Planen idag Rentefølsomhedsanalyse; resten af kapitel 3 i Noterne Varighed og konveksitet 3 fortolkninger af varighed Varighed og konveksitet for porteføljer Multiplikative skift i rentestrukturen Fin1 (onsdag 11/2 2009) 1
Antag flad rentestruktur med én-periode rente r > 1 og betragt et aktiv med betalingsrække c R T. Da er nutidsværdien af aktivet PV (c;r) = T t=1 c t (1 + r) t., og Macaulay-varigheden ( duration ) af aktivet er D(c;r) = 1 PV (c;r) T t=1 c t t (1 + r) t, Fin1 (onsdag 11/2 2009) 2
Yderligere er den modificerede Macauley-varighed af aktivet MD(c;r) = 1 (1 + r)pv (c;r) T t=1 c t t (1 + r) t = D(c;r) 1 + r, og konveksiteten ( convexity ) af aktivet givet som K(c; r) = 1 PV (c;r) T t=1 c t t 2 (1 + r) t. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 3
Betydning af varighed og konveksitet: prisfølsomhed overfor renteændringer udtrykt i nogle få nøgletal r PV (c;r) er en strengt aftagende, strengt konveks funktion (differentier og se efter); varighed og konveksitet er stort set 1.- og 2.-afledede Mere specifikt kan de afledte af PV (c;r) kan udtrykkes som: 1 PV (c;r) r PV (c;r) = 1 (1 + r)pv (c;r) 1 PV (c;r) r 2PV (c;r) = 1 (1 + r) 2 PV (c;r) 2 T t=1 T t=1 c t t (1 + r) t = D(c;r) 1 + r = MD(c;r) c t (t 2 + t) (1 + r) t = D(c;r) + K(c; r) (1 + r) 2 Fin1 (onsdag 11/2 2009) 4
Taylor-udvikling af funktionen r PV (c;r) til 2. orden i punktet r 0 giver PV (c;r) PV (c;r 0 ) + r PV (c;r 0)(r r 0 ) + 1 2 r 2PV (c;r 0)(r r 0 ) 2 2 og dermed PV (c;r) PV (c;r 0 ) PV (c;r 0 ) 1 PV (c;r 0 ) r PV (c;r 0)(r r 0 ) + 1 1 2 2PV (c;r 0 ) r 2PV (c;r 0 = D(c;r 0) (r r 0 ) + D(c;r 0) + K(c; r 0 ) } 1 + {{ r 0} 2(1 + r 0 ) 2 (r r 0 ) 2 =MD(c;r 0 ) Fin1 (onsdag 11/2 2009) 5
dvs. PV (c;r) PV (c;r 0 ) [ 1 MD(c;r 0 )(r r 0 ) + D(c;r ] 0) + K(c;r 0 ) (r r 2(1 + r 0 ) 2 0 ) 2 Første-ordens effekter af (små) renteændringer på aktivets nutidsværdi fanges af den modificerede varighed Første- og anden-ordens effekter af (små) renteændringer på aktivets nutidsværdi fanges af (modificeret) varighed og konveksitet Fin1 (onsdag 11/2 2009) 6
Konveksiteten af r P V (c; r) betyder at varighedsapproksimationen overestimerer kursfald som konsekvens af en rentestigning, og underestimerer kursstigninger som konsekvens af et rentefald. Eller som fortalt med denne klassiske figur: (Faktisk og approksimeret kurs for 20-årigt stående lån med kuponrente 2% ved renteændring (renteniveau før ændring: 5%).) Fin1 (onsdag 11/2 2009) 7
Eksempel: 4st.l.10 GB - Dansk statsobligation, 4% stående lån, udløb 15. nov. 2010 Data for obligationen pr. 8. februar 2008: Kuponrente Terminsdato Kurs Effektiv rente Varighed 4% 15. nov. 101.34 3.48% 2.64 Vedhængende rente ( accrued interest ): Der er 85 dage fra 15. november 2007 (seneste terminsdato) til 8. februar 2008. Den vedhængende rente er således 85 365 0.04 100 = 0.93, og obligationens dirty price 101.34 + 0.93 = 102.27. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 8
Macauley-varighed: D(c;3.48%) = 1 102.27 ( 4 280 365 (1 + 0.0348) 365 280 +104 + 4 1010 365 (1 + 0.0348) 1010 365 645 365 (1 + 0.0348) 645 365 ) 2.65 Konveksitet: Fin1 (onsdag 11/2 2009) 9
K(c; 3.48%) = 1 102.27 ( 4 ( 280 ) 2 365 (1 + 0.0348) 280 365 +104 + 4 ( 1010 ) 2 365 (1 + 0.0348) 1010 365 ( 645 ) 2 365 (1 + 0.0348) 645 365 ) 7.22 Bemærk: I kurslisten regner man som om rentestrukturen er flad ved pågældende obligations effektive rente. Nemt, men faktisk inkonsistent. Macauleyvarighed kan ses omtalt som varighed baseret på effektiv rente. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 10
Nyt renteniveau Ny nutidsværdi/kurs Approksimation Approksimation v.hj.a. D v.hj.a. D og K 2.00% 106.26 106.15 106.25 2.50% 104.89 104.84 104.88 3.00% 103.54 103.53 103.54 3.48% 102.27 4.00% 100.92 100.90 100.92 4.50% 99.64 99.59 99.64 5.00% 98.39 98.28 98.39 6.00% 95.95 95.66 95.96 7.00% 93.59 93.04 93.62 Approksimationerne er gode selv ved store renteændringer (pga. den korte restløbetid). Fin1 (onsdag 11/2 2009) 11
Fortolkning af varighed I: Renteelasticitet Taylor-udvikling i punktet r 0 som før men blot til 1. orden giver PV (c;r) PV (c;r 0) PV (c; r 0 ) D(c;r 0) 1 + r 0 (r r 0 ) = D(c;r 0 ) (1 + r) (1 + r 0) 1 + r 0 og dermed D(c;r 0 ) PV (c;r) PV (c;r 0 ) PV (c;r 0 ) (1 + r) (1 + r 0 ) 1 + r 0 relativ ændring i PV (c;r) relativ ændring i 1 + r Fin1 (onsdag 11/2 2009) 12
Varigheden kan altså fortolkes som nutidsværdiens følsomhed overfor (små) ændringer i renten (eller rettere: ændringer i én plus renten ), dvs. som en renteelasticitet. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 13
Fortolkning af varighed II: Gennemsnitlig løbetid Hvis vi definerer vægtene w t = 1 c t PV (c;r)(1 + r) t t = 1,...,T (idet T t=1 w t = 1) kan Macauley-varighed og konveksitet i stedet skrives som D(c;r) = T tw t K(c; r) = t=1 T t 2 w t. t=1 Fin1 (onsdag 11/2 2009) 14
Bemærk: c t (1 + r) w t = t er nutidsværdien af aktivets betaling til tid t relativt til den PV (c;r) samlede nutidsværdi D(c;r) er et vægtet gennemsnit af løbetiderne på de enkelte betalinger i aktivets betalingsrække, dvs. et udtryk for aktivets gennemsnitlige løbetid Fin1 (onsdag 11/2 2009) 15
Eksempel: Varighed beregnet for stående lån ved forskellige løbetider og kuponrenter Renteniveau 5% Renteniveau 15% Fin1 (onsdag 11/2 2009) 16
Bemærk: Højere kuponrente betyder lavere varighed Længere løbetid betyder højere varighed (alt andet lige) Hvis renteniveauet bliver (meget) større end kuponrenten og løbetiden (meget) lang, kan længere løbetid betyde kortere varighed; en ekstra kuponbetalingsdato trækker betalingsrækken lineært ud, men den sidste store pind diskonteres eksponentielt hårdt. (Så gennemsnitlig løbetid skal tages med et gran salt.) Fin1 (onsdag 11/2 2009) 17
Fortolkning af varighed III: Immuniseringshorisont Eksempel: En pensionskasse har til tid 0 investeret i en andel af et vindmølleprojekt. Pensionskassens andel har betalingsrække c 0 og løbetid T, og man forventer at sælge sin andel af projektet igen til tidspunkt t 0 < T til dækning af en række ekstraordinære pensionsudbetalinger. Man er derfor interesseret i at bestemme andelens værdi FV (c;t 0 ;r) til tidspunkt t 0. Når betalingerne geninvesteres til renten r, så er aktivets værdi til tid t 0 givet Fin1 (onsdag 11/2 2009) 18
som FV (c;t 0 ;r) = (1 + r) t 0 PV (c;r) = t 0 1 t=1 c t (1 + r) t 0 t + c t0 + T t=t 0 +1 c t (1 + r) t t 0. Antag nu, at der lige efter at investeringen er foretaget (til tid 0) sker et skift opad (i en ellers flad rentestruktur) fra r til r 1. Hvordan vil det påvirke aktivets værdi til tidspunkt t 0? Der er to modsatrettede effekter: Reinvesteringseffekt: betalinger c t der forfalder før tidspunkt t 0 kan nu geninvesteres til en højere rente r 1 end tidligere Fin1 (onsdag 11/2 2009) 19
t 0 1 t=1 c t(1 + r) t 0 t < t 0 1 t=1 c t(1 + r 1 ) t 0 t højere værdi til tidspunkt t 0 t 0 priseffekt: betalinger c t der forfalder efter tidspunkt t 0 bliver nu mindre værd end tidligere fordi vi diskonterer hårdere (c t er blevet relativt mindre værd) T t=t 0 +1 c t > T (1+r) t t 0 t=t 0 +1 lavere værdi til tidspunkt t 0 c t (1+r 1 ) t t 0 Fin1 (onsdag 11/2 2009) 20
De to effekter (reinvestering og pris) ophæver hinanden netop når 0 = r FV (c;t;r) = r ( ) (1 + r) t PV (c;r) = t(1 + r) t 1 PV (c;r) + (1 + r) t PV (c;r) r dvs. når 1 t = (1 + r) PV (c;r) = D(c;r). PV (c;r) r Varigheden er altså den tidshorisont over hvilken man som investor i aktiv c er immun overfor (små) ændringer i rentestrukturen. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 21
Hvis vi i eksemplet antager at t < t 0, så må pensionskassen derfor som følge af renteændringen ændre sin investeringsbeslutning for ikke at risikere at mangle den nødvendige kapital, når pensionsudbetalingerne forfalder til tid t 0. I praksis er det nødvendigt med dynamisk justering af porteføljen for at opretholde immuniseringen over tid. Man kan forbedre immuniseringen ved også at inddrage konveksitet og evt. højere-ordens afledede af PV (c;r). Fin1 (onsdag 11/2 2009) 22
Rentefølsomhed for porteføljer Mange investorer har ikke én men en hel portefølje af obligationer Nutidsværdien, varighed og konveksitet for porteføljer findes nemt ud fra de tilsvarende størrelser for hver enkelt obligation i porteføljen idet PV (c 1 + c 2 ;r) = PV (c 1 ; r) + PV (c 2 ; r) D(c 1 + c 2 ;r) = K(c 1 + c 2 ;r) = PV (c 1 ; r) PV (c 1 ; r) + PV (c 2 ; r) D(c 1;r) + PV (c 1 ; r) PV (c 1 ; r) + PV (c 2 ; r) K(c 1;r) + PV (c 2 ; r) PV (c 1 ; r) + PV (c 2 ; r) D(c 2;r) PV (c 2 ; r) PV (c 1 ;r) + PV (c 2 ; r) K(c 2;r) Fin1 (onsdag 11/2 2009) 23
Effektiv rente for porteføljer Den effektive rente er en ikke-lineær funktion af obligationens betalingsrække c, så den effektive rente for en portefølje kan derfor ikke beregnes ud fra de tilsvarende størrelser for hver enkelt obligation i porteføljen. I praksis kan man benytte den approksimation for en M-aktivs portefølje baseret på de enkelte obligationers varigheder. 1 Porteføljens effektive rente M i=1 α iy i D i (c i ; y i ) M i=1 α id i (c i ; y i ), hvor α i = π i M i=1 π i er det i te aktivs andel af porteføljens samlede værdi. 1 S. Jakobsen: En genvej til beregning af effektiv rente, Finans/Invest 3, 20-22 (1987). Fin1 (onsdag 11/2 2009) 24
Rentefølsomhed ved en ikke-flad rentestruktur Vi har hidtil kun set på effekten af (parallelle) ændringer af en flad rentestruktur, dvs. ( y(0, t) ) for et x 0. t=1,...,t = ( r ) t=1,...,t ændres til ( y(0, t) ) t=1,...,t = ( r + x ) t=1,...,t Fin1 (onsdag 11/2 2009) 25
Betragt nu i stedet en givet rentestruktur ( y(0, 1),...,y(0, T) ) og lad os i stedet se på multiplikative skift i rentestrukturen, dvs. for et x 1. ( y(0, t) ) t=1,...,t ændres til ( (1 + y(0, t) ) x 1 ) t=1,...,t Fin1 (onsdag 11/2 2009) 26
For et aktiv med betalingsrække c er nutidsværdi, varighed og konveksitet i stedet givet disse udtryk evalueret i punktet x = 1: PV (c,x) = D(c,x) = K(c,x) = T t=1 c t (1 + r(t,x)) t 1 PV (c,x) 1 PV (c,x) T t=1 T t=1 c t t (1 + r(t,x)) t c t t 2 (1 + r(t,x)) t, hvor 1 + r(t, x) = (1 + y(0, t))x. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 27
Efter samme princip som før indses, at varighed D og konveksitet K indgår i 1. og 2. ordens Taylor-approksimationer af PV. D kaldes for Fisher-Weil-varigheden, eller varigheden baseret på nulkuponrentestrukturen. Når rentestrukturen er flad, så er PV = PV,D = D,K = K. De måske lidt underlige multiplikative skift alt ser ud som før, blot er vægtene lavet ud fra nulkuponrentestrukturen. Skiftene er næsten additive for x 1 ( små ændringer ); regner man med kontinuert tilskrevene renter passer pengene med additive skift. Noterne tillader andre typer rentekurvedefomationer. (Men: Glem det.) Fin1 (onsdag 11/2 2009) 28
Diverse facts om varighed og konveksitet: En nulkuponobligation med løbetid t har varighed t Hvis et aktiv med betalingsstrøm c 0 har løbetid t og også har betalinger før t, så er D(c; ) < t Macauley-varighed findes i OMX-kurslisterne Varighed og konveksitet er simple og dermed grove approksimationer Fin1 (onsdag 11/2 2009) 29
Problemer med de betragtede varigheder og konveksiteter: Vi arbejder fortsat uden usikkerhed i modellen Renteændringer påvirker i praksis ikke hele rentekurven på samme måde Noternes eksempel i afnsit 3.5.3: Man kan ikke have kun flade skift i en flad rentestruktur. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 30
I praksis fås den eneste sikre immunisering ved at investere i nulkuponobligationer med den ønskede løbetid (så man undgår at skulle sælge obligationer før deres udløb og dermed eliminerer enhver kursrisiko, og samtidig ikke har nogen geninvesteringsrisiko på de modtagne kuponbetalinger) - alternativt i obligationer med små kuponbetalinger relativt til hovedstolen. For (delvist) at eliminere renterisikoen, hvorfor køber langsigtede investorer som f.eks. pensionskasser ikke blot (nulkupon)obligationer med lang løbetid og holder dem til udløb? Det gør de delvist også Det er måske ikke muligt at sammensætte en fornuftig portefølje af obligationer, så den matcher den ønskede investeringsprofil (kræver stort udvalg af obligationer med forskellige løbetider og kuponbetalinger etc.) Fin1 (onsdag 11/2 2009) 31
Betydelige transaktionsomkostninger Mere profitabelt at investere i mere risikofyldte aktiver f.eks. erhvervsobligationer og aktier, eller blot at ride på rentekurven. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 32