges midt på profilet, hvor der forekommer både normal- forskydningsspændning, y = 0mm. Derudover undersøges INP-profilet øverst på kroppen, y = 212,5mm, og midt på flangen, y = 212,5mm og z = 81,5mm, da der forekommer både moment-, normal- og forskydningsspændninger, se figur I.26. Resultatet af undersøgelsen fremgår af tabel I.11. Sted σ M [MPa] σ N [MPa] τ[mpa] σ vonmise [MPa] Midt på flangsen ( τ f langs (81,5mm),σ M (212,5mm) ) 108,04 5,287 8,204 114,2 Øverst på Kroppen (τ krop (212,5mm),σ M (212,5mm)) 108,04 5,287 23,54 120,4 Midt på Kroppen (τ krop (0mm),σ M (0mm)) 0 5,287 33,66 58,5 Tabel I.11: Spændinger i bjælken og resultatet af von Mises brudhypotese. Plasticititetsteori Spændingerne bestemmes nu plastisk, og disse kontrolleres med von Mises brudhypotese. Ved plasticitetsteorien forstås der en anden beregningsmåde for at finde spændninger eller den maksimale bæreevne i konstruktioner. Plasticitetsteorien går ud på at regne hvor meget konstruktionen eller konstruktionselementet, kan bære før der dannes et flydeled, dvs. før flydning udvikles i hele tværsnittet. På figur I.27.A ses en lineærelastiskmomentkurve, der tager maksimum værdi yderst i bjælken. Ifølge elasticitetsteorien er konstruktionens maksimale bæreevne givet, når den maksimale værdi for σ Max er lig med f yk. Hvis bjælkens belastning øges, vil den maksimale spænding, σ MMax ikke vokse yderligere. Den stopper ved flydegrænsen, hvor σ Max = f yk og flydningen forsætter mod midten af bjælken, se figur I.27.B.
66 Bilag I: Dimensionering Figur I.27: Tværsnit med forskellige niveauer af flydning. Ifølge elasticitetsteorien er bjælkens bæreevne opbrugt, men ifølge plasticitetsteorien er bæreevnen ikke fuldt udnyttet før hele tværsnittet har opnået σ Max, hvilket betyder at hele tværsnittet flyder, se figur I.27.C. Dette kaldes at der dannes et flydeled. Figur I.28: De plastiske kraftkurver. Ved bestemmelse af spændinger ifølge plasticitetsteorien, fordeles de jævnt over snittet, se figur I.28. Hvis et tværsnit er påvirket af normal-, moment- og forskydningskraft tillader stålnormen, [DS 412 1998], en forenkling af von Mises brudbetingelse: Hvis forskydningskraften ikke overstiger halvdelen af tværsnittets forskydningsbæreevne, kan hele tværsnittet regnes for virksomt ved eftervisning af moment- og normalkrafbæreevnen. [DS 412 1998, s. 43] Dette udtrykkes ved: τ aktuel 1 2 τ yd (I.141) Hvor: τ aktuelt er forskydningskraften i snittet: τ aktuel = V s A krop τ aktuel = 32,155MPa (I.142) τ yd er forskydningsbæreevnen: τ yd = f yd 3 τ yd = 154,77MPa (I.143)
Afsnit I.3: I-profil 67 Dette betyder at uligheden opsat i formel I.141 omskrives til: 32,155MPa 1 2 154,77MPa 32, 155MPa 77, 39MPa (I.144) Da denne ulighed er opfyldt, beregnes hele tværsnittet for virksomt ved eftervisning af moment- og normalkraftbærevnen. Figur I.29: Tværsnit med fuldt udviklet flydning [Bonnerup & Jensen 2002, s 48]. Nulliniens afstand fra oversiden af profilet (z), se figur I.29, bestemmes vha. formel I.145 [Bonnerup & Jensen 2002, s. 48]. ( N s = f yd A f langsoppe + A krop z h A krop h z ) h A f langsnede z = h N s f yd A krop + h 2 z = 222, 11mm (I.145) Momentbæreevnen, (M R ), bestemmes udfra formel I.146 [Bonnerup & Jensen 2002, s. 48]. ( z 2 ) ( M R = f yd A f langsoppe z + A krop 2 h + A (h z)2 krop + A f langsnede (h z) N s z h ) 2 h 2 M R = 591,95kNm Momentbærevnen skal være større end det moment, der forekommer i bjælken. (I.146) M aktuelt M R (I.147) Da ikke engang det maksimale moment i bjælken overskrider denne grænse, konkluderes det at bjælkens dimension overholder de styrke krav, der stilles til den. I.3.3 Opsummering Da INP 425 overholder de krav, der stilles til den ved brud- og anvendelsesgrænse og overholder von Mises brudhypotese, vælges denne til videre dimensionering.
68 Bilag I: Dimensionering Egenvægt INP 425 s egenvægt er 104kg/m, og hver af bjælkerne er 6m lang. 104kg/m 6m = 624kg (I.148) Og da der er 122 bjælker er egenvægten: 122 624kg = 76128kg 76,13t (I.149) I.4 Vindafstivning Behovet for vindafstivning undersøges ved understøtningerne i dalen. Der dimensioneres en stang fra punkt A til E, se figur I.30, der skal optage de sidekræfter, der påvirker konstruktionen. Først gennemgåes hele dimensoneringsprocessen symbolsk, og derefter indsættes værdierne for to forskellige lastkombinationer. Broen tilføres to vandrette laster: Brv er den sidekraft, der er resultatet af bremsekraften. Kraften dækker over skrå eller usymmetrisk bremsning af køretøjer. Brv er defineret som 25% af bremsekraften, i dette tilfælde er Brv = 0,25 500kN, og virker ved broens overflade [Vejdirektoratet 2002a]. V er vindlasten, der antages at angribe 2m oppe. I dette tilfælde sat til 1,8kN/m 2 [Vejdirektoratet 2002a]. Denne kraft sættes til at påvirke længden mellem to søjler på langs af brokonstuktionen, i dette tilfælde 86,66m, hvilket svarer til at der står en række 2m høje lastbiler på broen. Dette giver følgende vindlast: V = 1,8kN/m 2m 86,66m (I.150) Broens tværsnit og de kræfter der tilføres, belyses på figur I.30. Figur I.30: Broens tværsnit over en understøtning og de kræfter der påvirker den. For at maksimere sidekræfternes virkning sættes de positivt i samme retning. Da vindafstivningen bliver en stålstang, der har en meget lille evne til at modstå trykkraft, regnes der kun på den stang, der vil optage træk.
Afsnit I.4: Vindafstivning 69 Figur I.31: Løsskæring af punkt F. Stangkraften i stangen, der går fra F til A, S F A, findes ved løsskæring af F, figur I.31. Der opstilles vandret ligevægt + : R FV S F A cos(70) = 0 S F A = R FV cos(70) (I.151) Dette viser at stangkraften, S F A, alene er afhængig af de vandrette kræfter. De tre vandrette reaktioner, figur I.30, beregnes ved at bestemme moment om A + venstre side: R DV 22m = 0 R DV = 0 (I.152) Bestemme moment om C + : R EV 22m = 0 R EV = 0 (I.153) Opstille vandret projektion + : R DV + R EV + R FV Brv V = 0 R FV = Brv +V (I.154) Vindafstivningen, stangen der går fra A til F, undersøges for brud ved to forskellige lastkombinationer, B.2.1.a og B.2.1.b, som beskrevet i afsnit 11.2. Da det kun er de vandrette kræfter, der har indflydelse på vindafstivningen, bliver lastkombinationerne følgende: B.2.1.a 0,5 Bremselast +0,5 Vindlast B.2.1.b 1,3 Bremselast Stangens designmæssige flydestyrke ( f yd ) skal være større end den normalkraft (N s ), S F A, der kan opstå i stangen: f yd = f yk > σ N = N S γ m A (I.155) Hvor: f yd er den designmæssige flydespændning
70 Bilag I: Dimensionering f yk er stålets karakteristiske flydespændning, her sat til f yk = 235MPa γ m er sikkerheds koefficient, γ m = 1,1 1,17 N S er normalkraften i stangen, i dette tilfælde S F A A er stangens areal Hvis det forudsættes, at stangen skal være rund, kan formel I.155 omskrives til: f yd > S F A A A > S F A f yd r 2 π > S F A f yd (I.156) Hvilket betyder, at den absolut mindste radius er: S F A r > f yd π (I.157) Stangens radius for de to lastkombinationer ses i tabel I.12. S F A r B.2.1.a 410,8kN 26,8mm B.2.1.b 475,1kN 28,8mm Tabel I.12: Stangkraft og radius ved de to lasttilfælde. Der vælges en radius på 29mm, da et stålprofil med denne radius, kan modstå de normalspændinger, der fremkommer i vindafstivningen. I.5 Gitterkonstruktion Dette bilag omhandler dimensioneringen af gitterkonstruktionenes stænger. Disse er delt op i to typer, trykstænger og trækstænger. I.5.1 Trykstænger For at dimensionere trykstængerne, følges fremgangsmåden fra [Bonnerup & Jensen 2002, s. 128]. Først bestemmes søjlernes teoretiske søljelængde (l s ) og da dette system er simpelt understøttet, er (l s ) lig den reelle længde. Herefter bestemmes et søjleprofil, i dette tilfælde et kvadratisk varmvalset rør. Dette giver et søjletilfælde a, hvilket betyder at imperfektionsfaktoren (α) er lig 0,21. Udfra de bestemte dimensioner bestemmes arealet (A), inertimomentet (I), det regningsmæssige elasticitetsmodul (E d ) samt den regningsmæssige flydespænding ( f yd ). Først kontroleres slankhedsforholdet: l s i 200 (I.158) i er Hvor: I A Hvis uligheden opstillet i formel I.158 holder, kan den kritiske last bestemmes: N cr = π2 E d I l 2 s (I.159)
Afsnit I.5: Gitterkonstruktion 71 Denne last medfører at en perfekt søjle bliver instabil [Bonnerup & Jensen 2002, s. 115]. Næste skridt er bestemmelsen af det relative slankhedsforhold: λ = 1,05 A fyd N cr (I.160) Nu kan faktoren φ bestemmes: φ = 0,5 (1 + α (λ 0,2) + λ 2 (I.161) Hvilket giver søjlereduktionsfaktoren: 1 χ = φ + φ 2 λ 2 (I.162) Endelig kan den regningsmæssige bæreevne bestemmes: N br = χ A f yd (I.163) For at stangen ikke deformerer, må trykkraften i stangen ikke være større end N cr eller N br. Ved undersøgelsen af hvilke standardprofiler, der har nok styrke til at modstå kræfter, der påvirker de enkelte stænger. Findes det ud af at standardprofilerne ikke har tilstrækkelig styrke til at modstå den kraft der opstår i de enkelte stænger, er det derfor nødvendigt af fremstille specialprofiler til gitterekonstruktionens trykstænger. Med henblik på at forenkle beregningsprocessen, vil antages det at profilerne helt kvadratiske og ikke med afrundede hjørner, som standard-profilerne har, se figur I.32. Figur I.32: Profilets rektangulere tværsnit. Udfra dette grundlag opstilles følgende formler til bestemmelse af henholdsvis arealet og inertimomentet: A = l 2 (l 2 t) 2 (I.164) Hvor: l er længden og bredden af profilet. t er tykkelsen af profilet.
72 Bilag I: Dimensionering I = l4 (l 2 t)4 (I.165) 12 12 Som eksempel dimensioneres den lodrette diagonale trykstang i sektion 3. Der tages udgangspunkt i standardprofilet med målene l=300 mm og t=10 mm. Der følges fremgangsmåden der er opstillet på side 70. Søjlelængden: l s = 5,0m (I.166) Imperfektionsfaktoren er som tidligere nævnt α = 0,21. Ud fra de oplyste værdier for henholdsvis bredden og tykkelsen af profilet bestemmes arealet og inertimomentet: A = 300mm 2 (300mm 2 10mm) 2 = 11,6 10 3 mm 2 (I.167) I = 300mm4 (300mm 2 10mm)4 = 162,79 10 6 mm 4 (I.168) 12 12 Den designmæssige flydespænding og elasticitetsmodul bliver: f yd = 355MPa = 275,83MPa (I.169) 1,1 1,17 E d = 0,21 106 MPa 1,1 1,17 Forholdet mellem l s og i undersøges: l s i = l s I A Da dette er mindre end 200, fortsættes beregningerne. Den kritiske last bestemmes: Det relative slankhedsforhold bestemmes: = 0,163 10 6 MPa (I.170) = 42, 2 (I.171) N cr = π2 E d I l s = 10,5 10 3 kn (I.172) Faktoren φ bestemmes: λ = 1,05 A fyd N cr = 0,58 (I.173) φ = 0,5 (1 + α (λ 0,2) + λ 2 ) = 0,708 (I.174) Søjlereduktionsfaktoren bestemmes: χ = Stangens regningsmæssige bæreevne beregnes: 1 φ + φ 2 λ 2 = 0,897 N br = χ A f yd = 2,87 10 3 kn (I.175) (I.176)
Afsnit I.5: Gitterkonstruktion 73 Når resultaterne fra formel I.176 sammenlignes med trykkraften der er i stangen, tabel 12.1. Ses det at både den kritiske last og stangens regningsmæssige bæreevne er væsentligt større. Dette betyder at en stang med de forudsatte dimensioner, har tilstrækkelig styrke til at modstå de kræfter, den vil blive udsat for. Dog er denne stang væsentligt stærkere end den behøver at være, så for at få et mindre stålforbrug i denne stang, reduceres sidelængden til 25mm, hvilket er den mindste sidelængde stangen kan have, for at modstå de kræfter den udsættes for. Der foretages tilsvarende beregninger for alle trykstængerne. Resultaterne fremgår af tabel I.13. For at gøre broen symmetrisk at se på, får alle lodrette og skrå stænger samme ydre mål, hvilket er 250mm. Tilsvarende får alle vandrette stænger et ydre mål på 400mm. Sektion Stang Bredde [mm] Tykkelse [mm] 1 Lodret diagonal 250 5 1 Øvre flange 400 5 1 Skrå diagonal 250 6 2 Lodret diagonal 250 10 2 Nedre flange 400 32 3 Lodret diagonal 250 10 3 Nedre flange 400 32 4 Lodret diagonal 250 16 4 Lodret diagonal over søjle 250 22 4 Nedre flange 400 30 Tabel I.13: Dimensionerne på de dimensionsgivende trykstænger. I.5.2 Trækstænger Ved dimensioneringen trækstængerne i gitterkonstruktionen, benyttes følgende formel: f yd σ N = N A (I.177) Stængerne der dimensioneres er de stænger i tabel 12.1 med positivt fortegn. Undersøgelsen af om der er varmvalsede kvadratiske rør, der har tilstrækkelig styrke til at udtrykket i formel I.177 er mindre end den designmæssige flydespænding, viser at der ikke er noget standardprofil, der overholder kravet. Derfor fremstilles der ligesom ved dimensioneringen af trykstængerne special profiler, hvor der benyttes samme forudsætninger som ved dimensioneringen af trykstængerne. Som eksempel dimensioneres den øvre flange i sektion 2. Da normalkraften i denne stang er 11941,74 kn, forudsættes det at tykkelsen af profilet er over 16mm, hvilket giver en designmæssig flydespænding på: f yd = 345MPa = 268,1MPa (I.178) 1,1 1,17 Der gættes på et profil med dimensionerne; sidelængde 400mm og tykkelse 25mm. Dette giver et areal på: Spændingen bliver da: A = l 2 (l 2 t) 2 = 3,75 10 4 mm 2 (I.179) σ = 16913,76kN 4,75 10 4 = 318,4MPa (I.180) mm2
74 Bilag I: Dimensionering Da denne spænding er større end den designmæssige flydespænding, har profilet ikke tilstrækkelig styrke til at modstå de kræfter, den bliver udsat for. For at gøre stangen stærk nok, øges tykkelsen af profilet. Dette resulterer i at tykkelsen af denne stang bliver 31mm. Der laves tilsvarende beregninger for de resterende stænger, resultatet fremgår af tabel I.5.2 Sektion Stang Bredde [mm] Tykkelse [mm] 1 Nedre flange 400 5 2 Øvre flange 400 31 2 Skrå diagonal 250 10 3 Øvre flange 400 31 3 Skrå diagonal 250 8 4 Øvre flange 400 28 4 Skrå diagonal 250 5 Tabel I.14: Dimensionerne på de dimensionsgivende trækstænger. Beregning af egenvægt Der blev tidligere i afsnittet dimensioneret en længde (l) og en tykkelse (b) på stængernes tværsnit. Egenvægten regnes ved at finde længderne (L) af alle stænger med samme tværsnitsareal (A). Længderne (L) er fundet ud fra tegning 2.1 i tegningsmappen. Volumen regnes vha. følgende formel: V = A L = (l 2 (l 2 t) 2 ) L (I.181) Når volumen er regnet multipliceres denne med massefylden for stål, som er 7850kg/mm 3, for at få vægten (M). M = V 7850 kg mm 3 (I.182) Dette giver følgende resultater for de forskellige sektioner, længderne kan findes i tegningsmappen på tegning 2.1: Sektion 1 l [mm] t [mm] L [m] V [m 3 ] M [kg] Øvre flange 400 5 86,67 0,685 5374 Nedre flange 400 5 86,67 0,685 5374 Skrå diagonal 250 6 132,4 0,775 6086 Lodret diagonal 250 5 110 0,539 4231 Total 2,684 21066 Tabel I.15: Volumen og vægt af sektion 1. Sektion 2 l [mm] t [mm] L [m] V [m 3 ] M [kg] Øvre flange 400 31 69,33 3,172 24903 Nedre flange 400 33 69,44 3,364 26407 Skrå diagonal 250 10 108,84 1,041 8172 Lodret diagonal 300 11 83,20 0,798 6270 Total 8,375 65752 Tabel I.16: Volumen og vægt af sektion 2.
Afsnit I.6: Søjler 75 I.6 Søjler Sektion 3 l [mm] t [mm] L [m] V [m 3 ] M [kg] Øvre flange 400 31 69,33 3,172 24090 Nedre flange 400 32 52,60 2,478 19045 Skrå diagonal 250 8 94,00 0,73 5714 Lodret diagonal 250 10 78,20 0,75 5893 Total 7,129 55961 Tabel I.17: Volumen og vægt af sektion 3. Sektion 4 l [mm] t [mm] L [m] V [m 3 ] M [kg] Øvre flange 400 28 52,00 2,167 17001 Nedre flange 400 30 53,40 2,371 18061 Skrå diagonal 250 5 118,36 0,58 4553 Lodret diagonal 250 16 106,24 1,591 1249 Lodret diagonal over søjle 250 22 22,0 0,441 346 Total 7,15 41210 Tabel I.18: Volumen og vægt af sektion 4 De 6 søjler dimensioneres ud fra det værste lasttilfælde på broen, som i dette tilfælde er 3 akseltryk der placeret så tæt som muligt over en enkelt søjle. Dette tilfælde beregnes ved hjælp af Trusslab, og ud fra lasttilfældet, trafiklast og vægten af brodækket giver dette en reaktion ned i søjlen på 8221,03kN. Herefter beregnes egenvægten af den del af gitterkonstruktionen, der påvirker en enkelt søjle. Det skønnes af være, halvdelen af afstanden til de nærmeste understøtningerne på hver side. På figur I.33 ses broen inddelt i sektioner som en søjle bærer. Figur I.33: Beskrivelse af brosektionerne. Dette vil sige to sektion 2,to sektion 3, og en sektion 4, der bruges til bestemmelse af egenvægten. I kapitel I.5 er den samlede vægt for hver sektionstype beregnet, dette giver en samlet vægt (M) på hver søjle på: 65752 + 55961 + 41210 M = 2 M = 81461, 5kg (I.183) Denne vægt giver en kraft (b): b = 81461,5kg 9,82 N kg 2 b = 799,1kN (I.184) Ud over værste lasttilfælde og egenvægt kommer kraftparret og vindgitterets komposant fra bremsekraften, på henholdsvis 11,4 kn og 446,4 kn. Ud fra værste lasttilfælde og egenvægten, se figur I.34,kan den samlede last på en enkelt søjle beregnes til: N = 8221,03kN + 799,1kN + 11,4kN + 446,4kN N = 9477,98kN (I.185)
76 Bilag I: Dimensionering Figur I.34: Det statiske system Det vælges at bruge konstruktionsstål S355 med en tykkelse mellem 16 og 40mm. Det vælges yderligere at søjlen skal bestå af et varmvalset kvadratiske rør-profil. Til selve beregningen af bæreevnen bruges samme fremgangsmåde som vist under dimensioneringen af gitterets trykstænger 12.5. Dette giver følgende resultater Højde af profilet Tykkelse Areal Inertimoment E d α 500mm 23mm 43884mm 2 1,67 10 9 mm 4 1,6317 10 5 MPa 0,21 Tabel I.19: De Fastsatte dimensioner. Dette giver efter beregning et slankhedsforhold på: L s i = 56, 4 (I.186) Dette holder kravet for slankhedsforholdet. Videre bestemmes den kritiske bæreevne: N cr = π2 E d I L 2 s Efter beregning af γ, θ og χ bestemmes den regningsmæssige bæreevne: N cr = 22200,1kN (I.187) N br = χ A F yd N br = 9592,6kN (I.188) Som det ses er bæreevnen (N br ) større end den påvirkende kraft (N), hvilket betyder at de bestemte dimensioner for søjlen holder. I.7 Boltesamlinger Formålet med dette afsnit at vise, hvordan forskellige boltesamlinger i brokonstruktionen er opbygget og dimensioneret. Der tages udgangspunkt i 2 samlinger i konstruktionen:
Afsnit I.7: Boltesamlinger 77 Samlingen mellem vindafstivningen og søjlerne. Samlingen i gitterkonstruktionen hvor 4 stænger mødes. Der tages, i alle boltesamlinger, udgangspunkt i, at de er dornsamlinger [Bonnerup & Jensen 2002]. En dornsamling indeholder kun forskydningskræfter, derfor undersøges det om bæreevnen i samlingen er større end forskydningskræften (F v,s ). For en dornsamling skal det eftervises, at F v,s ikke overskrider følgende: Hulrandsbæreevnen, (F b,r ) Overkipningsbæreevnen, (F v,r ) Følgende formler vil blive brugt i dette afsnit. Formlen for hulrandsbæreevne, med optimal bolteafstand, er for en bolt [Bonnerup & Jensen 2002, s. 231]: F b,r = 2,5 d t f ud (I.189) Hvor: d er boltens diameter t tykkelse på pladen f ud pladens regningsmæssige brudspænding Formlen for overklipningsbæreevnen for en bolt er [Bonnerup & Jensen 2002, s. 232]: F v,r = c A f ub,d (I.190) Hvor: c er en konstant der er afhængig af styrkeklasse af bolten, og hvor bæreevnen regnes her 0,6 A er arealet af skaftearealet af bolten f ub,d er boltens regningsmæssige brudspænding Der bruges, i alle samlinger boltstyrkeklasse 10,9, og der bruges såvidt muligt optimale længder mellem boltene [Bonnerup & Jensen 2002, s. 231]. Desuden beregnes nogle af pladernes blokforskydningsbæreevne ( f bl,r ), som er den forskydningskraft, der skal til af få boltene til at hive sig fri fra stålet, se figur I.35 [Bonnerup & Jensen 2002, s. 236]. Figur I.35: Blokforskydningsevne. f bl,r = (b (n 1) d) t 0,9 f ud + 2 (l (m 0,5) d) t fud 3 (I.191) Hvor:
78 Bilag I: Dimensionering b & l er længder, der beskriver det areal boltene indspænder, se figur I.35 t er plade tykkelsen d er diameter på hullet n er antal huller i træksiden m er antal huller i forskydningssiden Der ønskes for enkelte konstruktioner at bestemme hulsvækkelsesbæreevnen: N t,r = A tot f yd N t,r = 0,9 A net f ub,d (I.192) (I.193) Hvor: A tot A net f ub,d er det totale tværsnitsareal er tværsnitarealer uden bolthullerne er boltens regningsmæssige trækspænding I.7.1 Vindafstivning Samlingen mellem vindafstivningen og søjlekonstruktionen udformes som illustreret på figur I.36. Vindafstivningen er diminsioneret til at være en massiv, rund stålprofil med en radius på 29mm, afsnit I.4. Da en boltesamling med et rundt stålprofil ikke er til at lave, omformes enderne af vindafstivningen. Der bliver svejset en rektangulær plade ind i det runde stålprofil, se figur I.36, således at der bliver en flad rektangulær plade til at bolte fast. Figur I.36: Påsvejset plade og samling ved vindafstivning. Der skal være det samme tværsnitsareal (A) i den runde stålprofil og i den påsvejsede rektangulære plade, for at klare de trækkræfter der forekommer i vindafstivningen. Der regnes med at en påsvejsning ikke svækker stangens trækevne. Pladens tykkelse sættes til 20mm, ud fra et skøn. Pladens bredde (b) er derfor: A rund = (29mm) 2 π = 2642mm 2 (I.194) b = 2642mm2 20mm = 132mm (I.195)
Afsnit I.7: Boltesamlinger 79 Ud fra afsnit I.4 kendes kraften i stangen, hvilket er den kraft der dimensioneres efter. Kraften ( f v,s ) er 475,1kN. Det skønnes, at der skal bruges boltstørrelse M16 til denne konstruktion. Nu beregnes det ud fra formel I.189 og formel I.190 hvor mange bolte (B) der skal bruges. Overklipningsbæreevnen ( f v,r ) og hulrandsbæreevnen ( f b,r ) sættes lig med forskydningskraften ( f v,s ) for at opnå det mindste antal bolte. Stålstyrken der er brugt til vindafstivningen er S235, den bruges også her. Hulrandsbæreevne: Overklipningsevne: 475,1kN = B 2,5 16mm 20mm 216,15MPa B = 2, 27 (I.196) 475,1kN = B 0,6 201,06mm 2 635,73MPa B = 6, 19 (I.197) Ud fra ovenstående konkluderes det, at der skal være minimum 7 bolte i denne samling, for at den holder. Afstanden imellem bolthullerne sættes til at være optimale eller større. Hvilket givet følgende, se figur I.37. Figur I.37: Bolthullernes placering. Der er i denne konstruktion også mulighed for blokforskydning, så det undersøges der også for. Blokforskydningen sker i den plade, hvorpå vindafstivningen er boltet. Tykkelsen af denne plade sættes til 20mm. n = 3 m = 2 l = 48 + 2 124 = 296mm b = 66,05mm f bl,r = (99,08mm (3 1) 16mm) 20mm 0,9 216,147MPa + 2 (296mm (2 0,5) 16mm) 20mm 216,147MPa 3 f bl,r = 1588kN (I.198) f bl,r f v,s 1588kN 475,1kN (I.199) Denne værdi overholder klart f v,s og det er ikke mulig for boltene at hive sig ud ad pladen. Desuden skal den påsvejsede plade i enden af vindafstivningen undersøges for hulsvækkelse. A tot = 132,1mm 20mm = 2642mm 2 A net = 2642mm 2 2 (20mm 16mm) = 2002mm 2 (I.200) (I.201) N t,r = 2642mm 2 252,53MPa = 667,2kN N t,r = 0,9 2002mm 2 635,73MPa = 1145,5kN (I.202) (I.203)
80 Bilag I: Dimensionering N t,r f v,s 667,2kN 475,1kN 1145,5kN 475,1kN (I.204) Den påsvejsede plade overholder også denne undersøgelse. Vindafstivningen skal boltes fast med 7 bolte, og både pladen på vindafstivningen og søjlen kan holde til belastningen ved en tykkelse på 20mm. I.7.2 Gittersamling Samlingerne i gitterkonstruktionen indeholder charniere, og derfor skal gitterstængerne samles, så de har mulighed for at bevæge sig i samlingen. Dette kræver at samlingen kun indeholder en bolt, som holder alle stængerne på plads. Imellem samlingen og hver stang er der to stålplader. Disse plader sidder i den ene ende omkring den store samlingsbolt, mens den anden ende er boltet fast på inder eller ydersiden af stangen, se figur I.38. Figur I.38: 3D billede af samling. Figuren viser, at der er 2 samlinger der kan kigges på. Samlingen mellem den ene bolt og samlingspladen, samt samlingspladens og gitterstangen. Samlingen er placeret i den midterste sektion af broen. Ud fra beregninger af gitterkonstruktionen, afsnit I.5, er denne samling belastet af følgende stangkræfter, se figur I.39. Disse snitkræfter er taget fra lastmodel 1, da lastmodellen giver de største kræfter i de øverste stænger. S 28 27 = S 28 29 = S 28 89 = S 28 90 = 11941,74kN 11834,63kN -265,31kN 168,07kN Figur I.39: Stangkræfter i samlingen.
Afsnit I.7: Boltesamlinger 81 Samling mellem bolt og pladen Bolten, der skal samle gittersamlingen, bliver, som det ses på figur I.39, belastet fra flere sider på en gang. Da der ikke kan regnes på dette med almindelig bolte teori, betragtes bolten som en bjælke med ren forskydning. Bolten undersøges for forskydningsspændinger i vandret og lodret projektion. Da forskydningskraften er størst i vandret retning, bliver radius optimeret for at finde den mindste bolteradius. I afsnit I.5 blev gitterstangens størrelse udregnet til 400mm x 400mm, og en ståltykkelse på 31mm. Samlingspladen skal sidde på inder eller ydersiden af hver gitterstang, se figur I.38. Da der er to plader der skal optage stangkræften, deles denne derfor op i to. Vandret projektion af stangkræfter. Bolten påføres de lodrette kræfter, som er S 28 27, S 28 29 og S 28 90. S 28 90 skal multipliceres med cosinus med vinklen til lodret. Dette giver kraft påvirkningerne og forskydningskurverne på figur I.40 Figur I.40: Vandretforskydning i bolten. Boltens forskydningsspændinger regnes, udfra formel I.15. Den maksimale forskydningsspænding er hvor forskydningskraften er størst. Kravet til forskydningsspændingen er at: τ f yb,d 3 (I.205) Fra Teknisk Ståbi fås inertimomentet (I) og det statiskmoment (S) for en cylinder. Det statiskemoment er taget hvor forskydningskraften er størst, i midten af cirkeltværsnittet. I(r) = π ( r ) 4 64 π = 2 4 r4 (I.206) S(r) = π 2 r2 4 3π r = 2 3 r3 (I.207) Boltens radius kan nu optimeres og dermed finde den mindste radius. Dette gøres ved at sætte τ lig med f yb,d / 3. Boltens styrkeklasse sættes til 10.9. f yb,d 3 = 543, 124MPa 3 = S 28 29 2 2 3 r3 π 4 r4 2 r 11834,63kN 2 2 3 r3 π 4 r4 2 r (I.208) (I.209) r = 89, 5mm (I.210) Lodret projektion. Der kommer, ved denne projektion, en kraft fra brodækkets egenvægt og trafiklast P som er 135,83 kn:
82 Bilag I: Dimensionering Figur I.41: Lodretforskydning i bolten. Dette giver følgende radius af cylinderen: f yb,d 3 = 543, 12MPa 3 = P 2 2 3 r3 π 4 r4 2 r 67,915kN 2 2 3 r3 π 4 r4 2 r (I.211) (I.212) r = 9, 59mm (I.213) Boltens størrelse bliver da en cylinder med radius 89,5 mm. Der findes ikke en bolt med denne dimension i Teknisk Ståbi, men der regnes med at den kan special laves til denne opgave. Når radius af bolten er fundet, skal tykkelsen af pladen der omslutter bolten regnes. Først undersøges det om der er optimal boltafstand til siderne af pladen. Pladen er, som sagt, begrænset af stangen til kun at kan være 430mm i højden, se figur I.42 for resterende mål. Figur I.42: Længder på samlepladen. For at gøre pladens tykkelse så lille som muligt skal der være optimale mål omring bolten. Der er i DS412 opsat mål for den optimale længde e 1. Da gitterstængerne indeholder skiftende kræfter grundet trafiklasten, skal boltehullet være et pashul, hvilket betyder at d = d 0. e 1 = 3 d 0 = 537mm (I.214) Ved hjælp af hulrandsbæreevnen beregnes tykkelsen (t) af pladen. Hulrandsbæreevnen sættes lig med den forskydningskraft, der er den halve stangkræft, dette gøres for at finde den mindste tykkelse (t) af pladen omkring bolten. Der bruges i dette tilfælde stålstyrken S355. Stangkraften er fra S 28 27 figur I.39. 5970,87kN = 1,5 179mm t 311,51MPa t = 0,072m = 72mm (I.215) (I.216)
Afsnit I.7: Boltesamlinger 83 Det vurderes nu, at den bolt som skal holde samlingen sammen skal have en radius på 89,5mm, og at pladen der holder stangen fast til bolten skal have en tykkelse på 72mm. Det er nu muligt at finde ud af, hvor mange bolte der skal til at holde denne plade fast i stangen. Samling mellem plade og stang Fremgangsmåden er den samme som ved vindafstivning. Det mindst nødvendige antal bolte findes, og da samlingen skal holde store kræfter bruges bolten M48. Dette giver følgende udregning ved overklipningsbæreevne: 5970,87kN = B 0,6 1810mm 2 635,73MPa B = 8,65 (I.217) Der skal bruges 9 bolte for at holde denne konstruktion på plads. Dette giver følgende udformning af pladen inden i stangen, se figur I.43. Figur I.43: Placering af huller. Nu beregnes hulrandsbæreevnen, her skal tykkelsen på gitterstangen bruges da denne er den tyndeste (31mm). Der er ikke helt optimal afstand imellem boltehullerne i højden på denne plade, derfor regnes en konstant (c 2 ), som skal multipliceres på hulrandsformlen. Der beregnes to værdier hvor den mindste bruges. Da konstruktion har mulighed for skiftende laster, grundet trafiklasten, behandles boltehullet som pashul. Hulrandsbæreevnen: c 2 = 56,3mm 0,9 48mm 2 = 0,64 (I.218) 3 f b,r = 9 2,5 48mm 31mm 311,51MPa 0,64 f b,r = 6,64MN (I.219) Hulrandsbæreevnen overstiger forskydningskraften, som er 5970,87kN, hvilket betyder at samlingen holder. Der er i denne samling også mulighed for blokforskydning og hulsvækkelse, dette undersøges der også for. Blokforskydningen kan ske i stangens del, hvor boltene vil rive stålet omkring boltene af. Længderne der bruges ses på figur I.44.
84 Bilag I: Dimensionering Figur I.44: Længder til blokforskydning. Antal huller i træksiden (n) er 3 og i forskydningssiden (m) er der også 3 huller. Blokforskydningsevnen bliver da: f bl,r = (225mm (3 1) 48mm) 31mm 0,9 311,51MPa + 2 (504mm (3 0,5) 48mm) 31mm 311,51MPa 3 f bl,r = 10,481MN (I.220) f bl,r f v,s 10,481kN 5970,87kN (I.221) De halverede stangkræfter er mindre end blokforskydningsbæreevnen ( f bl,r ), hvilket betyder at konstruktionen holder. Der skal også undersøges for hulsvækkelse. Figur I.45: Længder til blokforskydning. For at regne hulsvækkelsesbæreevnen, regnes areal af tværsnittet af pladen med og uden bolte. A uden bolt = 338 72 = 24336mm 2 A med bolt = 24336 3 (48 72) = 13968mm 2 (I.222) (I.223) Stålet til pladen er af stålstyrkeklasse S355 og bolten er af boltstyrkeklasse 10,9. Det giver følgende bæreevner: N t,r = 24336mm 2 252,53MPa = 6145,57kN N t,r = 0,9 13968mm 2 635,73MPa = 7991,89kN (I.224) (I.225) Denne konstruktion holder også når bæreevnen sammenlignes med de halverede stangkræfter. Det konkluderes at 13 bolte med størrelsen M48 kan holde stangen sammen med forbindelses pladen og at pladetykkelsen på pladen, og stangen kan holde til stangkræfterne.
Afsnit I.8: Deformation 85 I.8 Deformation Formålet med dette bilag er at belyse beregningerne på broens deformation på tværs af kørselsretningen. Når broen belastes fra siden, af vindlast eller bremselast, optager vindafstivningen ved understøtningerne sidekræfterne, men ikke uden at broen deformeres. Ved en undersøgelse af figur I.46, der viser er tværsnit ved understøtning fremgår det klart at, der kun er fire stænger der muligvis kunne deformeres. Disse laves om til en simpel statisk model, se figur I.47. Figur I.46: Broenstværsnit ved en af de to understøtninger i dalen. Udtrykket for stangkræfterne i S A H og S H F kendes fra afsnit 12.4: S A H = S H F = S A H = S H F = Figur I.47: Simpel model af de stænger der deformeres i tilfælde af sidepåvirkning. R FV cos70 Brv +V cos70 (I.226) Ved at løsskære knudepunkt A og regne lodret projektion, bestemmes stangkræfterne S A G og S G D bestemmes: Figur I.48: Løsskæring af knudepunkt A. q p S A G S A H cos20 S A G = S G D = q p Brv +V cos70 cos20 (I.227)
86 Bilag I: Dimensionering Figur I.49: Simpelt model med den påførte fiktive kraft. Der tilføjes en fiktiv kraft 1 k i knude A, da dennes flytning skal bestemmes, og i den retning deformationen ønskes bestemt, se figur I.49. De fiktive stangkræfter findes ved at løsskære knudepunkt A, og regne lodret og vandret projektion. Vandret + : 1 k + S ka F cos70 Lodret + : S ka H = 1 k cos70 (I.228) cos30 1 k cos70 S k A D S ka G = 1 k cos20 cos70 (I.229) Der foretages summation af formel I.230, hvor 1 k er sættes lig med 1. n ( ) Skn S n L n u k = A E 1 (I.230) Hvilket giver: Hvor: ( cos20 cos70 ( q p Brv+V u y = cos70 cos20 )) L 1 A 1a E ( cos20 cos70 ( q p Brv+V + cos70 cos20 )) L 1 A 1b E +2 ( ) 1 cos70 Brv+V cos70 L 2 A 2 E (I.231) L 1 er længden på stang A G samt stang G D = 11m L 2 er længden på stang A H samt stang H F = 137m A 1a er tværsnitsarealet på stang A G = 20060mm 2
Afsnit I.8: Deformation 87 A 1b er tværsnitsarealet på stang G D = 43890mm 2 A 2 er tværsnitsarealet på stang A H og stangh F =2642mm 2 E er stængernes E-modul = 210GPa Dette giver en deformation i vandret plan på 186mm. Det vejledende krav til den maksimale tilladelige deformation af denne type konstruktion er [Bonnerup & Jensen 2002, s. 29]: u k h = 44mm (I.232) 500 En nærmere undersøgelse af formel I.231, giver andledning til at undersøge hvilken effekt det ville have at øge arealet på en eller flere af de stænger, der holder mod deformation. Ved at øge vindafstivningens radius til 72mm, fås en deformation på 44mm, hvilket tyder på at den dimension der blev valgt for vindafstivningen ikke var tilstrækkelig. Deformationerne ses på figur I.50. Figur I.50: Deformationerne i gittertoppen.
88 Bilag I: Dimensionering
Bilag J Vandføring i Mastrup bæk J.1 Udførelse af målinger Målingerne blev foretaget i et tværsnit af bækken, hvor der kunne antages trapezform. Derved kan tværsnittets areal bestemmes efter at have målt højden, bredden af bunden og bredden af skråningerne. Målingerne blev foretaget vha. af en vingemåler, som er en propel, der måler vandhastigheden i et punkt udfra antal omdrejninger pr. minut. J.2 Måleresultater Behandling af måleresultaterne fra målinger i Mastrup bæk baseres på Måling af vandføring i åbne kanaler [Rasmussen 2002]. Der blev målt i syv forskellige nedstik. Fem nedstik med en dybde på ned til 0,20m (nedstik 3-7) og to nedstik, nedstik 2 og 8, med en dybde på ned til 0,10m, se figur J.1. Resultaterne ses i tabel J.1. Højden sættes lig 0 i bunden af bækken. Figur J.1: Målepunkter i bækken. J.2.1 Vandføring Tællerens resultat omregnes til strømningshastigheder i målepunkterne vha. en kalibreringstabel for Ott-Fluegel Nr. 36830. Dernæst bruges strømningshastighederne til at beregne arealhastighederne i nedstikkene og derefter vandføringen i bækken. Hvis hastighedfeltet kendes overalt i bækken, 89
90 Bilag J: Vandføring i Mastrup bæk Nedstik (j) Måling (i) Tæller Hastighed (u i ) [ m s ] y i [m] x i [m] 1 1 0,000 0,20 0,00 2 1 0,000 0,10 0,15 2 2 36 0,064 0,15 0,15 2 3 0,064 0,20 0,15 3 1 0,000 0,00 0,30 3 2 143 0,175 0,05 0,30 3 3 232 0,256 0,10 0,30 3 4 222 0,249 0,15 0,30 3 5 0,249 0,20 0,30 4 1 0,000 0,00 0,50 4 2 246 0,271 0,05 0,50 4 3 306 0,329 0,10 0,50 4 4 322 0,345 0,15 0,50 4 5 0,345 0,20 0,50 5 1 0,000 0,00 0,70 5 2 261 0,285 0,05 0,70 5 3 267 0,291 0,10 0,70 5 4 287 0,310 0,15 0,70 5 5 0,310 0,20 0,70 6 1 0,000 0,00 0,90 6 2 172 0,198 0,05 0,90 6 3 208 0,233 0,10 0,90 6 4 234 0,258 0,15 0,90 6 5 0,258 0,20 0,90 7 1 0,000 0,00 1,10 7 2 104 0,131 0,05 1,10 7 3 146 0,172 0,10 1,10 7 4 139 0,165 0,15 1,10 7 5 0,165 0,20 1,10 8 1 0,000 0,10 1,20 8 2 49 0,077 0,15 1,20 8 3 0,077 0,20 1,20 9 1 0,000 0,20 1,30 Tabel J.1: Måleresultater. beregnes vandføringen udfra formel J.1. Q = u(x, y)dydx X Y (J.1) Det er dog ikke fysisk muligt at måle vandføringen kontinuert overalt i et tværsnit af bækken, derfor laves i stedet et hastighedsfelt baseret på diskrete målinger, der skal repræsentere det virkelige hastighedsfelt i et tværsnit af bækken. Dette er dog en metode, der skal anvendes med forbehold, da både vandføringen og tværsnittets udseende, kan ændre sig som følge af f.eks. regn, aflejringer og bevoksning i bunden. Derfor er strømføringen for bækken beregnet på baggrund af målinger kun et tilnærmet udtryk for strømningen i bækken på det aktuelle tidspunkt og i det aktuelle tværsnit.
Afsnit J.2: Måleresultater 91 Vandføringen i det aktuelle tværsnit beregnes på baggrund af hastighedsfeltet udfra formel J.2. Hvor: Q er vandføringen i tværsnittet B er vandløbets bredde Y (x) er den lokale vanddybde Q = B Y (x) 0 0 u(x, y)dydx (J.2) u(x,y) er hastigheden i et punkt i tværsnittet Figur J.2: Hastighedsprofiler i tværsnit. På figur J.2 ses et eksempel på hvordan hastighedsprofiler, baseret på målinger i nedstik på tværs af bækken, kan se ud. I dette angiver pilenes længder ud af planen. Arealet under hastighedsprofilerne kaldes arealhastigheden og defineres som: Hvor: Y (x) q(x) = u(x, y)dy 0 (J.3) q(x) er arealhastigheden i afstanden x fra den ene bred. Derefter beregnes den samlede vandføring som: Derudover findes middelhastigheden som: B Q = q(x)dx 0 (J.4) U = Q A (J.5) Hvor:
92 Bilag J: Vandføring i Mastrup bæk A er tværsnitsarealet Dette vil sige at den enkelte hastighedsmåling i Mastrup bæk, kan betragtes som en del af middelværdiens bestemmelse i formel J.5. Arealhastigheden På baggrund af måleresultaterne beregnes arealhastigheden i de forskellige nedstik vha. af et trapezdiagram. Der laves dog nogle antagelser, for at gøre denne metode praktisk anvendelig, da det som tidligere nævnt ikke er muligt at måle hastigheden i tilstrækkeligt små intervaller i nedstikket. Derudover er det heller ikke muligt at måle hastigheden på bunden og i vandspejlet. Derfor antages følgende: Ved bunden tilnærmes strømhastigheden 0. Hastigheden i overfladen er den samme, som i det øverste målepunkt. Hastigheden varierer lineært mellem målepunkterne. Figur J.3: Trapezdiagram over nedstik 4. Udfra disse antagelser giver vanddybden som funktion af hastigheden indtegnet i en graf et trapez-diagram, se figur J.3. Arealhastigheden q j findes derefter som summen af arealerne af trapezerne på figur J.3, hvilket giver følgende udtryk: Hvor: q j = 1 2 n 1 ((u i + u i+1 ) (y i+1 y i )) i=1 (J.6) j er nedstikkets nummer angivet fra den ene bred n er antallet af målepunkter i nedstikket inkl. hastigheden i vandspejlet og på bunden i er målepunktets nummer i nedstik nummer j Denne beregningsmetode gøres mere nøjagtig ved at indføre endnu en antagelse, der bygger på viden om hastighedsprofilets udseende tæt på bunden. Hastighedsprofilet nær bunden antages at være parabelformet.
Afsnit J.3: Beregning af vandføringen i Mastrup bæk 93 Dette giver følgende generelle formel for arealhastigheden: q i = 2 3 (u 2) (y 2 y 1 ) + 1 2 n 1 ((u i + u i+1 ) (y i+1 y i )) i=2 Forudsat parabelformet hastighedsprofil i de nederste 0,10m i nedstik 3-7 og de nederste 0,05m i nedstik 2 og 8, tilpasses formel J.7 til målingerne fra Mastrup bæk, og følgende formler bruges til beregning af arealhastigheden: (J.7) q j = 2 3 u 2 (y 2 y 1 ) + 1 2 (u 2 + u 3 ) (y 3 y 2 ) hvor j = 2 og 8 (J.8) q j = 2 3 u 3 (y 3 y 1 ) + 1 2 ((u 3 + u 4 ) (y 4 y 3 ) + (u 4 + u 5 ) (y 5 y 4 )) hvor j = 3, 4, 5, 6 og 7 (J.9) Dvs. formel J.8 bruges i nedstik 2 og 8 og formel J.9 bruges i nedstik 3-7. Følgende ses eksempler på udregning af arealhastighederne, og resultaterne ses i tabel J.2 q 2 = 2 3 0,064m s + 1 2 = 0,0053 m2 s (0,15m 0,10m) ( 0,064 + 0,064 m s q 3 = 2 3 0,256m (0,10m 0,00m) s + 1 ( 2 (0,256 m s + 0,249m ( s + 0,249 m s + 0,249m s ) (0,20m 0,15m) ) (0,15m 0,10m) ) (0,20m 0,15m)) = 0,0421 m2 s (J.10) Nedstik 1 2 3 4 5 6 7 8 9 q j [10 3 m2 ] 0,00 5,33 42,1 56,0 49,9 40,7 28,1 6,40 0,00 s Tabel J.2: Arealhastigheden i de forskellige nedstik. J.3 Beregning af vandføringen i Mastrup bæk Som tidligere nævnt findes den samlede vandføring udfra formel J.4, der omskrives til trapezintegralet af arealhastigheden, se figur J.4: Hvor: Q = 1 n 1 2 j=1 ((q j + q j+1 ) (x j+1 x j )) (J.11) x er afstanden fra den ene bred til nedstik nr. j
94 Bilag J: Vandføring i Mastrup bæk Figur J.4: Arealhastigheden som funktion af bredden. Formel J.11 kan ligesom formel J.6 for arealhastigheden gøres mere nøjagtig, ved at antage at hastighedsprofilet er parabelformet ved hver bred. Det vurderes dog at dette ikke vil give den store afvigelse i beregningerne af vandføringen, da arealhastighederne i nedstik 2 og 8 er små i forhold til i midten af tværsnittet i nedstik 3-7. Vandføringen beregnes derfor udfra formel J.11: Q = 1 ((0,00 + 0,00533) (0,15 0,00) + (0,00533 + 0,0421) (0,30 0,15) 2 +(0,0421 + 0,0560) (0,50 0,30) + (0,0560 + 0,0499) (0,70 0,50) +(0,0499 + 0,0407) (0,90 0,70) + (0,0407 + 0,0281) (1,10 0,90) +(0,0281 + 0,00640) (1,20 1,10) + (0,00640 + 0,00) (1,30 1,20)) m3 s = 0,0426 m3 s (J.12) J.3.1 Fejlkilder ved målinger Som nævnt i afsnit J.2.1, er det umuligt at lave nok målinger til at give et fuldstændigt billede af strømhastighederne i et tværsnit af bækken. Samtidig er de enkelte målinger også lavet over en periode på kun et minut, hvilket også kan give afvigelser. Både fordi strømhastigheden kan svinge indenfor kortere tidsintervaller, og fordi det ville give en bedre gennemsnitsværdi ved at måle kontinuerligt over en længere periode. Det er dog også en kilde til unøjagtighed, at målingerne er lavet over en længere tidsperiode, da der ikke kunne foretages mere end en måling ad gangen. Dette skaber en konflikt, da det ikke er muligt at måle i længere tid i det samme punkt og samtidig få lavet alle målingerne indenfor et rimeligt tidsinterval. For at se om målingerne har givet et rimeligt resultat for tværsnittet i måletidspunktet, kunne der efterfølgende være lavet en ekstra måling i de samme punkter. Denne måling skulle, hvis ikke det er begyndt at regne meget i mellemtiden, give nogenlunde det samme resultat. En anden væsentlig fejlkilde er placeringen af vingemåleren i forhold til strømretningen, da denne for at kunne måle strømhastigheden nøjagtigt, skal vende parallelt med strømlinierne, se figur 13.2.
Afsnit J.3: Beregning af vandføringen i Mastrup bæk 95 J.3.2 Dimensionsgivende vandføring Da der ikke foreligger statistiske målinger om vandføringen i Mastrup bæk, vurderes det om den beregnede vandføring kan bruges som dimensionsgivende vandføring ved dimensioneringen af regnvandsbassinet. Ved at sammenligne resultatet med en lignende måling foretaget på den samme strækning af bækken to uger tidligere, vurderes det at det vil være rimeligt at anvende en værdi på 0,045m 3 /s som dimensionsgivende vandføring, da denne måling gav et resultat på ca. 0,050m 3 /s.
96 Bilag J: Vandføring i Mastrup bæk
Bilag K Afvanding K.1 Afstrømning Afstrømningen fra broen og den del af vejen der forventes at bidrage til afstrømning i punktet, hvor broen og vejen mødes, punkt A, se figur K.1, beregnes udfra den rationelle formel. Hvis ikke andet er angivet bruges Veje og Stier [Thagesen et al. 1998, s. 177-179] som kilde til dette afsnit. Figur K.1: Tilnærmet tværprofil. K.1.1 Den rationelle formel Afstrømningen fra et område beregnes udfra den rationelle formel, se formel K.1. Q = ϕ I A (K.1) Hvor: Q er afstrømningen fra oplandet. ϕ er afløbskoefficienten, der afhænger af, på hvilken type overflade afstrømningen finder sted. Den kan variere mellem 0 og 1 (0-100%) afhængigt af hvor stor en del af vandet, der strømmer af fladen. I er regnintensiteten. A er oplandets areal, som er det areal, hvorfra der sker en afstrømning til punktet. 97
98 Bilag K: Afvanding Afløbskoefficienten Afløbskoefficienten (ϕ) afhænger af overfladens type og derfor af: Befugtning, der er den del af vandmængden, der bindes til overfladen. Lavningsmagsinering, der er den del af vandmængden, der samles i pytter på overfladen. Interception, der er den del af vandmængden, der opfanges af planter eller lignende. Infiltration, der er den del af vandmængden der siver ned gennem huller og sprækker i en permeabel overflade. Fordampning, der er den del af vandmængden, der fordamper fra overfladen. Heraf kaldes de tre første for initiale tab, da det er tab, der udelukkende sker i starten af nedbørsperioden, mens der ses helt fra fordampningen, da den er så lille, at den reelt ikke har nogen betydning. For overflader med stor permeabilitet er infiltrationen den faktor, der har mest betydning for afløbs-koefficienten, da der her vil ske en væsentlig nedsivning og derfor en mindre afstrømning. Som følge heraf bliver afløbskoefficienten tæt på 0. Omvendt er det ved tilnærmede impermeable flader, hvor afløbskoefficienten er tæt på 1, de tre første faktorer der er dominerende. ϕ Overfladens karakter 0 Ikke belagte vejarealer 0,5 Belagte vejarealer med trug eller grøft 1 Belagte vejarealer med kantopsamling Tabel K.1: Afløbskoefficienten. Da vejen anlægges med grøfter og broen med kantopsamling, sættes afløbskoefficienten for vejen og broen til henholdsvis 0,5 og 1. Regnintensiteten Regnintensiteten (I) findes vha. en landsregnrækketabel for Danmark. En landsregnrækketabel angiver et gennemsnitstal for sammenhængen mellem regnvarigheden (t r ), antallet af forekomster pr. år (n) samt regnintensiteten i Danmark. Tabellen er opstillet på basis af meteorologiske observationer fra 6 forskellige steder i Danmark over 139 år. Den dimensionsgivende regnintensitet sættes til 140 l/s/ha for 10 minutters regn som et landsgennemsnit, men for regionen omkring Aalborg kan anvendes en værdi på 145 l/s/ha for 10 minutters regn, hvilket svarer til n = 1 2 og dermed en overbelastning hvert andet år, se tabel K.1.1. Det er dog kun gældende når afløbstiden, dvs. den tid det tager en regndråbe at bevæge sig den længst mulige afstand i oplandet og hen til punktet hvori vandstrømningen ønskes, ikke er over 10 minutter. dette beregnes i afsnit K.2. I tilfælde af at afløbstiden er over 10 minutter, ses der stadig på en overbelastning hvert andet år, men der vælges i stedet en regnintensitet hvor regnvarigheden sættes lig afløbstiden. Oplandets areal Da oplandets areal er det areal, hvorfra der sker en afstrømning, inkluderer dette både vejen og broens areal og eventuelle grøfter og rabatter. Derudover sker der også en afstrømning fra skråninger langs vejen, hvilket der dog ses bort fra i beregningerne. Dette gøres, da der kun er skråninger på ca. 50m af den strækning, hvorpå der regnes afvanding, og det vurderes at disse skråninger får
Afsnit K.1: Afstrømning 99 t r Minutter n 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 1/139 503 349 320 299 288 271 253 233 213 198 185 175 1/100 473 342 299 278 259 246 229 213 199 189 180 171 1/50 387 317 264 243 207 184 164 148 137 127 122 114 1/20 337 290 240 210 177 154 135 120 107 100 93 86 1/10 307 233 189 158 147 126 110 101 92 84 78 72 1/5 253 193 153 128 107 93 82 74 68 64 58 56 1/2 200 137 107 91 77 68 60 55 51 47,0 44,8 42,5 1 150 108 86 70 60 52 48,6 43,8 39,6 37,3 34,8 33,3 2 117 80 63 53 46,0 41,1 37,1 34,2 31,5 29,3 27,6 26,1 5 80 53 40,0 33,3 29,3 26,1 23,8 22,1 20,4 19,0 18,2 17,2 t r Timer n 2 4 6 8 10 12 16 20 24 36 48 96 1/139 133 72 48,0 36,1 28,9 24,0 18,1 14,5 12,1 8,9 6,7 4,09 1/100 118 63 42,8 33,0 26,7 22,4 16,9 13,7 11,7 8,8 6,6 3,98 1/50 64 43,7 33,0 25,7 20,9 17,6 13,2 12,0 10,5 7,6 6,1 3,43 1/20 47,8 27,8 19,8 15,1 14,5 13,3 10,1 8,4 7,0 4,98 3,76 2,51 1/10 42,9 23,3 17,0 13,5 11,4 9,8 7,7 6,3 5,5 4,10 3,51 2,06 1/5 32,8 20,1 15,3 12,0 9,9 8,6 6,6 5,6 4,79 3,53 2,86 183 1/2 26,1 15,8 11,6 9,4 7,9 6,9 5,6 4,61 3,98 2,96 2,40 1,48 1 20,6 13,1 9,4 7,7 6,4 5,6 4,46 3,75 3,36 2,50 2,05 1,27 2 16,5 10,3 7,8 6,2 5,2 4,54 3,66 3,08 2,71 2,04 1,62 1,02 5 11,3 7,2 5,4 4,38 3,64 3,15 2,48 2,11 1,85 1,37 1,12 0,69 Tabel K.2: Landsregnrækker for Danmark [Thagesen et al. 1998]. en meget lille hældning for at få området omkring vejen til at se mere naturligt ud. Derfor bliver afløbstiden meget stor i forhold til afløbstiden fra vejen, og vandmængden fra skrænterne vil derfor ikke bidrage til afstrømningen samtidig med vandmængden fra vejen undtagen ved meget lange regnperioder hvor regnintensiteten er væsentligt mindre. Derudover vil overfladen på skråningerne, som beplantes, også få en meget lille afløbskoefficient i forhold til vejen. På tegning 1.5 i tegningsmappen ses vejens og broens tværsnit med grøfter og rabatter og vejens længdeprofil. Udfra disse bestemmes arealet, hvorfra der sker en afstrømning. A = L B (K.2) Hvor: A er afstrømningsarealet L er længde af bro/vej B er bredde af vej/bro inkl. grøfter og rabatter A ve j = 376,7m 17,8m = 6709m 2 = 0,671ha A bro = 260m 12m = 3120m 2 = 0,312ha (K.3) (K.4)
100 Bilag K: Afvanding Det reducerede areal Det reducerede areal, der bruges i dimensioneringen af regnvandsbassinet, fås ved at multiplicere oplandsarealet med de pågældende afløbskoefficienter. A red = ϕ ve j A ve j + ϕ bro A bro = 0,5 0,671ha + 1,0 0,312ha = 0,648ha (K.5) K.1.2 Samlet afstrømning Den totale afstrømning fra arealet i det pågældende punkt, beregnes herefter som summen af afstrømningen på henholdsvis vejen og broen, hvori afstrømningen fra grøfter og kantopsamlinger medtages. Q ve j = I ϕ ve j A ve j = 145 l s ha 0,5 0,671ha = 48,6 l s = 0,0486m3 s Q bro = I ϕ bro A bro = 145 l s ha 1,0 0,312ha = 45,2 l s = 0,0452m3 s Q samlet = Q ve j + Q bro = 93,8 l s = 0,0938m3 s (K.6) (K.7) (K.8) K.2 Grøfter Som tidligere nævnt vælges der i dette projekt at bruge en grøft med standardtværsnit. Derfor er det ikke nødvendigt at dimensionere grøften, hvis den er stor nok til at klare afstrømningen. Dette undersøges ved at beregne den naturlige dybde i grøften i det tilfælde, hvor afstrømningen fra vejen er givet ved den dimensionsgivende regnmængde. Teori til dette afsnit er taget fra Hydraulik [Brorsen & Larsen 2002], hvis ikke andet angives. Figur K.2: Tværsnit af grøft. Den naturlige dybde (y o ) beregnes ved intervalhalveringsmetoden, der er baseret på iteration. Beregningerne foretages i beregningsprogrammet Mathcad. Det er nødvendigt at opstille tværsnitsarealet (A) af vandføringen og middelhastigheden (V ) som funktion af den naturlige dybde K.2.1 Tværsnitsareal af vandføring Arealet af en trapez, se figur K.2, beregnes udfra formel K.9. Erstattes højden (h) med den naturlige dybde, fås arealet som funktion af den naturlige dybde, se formel K.10. Hvor: h er grøftens højde B er bundens bredde A = h B + a h 2 (K.9)
Afsnit K.2: Grøfter 101 a er sidernes anlæg A(y o ) = y o B + a y 2 o = 0,40m y o + 2y 2 o Når tværsnittes areal er fundet beregnes den hydraulisk radius (R). R = A P (K.10) (K.11) Hvor: P er den våde perimeter, som er længden af de sider af tværsnittet, der er i kontakt med vandspejlet. Da den afhænger af den naturlige dybde, fås følgende funktion: P(y o ) = 2y o 1 + a 2 + B = 2 5y o + 0,40m (K.12) Derfor bliver den hydrauliske radius også en funktion af den naturlige dybde. R(y o ) = A(y o) P(y o ) (K.13) K.2.2 Middelhastighed Vandets middelhastighed (V ) beregnes udfra modstandsformlen: Hvor: I er energiliniegradienten f er friktionstallet I = f V 2 2 g 1 R (K.14) g er tyngdeaccelerationen, som sættes til 9,81m/s 2 Energiliniegradienten Det antages, at strømningen i grøften er stationær og ensformig, hvilket medfører konstant vanddybde og hydrostatisk trykfordeling. Da der er frit vandspejl, er trykket 0 ved overfladen. Derfor bliver hældningen af tryklinien og energilinien parallelle med bunden, og energiliniegradienten bliver derfor den samme som bundens hældning målt i promille. På figur 14.1 ses hældningen af vejen og dermed også af grøften. I = 0,00597 (K.15) Friktionstallet Til beregning af friktionstallet ( f ) bruges Colebrook og Whites tilnærmede formel for ru ledninger. ( ) 2 k = 6,4 2,45 ln (K.16) f R Hvor:
102 Bilag K: Afvanding k er den ækvivalente sandruhed, som sættes til 200 10 3 m for grødefrit vandløb. Da friktionstallet afhænger af den hydrauliske radius, kan den opstilles som funktion af den naturlige dybde. K.2.3 2 f (y o ) = ( )) 2 (K.17) 6,4 2,45ln( 200 10 3 m R(y o ) Til sidst opstilles middelhastigheden som funktion af den naturlige dybde. 2 9,81 m R(y s V (y o ) = 2 o ) 0,00597 f (y o ) Beregning af naturlig dybde (K.18) Da vandføringen (Q) beregnes udfra tværsnitsarealet og middelhastigheden, opstilles følgende funktion: Hvor: Q = A(y o) V (y o ) F(y o) = A(y o) V (y o ) Q (K.19) Q er den dimensionsgivende vandføring, som maksimalt bliver 85% af den samlede afstrømning fra vejen, da arealet af den ene grøft ikke regnes med, se figur K.3. Q grø ft = 0,85 Q ve j = 0,85 0,0486 m3 s = 0,0413m3 s (K.20) Figur K.3: Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.1. F(y o ) er en funktion, der løses vha. interval-halveringsmetoden i beregningsprogrammet Mathcad. Løses F(y o ) for en startværdi på 0,05 m, fås følgende værdier for den naturlige vanddybde og middelhastigheden i grøften efter to iterationer: y o = 0,158m (K.21) V (y o ) = 0,368 m s (K.22) Heraf ses at ved den dimensionsgivende vandføring, vil vandstanden kun stå omkring en tredjedel op i grøften. Denne udregning er dog baseret på ruheden for et grødefrit vandløb, hvorfor det også kunne være interresant at undersøge grøften hvis det forudsættes at den får lov til at gro til. Herved ville ruheden blive større og den naturlige dybde blive tilsvarende. Men det vurderes dog denne stigning vil være så lille at grøften vil kunne klare vandmængden alligevel, og derfor er grøftens dimensioner tilstrækkelige.
Afsnit K.3: Regnvandsbassin 103 Afstrømningstiden i grøften beregnes udfra formel K.21 og K.22: t = K.3 Regnvandsbassin L V (y o ) = 376,7m 0,368 m = 1024s 17,0min (K.23) s Regnvandsbassinet dimensioneres udfra standarderne og normerne i afsnit 14.3. Det dimensioneres for den samlede vandføring fra vejen baseret på den dimensionsgivende 10 minutters regn men det undersøges også for andre regnintensiteter. Efterfølgende kontrolleres bassinets størrelse ved hjælp af simple metoder. Ved hjælp af Stokes lov, formel K.27, beregnes stigehastigheden for de uønskede partikler i bassinet. Dette bruges til at undersøge om formel K.24 [Teknisk Forlag 2000] er opfyldt. Uligheden angiver, om den tid det tager vandet at løbe igennem bassinet, er større end den tid, det tager for partiklerne at bundfælde. Hvor: l er sandfangets effektive længde v h er vandets horisontale hastighed v s er partiklens vertikale stigehastighed l v h h v s (K.24) h er højden partiklerne skal stige, og derfor blive denne højde negativ, da partiklerne skal bundfældes. Middelhastigheden af regnvandet igennem sandfangsbassinet beregnes således: v h = Q A (K.25) Hvor: Q er den samlede vandføring fra vejen og broen A er væskearealet på tværs af strømretningen Da regnvandsstrømmen er givet fra formel 14.1, og det tværgående areal ses i afsnit 14.3.2, bliver middelhastigheden: v h = 0,0932 m3 s 3,19m 2 = 0,029 m s Stokes lov definerer, hvorledes partiklers stigehastighed beregnes. (K.26) Hvor: d er diameteren for partiklen ρ v er regnvandets densitet v s = 0,545 d 2 ρv ρ p η (K.27)
104 Bilag K: Afvanding ρ p er partiklens densitet η er regnvandets dynamiske viskositet De to densiteter, og den dynamiske viskositet findes i Afløbs Ståbi [Teknisk Forlag 2000]. kg v s = 0,545 0,0001m 2 999,8 2650 kg m 3 m 3 = 0,00688 m (K.28) 1,307 10 3 Ns s m 2 Fortegnet i resultatet i formel K.28 indikerer blot, at stigehastigheden for partiklerne er negativ. Dette medfører, at der sker nedfældning. Uligheden løses nu ved hjælp af førnævnte resultater. Heraf fås: 3m 0,029 m s 0,6m 0,00688 m s (K.29) 103,4s 88,82s (K.30) Da formel K.30 er sand, fortsættes beregningerne med de forudsatte antagelser. Dimensionerne af bassinbunden aflæses i afsnit 14.3.2. Disse mål fremkommer fra tidligere bestemte normer og standarder. Sandfangsbassinets volumen betstemmes til: V sand = h 6 ((2a 1 + a 4 ) b 1 (2a 4 + a 1 ) b 2 ) = h 6 (a 1 b 1 + (a 1 + a 4 ) (b 1 + b 2 ) + a 4 b 2 ) (K.31) Hvor: a 1 er længden i sandfangsoverfladen a 4 er længden i sandfangsbunden b 1 er bredden i sandfangsoverfladen b 2 er bredden i sandfangsbunden h 1 er højden i bassinet Dette medfører at volumen af sandfangsbassinet bestemmes ved: V sand = 0,6m 6 (3m 7m + (3m + 0,6m) (7m + 4,6m) + 0,6m 4,6m) = 6,55m 3 (K.32) Opholdsbassinet dimensioneres udfra samme metoder som for sandfangsbassinet. Derudover er der en restriktion, der siger at bassinet mindst skal indeholde 250 m 3 pr. reduceret ha [Vejregelrådet 2001, s. 30], hvor det reducerede areal er bestemt fra formel K.5. V bassin = 250 m3 ha A red = 250 m3 0,648ha = 162m3 (K.33) ha Det bevirker, at bassinet skal have et volumen på mindst 162 m 2. Ved hjælp af formel K.31 samt afsnit 14.3.2 opstilles en lignende formel for den fintrensende del af bassinet. V bassin = h 6 ((2a 3 + a 5 ) b 1 (2a 5 + a 3 ) b 2 ) = h 6 (a 3 b 1 + (a 3 + a 5 ) (b 1 + b 2 ) + a 3 b 2 ) (K.34) Hvor:
Afsnit K.4: Rørstrømning 105 a 3 er længden i overfladen af den fint rensende del a 5 er længden i bunden af den fint rensende del b 1 er bredden i overfladen af den fint rensende del b 2 er bredden i bunden af den fint rensende del h 2 er højden i bassinet Det medfører at volumen for den fintrensende del bliver: V bassin = 0,8m 6 (37m 7m + (37m + 34,4m) (7m + 4,6m) + 34,4 4,6m) = 166,06m 3 (K.35) Opholdsbassinet er nu bestemt, og det stemmer overens med de standarder og normer, der blev fremsat i begyndelsen af dette afsnit. Dimensionerne af bassinet er i øvrigt i god overenstemmelse med eksempler fra Afvandingskonstruktioner [Vejregelrådet 2001]. Stuvningshøjden i anlægget er som tidligere nævnt sat til 0,6m. Derudover er anlægget sat til 5. De nødvendige mål ses i afsnit 14.3.2, og dermed udregnes stuvningvolumen på samme måde som de to foregående volumener. V stuvning = h 6 ((2a 7 + a 6 ) b 3 (2a 6 + a 7 ) b 1 ) = h 6 (a 7 b 3 + (a 7 + a 6 ) (b 3 + b 1 ) + a 7 b 1 ) (K.36) Hvor: a 7 er længden i stuvningsoverfladen a 6 er længden i stuvningsbunden b 3 er bredden i stuvningsoverfladen b 1 er bredden i stuvningsbunden h 3 er højden i stuvningsvolumen Stuvningvolumen bliver da: V stuvning = 0,6m 6 (47m 13m + (47m + 41m) (13m + 7m) + 41 7m) = 265,80m 3 (K.37) Det bevirker, at stuvningsvolumen er væsentlig større end opholdsvolumen. K.4 Rørstrømning Ved dimensioneringen af et rør er det ruheden og vandføringen der har størst betydning, og det er derfor ikke ligemeget om der dimensioneres for et halvfyldt eller et fuldtløbende rør, da modstanden fra ruheden nødvendigvis bliver større for et fuldtløbende. Derudover er det også vigtigt at undersøge trykket i røret, og derfor tages der udgangspunkt i energiligningen for et rør. Rørene dimensioneres som fuldtløbende og hvis ikke andet angives bruges Hydraulik [Brorsen & Larsen 2002] som kilde.
106 Bilag K: Afvanding Energiligningen For et fuldtløbende rør antages strømlinierne at være parallelle med rørets bund, og trykfordelingen i et lodret snit kan derfor sammenlignes med trykfordelingen i en hvilende væske. Dermed siges der at være hydrostatisk trykfordeling i vandet, og energiligningen skrives derfor på følgende måde: Hvor: ( z + p ) + α A VA 2 γ A 2g z er trykniveauets højde i forhold til et udgangsniveau. p er trykket i vandet. ( = z + p ) + α B VB 2 + H AB (K.38) γ B 2g γ er den specifikke tyngde, som er produktet af vandets densitet og tyngdeaccelerationen. z + p γ kaldes trykniveauet i vandet. Da strømlinierne, som tidligere nævnt er parallelle, er trykfordelingen i røret den samme som i en hvilende væske, dvs. der er hydrostatisk trykfordeling. Derfor beregnes trykniveauet som forskellen på højden af tryklinien i forhold til et fastsat udgangspunkt ved indløb og udløb. g er tyngdeaccelerationen, der sættes til 9,81 m s 2. α er hastighedsfordelingskoefficienten, der ligger mellem 1,1 og 1,2 for retlinede kanaler. V er vandets hastighed, der antages at være meget lille i rørstrømningens retning før og efter indløb og udløb. α V 2 2g kaldes hastighedshøjden, der er afstanden mellem tryklinien og energilinien i et snit. Da der er parallelle strømlinier og dermed ensformig strømning er hastighedshøjden konstant. H AB er ændringen af energiniveauet mellem to snit, også kaldet energitabet. Energiligningen omskrives herefter udfra ovenstående antagelser. H AB = z A z B (K.39) Hvor: z a og z b er vandspejlshøjden umiddelbart før og efter indløbet målt ud fra samme udgangsniveau. Rørets karakteristik Rørets karakteristik eller specifikke modstand udtrykkes udfra energitabet og vandføringen. Hvor: Hvor: ( K = f i H AB = K Q 2 ) L 2 g R A 2 i ( + ζ j ) 1 2 g A 2 j (K.40) (K.41) f er rørets friktionstal, som findes ud fra Colebrook og Whites formel
Afsnit K.4: Rørstrømning 107 L er rørets længde R er den hydrauliske radius, der afhænger af rørets tværsnitsareal (A) og den våde parameter (P). For et fuldtløbende rør fås: R = A π P = 4 D2 π D = D (K.42) 4 ζ er modstandstallet for enkelttab som følge af indsnævring, udvidelse, indløb, udløb, bøjning eller knæk i røret Friktionstallet Til beregning af friktionstallet bruges den tilnærmede Colebrook og Whites formel for ru ledninger. 0,341 f = ( )) 2 ln( k 14,8 R + 1,65 Re 0,9 (K.43) Hvor: k er den ækvivalente sandruhed af røret Re er Reynolds tal, som er en parameter, der angiver strømningsformen, og beregnes udfra: Hvor: Re = V R ν (K.44) V er vandets middelhastighed i røret, og beregnes som: V = Q A (K.45) ν er vandets kinematiske viskositet, som sættes til 1,307 10 6 m2 s ved 10 o C varmt vand. Re = Q π D ν (K.46) Formel K.43 kan dog kun bruges hvis følgende ulighed gælder: 4 10 5 < k < 0,08 (K.47) R For en ruhed på 0,25 10 3 m betyder dette i praksis at rørets diameter skal ligge indenfor følgende interval, hvis Colebrook og Whites tilnærmede formel for friktionstallet skal kunne bruges. 0,0125m < D < 25,0m (K.48)
108 Bilag K: Afvanding K.4.1 Beregning af rørdiameter Rørets diameter kan ikke umiddelbart beregnes ved indsættelse af kendte værdier i formlerne for energilinien og rørets karakteristik. Men da det kun er diameteren og trykgradienten, der er ukendte, omskrives formlen for rørets karakteristik til en funktion af diameteren, da den kun afhænger af rørets areal og den hydrauliske radius, som kun afhænger af diameteren og vandføringen. K = K(D,Q) Derefter omskrives formel K.49 vha. formel K.39 og formel K.40. (K.49) (z A z B ) K(D,Q) Q 2 = 0 (K.50) Rørets diameter findes ved at løse formel K.51, vha. interval-halveringsmetoden: F(D) = 0 F(D) = H AB K(D,Q) Q 2 (K.51) Til beregningerne bruges Mathcad, da dette vha. af en root-funktion med en startværdi på 0,05m kan beregne diameteren udfra vandføringen, enkelttabskoefficienterne, energitabet, ruheden og rørets længde. Derudover kan også middelhastigheden, rørets karakteristik og friktions- og enkelttabene beregnes. De sidste beregnes udfra det samlede energitab: Hvor: H F er friktionstabet: H E (D) er enkelttabene: H AB = i ( H F (D)) i + ( H E (D)) j H F (D) = f H E (D) = ζ j (K.52) Q 2 L 2 g R(D) A(D) 2 (K.53) Q 2 L 2 g A ( D)2 (K.54) K.5 Dimensionering af rør For at lede vandet væk fra vejen og broen dimensioneres der 4 rør: Rør 1, der leder vandet fra den ene grøft til den anden Rør 2, der leder vandet fra samlingspunktet mellem vejen og broen ned i regnvandsbassinet Rør 3, der en en drosselledning, der leder vandet ind i udløbsbrønden Rør 4, der leder vandet fra udløbsbrønden og ud i bækken Rørene dimensioneres som fuldtløbende, cirkulære plastrør med samme ruhed. Derfor dimensioneres alle rørene for følgende: Den ækvivalente sandruhed (k)= 0,25 10 3 m Tyngdeaccelerationen (g)= 9,81 m s 2 Summen af enkelttabene (ζ)= 2,2 Vands kinematiske viskositet (ν)= 1,308 10 6 m2 s
Afsnit K.5: Dimensionering af rør 109 Enkelttab Da rørene skal dimensioneres for den maksimale vandføring, vælges det også at dimensionere rørene for de maksimale enkelttab på en lige rørstrækning. Dette gøres også da et rør kan blive beskadiget eller jorden omkring røret kan komme til at ligge uhensigtsmæssigt. Derfor vælges der at bruge modstandstallet for et indløb i skarpkantet rør, og ved udløb vælges der at bruge den maksimale hastighedsfordelingskoefficient for retlinede kanaler for at regne på den sikre side. ζ = ζ ind + ζ ud = 1,0 + 1,2 = 2,2 (K.55) K.5.1 Dimensionering af rør 1 Da rør 1 skal forbinde de to grøfter under vejen, er der to tilfælde, der er interessante at undersøge. Umiddelbart virker det mest logisk at undersøge det tilfælde (tilfælde 1.1) hvor hele afstrømningen fra vejen strømmer i den ene grøft, da der her opnås den største vandmængde, der skal ledes under vejen, se figur K.4. Det er dog også interessant at undersøge det tilfælde (tilfælde 1.2( hvor der løber lige meget vand i begge grøfter, da der her vil være mindre tryk på vandet ved indløbet og større tryk ved udløbet, se figur K.5. Røret dimensioneres for en hældning på 10 0 / 00. Tilfælde 1.1 Figur K.4: Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.1. Vandføringen sættes til 85% af den samlede afstrømning fra vejen. Q = 0,0413 m3 s (K.56) Længden af røret er afstanden mellem bunden af grøfterne. L = 14,0m (K.57) Energitabet er summen af højden af, forskellen på den maksimale naturlige dybde (y o (Q(85%))) og den mindste naturlige dybde (y o (Q(15%))), og højdeforskellen (h) på rørets indløb og udløb. Tilfælde 1.2 H = y o (Q(85%)) y o (Q(15%)) + 10 0 / 00 L = 0,158m 0,0073m + 0,14m = 0,222m (K.58) Vandføringen sættes til det halve af den samlede afstrømning fra vejen. Q = 1 2 0,0486m3 s = 0,0243m3 s (K.59)
110 Bilag K: Afvanding Figur K.5: Afstrømning fra vejen i tilfælde 1.2. Længden er den samme som i tilfælde 1.1. L = 14,0m (K.60) Energitabet er højdeforskellen (h) på rørets indløb og udløb. H = 10 0 / 00 L = 0,14m (K.61) Valg af diameter Tilfælde 1.1 1.2 Diameter 0,219m 0,192m Middelhastighed 1,10m/s 0,84m/s Rørets karakteristik 131s 2 /m 5 239s 2 /m 5 Friktionstab 2,13m 2,55m Enkelttab 3,26m 3,25m Tabel K.3: Rør 1. I tabel K.3 ses det at enkelttabet udgør den største del af energitabet og at rørets karakteristik er væsentligt højere i tilfælde 1.2. Derfor er der heller ikke særlig stor forskel på diametrene, selvom der i tilfælde 1 skal ledes en væsentligt større vandmængde igennem røret. Da der er sving på vejen, forekommer både tilfælde 1.1 og 1.2. Derfor vælges tilfælde 1.1 som dimensionsgivende diameter. K.5.2 Dimensionering af rør 2 Rør 2 skal forbinde grøfterne med regnvandsbassinet. Det betyder at røret skal føre vandet ned af bakken og derfor får et fald og en hastighed der er væsentligt højere end i rør 1. Derfor undersøges der igen to tilfælde, for at se om det kan lade sig gøre at sænke hastigheden i røret betydeligt ved at gøre hældningen mindre. Hældningen på røret gøres mindre ved at lade røret gå på langs ad bakken, hvilket dog også giver et længere rør. Først undersøges tilfælde 2.1, hvor røret går i en lige linie mellem grøften og regnvandsbassinet med en hældning på 67,5 0 / 00, se figur K.6, hvor regnvandsbassinet er placeret umiddelbart under broen. Derefter undersøges tilfælde 2.2, hvor røret får en hældning på 20 0 / 00, hvor bassinet placeres et stykke fra broen. Tilfælde 2.1 Vandføringen sættes til den samlede afstrømning fra vejen og broen. Q = 0,0938 m3 s (K.62)
Afsnit K.5: Dimensionering af rør 111 Figur K.6: Tilnærmet tværprofil. Længden er afstanden fra grøften til regnvandsbassinet. L = 22,1m 67,5 0 / 00 = 327,4m (K.63) Energitabet sættes lig højdeforskellen mellem rørets indløb og udløb, da det vurderes at vandets højde over indløbet vil være så lille i forhold til den samlede højde, at det maksimalt kan give en millimeters forskel. Ved udløbet placeres røret over regnbassinets stuvningshøjde, og vandet vil derfor have frit udløb, se figur K.7. H = 22,1m (K.64) Figur K.7: Eksempel på et klassisk regnvandsbassin. Tilfælde 2.2 Vandføringen er den samme som i tilfælde 2.1. Q = 0,0938 m3 s (K.65) Længden er afstanden fra grøften til regnvandsbassinet. L = 22,1m 20,0 0 / 00 = 1105m (K.66) Energitabet er det samme som i tilfælde 2.1. H = 22,1m (K.67)
112 Bilag K: Afvanding Tilfælde 2.1 2.2 Diameter 0,191m 0,240m Middelhastighed 3,27m/s 2,07m/s Rørets karakteristik 2,51 10 3 s 2 /m 5 2,50 10 3 s 2 /m 5 Friktionstab 222m 229m Enkelttab 12,8m 5,14m Tabel K.4: Rør 2. Valg af diameter Som det fremgår af tabel K.4 udgør enkelttab kun en lille del af den samlede energitab. Derudover ses det at rørets hældning skal reduceres meget, og længden dermed gøres meget længere før der opnås en betydelig hastigheds reducering. Derfor vælges det i stedet at benytte den metode, der er beskrevet i afsnit 14.3.1, hvor der laves en horisontal tragt, til at reducere hastigheden før regnvandsbassinet. Rør 2 dimensioneres derfor udfra tilfælde 2.1. K.5.3 Dimensionering af rør 3 Da der som tidligere nævnt kun må lukkes mellem 5 og 10% af den nuværende strømning ud i bækken, skal rør 3 der forbinder regnvandsbassinet med udløbsbrønden, dimensioneres udfra dette. Der vil også her være to tilfælde som er interessante at undersøge, da der er forskel på vandføringen i røret når vandstanden i regnvandsbassinet ændres. I tilfælde 3.1 antages det at vandet kun lige når op over røret, mens det i tilfælde 3.2 antages at regnvandsbassinet er helt fyldt, dvs. der er maksimal stuvningshøjde. Røret dimensioneres for et fald på 30 0 / 00 mod udløbsbrønden for at være sikker på at det er selvrensende. Tilfælde 3.1 Vandføringen må kun være mellem 5 og 10% af den dimensionsgivende vandføring i bækken, så derfor sættes den til 8%. Q = 0,08 0,045 m3 s = 0,0036m3 s (K.68) Længden er afstanden fra regnvandsbassinet til udløbsbrønden. L = 5,00m (K.69) Energitabet er højdeforskellen mellem rørets indløb og udløb. H = 30 0 / 00 5,00m = 0,15m (K.70) Tilfælde 3.2 Vandføringen er den samme som i tilfælde 3.1. Q = 0,0036 m3 s (K.71) Længden er den samme som i tilfælde 3.1. L = 5,00m (K.72)
Afsnit K.5: Dimensionering af rør 113 Energitabet er summen af stuvningshøjden i regnvandsbassinet og højdeforskellen på rørets indløb og udløb. H = 0,6m + 30 0 / 00 5,00m = 0,75m (K.73) Valg af diameter Tilfælde 3.1 3.2 Diameter 0,074m 0,052m Middelhastighed 0,84m/s 1,70m/s Rørets karakteristik 1,18 10 4 s 2 /m 5 5,05 10 4 s 2 /m 5 Friktionstab 20,5m 105m Enkelttab 21,8m 77,0m Tabel K.5: Rør 3. Udfra tabel K.5 ses det at hvis røret dimensioneres udfra tilfælde 3.1 vil der i tilfælde af opstuvning i regnvandsbassinet strømme mere end den dimensionsgivende vandføringen ud i bækken. Men hvis der sker en opstuvning i regnvandsbassinet som følge af regn, må vandføringen i bækken også blive større, og der fås derfor en ny dimensionsgivende vandføring, hvilket betyder at der må ledes mere vand ud i bækken. Denne problemstilling vil dog ikke uddybes yderligere i dette projekt, da det kræver mere indgående kendskab til vandføringsvariationen i bækken. Det vurderes dog at vandføringen i bækken og vandføringen i rør 3 vil stige nogenlunde proportionalt, og derfor vælges det at dimensionere røret ud fra tilfælde 3.1. K.5.4 Dimensionering af rør 4 Rør 4 skal lede vandet fra udløbsbrønden og ud i bækken. Da regnvandsbassinet er udstyret med et overløb ind til udløbsbrønden, skal rør 4 kunne lede den maksimale indgående vandføring ind i brønden ud i bækken. Røret dimensioneres ligesom rør 1 og 3 for et fald på 10 0 / 00. Vandføringen er den samme som i rør 2, da røret skal være i stand til at lede al vandet der kommer ind i regnvandsbassinet ud i bækken. Q = 0,0938 m3 s Længden vælges sådan at regnvandsbassinet ikke placeres lige op ad bækken. L = 10,0m (K.74) (K.75) Energitabet i røret dimensioneres til at kunne klare hele den vandmængde der kommer ind i udløbsbrønden. Derfor vil der ikke ske en opstuvning i brønden, og derfor bliver energitabet udelukkende højdeforskellen mellem rørets indløb og udløb. H = 10 0 / 00 10,00m = 0,10m (K.76) I tabel K.6 ses det at energitabet er meget lille, og at enkeltabet udgør den største del. Dette hænger også godt sammen med at rørets diameter er meget stor, og det derfor kun er lille procentdel af vandet, der er i berøring med røret. K.5.5 Resultat af beregningerne I tabel K.7 ses resultaterne af beregningerne af rørenes dimensionsgivende diametre. Beregningerne er lavet vha. Mathcad udfra de opstillede betingelser.
114 Bilag K: Afvanding Diameter 0,375m Middelhastighed 0,84m/s Rørets karakteristik 11,4s 2 /m 5 Friktionstab 0,209m Enkelttab 0,862m Tabel K.6: Rør 4. Rør 1 2 3 4 Diameter 0,219m 0,191m 0,074m 0,375m Tabel K.7: Beregnede rørdiametre