MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette uddrag indeholder kapitel 4 som handler om statistik og sandsynlighedsregning. Der vil blive foretaget beregninger samt illustrationer i CAS programmer herunder Excel, GeoGebra samt Maple 2016 anvendes til de mere komplicerede udregninger, idet man forudsætter, at man kan anvende CAS til eksamen. Undervejs anvendes en tabel over kritiske værdier af χ 2 test fordelingen Til bestemmelse af de kritiske værdier under konklusionen. Dette ses på sidste side. For anvendelse af dokumentet, anbefales det, at man prøver at løse opgaven først, inden man anvender løsningerne. 2016 Side 1 ud af 19
Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 STX matematik A niveau, kapitel 4 Statistik og sandsynlighedsregning Opgave 4.001 Opgave 4.002 Der aflæses og det ses, at kvartilsættet er Hermed er kvartilsættet fundet. Start = 0 Nedre = 6 Median = 8 Øvre = 9 Slut = 13 Inden man kan lave boksplot, nedskrives alle oplysninger fra det mindste til det største tal, angivet i rækkefølgen: 20,25,25,27,28,31,33,34,36,37,44,50,59,85,86 Så kan man finde medianen, den er indlysende, idet det er midten. (Grøn) 20,25,25,27,28,31,33, 34, 36,37,44,50,59,85,86 Heraf kan man aflæse hhv. nedre og øvre kvartil (pga. 15 observationer) (Blå) 20,25,25, 27, 28,31,33, 34, 36,37,44, 50, 59,85,86 I WordMat kan man anvende tilføjelsen statistik. Inden den tegnes, indskrives også for de 10 kvinder, her er rækken 5,7,10,14,18,19,25,29,31,33 Medianen findes. (Pga. 10 observationer, udføres regneoperationen): Median = 18 + 19 2 = 18.5 Dette er medianen. Så findes kvartilsættet på tilsvarende måde. Så kan det indtegnes. Nedre = 7 + 10 = 8.5 2 29 + 31 Øvre = = 30 2 Fortsættes næste side Side 2 ud af 19
10 kvindelige læger 15 læger 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Opgave 4.003 Så her kan man se, at der er tydelig forskel på de 15 lægers kirurgiske indgreb og de 10 kvindelige lægers indgreb. Her er kvindernes øvre kvartil (75%) i mellem nedre (25%) og median (50%) for de 15 lægers indgreb, hvilket viser hvor meget kvinderne har lov til at anvende denne type operation. I Maple 2016 kan man regne på det (også pr. håndkraft). Først defineres oplysningerne. Fortsættes næste side Side 3 ud af 19
Opgave 4.004 Det ses på grafen, at procentdelen der har en fart over 750m/s er 100%-95%=5% så det er kun 5% der har en fart på over 750m/s. Først defineres det hele. a) G Fortsættes næste side Side 4 ud af 19
Da P = 0.017098 < 0.05 (1.7098% < 5%) afvises nulhypotesen. Fortsættes næste side Side 5 ud af 19
b) Der gøres prøve igen med et signifikansniveau på 0.01 (1%). Så ved et signifikansniveau på 1% accepteres det. Den skjulte variable kan dog være, at operationen i sig selv er ret kompliceret at udføre og en anden faktor kan være menneskets individuelle helbred mm. Deraf kunne man sagtens have accepteret et signifikansniveau på 5% for forrige delopgave. Side 6 ud af 19
Opgave 4.005 I en opinionsundersøgelse har man spurgt 500 personer om man er for eller imod de ændrede åbningstider i en svømmehal. a) De forventede værdier er regnet i Maple 2016. Mænd Kvinde Disse kunne også regnes pr. håndkraft. Først dem der er for. Mænd = sum antal Kvinder = sum Dem der er imod. Dem der ikke ved antal Mænd = sum antal Kvinder = sum antal 266 antal mænd = 236 = 125.552 500 266 antal kvinder = 264 = 140.448 500 149 antal mænd = 236 = 70.328 500 149 antal kvinder = 264 = 78.672 500 Mænd = sum 85 antal mænd = 236 = 40.12 antal 500 Kvinder = sum 85 antal kvinder = 264 = 44.88 antal 500 Således fandt man dem pr. håndkraft. Fortsættes næste side Side 7 ud af 19
b) Der udføres en χ 2 test med et signifikansniveau på 5%. Opgave 4.006 Da P = 0.026376 < 0.05 (2.6376% < 5%) forkastes nulhypotesen om, at kønnet har samme indstilling. Nulhypotese: H 0 = Der er ikke nogen sammenhæng mellem medicinregisrering og patienters overlevelseschancer a) Først beregnes de forventede værdier. Her er tabellen over observerende værdier. Status efter 6 mdr. Gruppe A Gruppe B I alt Død 8 17 25 Overlevende 75 48 123 I alt 83 65 148 De forventede værdier beregnes efter denne metode: i alt 83 Død = gruppe A = 25 = 14.02 total 148 Død = i alt 65 gruppe B = total 148 i alt Overlevet = total Overlevet = 25 = 10.979 83 gruppe A = 123 = 68.979 148 i alt 65 gruppe B = 123 = 54.02 total 148 Fortsættes næste side Side 8 ud af 19
Så man kan nu opstille en ny tabel over de forventede: Status efter 6 mdr. Gruppe A Gruppe B I alt Død 14 11 25 Overlevende 69 54 123 I alt 83 65 148 b) Så udføres der χ 2 test med et signifikansniveau på 5%. Her anvendes formlen Værdierne indsættes. χ 2 = (O k F k ) 2 F k χ 2 (8 14)2 = 14 χ 2 = 7.03256 (17 11)2 (75 69)2 (48 54)2 + + + 11 69 54 Hermed har man sin teststørrelse. Desuden er der tale om et signifikansniveau på 5%, altså aflæser man den kritiske værdi. Her ses det, at den kritiske værdi er Kritiskværdi = 3.84, frihedsgrader = 1 Da teststørrelsen er større end den kritiske værdi, forkastes nulhypotesen. Medicinen har altså haft en effekt på den enkeltes overlevelseschance. Opgave 4.007 Hjerte- og lungeoperationer kan medføre forstoppelse. Man vil gerne vide, om begge operationer kan skyldes dette. Nulhypotesen er H 0 = Har du efter operationen haft forstoppelse i en grad, der har påvirket dine daglige gøremål? Der er angivet en tabel over de observerende værdier. Operationstype / problemer Ja Nej Total Hjerteoperation 9 51 60 Lungeoperation 15 36 51 Total 24 87 111 Og de forventede værdier: Operationstype / problemer Ja Nej Total Hjerteoperation 12.97 47.03 60 Lungeoperation 11.03 39.97 51 Total 24 87 111 Fortsættes næste side Side 9 ud af 19
a) For at bestemme de forventede værdier, anvendes formlen: i alt 60 Hjerte = ja = 24 = 12.97 total 111 i alt 51 Lunge = ja = 24 = 11.02 total 111 i alt 60 Hjerte = nej = 87 = 47.02 total 111 i alt 51 Lunge = nej = 87 = 39.97 total 111 Således fandt man ud af de forventede værdier. Antagelserne er rigtige. b) Man bestemmer en χ 2 test på følgende måde: Her anvendes formlen Værdierne indsættes. χ 2 = (O k F k ) 2 F k χ 2 (9 12.97)2 = 12.97 χ 2 = 3.3735 (15 11.03)2 (51 47.03)2 (36 39.97)2 + + + 11.03 47.03 39.97 Hermed har man sin teststørrelse. Desuden er der tale om et signifikansniveau på 5%, altså aflæser man den kritiske værdi. Her ses det, at den kritiske værdi er Kritiskværdi = 3.8415, frihedsgrader = 1 Da teststørrelsen er mindre end den kritiske værdi, accepteres nulhypotesen. Der er ingen signifikans forskel på begge operationer for den enkelte. I Maple finder man sin p værdi Her er p værdien 6.6%. Side 10 ud af 19
Opgave 4.008 Der er taget en undersøgelse af elever på en skole. Nulhypotesen er, at: Kønnet er uafhængig om man ryger eller ej. Man undersøgte deres rygevaner og det fordeler sig således i en tabel: Skema 1: Forventet fordeling af elever på rygevaner og køn Ryger Ikke-ryger Piger 78 Drenge 101 Sum 36 143 179 a) Så kan man bestemme de forventede tal. Pige = i alt ryger pige = 36 78 = 15.6871 total 179 i alt 36 Dreng = dreng = 101 = 20.312 total 179 i alt 143 Pige = pige = 78 = 62.312 total 179 i alt 143 Dreng = dreng = 101 = 80.687 total 179 Så tabellen over de forventede værdier er Skema 1: Forventet fordeling af elever på rygevaner og køn Ryger Ikke-ryger Piger 16 62 78 Drenge 20 81 101 Sum 36 143 179 Der er nu givet en ny tabel. Skema 2: Stikprøvens fordeling af elever på rygevaner og køn Ryger Ikke-ryger Piger 21 57 78 Drenge 15 86 101 Sum 36 143 179 b) Der udføres en χ 2 test. Dette gøres i Maple 2016. Fortsættes næste side Side 11 ud af 19
Det ses, at p værdien er 0.045724 4.5724% og teststørrelsen er 3.9917. c) Da man har lavet et lignende undersøgelse, kan man beregne p værdien udfra en frihedsgrader. Teststørrelsen er givet ved 6.34. Opgave 4.009 Det ses så, at p værdien er 1.1804% så den er altså mindre end signifikansniveauet, hermed forkastes nulhypotesen. Der er altså ikke noget belæg i rygevaneren for de unge. -Man bør lave en chi-anden-test over en skole i Slagelse, Xclass- Opgaven løses via Maple 2016. a) saf Fortsættes næste side Side 12 ud af 19
Hermed kan man se, at teststørrelsen er mindre end den kritiske værdi, altså accepteres nulhypotesen. b) Folk mener, at kategorierne drikker ofte og drikker af og til er meget Sporadiske, altså laves en ny undersøgelse. Derved slås begge kategorier sammen, således man har drikker ofte og drikker ikke. Fortsættes næste side Side 13 ud af 19
Det ses, at p værdien er 0.76, så her accepteres nulhypotesen stadigvæk, på trods af, at dette i princippet er en ulovlig handling Side 14 ud af 19
Opgave 4.010 Her er der tale om en goodness of fit test. Der beregnes de forventede observationer. Nulhypotese: Forsendelsen stammer fra storproduktionen. a) Tabellen viser de observerende - omregnet til tal. Forventede observationer Bolde 0.1 0.85 0.05 Forventet 20 170 10 Så har man de forventede værdier. Man har desuden nogle oplysninger, når varevognen standses i tolden. Observationer i tolden Obs 28 160 12 Så man udfører χ 2 test. Her anvendes formlen Værdierne indsættes. χ 2 = (O k F k ) 2 F k χ 2 (28 20)2 (160 170)2 (12 10)2 = + + 20 170 10 χ 2 = 4.1882 Hermed har man sin teststørrelse. Desuden er der tale om et signifikansniveau på 5%, altså aflæser man den kritiske værdi. Her ses det, at den kritiske værdi er Kritiskværdi = 5.99 Da teststørrelsen er mindre end den kritiske værdi, accepteres nulhypotesen. Boldene er fra storproducenten. Side 15 ud af 19
Opgave 4.011 25% = 0.25 50% = 0.5 25% = 0.25 a) Så kan man beregne de forventede værdier. rød = 0.25 236 = 59 lyserød = 0.5 236 = 118 hvid = 0.25 236 = 59 Altså fordeler forventningen sig således: Eksperimentets forsøg Farve Rød lyserød hvid sum Forventet 59 118 59 236 b) Så udføres der χ 2 test. Værdierne indsættes. χ 2 (66 59)2 (115 118)2 (55 59)2 = + + 59 118 59 χ 2 = 1.1779 Hermed har man sin teststørrelse. Desuden er der tale om et signifikansniveau på 5%, altså aflæser man den kritiske værdi. Her ses det, at den kritiske værdi er Kritiskværdi = 5.99 Da teststørrelsen er mindre end den kritiske værdi, accepteres nulhypotesen. Eksempel på konklusion: Ud fra følgende test, er det påvist, at med krydsning af farverne, opnås hypotesen omkring, at farverne vil fordele sig som angivet. Derved er der ikke noget belæg for at skulle forkaste arvelighedslovene. Side 16 ud af 19
Opgave 4.012 Det ses, at der er tale om en GOF-test. Et firma har taget notater for antal klager. Det fordeler sig således: Antal minutter 0-5 5-10 10-15 15< I alt Andel af det samlede antal klager 30% 40% 20% 10% 100% I en bestemt måned forløb det sig således: Klagebehandlingstid 0-5 5-10 10-15 15< I alt Observeret 37 53 25 5 120 a) Der opstilles en nulhypotese: Antallet af samlede klager ændre sig ikke. Mønstret vil være det samme. De forventede værdier beregnes. Først omregnes procentværdierne 30% = 0.30 120 = 36 40% = 0.40 120 = 48 20% = 0.20 120 = 24 10% = 0.10 120 = 12 Så man har skemaet Klagebehandlingstid 0-5 5-10 10-15 15< I alt Observeret 37 53 25 5 120 Forventet 36 48 24 12 120 Der udføres en χ 2 test. Værdierne indsættes. χ 2 (37 36)2 (53 48)2 (25 24)2 (5 12)2 = + + + 36 48 24 12 χ 2 = 4.6736 Hermed har man sin teststørrelse. Desuden er der tale om et signifikansniveau på 5%, altså aflæser man den kritiske værdi. Her ses det, at den kritiske værdi er Kritiskværdi = 7.82 Da teststørrelsen er mindre end den kritiske værdi, accepteres nulhypotesen. Antallet af klager ændrer sig ikke, selvom en bestemt måned viser andre tal. Side 17 ud af 19
Opgave 4.013 Der er givet to tabeller. a) Stikprøven er det der blev foretaget af Greens Analyseinstitut. De forventede og observerende værdier findes. Først omregnes procenttallene. Nulhypotesen er: Stemmefordelingen har ikke ændret sig Parti A B C SF DF V Ø LA KD Observeret 255 52 93 164 137 232 20 11 5 Forventet 247 49 101 126 134 255 21 27 9 b) Af alle partierne har man 8 frihedsgrader. Desuden udføres er en χ 2 test. χ 2 (255 247)2 (52 49)2 = + 247 49 (137 134)2 + + 134 (5 9)2 + 9 χ 2 = 25.985 (93 101)2 + 101 (232 255)2 255 (164 126)2 + 126 (20 21)2 + 21 (11 27)2 + 27 Hermed har man sin teststørrelse. Desuden er der tale om et signifikansniveau på 5%, altså aflæser man den kritiske værdi. Her ses det, at den kritiske værdi er Kritiskværdi = 15.51 Da teststørrelsen er større end den kritiske værdi, forkastes nulhypotesen. Der har været ændringer i stemmefordelingen. c) Nu slås alle andre partier sammen, således SF er alene. Parti SF Øvrige partier Observeret 164 804 Forventet 126 842 Der udføres test igen på samme måde som før. Bemærk, at der kun er en frihedsgrad nu. χ 2 (164 126)2 (804 842)2 = + = 13.175 126 842 Hermed har man sin teststørrelse. Desuden er der tale om et signifikansniveau på 5%, altså aflæser man den kritiske værdi. Her ses det, at den kritiske værdi er Kritiskværdi = 3.84 Da teststørrelsen er større end den kritiske værdi, forkastes nulhypotesen. Der har været ændringer i stemmefordelingen for partiet SF. Side 18 ud af 19
Tabellen over de kritiske værdier for en χ 2 test. Kilde: http://www.eplantscience.com/index/genetics/linkage_and_crossing_over_in_diploid_organisms_hi gher_eukaryotes/chisquare_test.php (14-07-2016) Slut på kapitel 4 - Statistik og sandsynlighedsregning Kapitel 5 handler om Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge fra bogen: Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Side 19 ud af 19