Projekt Vodkaklovnen - Et problemorienteret projektarbejde om modellering, optimering, differentialregning og rumlige figurer Af: Dres Poulsen En succeshistorie Dette er en afrapportering af et forsøg med anvendelse af problemorienteret projektarbejde i en 2.g matematisk klasse i gymnasiet. Forsøges er lykkedes over al forventning, og det er min opfattelse, at det problemorienterede projektarbejde kan få en central plads i matematikundervisningen fremover. Det problemorienterede projektarbejde (fremover PPA) har nogle helt klare forcer ifht. udviklingen af bestemte elevkompetencer, og det gennemførte projektforløb har været eksemplarisk ifht. anvendelsen af den matematik, som eleverne lærer i gymnasiet. Flere elever berettede under evalueringen af projektet, at de var meget overraskede over, at de faktisk kunne bruge den matematik, som de havde lært i gymnasiet, til at løse et rigtigt problem. At PPA på denne måde kan være med til at motivere matematikundervisningen for eleverne (og måske undervisning i det hele taget), fremstår for mig som en meget vigtig erfaring, som jeg gerne vil bringe videre. Jeg håber derfor at følgende succeshistorie kan være en inspiration for andre undervisere. Forsøgets overordnede udviklingssigte Med den nye reform, som står for døren, er der vel ikke længere tvivl om, at projektarbejdet er kommet for at blive. I denne forbindelse er der fag, som er ganske bekendte med projektarbejde, og fag som er lidt mere grønne i denne sammenhæng. Matematik er et af de fag, som ikke har de store erfaringer med projektarbejde når det gælder undervisning i gymnasiet, hvorfor jeg med det samme var interesseret da jeg så, at der blev udbudt et kursus i problemorienteret projektarbejde for gymnasiets matematiklærere. Ved kurset blev udviklet skitser til flere PPA er, og følgende er de erfaringer som blev gjort med et af disse. Det overordnede udviklingssigte i forbindelse med dette projekt var at konstruere et problemorienteret projekt, som var eksemplarisk ifht. matematisk modellering og som kunne afvikles i en 2.g matematisk klasse. Succeskriterierne for dette projekt beskrives bedst ud fra intentionerne ifht. elevernes udbytte af projektet. 1
Intentioner mht. elevernes udbyttet af projektet Der er jo mange gode grunde til at lave projektarbejde. Projektarbejde afspejler virkeligheden på en lang række arbejdspladser, og er med til at styrke de i denne sammenhæng relevante sociale kompetencer. Det kan være en kærkommen afveksling til traditionel undervisning, og det kan give mulighed for faglig fordybelse. Det problemorienterede projektarbejde skal gerne tage sit udgangspunkt i et problem, som af eleverne opfattes som et reelt problem. Problemet må altså gerne være konstrueret, men eleverne skal acceptere problemet som et reelt problem, og skal tage det til sig. Sker dette, så vil projektet være motiverende, for det først for det faglige indhold som knytter sig til løsningen af problemet, og for det andet for hele den indlæring som foregår i det pågældende fag. Her er ikke tale om uigennemskuelig didaktik. Det er motiverende for eleverne, at opleve at de kan anvende noget af den matematik, som de har tillært sig, til at løse et for dem reelt problem. Ud over at være motiverende, så er ideen med et PPA, også at udvikle en egentlig faglig problemløsningskompetence. Vi ønskede desuden at projektet skulle være eksemplarisk for matematisk modellering, og altså at eleverne skulle udvikle modelleringskompetence. Derudover ville eleverne selvfølgelig arbejde med nogle specifikt faglige kompetencer, og vi blev enige om, at det kunne være hensigtsmæssigt ifht. placeringen af forløbene, hvis vi bl.a. inkluderede differentialregning. Dette var dog (i hvert fald for mit vedkommende 1 ) sekundært ifht. de tidligere nævnte kompetencer. Tilrettelæggelse af projektforløbet Projektet blev bygget op helt fra bunden. Præmisserne var at det skulle være et PPA som inkluderede matematisk modellering og differentialregning. Projektet skulle kunne afvikles på 5 dobbelttimer og resultere i en rapport som kunne afløse 2 blækregninger (hvoraf en dobbelttime er sat af til mundtlig respons på rapporterne). Løsningen af en del faktiske problemer via matematisk modellering giver anledning til differentialligninger, men vi var enige om at det ikke skulle indgå i vores projekt. Vi diskuterede lidt frem og tilbage og så kom vi ind på optimering, og blev enige om at dette kunne være et godt eksempel på en anvendelse af differentialregning. Elevernes forudsætninger var basal differentialregning, men ikke funktionsanalyse og optimering. Ideen var så, at eleverne selv skulle opdage den generelle metode til løsning af typiske optimeringsopgaver. Vores første idé var så, at eleverne skulle finde målene for en dåse som kunne rumme en halv liter, og som havde det mindst mulige materialeforbrug. Dette er set fra matematiklærerens synspunkt en let opgave, men giver også anledning til en række spørgsmål ifht. modellering. Hvilken form har en dåse (er det pr. definition en cylinder)? Rumfang og overflade for den givne rumlige figur allerede her er der sket en bevægelse fra virkelighed til model og en matematisering af problemet. Substitution og beregning, grafisk eller analytisk løsning via differentialregning. Vi havde altså fundet et lille problem som havde modelleringskarakter, men som for alle andre end de helt dårlige elever ikke ville kunne udfylde de 5 dobbelttimer, som var til rådighed. Et yderligere problem ved de dette lille problem var at der var en rigtig løsning, som ikke gav anledning til at eleverne 2
forholdt sig kritisk til den opstillede model. Vi skulle altså bruge et lidt mere kompliceret problem. Dette blev til at eleverne efter at have løst opgaven med dåsen, skulle løse en tilsvarende opgave, hvor de skulle finde målene for en beholder f.eks. en flaske, som bestod af to rumlige figurer og som kunne rumme en halv liter, og som havde det mindst mulige materialeforbrug for en figur af den pågældende form. Det syntes oplagt at formulere dette, så det blev til at eleverne skulle finde formen på en sodavandsflaske eller ligende så problemet kom til at fremstå i en umiddelbart forståelig kontekst. Vi endte med at formulere opgaven, så den omhandlede proportioneringen af en dåse og en flaske til vodkaklovnen den berygtede alkohol-sodavand til børn da dette kunne forventes at fange elevernes interesse (hvilket det også gjorde). Den endelige opgaveformulering er vedlagt som bilag. Med disse sidste tilføjelser havde vi nu et ægte modelleringsproblem, som vi forventede ville fange elevernes interesse, og vi havde en kontekst, så vi kunne formulere problemet uden at træffe nogle af valgene for eleverne. Eleverne skulle selv tolke på problemet, og kunne selv forsøge at begrunde de valg som de tog. Rammerne for forløbet var relativt enkle. Der var som sagt sat 4 dobbelttimer af til at eleverne kunne arbejde med opgaven, og en dobbelttime til mundtlig respons på rapporten. Der blev ikke udleveret materialer ud over opgaveformuleringen. Vi dannede grupper i fællesskab i klassen og eneste produktkrav var rapporten, og kravene til denne var beskrevet i opgaveformuleringen. Så forløbet kunne startes ved at udlevere opgaveformuleringen. Beskrivelse af projektforløbet - med inddragelse af pædagogiske observationer Dobbelttime 1: Fra start af virkede eleverne begejstrede over udsigten til noget afveksling i undervisningen, og lige så snart de fik opgaveformuleringen udleveret var de på. Projekt vodkaklovnen var en overskrift der appellerede til dem og de gik alle i gang med det samme. Inden for de første 20 minutter kørte diskussionen. Der var fokus på den første af de to opgaver, og eleverne var med det samme i gang med at fortolke opgaven: Hvad er en dåse?, Det en cylinder, ligesom en dåse cola!, Hvad så med en makreldåse?, Både en cylinder og en kasse er dåser ikke? osv. Der var ingen spørgsmål om hvorfor de skulle løse denne opgave. Opgaven blev med det samme accepteret som et problem der skulle løses, og eleverne syntes at det var spændende. Jeg kunne konstatere, at eleverne havde taget problemet til sig og accepterede det som et reelt problem. At problemet var blevet deres problem, og ikke et matematiktime-problem kunne bl.a. ses af at andre fag blev bragt på banen. En elev lavede følgende observation: Der skal være plads til kulsyren i dåsen ellers vil den eksplodere. Det kan man beregne vi har haft det i kemi.. I løbet af første dobbelttime fik eleverne modelleret og metematiseret problemet, og flere grupper havde fundet formler for volumen og overflade af en cylinder (det fandt de ved eget initiativ på www.formler.dk). En gruppe indså at en kugle måtte være den optimale løsning, og jeg foreslog så dem, at de også løste problemet med en cylinder, da de ville få svært ved at løse opgave 2 uden først at have løst et simplere problem med samme struktur. Her kan man diskutere hvor meget læreren skal hjælpe? På dette sted opstod første krise for de fleste af grupperne. De havde pr. refleks fundet formler for volumen og overflade, men at udnytte at volumenet var kendt og lave en substitution var ikke noget der sad på rygraden, og jeg lod dem svede lidt! En 1 Vi var 4 personer som udviklede projektforløbet sammen, og der er selvfølgelig små variationer ved disse forløb. 3
gruppe arbejde sig frem således: 1) Vi har rumfang af cylinder og overflade formler for begge. Vi burde kunne opstille en matematisk ligning!. 2) Kan vi ikke isolere og sætte ind? Isolere i Volumen og sætte ind i ligningen for overfladen?. 3) Hvor mange variable har vi nu i overfladen?. 4) Kun h som variabel. Her gik de ligesom i stå og efter et stykke tid foreslog jeg at de prøvede at opfatte udtrykket som en funktion (overfladen som funktion af højden h), og tegnede den ind på graflommeregneren. Dette gjorde de og kunne også tænke sig frem til at: y skal være lille En anden gruppe konstaterede hurtigt: Vi har ligninger for volumen og overflade. De to variable afhænger af hinanden når volumenet er kendt. Dobbelttime 2: En gruppe var ikke nået helt så langt som de andre og var kort sagt i krise! De havde en funktion for det mest optimale, men de havde et problem: Elev: en ligning med 3 variable. Jeg spurgte ind: lærer: ved i mere end det som den ligning udtrykker?. E: Vi har formlen for volumenet og ved at det er 33cl dvs. 330 cm 2. Herefter hjalp jeg dem med at isolere den ene variabel og substituere. 2 ud af de 4 grupper havde dette problem, og var ikke vandt til at benytte substitutionsteknikken. Det virkede lidt som om at disse grupper fik en aha-oplevelse her. En gruppe havde regnet på problemet hjemme og havde fundet det søgte minimum, men skulle stadig selv forstå, hvad de havde gjort. Ingen af eleverne udviste sikkerhed med brugen af substitution, der syntes at ske det at de fik bundfældet en teknik som de ikke helt besad. Eleverne fandt minimum via calc minimum på graflommeregneren og når man spurgte ind opfangede de hurtigt sammenhængen med differentialregning, og løste også problemet analytisk. Alle grupper havde bestemt minimum i løbet af dobbelttime 2. Dobbelttime 3: Eleverne gik i gang med at skrive løsningen til problem 1 ind på computer. Flere grupper fordelte arbejdet således at nogle skrev ind og nogle arbejdede videre med problem 2. Til løsningen af problem 2 havde elever fundet formler for rumfang og overflade af f.eks.: keglestub + kugle og pyramidestub + keglestub. Nogle grupper undervurderede nok lidt sværhedsgraden af problem 2, sikkert opmundret af deres succes med problem 1. De fleste grupper ville gerne tegne en graf med vidste ikke hvilket program de skulle bruge. Jeg lovede at jeg ville vise dem det i næste dobbelttime. Dobbelttime 4: En gruppe havde fundet et graftegneprogram på nettet. De resterende grupper fik vist hvorledes de kunne tegne en graf i programmet Derive. Dette forløb uden problemer. Eleverne knoklede med problem 2, men alle grupper var stadig et stykke fra at være færdige. Efter dobbelttime 4 havde eleverne en uge til at aflevere rapporten. Rapporten og arbejdet hjemme: En af grupperne mødtes en søndag og arbejde færdig (den bedste rapport) og under evalueringen kom det frem at denne gruppe havde brugt ca. 10 timers fritid på rapporten. De syntes også at de havde arbejdet hårdt, og mente at en rapport på 16 sider måtte afløse mere end 2 blækregninger Ikke alle grupper viste samme ihærdighed på dette punkt og en gruppe kunne da heller ikke aflevere et ordentligt produkt til tiden. Det viste sig at de havde lavet arbejdsdeling således at to elever løste problem 1 og to elever løste problem 2. De to sidste elever var selvfølgelig kommet i problemer, og den unfair arbejdsdeling har måske også medført yderligere problemer. De afleverede senere en færdig rapport, som bar tydeligt præg af at problem 2 ikke var blevet løst af gruppen i fællesskab. Dette betyd at deres slutprodukt var under det niveau, de ville kunne have klaret. Under den mundtlige evaluering var 4
eleverne meget opmærksomme på, at det var deres samarbejde og arbejdsdeling som var skyld i en stor del af de problemer som de fik. Elevernes udbytte set ifht. intentionerne Alt tyder på at eleverne har fået et stort udbytte ud af projektforløbet. De arbejdede godt med de faglige elementer i opgaven, og bl.a. substitutionsteknikken syntes at være blevet styrket. Desuden fik eleverne kombineret det netop gennemgåede differentialregning med løsningen af et egentligt problem. Det er min opfattelse at eleverne fik styrket både deres modelleringskompetence og problemløsningskompetence, men at eleverne især selv bemærkede udviklingen af den sidstnævnte kompetence. Lad os se på hvad eleverne selv siger. Elevernes evaluering af projektet Efter afviklingen af de 4 dobbelttimer bad jeg eleverne om skriftligt at give deres kommentarer til det at arbejde med problemorienteret projektarbejde i matematik. Her er nogle af deres kommentarer: 1) Det bedste ved problemorienteret projektarbejde i matematik: Det bedste: Problemløsning den vigtigste kompetence man får. Det næst bedste: Kreativ/alternativ matematisk tænkning. Er super godt at få hjælper i det daglige. Det 3. bedste: gruppearbejde. 2) Man får brugt den matematik, man ikke troede kunne bruges. Det var udfordrende og gav en større mulighed for at man kunne tænke selv. Meget frihed, selvstændig. Uddyber matematikken. Et hjernevrider projekt. Spændende. Skægt. Alle kunne komme med ideer. Alternativt. Kreativt. Man kunne bruge det man er god til, og det hjælper gruppen hvis den er sammensat af nogen der er gode til forskellige ting. 3) Jeg kunne godt tænke mig at lave flere af sådanne problemorienterede projekter, da jeg synes at man bliver sat i en situation hvor det er nødvendigt at tænke i andre baner and normalt, og man mere selv kan forme opgaven, da man selv skal finde en løsning på problemet, man kan sige at det ikke er så strikt som almindelige opgaver hvor der kun er en løsning og ofte en regnemåde. 4) Det er godt fordi man hele tiden selv er i gang med at tænke. Det er godt fordi man kommer i kontakt med en masse forskelligt matematik og formler og prøver at kombinere dem. 5) Jeg synes det vigtigste har været at lære at tænke på en anden måde, hvor man har skullet bruge noget af det man kunne i forvejen. Jeg synes det har været spændende at fordybe sig i ét problem. [ ] Jeg har desuden lært at man nogle gange må droppe de ideer man først havde. 6) En anden god ting: Man får aktiveret den kreative side af sig selv, og får en opfattelse af at mat A+ ikke kun er tør teori. 7) Det er godt at man bare fik stukket problemet i hånden uden nogen løsningsforslag eller hjælp. Vores gruppe havde det dog lidt svært i starten, men ved bare et par stikord fra læreren kunne vi komme videre. I sådan et projektarbejde skal det være muligt at have noget støtte, til hvis man går helt i stå og ikke kan komme videre. 5
8) - man forstår også mere af selv at finde en løsning da man på en måde har haft en grund til at lære det. [ ] også godt det var udformet som et firma der søgte en løsning herved ryger man længere ind i den praktiske verden og kan blive langt mere kreativ and hvis der bare havde stået løs følgende problem. 9) Gruppearbejdet som sådan tror jeg også minder mere om den virkelige verden, man kunne være uenige, diskutere, lære af de andre, give viden til de andre. Og på den måde også få udvidet sine evner. 10) Jeg er utrolig positiv over denne arbejdsform, der er en velkommen afveksling til den daglige tavleundervisning. Det der glædede mig var at jeg så en grund til at lære denne abstrakte matematik, der umiddelbart ikke ser brugbar ud. (ikke at jeg vil være dåsedesigner ). 11) Negativt: Man bliver trukket ned i tempo af dovne/sløve gruppemedlemmer. Kan tage meget tid i forhold til udbyttet. Sidste kommentar opsummerer godt elevernes opfattelse: 12) Det at finde en anvendelighed til ens matematiske viden er ikke altid let. Derfor er et problemorienteret arbejde en utrolig god måde at udvikle brugbarheden af de matematiske kompetencer. Det problemorienterede arbejde kan være en nødvendighed for at få ens matematiske lærdom slået fast en gang for alle. Ud over ens faglige udvikling er der selvfølgelig også det gruppeorienterede aspekt, som er en nødvendighed på mange arbejdspladser. Modelleringskompetence Mens eleverne selv har været meget opmærksom på at deres problemløsningskompetence blev styrket gennem forløbet, så nævner ingen af dem modelleringskompetencen. Jeg har ikke fokuseret mere på den ene af disse kompetencer frem for den anden, så det at det netop er problemløsningskompetencen som de nævner, kan blandt andet skyldes at denne kompetence er mindre specifik og måske er lidt lettere at forstå og indse brugbarheden af. Måske har eleverne også opfattet modellering som værende indeholdt i problemløsning. Når et faktisk problem skal løses via matematik vil der næsten altid finde en modellering sted. Har eleverne så tilegnet sig modelleringskompetence? Ja selvfølgelig! Selve problemløsningen krævede jo en modellering. Det var eleverne der valgte de geometriske figurer både til at løse problem 1 og 2. Der er et modelleringsaspekt alene i at vælge at en dåse kan repræsenteres ved en cylinder. Der indgår mange delkompetencer i modelleringskompetence, men eleverne nåede ikke i dette projekt til de delkompetencer, hvor man er bevidst om at man er midt i en modelleringsproces. Projektet er eksemplarisk ifht. følgende dele af modelleringsprocessen: at repræsentere det faktiske problem via en matematisk formuleret model anvende faglig viden til at strukturere og simplificere problemet analysere modellen via tidligere erhvervet matematisk teori Vi var ikke specielt eksplicitte omkring den indgående modellering, og brugte ikke tid på at udvikle et vokabular omkring modellering. Eleverne nåede altså ikke til kompetencer som involverer at vurdere, kritisere eller reflektere over brugen af modeller. Ingen af grupperne sammenlignede deres design med andre mulige design, og de gjorde ikke noget ud af at fremhæve fordele og eventuelle problemer ved deres klovnedukke design. Jeg mener ikke at dette er et problem for projektet. Man er nødt til at starte et sted, og jeg tror at en eksplicitering af hele modelleringsprocessen og de dertil 6
hørende delkompetencer ville fjerne noget af projektets drive. Projektet kørte derud af fra første time, og det havde en god afsmittende positiv effekt på alle involverede. Projektet er altså et glimrende projekt når man skal introducere modellering, og hvis dette er gjort tidligere kan man opfordre eleverne til at være mere kritiske og reflekterende ifht. modelleringsprocessen. Nogle uger efter at vi havde afsluttet alt vedrørende projektet gav jeg eleverne en lille modellerings opgave, som de fik en lille time til at løse. De klarede modelleringsaspektet glimrende og det var snarere noget af det regnetekniske der drillede lidt (bl.a. at lave substitutionen så man kunne optimere det relevante). Alle eleverne modellerede uden at bemærke det selv, og jeg kunne igen konstatere, at eleverne ikke selv var bevidste om, at det var en modellering de lavede når de forenklede problemet og lavede nogle rimelige antagelser for at kunne komme videre i processen. Det manglende metaniveau eller reflektionsniveau var stadig tydeligt. Projektforløbet set ifht. det overordnede udviklingssigte Projektforløbet har været en succes idet eleverne har fået arbejdet med de intenderede kompetencer. Man kunne sikkert via en lille ekstraindsats gøre eleverne mere opmærksomme på den indgående modellering og bede dem om at forholde sig kritisk og refleksivt til denne. Derudover må projektets motiverende effekt fremhæves. Eleverne oplevede at abstrakt matematik faktisk kunne bruges til noget, hvilket kom som en overraskelse for flere af eleverne. For dem er matematik altså normalt noget abstrakt noget som kloge mennesker kan! Via projektet blev matematikken til en forståeligt og nyttigt værktøj. Problemformuleringen og de valgte rammer for projektet var en succes. Projektet blev afviklet ind over en elevstrejke, en efterårsferie og en blokuge, hvilket ikke gav anledning til problemer. Eleverne bestemte meget selv og dette betød at disse ting ikke forstyrrede afviklingen, bl.a. fordi der ikke var nogen synderlig forberedelse for læreren. Lærerens arbejdsbyrde lå i forberedelsen (som ved anvendelse af foreliggende opgaveformulering vil være minimal), og evaluering af rapporter. Måske har den ekstra tid mellem de forskellige dobbelttimer været en fordel? Det er min opfattelse at forløbet kan afvikles igen uden synderlig udvikling. Jeg vil anbefale, at man beholder denne lave lærerstyring og lader eleverne have en stor del af ansvaret. Forløbet har for mig som gymnasielærer været eksemplarisk for brugbarheden af PPA, og de kompetencer som styrkes herved. Jeg vil helt klart benytte denne arbejdsform igen, og håber også at kunne være med til at udvikle tværfaglige PPA er. Det problemorienterede projektarbejdes fremtid i gymnasiet Det er oplagt at anvende PPA i gymnasiet fremover. Bl.a. i ASF vil et PPA være oplagt. Tværfaglige PPA er bl.a. til brug i denne sammenhæng bør udvikles snarest muligt. En vigtig opgave i denne sammenhæng bliver at finde og formulere problemer, der tillader at vi kan få de bestemte fag i samspil, som der må være brug for i de forskellige forløb, som indgår i de forskellige studieretninger. Det vil sikkert være vanskeligt i nogle sammenhænge, og et 7
samarbejde og en fornuftig vidensdeling på tværs af gymnasier kan være en uvurderlig hjælp. Jeg vil opfordre alle til at dele deres gode ideer og ved hårdt arbejde erhvervede erfaringer med andre. 8
Problemorienteret projektarbejde i 2u MA på NAG. Projekt Vodkaklovnen. Lærer DP Projekt Vodkaklovnen Problemet/opgaven: Firmaet Sprits for Kids ønsker at relancere deres vodkadrik Vodkaklovnen i en ny discount udgave på dåse: Dit arbejdsteam har fået til opgave at proportionere en dåse til Vodkaklovnen, som rummer 33 cl. Og hvor materialeforbruget bliver mindst muligt. Desuden skal en luksusudgave af Vodkaklovnen på markedet. Sprits for Kids ønsker at lave en halvliters Vodkaklovn i en smart flaske, som kan sælges til de købelystne teenagere. Man vurderer at prisen ikke er det vigtigste til denne målgruppe, men derimod et fængende design: Dit arbejdsteam har også fået til opgave at komme med et bud på et design til en smart flaske, som er opbygget af to rumlige figurer (geometriske figurer). Flasken skal rumme 50 cl., og have det mindst mulige materialeforbrug for en flaske af den pågældende form. Projektets rammer: Tidsforbrug: Der bruges 4 moduler til arbejdet med projektet, som resulterer i en rapport der gælder for 2 blækregninger. Der bruges desuden et modul på mundtlig evaluering af projektarbejdet og rapporterne. Rapporten: Rapporten skal indeholde løsningsforslag til de 2 problemer. I skal i en problemformulering forklare hvordan i fortolker de to problemer, og angive mere konkret hvilke problemer det er i vil forsøge at løse i rapporten. Rapporten skal indeholde et afsnit hvor i, så generelt som muligt, forsøger at beskrive den metode, som i har benyttet til at løse problemerne med at finde det mindst mulige materialeforbrug. Rapporten skal som minimum indeholde: problemformulering, analyse af de to problemer, konklusion, en generel beskrivelse af metoden til bestemmelse af det mindst mulige materialeforbrug, samt en litteraturliste. Formål: Formålet med projektet er først og fremmest at lave et problemorienteret projektarbejde, der kan udvikle elevernes forståelse af matematisk modellering. Dette gøres ved at man selv prøver at opstille en model og undersøger hvor godt man er i stand til at løse problemet via denne. Derudover bruges en række andre matematisk kompetencer. God lærelyst og held og lykke