Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg her gennemgå fysikken, der leder hen til Keplers første lov. Efterfølgende vil jeg udlede Keplers anden lov ud fra en overvejelse omkring det bevarede angulære moment for planetbaner. Til sidst vil jeg udlede Keplers tredje lov ud fra Keplers første og anden lov. To-legeme problemet er ofte omtalt i forbindelse med Keplers love. Her vil jeg præsentere en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. For at gøre analysen nemmere, vil jeg dog benytte mig af Lagrange-formalismen, og jeg vil ydermere benytte mig af, at analysen bliver meget nemmere, hvis den laves i massemidtpunktssystemet. Lad R angive positionen af massemidtpunktet fra et arbitrært referencepunkt, og lad r 1 og r være stedvektorerne for de to legemer, som problemet involverer. Den relative vektor r = r 1 r vil dermed være vektoren fra legeme til legeme 1 I det følgende vil en prik over et symbol angive en tidsdifferentiation, altså Ṙ d dtr, hvor det er underforstået, at alle vektorer er tidsafhængige. Det kan vises, at den totale kinetiske energi i et to-legeme system er givet ved T = 1 MṘ + 1 µṙ, (1) der netop viser, at den totale kinetiske energi kan betragtes som den kinetiske energi fra et legeme med den totale masse M = m 1 + m, der bevæger sig med den samme hastighed som massemidtpunktet, og m i er massen af det i te legeme. Det andet led angiver den kinetiske energi af et legeme med massen µ, der er bevæger sig hastigheden svarende til den relative position. µ svarer til den reducerede masse af systemet; µ = m1m M. Lad os vende tilbage til problemet omtalt i første afsnit. I massemidtpunktssystemet vil massemidtpunktet naturligvis ikke bevæge sig, hvormed det haves, at Ṙ = 0, hvormed lagrangefunktionen reducerer til L = 1 µṙ U(r), () hvor U(r) angiver centralpotentialet i Newtonsk tyngdekraft. Det er nu fordelagtigt at udtrykke lagrangefunktionen i polære koordinater, så lagrangeligningen kan opsplittes i en ligning for den radielle afstand og en ligning for vinkelafhængigheden. Ud fra bevarelse af det angulære moment kan det vises, at bevægelsen 1

i massemidtpunktssystemet vil foregå i et plan, så dette plan vælges som koordinatsystem. I polære koordinater kan lagrangefunktionen opskrives som L = 1 µ(ṙ + r φ ) U(r). (3) Det kan ses, at lagrangefunktionen er uafhængig af φ, hvormed lagrangeligningen for vinkelafhængigheden blot reducerer til L φ = µr φ = l, (4) og da µr φ blot er det angulære moment siger denne ligning blot, at det angulære moment er konstant. Lagrangeligningen for den radielle del, L r = d L dt ṙ vil tage formen du dr = µ r µr φ, (5) hvor højresiden blot er den radielle del af Newtons anden lov, F = µa. Opgaven består nu i at løse bevægelsesligningerne for den radielle del og vinkeldelen, altså (4) og (5). Første skridt er at eliminere vinkelhastigheden fra (4) til fordel for det angulære moment l. Den radielle ligning kan da omskrives til µ r = du dr + µr φ = du dr + F cf, (6) der netop har formen for Newtons anden lov for en partikel i én dimension med massen µ, position r, der er under påvirkning af den virkelige kræft du dr samt den fiktive centrifugalkraft F cf = µr φ = µ v φ r. Problemet med bevægelsen af de to legemer vi startede med, er nu blevet reduceret til et et-dimensionelt problem. Det kan være meget lærerigt herfra at omskrive centrifugalledet ved at eliminere vinkelhastigheden til fordel for det angulære moment, F cf = l µr 3. (7) For at gøre det hele nemmere, kan vi nu betragte centrifugalkraften ved en centrifugal potentiel energi: F cf = d ( ) l dr µr = du cf dr, (8) med den centrifugale potentielle energi defineret som U cf (r) = disse omskrivninger kan (5) skrives som l µr. Ud fra µ r = d dr [U(r) + U cf (r)] = d dr U eff (r), (9) hvor jeg har indført den effektive potentielle energi som summen af den gravitationelle potentielle energi og den centrifugelle potentielle energi: U eff (r) = U(r) + l µr. (10)

Ud fra denne analyse er det tydeligt, at den radielle bevægelse er præcis den samme som hvis legemet bevægede sig en én dimension under det effektive potentiale. Det er i mange tilfælde praktisk at udtrykke r som funktion af φ i stedet for som funktion af tiden. Derfor ville det være praktisk at overgå fra r(t) til r(φ). Lad mig derfor starte med at omskrive (8) til en differentialligning i en ny variabel, u = 1 r. Første skridt er at omskrive radialligningen ved at indføre F = du dr : µ r = F (r) + l µr 3. (11) Herefter bruges kædereglen til at omskrive differentialoperatoren d dt : d dt = dφ d dt dφ = φ d dφ = lu d µ dφ. (1) Via lidt omskrivning af tidsdifferentiationen af radius (i forbindelse med r og ṙ) fås da, at l u µ d u dφ = F + l u 3 µ u (φ) = u(φ) Løsning af differentialligning under centralfelt µ l F. (13) u(φ) Lad mig nu vende tilbage til det oprindelige formål med denne note: At udlede Keplers love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Det vil altså indebære, at vi skal få løst (13) under betingelsen af, at kræften, F, er Newtons version af tyngdekraften. Det vil altså derfor være gældende, at F (r) = G m 1m r = γu, (14) hvor γ = Gm 1 m og u = r 1. Ved at indsætte i (13) fås da, at u (φ) = u(φ) + l. (15) Denne differentialligning er simpel at løse, hvis vi laver substitutionen fra u(φ) til ω(φ) via ω(φ) = u(φ) l, (16) der netop giver den simple differentialligning Den generelle løsning til denne differentialligning er ω (φ) = ω(φ). (17) ω(φ) = A cos(φ δ), (18) hvor A er en positiv konstant og δ er en konstant, der kan vælges således, at den er nul, når φ = 0. Ved tilbageskift til u(φ) fås den generelle løsning til u(φ) = + A cos φ = (1 + ɛ cos φ), (19) l l 3

hvor ɛ blot er et nyt navn til den dimensionsløse konstant Al. Ved at indføre konstanten c, der har enhed af længde som c = l og ved at skifte tilbage til r(φ) fås løsningen til differentialligningen til r(φ) = Bundne kredsløb (Keplers første lov) c 1 + ɛ cos φ. (0) Det er tydeligt fra (0), at bevægelsen er bestemt ud fra den positive konstant ɛ. Hvis ɛ < 1 vil nævneren i (0) være forskellig fra nul og større end 1 til alle vinkler, hvorfor r(φ) er bundet for alle vinkler. Netop da nævneren svinger mellem værdierne 1 ± ɛ vil r(φ) oscillere mellem r min = c 1 + ɛ og r max = c 1 ɛ, med koordinatsystemet lagt således, at ved r = r min vil φ = 0. I solsystemet vil r min blive kaldt for perihelion og r max for aphelion - henholdsvis afstanden, når himmellegemet er tættest og længst væk fra solen. Hvis r(φ) plottes som funktion af φ, der løber fra 0 til π fås en figur, der ligning en ellipse. Det kan vises, at (0) kan omskrives til den kartesiske form for en ellipse (x + d) a + y = 1, (1) b hvis det udnyttes, at a = c(1 ɛ ) 1, b = c(1 ɛ ) 1 og med d = aɛ. (1) er standardligningen for en ellipse med den halve storakse a og halve lilleakse b med den forskel, at vi har skrevet x + d, hvor vi normalt ville have x. Denne forskel viser, at midtpunktet, i solsystemets tilfælde solen, ikke er i midten af ellipsen men derimod en afstand d fra centrum. Den positive konstant ɛ kan nu identificeres ved hjælp af a og b: b a = 1 ɛ, () der netop er definitionen på eccentriciteten af en ellipse. Denne ligning fortæller altså, at ɛ er eccentriciteten på kredsløbet. Nu hvor ɛ er blevet identificeret kan vi finde positionen af solen i forhold til centrum på ellipsen. Fra tidligere har vi kigget på størrelsen d = aɛ, der netop angav solens position i forhold til centret på ellipsen. Samme størrelse angiver netop det ene brændpunkts afstand fra centret til ellipsen, og Keplers første lov er dermed udledt. Vi har vist, at planeterne og andre bundne legemers kredsløb er elliptiske, hvor solen befinder sig i det ene brændpunkt. Keplers anden lov I forhold til hvad jeg lige har gennemgået, er udledningen af den anden lov utrolig simpel. Betragt en elliptisk bane omkring solen. Lad positionsvektoren for et legeme i kredsløb om solen være r og lad v være hastighedsvektoren for legemet. Naturligvis er begge disse vektorer afhængig af tiden. Kigger vi nu på et bestemt tidspunkt på banen og lader positionen til dette tidspunkt være r vil 4

positionen et stykke tid, dt efter, være r + dr, hvor dr = vdt. Gøres tidspunktet infinitisimalt víl de to vektorer r og dr udspænde en trekant, der vil have arealet da = 1 r dr = 1 r vdt. Ved nu at omskrive legemets hastighedsvektor v via impulsen p = mv og ved at dividere på hver side med dt fås da da dt = 1 1 r p = l, (3) m m hvor l = r p blot er det angulære moment for legemet. Siden en planets angulære moment omkring solen er bevaret ses det her, at da/dt er konstant og dermed er Keplers anden lov vist. Keplers tredje lov Som det blev set ovenfor, er arealhastigheden for en planet konstant. Da det totale areal af en impuls er A = πab vil perioden da være τ = A da/dt = πabµ. (4) l Kvadreres begge sider og erstattes b med b = a (1 ɛ ) fås da τ = 4π a4 (1 ɛ )µ l = 4π a3 cµ og da konstanten c fra tidligere var defineret som c = l l, (5) fås da, at τ = 4π a3 µ γ, (6) hvor vi ved indførelse af γ = Gm 1 m GµM s, hvor M s er solens masse, får der netop er Keplers tredje lov. τ = 4π GM s a 3, (7) Jeg har nu udledt Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Det er muligt at betragte de ikke-bundne baner ved at lave begrænsninger på eccentriciteten i (0). Dette vil jeg dog ikke gøre her på grund af omfanget af denne note. Det er også muligt at lave energibetragtninger, så eccentriciteten kan kobles til den totale energi af et legeme i kredsløb om solen eller en anden stjerne. Igen vil jeg ikke gøre dette her på grund af omfanget. Hvis en sådan analyse ønskes kan jeg anbefale at kigge i referencen. Litteratur REFERENCER [1] Classical Mechanics, John R. Taylor, University Science Books 005. 5