1 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 1 Figur 1 viser en tegning af en person der står på en skrænt og smider en sten ud over vandet. Vandet har overflade i t-aksen. Stenen følger grafen for funktionen h: h( hr) := 0.04hr + 0.8hr + 10 ( ) a := 0.04 b := 0.8 c := 10 d := b 4a c a) Hvor højt kommer stenen op over vandoverfladen? y -koordinaten i udtrykket for parablens toppunkt bestemmes: d y := y = 14 4a Stenen kommer 14 meter op over vandoverfladen. b) Bestem hvor lang tid stenen er i luften. Dette svarer til at bestemme t-værdierne til nedslagsstedet, andengradsligningen løses: h( t) = 0 solve, t 8.7088693386970698 8.70886933869706979 t = b ( ± ) d Den positive værdi gælder for nedslagsstedet a Det tager 8 sekunder før stenen rammer vandet c) Bestem stenens højde efter 0 sekunder h( 0) = 10 Højden efter 0 sekunder er 10 meter d) Bestem til hvilken tid at stenen er 5 meter over vandoverfladen h( hr) = 5 solve, hr 5.0 5.0 Stenen er 5 meter ovedr vandoverfladen efter 5 sekunder
Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave Figur Grundplan af langhus fra vikingetiden. Punkterne A, B, C og F beskriver en cirkelbue. A( 14.0, 3.98) F( 0, 4) C( 14.0, 3.98) a) Vis at cirklens ligning tilnærmelsesvis kan skrives som: x + ( y + 140) = 144 Cirklens centrumligning. ( x a) + ( y b) = r Centrum: C(a;b) Radius: r De tre ubekendte a,b,r i ligningen bestemmes ved at opstille tre ligninger udfra de tre opgivne punkter. ( 14.0 a) + ( 3.98 b) = r ( 0 a) + ( 4 b) = r ( 14.0 a) + ( 3.98 b) = r Find( a, b, r) 0 139.96933618336183 143.96933618336183 0 139.96933618336183 143.96933618336183 Den positive radius værdi vælges Af løsningen ses at a = 0 og b = -140 og r = 144 b) Bestem længden af liniestykket CE: Svaret er givet i opgaveteksten. A koordinatens y-værdi må pga symmetri være lig punkt C's y-værdi, som igen er det halve af afstanden CE. Afstanden CE = x3,98 meter = 6,6 meter
3 Løsningsforslag til årsprøve 009 c) Bestem længder l (se skitse), idet længden BD er 7,0 meter. 7. y-koordinaten til punkt B: y B := y B = 3.6 Den tilhørende x-værdi beregnes udfra cirklens ligning x + ( 3.6 + 140) = 144 Find( x) ( 10.756701433537848 10.756701433537848 ) x = 10.73 vælges da punkt B ligger i første kvadrant. Længden l er lig de punkt C's x-koordinat fratrukket punkt B's x-koordinat. l = 14.0-10.73 = 3.47 meter.
4 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 3 Benyttede vektorregneregler a := a 1 a b := b 1 b a a 1 a + b a b ( ) + ( a ) a 1 + b 1 a + b a 1 b 1 + a b længden af en vektor summen af to vektorer prikproduktet ml to vektorer 5 1 a) To vektorer er givet:a := og b := Bestem a og a + b 4 a 9 = 5.385 a + b 13 = 7.11 b) Bestem den t således at vektor a er vinkelret på vektor c (ac=0). Idet c = ta + b Et ligningssystem opstilles c 1 = t 5 + ( 1) c = t + 4 c 1 5 + c = 0 ( ) Find c 1, c, t 44 9 110 9 3 9 = 1.517 3.793 0.103 c := 1.517 3.793 Løsningen: t = -0,103 Facit kontrolleres: a c = 1 10 3 Ok
5 Løsningsforslag til årsprøve 009 c) Vektor d er givet ved: d := Vektor d opløses i to komposanter i hhv a's og b's 7 retning. Bestem koordinaterne til de to komposanter. (d = ta +sb) = t 5 + s ( 1) 7 = t + s 4 Find( t, s) 1 39 = 0.045 1.773 De to komposanter: 0.045 5 0.045 0.5 0.09 = og 1.773 ( 1) 1.773 4 = 1.773 7.09
6 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 4 Billedet viser en cykelsti under en vej. Stien går gennem et rør. Figur 3 Røret har form som en cylinder med en indre radius på 1,80 meter. Rørets længde er 14 meter. a) Bestem overfladearealet af rørets inderside. L := 14m r := 1.8m A := π r L A = 158.336 m b) Bestem bredden k af stien x := ( 1.8m) ( 0.5m) x = 1.79 m 0,5 m x r = 1,8 m k := x k = 3.458 m c) Bestem arealet af det gråtonede område. Udtryk for arealafsnit opstilles. r A grå = k = r sin π v 180 v Find( A grå, v) sin( vdeg) deg float, 3 float, 3 A grå := 4.177384661547574674 m 1.600000000000000000 m sin( 147.74deg) A grå = 3.313m
7 Løsningsforslag til årsprøve 009 d) Kan en vejmaskine på 1,8 m x 1,8 m komme gennem røret? Højden på røret: h = 1,8 m + 0,5 m =,3 m er ok Bredden x i 1,8 m højde undersøges, se skitse x x := ( 1.8m) ( 1.3m) x = 1.45 m Bredden := x Bredden =.49 m 1,8 m C 1,3 m 0,5 m Bredden er tilstrækkelig til at vejmaskinen kan passere.
8 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 5a v := 0deg Tangens for retvinklet trekant benyttes. x :=.m tan( 0deg) x = 0.801 m v, x a) Bestem hvor mange m træplade, der medgår til fremstilling af vægge og tage. Overfladearealet består af 4 sider ( rektangler + trapezer) samt et tag A skur := 1.9m 1.8m + 1.9m ( 1.8m + x) + 1. m [ 1.8m + ( 1.8m + x )] + 1.9m x + (.m) A skur =.491 m b) Bestem redskabsskurets volumen Volumen beregnes ved at gange trapetzens areal med dybden 1 V skur :=. m [ 1.8m + ( 1.8m + x )] 1.9m V skur = 9.198 m 3 c) Bestem taghældningen hvis volumen skal være 10 m 3 Samme volumenudtryk som før opstilles. 10 = 1. 1.8 + 1.8 +. tan v 1 deg ( ( )) 1.9 Find( v 1 ) 0.493967307385358383 deg Den nye vinkel på taget bliver v = 8,3
9 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 5b En del af grafen for en funktion f er givet ved følgende form: f ( x) = A sin( ω t + ϕ) + k 1) Konstanterne bestemmes ved aflæsning: Amplituden A = 3 Svingningstiden T = π Vinkelhastigheden ω = π T ω = Lodret forskydning k = x := π, 3.. π Faseforskydning ϕ ω = π ϕ =π f ( x) := 3 sin( x + π) + 6 4 f( x) 0 x ) Givet g( x) := 0.5x + 0.8 Indtegn g(x) i samme koordinatsystem som f(x) 6 f( x) g( x) 4 4 0 4 x 3) Bestem koordinaterne til skæringspunkterne ml f(x) og g(x) f ( x) = g( x)
10 Løsningsforslag til årsprøve 009 Find( x) 0.188736516401867451 De øvrige løsninger findes ved at lægge hhv. trække π fra første løsning
11 Løsningsforslag til årsprøve 009