Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen

Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen 31. januar 2005 Indhold 1 Kapitel 2 - Electrostatics 3 2 Kapitel 3 - Special Techniques 5 2.1 Separation af variable....................... 7 2.2 Multipol udvidelse........................ 7 3 Kapitel 4 - Electric Fields in Matter 8 3.1 Lineart dielektrika........................ 9 4 Kapitel 5 - Magnetostatics 10 4.1 Multipol udvidelse........................ 12 5 Kapitel 6 - Magnetic Fields in Matter 13 5.1 Lineart og ikke lineart media................... 14 6 Kapitel 7 - Electrodynamics 15 6.1 Elektromotorisk kraft....................... 15 6.2 Elektromagnetisk induktion................... 16 6.3 Maxwell s ligninger........................ 17 7 Vigtig konstanter 19 8 Grundlæggende elektronik 19 8.1 Passive komponenter....................... 19 8.2 Kirchoff lov............................ 20 8.3 Vekselstrøm............................ 20 1

INDHOLD 2 9 Eksempler 22 9.1 til Kapitel 2............................ 22 9.2 til Kapitel 3............................ 22 9.3 til Kapitel 4............................ 23 9.4 til Kapitel 5............................ 24 9.5 til Kapitel 6............................ 25 9.6 til Kapitel 7............................ 26

Coulomb s lov : 1 KAPITEL 2 - ELECTROSTATICS 3 1 Kapitel 2 - Electrostatics Elektrostatik, dvs. at kilden til ladningerne er stationære. En anden vigtig iagtagelse er at superpositionsprincipet gælder i bla. elektrostatik. Det elektriske felt : F = QE, hvor E er defineret som F = 1 4πɛ 0 qq ı 2 î E(r) 1 4πɛ 0 n i=1 q i î ı 2 i i Hvis vi har en ligelig fordeling af ladninger overgå summationen til et intergrale E(r) = 1 1 4πɛ 0 îdq ı 2 1 λ(r ) Linie ladning : E(r) = îdl 4πɛ 0 ı 2 Overflade ladning : E(r) = P 1 σ(r ) îda 4πɛ 0 ı 2 V olumen ladning : E(r) = S 1 ρ(r ) îdτ 4πɛ 0 ı 2 Flux af E : Fluxen af et elektrisk felt er givet ved antallet af felt linier, der løber igennem en overflade. Φ E E da V S Gauss s lov : E da = 1 ε 0 Q enc S Q enc = ρdτ V V ( E)dτ = V ρ ɛ 0 dτ E = ρ ɛ 0 Hvis der er den rette symmetri kan E da = E da = E da S S S

1 KAPITEL 2 - ELECTROSTATICS 4 Rotation af E : E = 0 Elektrisk potentiale : Det elektriske potentiale er defineret som r V (r) E dl Hvor O er et reference punkt (ofte er det valgt i uendelig), og det giver E = V Det elektriske potentiale overholder superpositions princippet, og det måles i volt. 1 λ(r ) Linie ladning : V (r) = dl 4πɛ 0 ı 1 σ(r ) Overflade ladning : V (r) = da 4πɛ 0 ı 1 ρ(r ) V olumen ladning : V (r) = dτ 4πɛ 0 ı O V, E og ρ : Se sammenhæng side 87 i Griffths Gauss dåse : Se side 88-89 i Griffths Elektrisk energi : W = 1 2 n q i V (r i ) i=1 Energien af en kontinuert ladningsfordelning for en ladningstæthed på ρ W = 1 ρv dτ 2 Hvis vi integrere over hele verden er W = ɛ 0 2 all space E 2 dτ Energi tæthed : U E (r) = ɛ 0 2 E(r)2

2 KAPITEL 3 - SPECIAL TECHNIQUES 5 Leder : 1. E = 0 inde i en leder og der bliver induceret ladninger som skalber et modsat E-felt 2. ρ = 0 inde i en leder, da E = ρ ɛ 0, da E = 0 3. Enhver netto ladning er på overfladen 4. En leder er et equipotentiale, dvs. V (b) V (a) = 0 5. E n på overfladen Kondensator : Kapacitansen er givet ved C Q V og energien er givet ved W = 1 2 CV 2 Grænsebetingelser : E above = E below E above E below = σ ˆn ɛ 0 V above = V below V above V below = σ ˆn ɛ 0 2 Kapitel 3 - Special Techniques Poisson s ligning : E = ρ ε 0 E = V } 2 V = ρ ε 0 Laplaces eq. i I-dim : Dvs. d2 V dx 2 Laplaces eq. i 2-dim : Dvs. 2 V x 2 = 0 V (x) = mx + b 1. Pontentialet i et punkt er givet ved gennemsnittet af de omkringliggende punkter V (x) = 1 (V (x + a) + V (x a)) 2 2. Laplace har ikke lokale maks. og min., udover ved randen. + 2 V y 2 = 0 1. Pontentialet i et punkt er givet ved gennemsnittet af de omkringliggende punkter(i en cirkel med radius R) V (x) = 1 V dl 2πR cirkel

2 KAPITEL 3 - SPECIAL TECHNIQUES 6 Laplaces eq. i 3-dim : Dvs. 2 V x 2 2. Laplace har ikke lokale maks. og min., udover ved randen. + 2 V y 2 + 2 V z 2 = 0 1. Pontentialet i et punkt er givet ved gennemsnittet af de omkringliggende punkter(i en sfære med radius R) V (x) = 1 V da 4πR 2 sfære 2. Laplace har ikke lokale maks. og min., udover ved randen. 1.uniqueness theo. : Løsningen til laplace s ligning i et volumen V er enstemmigt bestemt, hvis V er specificeret på randen af overfladen S Korollar : Potentialet i volume V er unikt bestemt, hvis (a) ladnings tætheden i et område,og (b) værdien af V i alle rand områder, er kendt. 2.uniqueness theo. : I et volume V omkranset af en leder og indeholdende en specificeret ladnings tæthed ρ, er det elektriske felt unikt bestemt, hvis den totale ladning på hver af lederne er givet. Spejl metoden : Vi skal løse problemet, med at have en ladning over en jordet plade, i en afstand d.hvad er potentialet i området over pladen. Vi ved 1. V = 0 for z = 0 2. V 0 for x 2 + y 2 + z 2 >> d 2 Ved uniqueness teoremet, kan man finde potentialet ved en anden metode, så vi finder det ved at spejle ladningen i pladen. Løsningen er givet ved V (x, y, z) = 1 4πɛ 0 ( q x2 + y 2 + (z d) 2 Induceret ladning : Den inducerede overfladeladning er givet ved ) q x2 + y 2 + (z + d) 2 σ = ɛ 0 V n Som eks. kan vi se på den inducerede overfladeladning i pladen fra spejl metoden, her er σ(x, y) = qd 2π(x 2 + y 2 + d 2 ) 3/2 og den totale ladning er givet ved Q = σda

2 KAPITEL 3 - SPECIAL TECHNIQUES 7 2.1 Separation af variable Vi vil finde løsninger til laplace s ligning ( V 2 = 0), ved hjælp af separation af variable. kartetiske koordi. : Der er tre eksempler (3.3, 3.4, 3.5) sfæriske koordi. : V (r, θ) = l=0 ( A l r l + B ) l P r l+1 l (cos θ) Der er også fire eksempler (3.6, 3.7, 3.8, 3.9) Monopol : 2.2 Multipol udvidelse Vi kan udtrykke potentialet ved Legendre polynomiet. V (r) = 1 1 (r ) n P 4πɛ 0 r (n+1) n (cos θ )ρ(r )dτ n=0 Dvs. at vi kan skriv de første par led ud. [ 1 1 V (r) = ρ(r )dτ + 1 r cos θ ρ(r )dτ 4πɛ 0 r r 2 + 1 ( 2 (r ) 2 r 3 3 cos2 θ 1 ) ] ρ(r )dτ +... 2 Ved denne udvidelse kan man genkende de forskellige led, som monopol, dipol,... approksimation af potentialet. V mon (r) = 1 Q 4πɛ 0 r, hvor Q = Dipol : Dipol ledet kan udtrykkes ved dipol momentet p r ρ(r )dτ V dip (r) = 1 p ˆr 4πɛ 0 r 2 For en fysisk dipol er p = qd Vi kan også giv udtryk for det elektriske felt: p E dip (r, θ) = (2 cos θˆr + sin θ ˆθ) 4πɛ 0 r3 p E dip (r) = [3(p ˆr)ˆr p] 4πɛ 0 r3 ρdτ

3 KAPITEL 4 - ELECTRIC FIELDS IN MATTER 8 Quadrupol : Octopol : V qua (r) = 1 1 4πɛ 0 r 3 V qua (r) = 1 1 4πɛ 0 r 4 (r ) 2 ( 2 3 cos2 θ 1 2 ) ρ(r )dτ (r ) 3 ( 5 2 cos3 θ 3 2 cos θ ) ρ(r )dτ 3 Kapitel 4 - Electric Fields in Matter Dielektrisk : = isolatorere. I et dielektrisk material er alle ladningerne bundne til den enkelte atom eller molekyle. Dvs. at de ikke kan bevæge sig frit omkring. Den eneste form for bevægelse er inden for atomet. Induceret dipol : Hvis det elektriske felt ikke er stærkt nok til at ioniser et atom, bliver atomet polariseret af det elektriske felt og får et dipol moment. p = αe α er kaldt den atomare polarisabilitet, dette gælder kun for neutrale atomer. Kraftmoment : Nogle molekyler har et dipolmoment, f.eks. vand. Dette dipolmoment er ophav til et kraftmoment i et elektrisk felt N = p E F = (p )E Polarisationen : Når et material er blevet polariseret, har det polarisationen Bundne ladninger : P dipolmoment pr. volumen = V (r) = 1 4πɛ 0 V î P(r ) ı 2 dτ i=0 p i V ol Bunden overflade ladning : σ b P ˆn Bunden volumen ladning : ρ b P

3 KAPITEL 4 - ELECTRIC FIELDS IN MATTER 9 Frie ladninger : Elektriske forskydning : V (r) = 1 4πɛ 0 S σ b ı da + 1 4πɛ 0 V ρ = ρ b + ρ f (ɛ 0 E + P) = ρ f D ɛ 0 E + P ρ b ı dτ D = ρ f D da = Q fenc (1) Når man udregner den elektriske forskydning, skal man kigge efter symmetri, for hvis der er det kan man direkte brug (1) (På samme måde, som med en gauss dåse) Grænsebetingelser : Dabove Dbelow = σ f D above D below = P above P below Eabove Ebelow = 1 σ ɛ 0 E above E below = 0 Elektrisk susceptibilitet : χ e Hvis det er lineart dielektrika se også side 186 i Griffiths 3.1 Lineart dielektrika P = ɛ 0 χ e E Susceptibiliteten kan også bruges til at finde: ( ) χe ρ b = ρ f 1 + χ e Permittivitet : ɛ ɛ 0 (1 + χ e ) D = ɛe

4 KAPITEL 5 - MAGNETOSTATICS 10 Relativ permittivitet : Eller den dielektriske konstant ɛ r 1 + χ e = ɛ ɛ 0 Energi: W = ɛ 0 2 ɛ r E 2 dτ = 1 2 D Edτ Kraft : F = dw dx = 1 2 V 2 dc dx Ved brug af denne formel se side 195. 4 Kapitel 5 - Magnetostatics Magnetostatik handler om at have et konstant magnetisk felt. (Dvs. J = 0) Magnetisk kraft : Også kaldet lorentz kraft lov F mag = Q(v B) Og hvis det samles med elektrostatikken F mag = Q(E + v B) Magnetisk arbejde : Den magnetiske kraft kan ikke lave noget arbejde dw mag = F mag dl = Q(v B) vdt = 0 Strøm : er ladninger pr. tidsenhed gennem er punkt og den måles i Ampere I = λv Hvor ladningstætheden kun referere til de bevægede ladninger F mag = I(dl B) Med konstant strøm giver det F mag = I (dl B)

4 KAPITEL 5 - MAGNETOSTATICS 11 Overflade strømtæthed : K di dl K = σv Den magnetiske kraft for en overflade strømtæthed: F mag = (v B)σda = (K B)da Volumen strømtæthed : J di da J = ρv Den magnetiske kraft for en volumen strømtæthed: F mag = (v B)ρdτ = (J B)dτ I = Jda = J da Kontinuitets ligningen bliver så S S Biot-Savart s lov : Gælder kun for steady strøm J = ρ t Linie strøm : B(r) = µ 0 4π Overflade strøm : B(r) = µ 0 4π V olumen strøm : B(r) = µ 0 4π I î dl = µ 0I ı 2 4π K(r ) î da ı 2 J(r ) î dτ ı 2 dl î ı 2 Divergens af B : B = 0

4 KAPITEL 5 - MAGNETOSTATICS 12 Rotation af B : Også kaldet Ampere s lov B = µ 0 J Man bruger ofte integrale formen af ampere s lov B dl = µ 0 I enc Som magnetostatikkens svar på gauss dåsen,(kaldet ampere løkke). Oversigt over prototyper til ampere løkke 1. Uendelig lige linie. eks 5.7 2. Uendelig plan eks. 5.8 3. Uendelig solenoide eks 5.9 4. Toroide eks. 5.10 (Donut med vindinger) Vektor potentiale : B = A A = 0 2 A = µ 0 J linie : A(r) = µ 0 I 4π ı dl = µ 0I 4π Overflade : A(r) = µ 0 K 4π ı da linie : A(r) = µ 0 4π J(r ) dτ ı 1 ı dl Grænsebetingelser : 4.1 Multipol udvidelse B above B below = µ 0 (K ˆn) A(r) = µ 0I 4π Monopol : Den magnetiske monopol er altid 0 A above = A below (r ) n P n (cos θ )dl

5 KAPITEL 6 - MAGNETIC FIELDS IN MATTER 13 Dipol : A dip (r) = µ 0 m ˆr 4π r 2 Hvor m er det magnetiske dipol moment m = I da = Ia hvor a er det indesluttet areal B dip (r) = µ 0m (2 cos θˆr + sin θ ˆθ) 4πr3 B dip (r) = µ 0m [3(m ˆr)ˆr m] 4πr3 5 Kapitel 6 - Magnetic Fields in Matter Paramagnet : Magnetisationen er parallel med B-feltet Diamagnet : Magnetisationen er modsat B-feltet Ferromagnet : Magnetisationen er afhængig af historien Kaftmoment : Kraft : Magnetisation : Bundne strømme : N = m B Hvor m = Ia er det magnetisk dipolmont. F = (m B) M = magnetiske dipoler pr. volumen = Potentialet af volumen strømmen: A(r) = µ 0 M(r ) î dτ 4π ı 2 J b = M i=0 m i V ol

5 KAPITEL 6 - MAGNETIC FIELDS IN MATTER 14 Den frie strøm : J f er givet ved Potentialet af overflade strømmen: A(r) = µ 0 4π V K b = M ˆn J b (r ) dτ + µ 0 ı 4π J = J b + J f S K b (r ) da ı Den frie strøm er den der overføres fra et batteri, og den bundne er der pga. magnetisationen. H-feltet : H 1 µ 0 B M Denne definition giver en ny udgave af ampere s lov H = J f H dl = I fenc Hvor I fenc er den totale frie strøm passerende igennem en ampere løkke. H = M Grænsebetingelser : H above H below = (M above M below) H above H below = K b ˆn 5.1 Lineart og ikke lineart media Susceptibilitet : χ m Permativitet : M = χ m H µ = µ 0 (1 + χ m ) B = µh J b = χ m H

6 KAPITEL 7 - ELECTRODYNAMICS 15 6 Kapitel 7 - Electrodynamics 6.1 Elektromotorisk kraft Konduktiviteten: σ også kaldet lednings evnen, (ikke at forveksle med overflade ladningen). Konduktiviteten er en proportionalitets faktor mellem strømtætheden J og kraft pr. enheds ladning f. I en perfekt leder er σ =. J = σf Resistiviteten : eller den specifik modstand er givet ved ρ = 1 σ volumen ladningen). (ikke at forveksle med Ohm s lov : J = σe Denne kan skrives om til den normale form af ohm s lov Hvor R resistansen, som måles i Ω Effekten er så givet ved V = IR P = V I = I 2 R [W ] Elektromotorisk kraft : kaldes også emf E f dl = f s dl Hvor f s er kilde kraften, f.eks. den kraft et batteri lever. Emf en fra en ideal-kilde er V = b E dl = b a a f s dl = E E kan tolkes, som arbejde gjort pr. enheds ladning af en kilde. Bevægelses emf : Er det der bliver benyttet i generatore, dvs. af der bliver skabt en elektromotorisk kraft ved bevægelse gennem et B. E = f mag dl = vbh

6 KAPITEL 7 - ELECTRODYNAMICS 16 Flux af B : Vi definere fluxen af B til at være Φ B da Så er den elektromotoriske kraft E = dφ dt For at kunne regne fluxen er det vigtigt at finde retningen a peger. Hvis strømmen peger i fingrenes retning er a positiv i tommelfingrenes retning (højre hånd) 6.2 Elektromagnetisk induktion Faraday s lov : Faraday siger på baggrund af en del forsøg: Ændring i det magnetiske felt inducer et elektrisk felt Faraday s lov bliver så E = B t Det skal lige siges at faraday s lov er kvasistatisk. Universal flux-lov : Når (og af hvilken som helst grund) en magnetisk flux går gennem en løkke af ladninger, vil en elektromotorisk kraft opstå i løkken. E = dφ dt Lenz s lov : Det er svært at finde fortegnet i faraday s lov og det giver lenz s lov: Naturen afskyr ændringer i fluxen Dvs. at naturen prøver at modvirke en ændring i fluxen ved at inducere et modsat felt. Induceret E-felt : Faraday s induceret elektriske felt er bestemt ved B på samme måde t som det magnetostatiske felt er bestem ved µ 0 J og er på integral-form givet ved: B dl = µ 0 I enc E dl = dφ dt

6 KAPITEL 7 - ELECTRODYNAMICS 17 Gensidig induktans : Strømmen i en løkke, inducere en strøm i en anden løkke Φ 2 = M 21 I 1 M 21 er den gensidige induktans i løkke 2 fra løkke 1. M 21 = µ 0 4π dl2 dl 2 ı (2) Og kaldes Neumann s formel 1. M 21 er en ren geometrisk størrelse, som har størrelse og form af de to løkker. 2. Integralet i (2) er uændret af ombyttelse af løkkerne, så M 21 = M 12 Den elektromotoriske kraft er så givet ved E = dφ 2 dt = M di 1 dt Selv induktans : L er givet ved Energi i B-felt : Φ = LI og E = L di dt Induktansen måles i henries (H = V s A ) W = 1 2 LI2 Og arbejdet er så givet ved W = 1 2µ 0 all space B 2 dτ 6.3 Maxwell s ligninger Ampere s lov : For at divagensen af rotationen altid er nul, måtte Maxwell rette på Ampere s lov, som blive udvidet til Maxwell siger også B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 E t

6 KAPITEL 7 - ELECTRODYNAMICS 18 Ændring i det elektriske felt inducer et magnet felt Forskydnings strømmen : Maxwell s ligninger : J d ɛ 0 E t Sammen med kraft loven E = 1 ɛ 0 ρ B = 0 E = B t B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 E t F = q(e + v B) Maxwell s lign. i stof : D = ρ f B = 0 E = B t H = J f + D t Forskydnings strømmen : J d = D t Grænsebetingelser : Normalt er felterne E, B, D og H er diskontinere i grænsefladen mellem to media eller overflader der har ladnings tætheden σ eller strøm tætheden K. Men kan udregnes fra Maxwell s ligninger i integral form. D1 D2 = σ f B1 B2 = 0 E 1 E 2 = 0 H 1 H 2 = K f ˆn Ellers se side 331-333

7 VIGTIG KONSTANTER 19 7 Vigtig konstanter 12 C2 ɛ 0 = 8.85 10 Nm 2 µ 0 = 4π 10 7 N A 2 1 c = ɛ0 µ 0 Modstande : Kapacitor : Kapacitor : 8 Grundlæggende elektronik 8.1 Passive komponenter Det er komponenter, der ikke er i stand til at forstærke strømmen. De mest almindelige er modstande, kapacitorer (kondensatorer) og induktore (spoler). Hvis vi taler om en ledning er J = σe σ = ne2 τ m Hvor n er elektrontætheden i ledningen, e 2 = q2 e 4πɛ 0, m er elektronens masse og τ er den gennemsnitlige tid mellem elektronen støder ind i atomerne i ledningen. Hvis vi bruger den almindelige form af ohm s lov så er R = L σa V = RI hvor L er stykkes længde og A er tværsnits arealet. Q = CV Hvor Q er ophobet ladninger, C er kapacitancen og V er spændings forskellen. C ɛ 0 a, hvor a en den typiske afstand mellem pladerne. W = Q2 2C E = L di dt Hvor µ 0 A og a er den typiske længde for spolen.

8 GRUNDLÆGGENDE ELEKTRONIK 20 8.2 Kirchoff lov 1.lov : Knude ligningen I i = 0 i Det skal lige siges at en knude er et lille metalisk område hvor 3 eller flere kanaler mødes. 2.lov : Maske ligningen Batteri E = Spole L i di i dt + Kapacitor I anvendelse skal V C erstattes med t 0 I(t )dt For gennem regning se eksempel A i noterne. 8.3 Vekselstrøm C V C + Modstande R i I i Som bekendt er en vekselstrøm, et svingnings felt, så man fourier transformere fra en tids variabel til en svingnings variabel. Ẽ(ω) = E(t)e iωt dt Resistore : Ẽ R = RĨ(ω) Spole : Ẽ L = iωlĩ(ω) Hvis man ser bort fra at det er en imaginær størrelse er det næsten ohm s lov, så man skriver den også Ẽ L = ZĨ(ω) hvor Z = iωl og kaldes inpedans

8 GRUNDLÆGGENDE ELEKTRONIK 21 Kapacitor : Ẽ C = Ĩ(ω) ( iω + η)c hvor η er en infinitesimal størrelse, som man normalt ser bort fra, så Ẽ C = Ĩ(ω) iωc NB! Her er inpedansen Z = 1 iωc Hvis man forstiller sig kredsløbet til at være en strømforsyning der er sluttet til en sort boks. Så han denne sorte boks inpedansen Z = R + ix Hvor R kaldes resistansen og X kaldes reaktansen.

9 EKSEMPLER 22 9 Eksempler 9.1 til Kapitel 2 Eks. 2.1 (s.62) : Find det elektriske felt en distance z over miden af en lige linie med længden 2L, som har en linie ladning på λ? Eks. 2.2 (s.70) : Find feltet udenfor en uniformt ladet solid sfære med radius R og den totale ladning q? Eks. 2.3 (s.72) : En lang cylinder bager en ladnings tæthed, som er proportional afstanden fra aksen ρ = ks, hvor k er en konstant. Find det elektriske felt inde i cylinderen? Eks. 2.4 (s.73) : En uendlig plade bager en uniform overfrade ladning σ. Find dens elektriske felt? Eks. 2.5 (s.74) : To uendelige parallelle flader har den samme med modsat uniform ladnings tæthed ±σ. Find feltet i de tre områder (i) til venstre for dem begge, (ii) mellem dem, (iii) til højre for dem begge. Eks. 2.6 (s.81) : Find potentialet inden i og uden om, en sfærisk skal med radius R, som har en uniform overflade ladning. Set reference punkt i uendelig. Eks. 2.7 (s.85) : Find potentialet af en uniform ladet sfærisk skal, med radius R. Eks. 2.8 (s.94) : Find energien af en uniform ladet sfærisk skal med total ladningen q og radius R. Eks. 2.9 (s.99) : En uladet sfærisk leder, med center i origo, har et hulrum med en mærkelig form. I hulrummet er en ladning q. Spørgsmål: Hvad er feltet udenfor sfæren? Eks. 2.10 (s.104) : Find kapacitancen af en parallel-plade kondensator bestående af to metal overflader med arealet A, med en afstand d. Eks. 2.11 (s.105) : Find kapacitansen af to koncentrisk sfæriske metal skalle, med radii a og b. 9.2 til Kapitel 3 Eks. 3.1 (s.117) : Vis at potentialet er konstant inden i en indelukke komplet omringet af ledende materiale, bevis at der er ingen ladning inden i indelukket.

9 EKSEMPLER 23 Eks. 3.2 (s.124) : En punkt ladning q befinder sig distance a fra en jordede ledende sfære med radius R. Find potenstialet udenfor sfæren. Eks. 3.3 (s.127) : To jordede uendelige metal plader ligger parallelt med xz-planen, en ved y = 0 og en ved y = a. den venstre ende er ved x=0, er lukket af med et uendelig stykke isoleret fra de to plader og holdt i det specifikke potentiale V 0 (y). Find potentialet inden i slottet. Eks. 3.4 (s.132) : To jordede uendelige metal plader ligger parallelt med xz-planen, en ved y = 0 og en ved y = a, er forbundet ved x = ±b med et metal stykke, som har det konstante potentiale V 0. Find potentialet inde i piben. Eks. 3.5 (s.134) : En uendelig lang rectangular metal pipe (siderne a og b) er jordede, men ved x = 0, er potentialet V 0 (y, z). Find pontentialet inde i pipe en. Eks. 3.6 (s.139) : Potentialet V 0 (θ) er specificeret på overfladen af en hul sfære med radius R. Find potentialet inden i sfæren. Eks. 3.7 (s.140) : Potentialet V 0 (θ) er specificeret på overfladen af en sfære med radius R, find potentialet udenfor, antag at der er ingen ladning der. Eks. 3.8 (s.141) : En ikke ladet metal sfære med radius R er placeret i et ellers ensformet elektrisk felt E = E 0 ẑ Find potentialet i området udenfor sfæren. Eks. 3.9 (s.142) : En specificeret ladnings tæthed σ 0 (θ) er tilknyttet en overflade på en sfærisk skal med radius R. Find det resulterende potentiale inde i og udenfor sfæren. Eks. 3.10 (s.146) : En fysisk elektrisk dipol består af to modsat ladet ladninger (±q) adskilt af en distance d. Find det approx. potentiale i et punkt fra dipolen. 9.3 til Kapitel 4 Eks. 4.1 (s.161) : En primitiv model for et atom består af punkt kerne (+q) omringet af en homogent ladet sfærisk sky (-q) med radius a. Beregn den atomare polarisation af pågældende atom. Eks. 4.2 (s.168) : Find det elektriske felt produceret af et homogent polariseret sfære med radius R.

9 EKSEMPLER 24 Eks. 4.3 (s.172) : Der er en anden måde at analysere en homogent polariseret sfære (Ex. 4.2), som godt illustere iden om bundne ladninger. Det vi har, er to sfære med ladninger: en positiv sfære og en negativ sfære. Uden polarisation ville de to sfære være overlappende og ophæve hinanden. Men når materiel er homogent polariseret, vil alle de positive ladninger rykke sig en smugle op (i z-retningen), og alle de negative rykker en smugle ned af. Nu er de to sfære ikke totalt overlappende: i toppen er der en cap af overladende positive ladninger, og det modsatte i bunden. De overladte ladninger er lige netop de bundne overflade ladninger σ b. Eks. 4.4 (s.176) : En lang lige wire, bager en uniform linie ladning λ, er omringet af gummi isolation ud til en radius a. Find det elektriske forskydning (displacement). Eks. 4.5 (s.181) : En metal sfære med radius a bager ladningen Q. Er omringet i en radius b, af et lineart dielektrisk materiale med permativiteten ɛ. Find potentialet i centeret (relativ til uendelig). Eks. 4.6 (s.183) : En parallel-plade kondensator er sammenlagt med et isolerende materiale med den dielektriske konstant ɛ r. Hvilken effekt har det på kapacitansen? Eks. 4.7 (s.186) : En sfære med homogent lineart dielektrisk materiale er placeret i et ellers uniformt elektrisk felt E 0. Find det elektriske felt inde i sfæren. Eks. 4.8 (s.188) : Antag at hele området under planen z = 0 er fyldt ud med uniformt lineart dielektrisk materiale med susceptibiliteten χ e. Beregn kraften på en punkt ladning q beliggende i afstanden d over origo. 9.4 til Kapitel 5 Eks. 5.1 (s.205) : Cyclotron-bevægelse Eks. 5.2 (s.205) : Cyclotron-bevægelse En mere eksotisk bane kommer hvis vi inkludere et uniformt elektrisk felt, i den rigtig vinkel til magnet et. Antag, f.eks, at B peger i x- retningen, og E i z-retningen. En partikel i hvile bliver sluppet fri i origo, hvilken bane vil den følge? Eks. 5.3 (s.209) : En rektangulær løkke af wire, bager en masse m, hænger vertikalt med en ende i et uniformt magnetisk felt B, som peger ind i papiret, in den skraveret del af fig. 5.10. Hvor stor skal I, i løkken, være for at den magnetisk kraft opad balancere den tyngdekraften nedad?

9 EKSEMPLER 25 Eks. 5.4 (s.213) : (a) En strøm I er uniformt fordelt over en cirkulær wire, med radius a. Find volumen strøm tætheden J. (b) Antag at strøm tætheden i wiren er proportional afstanden til aksen, J = ks (k er en konstant). Find den totale strøm i wiren. Eks. 5.5 (s.216) : Find det magnetiske felt i en distance s fra en lang lige wire med en steady strøm I. Eks. 5.6 (s.218) : Find det magnetiske felt i en distance z over centeret af en cirkulær løkke med radius R, som bager en steady strøm I. Eks. 5.7 (s.226) : Find det magnetiske felt i en distance s fra en lang lige wire, med en steady strøm I. Eks. 5.8 (s.226) : Find det magnetiske felt af en uendelig uniform overflade strøm K = K ˆx, som strømmer over xy-planen. Eks. 5.9 (s.227) : Find det magnetiske felt af en meget lang solenoid, med n vindinger pr. længde enhed, om en cylinder med radius R og med en steady strøm I. Eks. 5.10 (s.229) : En donut, med uniforme vindinger og så tætte så de minder om lukket løkker.?????????????????? Eks. 5.11 (s.236) : En sfærisk skal, med radius R, har en uniform overfrade ladning σ, er sat i rotation, med en vinkel hastighed ω. Find vektor potenstialet i et punkt r. Eks. 5.12 (s.238) : Find vektor potenstialet af en uendelig solenoid med n vindinger pr. længde enhed, radius R, og strøm I. Eks. 5.13 (s.244) : Find det magnetiske dipol moment af en bog-formet løkke. Alle siderne har længden w, og har strømmen I. 9.5 til Kapitel 6 Eks. 6.1 (s.264) : Find det magnetiske felt for en uniformt magnetiseret sfære. Eks. 6.2 (s.270) : En lang kobber stang med radius R bager en uniformt fordelt (frie) strøm I. Find H indeni og udenfor stangen. Eks. 6.3 (s.275) : En uendelig solenoide (n vindinger pr. længde enheden, strøm I) er fyldt med et lineart materiale med susceptibiliteten χ m. Find det magnetiske felt indenfor og udenfor solenoiden.

9 EKSEMPLER 26 9.6 til Kapitel 7 Eks. 7.1 (s.286) : En cylinder resistor med et tvær-snits areal A og længden L er lavet af et materiale med konduktiviteten σ. Hvis potentialet er konstant over hver ende, og potentiale forskellen mellem enderne er V, hvad er strømmen (current flows)? Eks. 7.2 (s.287) : To lange cylindere (med radii a og b) er adskilt af et materiale med Konduktiviteten σ. Hvis der bliver opretholdt en potentiale forskel på V, hvad er strømmen (current flows) fra den ene til den anden, i en længde L? Eks. 7.3 (s.288) : Jeg påstår at feltet i eks.7.1 er uniformt, lad os bevise det. Eks. 7.4 (s.298) : En metal skive med radius a rotere med en vinkelhastighed ω om en vertikal akse, igennem et uniformt B-felt, pegende opad. Et kredsløb er lavet ved at forbinde den ene ende af en resistor til aksen og den anden til en glide kontakt, som rør ved kanten af skiven. Find strømmen i resistoren. Eks. 7.5 (s.303) : En lang cylinderisk magnet med længden L og radius A har en uniform magnetisation M parallelt med aksen. Den passere gennem med hastigheden v gennem en wire-ring med lidt større diameter. Skitser emf en induceret i ringen, som funktion af tiden. Eks. 7.6 (s.304) : Den hoppende ring. Hvis du laver en solenoide omkring en jernkerne, placer en metal ring på toppen, og tilslut solenoiden. Ringen vil hoppe af. Hvorfor? Eks. 7.7 (s.306) : Et uniformt magnetisk felt B(t), peger lige op, udfylder det skraveret cirkulære område i fig. 7.24. Hvis B variere i tiden, hvad er det induceret elektriske felt? Eks. 7.8 (s.306) : En linie ladning λ er limet ind i landen af et hjul med radius b, som er ophængt vandret som vist på fig 7.25, så det kan rotere frit. i center området med radius a, er der et uniformt magnetisk felt B 0 pegende opad. Nu slukkes feltet, hvad sker der så? Eks. 7.9 (s.308) : En uendelig lang lige wire har en langsomt varierende strøm I(t). Bestem det induceret elektriske felt, som en funktion at afstanden fra wire en. Eks. 7.10 (s.312) : En kort solenoide (længden l og radius a, med n 1 vindinger pr. længde enhed) ligger på aksen af en meget lang solenoide (radius b, n 2 vindinger

9 EKSEMPLER 27 pr. længde enhed). Strømmen I løber i den lille solenoide. Hvad er fluxen igennem den lange solenoide? Eks. 7.11 (s.313) : Find selv-industancen af en toroidal coil, med et retangurart tværsnit (inder radius a, ydre radius b og højde h), har det totale antal vindinger N. Eks. 7.12 (s.314) : noget el-lære Eks. 7.13 (s.319) : Et langt koaksial kabel har strøøem I (strømmen løber ned af overfladen på det inderste cylinder, med radius a, og tilbage af det ydere, med radius b). Find den magnetiske energi opbevaret i en sektion med længden L.

Indeks 1.uniqueness theorem, 6 1.uniqueness theorem -korollar, 6 2.uniqueness theorem, 6 Ampere s lov, 12, 17 Bevægelses emf, 15 Biot-Savart s lov, 11 Bundne ladninger, 8 Bundne strømme, 13 Coulomb s lov, 3 Diamagnet, 13 Dielektrisk materiale, 8 konstant, 10 Divergens af B, 11 E-felt, 3 E-felt for dipol, 7 E-flux, 3 Elektrisk dipol, 7 Elektrisk energi, 4 Elektrisk monopol, 7 Elektrisk octopol, 8 Elektrisk potentiale, 4 Elektrisk quadrupol, 8 Elektrisk susceptibilitet, 9 Elektriske forskydning, 9 Elektromotorisk kraft, 15 Energi i B-felt, 17 Energi i dielektrika, 10 Energi tæthed, 4 Faraday s lov, 16 Ferromagnet, 13 Flux af B, 16 Forskydnings strømmen, 18 Frie ladninger, 9 Frie strøm, 14 Gauss dåse, 4 Gauss s lov, 3 Gensidig induktans, 17 Grænsebetingelser, 18 Grænsebetingelser for B, 12, 14 Grænsebetingelser for E, 5, 9 H-feltet, 14 Induceret E-felt, 16 Induceret dipol, hos dielektrika, 8 Induceret ladning, 6 Kapacitor, 19 Kirchoff lov, 20 Kondensator, 5 Konduktiviteten, 15 Konstanter, 19 Kraften på dielektrika, 10 Kraftmoment for dipolmoment, 8 Kraftmoment for mag. dipol, 13 Laplace i I-dim, 5 Laplace i II-dim, 5 Laplace i III-dim, 6 Leder, 5 Lednings evnen, 15 Lenz s lov, 16 Lineart dielektrika, 9 Lorentz kraft lov, 10 Magnetisation, 13 Magnetisk arbejde, 10 Magnetisk dipol, 13 magnetisk dipolmont, 13 Magnetisk kraft, 10 Magnetisk monopol, 12 Magnetisk permativitet, 14 Magnetisk susceptibilitet, 14 28

INDEKS 29 Magnetisk vektor potentiale, 12 Magnetiske dipol moment, 13 Maxwell s lign. i stof, 18 Maxwell s ligninger, 18 Modstande, 19 Multipol udvidelse af B, 12 Multipol udvidelse af E, 7 Ohm s lov, 15 Overflade strømtæthed, 11 Paramagnet, 13 Passive komponenter, 19 Permittivitet, 9 Poisson s ligning, 5 Polarisationen, 8 Relativ permittivitet, 10 Resistiviteten, 15 Rotation af B, 12 Rotation af E, 4 Sammenhæng mellem V, Eogρ, 4 Selv induktans, 17 Separation af variable, 7 Specifik modstand, 15 Spejl metoden, 6 Strøm, 10 Universal flux-lov, 16 Vekselstrøm, 20 Volumen strømtæthed, 11