Stabilitet af kølet tankreaktor

Stabilitet af kølet tankreaktor Vi betragter en velomrørt tankreaktor, i hvilken den exoterme reaktion B skal gennemføres. Tankreaktorens volumen er V m 3 ), og reaktanten tilføres i en opløsning med den konstante hastighed v m 3 /h) og produktstrømmen udtages med samme hastighed. Fødestrømmens indgangstemperatur er T i t) K) og indgangskoncentrationen af er c i t) mol/m 3 ). Under normal drift tilstræbes det at holde fødestrømmens temperatur og koncentration på henholdsvis T 0 og c 0. Reaktionsblandingen har densiteten ρ kg/m 3 ) og varmekapacitet C J/kg K)). Reaktionsvarmen ved den exotherme reaktion, H J/mol) er ganske høj, og reaktoren er derfor forsynet med et køleaggregat med overflade c m 2 ), gennem hvilket der strømmer et kølemiddel. Strømningshastigheden for kølemidlet er så høj, at dets temperaturændring er minimal, og kølemidlets temperatur fastholdes på værdien T c. Varmeoverganstallet mellem kølemiddel og reaktorindhold er h J/m 2 h K)), og varmekapacitet af såvel køleaggregat som reaktortanken selv kan negligeres. Den kemiske reaktion er af 1. orden, med en temperaturafhængig hastighedskonstant, og hastighedsudtrykket mol/m 3 h)) er givet ved: 1

Rc ) = kc exp E ) hvor E J/mol) >0) er reaktionens aktiveringsenergi. R er gaskonstanten. lle fysiske parametre i problemstillingen antages uafhængige af temperatur og sammensætning. Omrøringen af tanken antages endvidere at være så effektiv, at dens indhold overalt har samme temperatur, T, og samme koncentration, c. En massebalance for den reagerende komponent,, fører til følgende differentialligning: V dc dt = vc i vc V kc exp E ) Her angiver leddet på venstre side ændringshastigheden af reaktorindholdet af reaktanten. Første led på højresiden er tilføreselshastigheden med fødestrømmen, andet led afgangshastighed med produktstrømmen, og sidste led forbrugshastigheden ved den kemiske reaktion. En energibalance giver tilsvarende: V ρc dt dt = vρct it) T ) + H)V kc exp E ) h c T T c ) 2) Venstresideleddet er nu ændringshastigheden for energiindholdet. På højre siden refererer første led til energiforskellen mellem tilgang med fødestrøm og afgang med produktstrøm, andet led er varmeudviklingen ved den kemiske reaktion, og sidste led er varmeafgivelsen ved køling. Bemærk, at de to koblede differentialligninger, der beskriver forholdene i reaktoren, er ulineære på grund af leddet med eksponentialfaktoren. 1. Man er ofte interesseret i at holde reaktortilstanden stationær, d.v.s. under et sæt driftbetingelser, hvor koncentration og temperatur ikke ændrer sig med tiden. Dette kræver naturligvis, at indgangskoncentration og indgangstemperatur ligeledes er konstante, f.eks. c i t) = c 0, T i t) = T 0. Vis, at de stationære værdier c s og T s bestemmes af ligningerne: 0 = vc 0 vc s V kc s exp E s 0 = vρct 0 T s ) + H)V kc s exp E s 2. Indfør de dimensionsløse variable: ) ) h c T s T c ) y = c /c 0, y i = c i /c 0, θ = T/T 0, θ i = T i /T 0 og θ c = T c /T 0 1) 2

samt den dimensionsløse tid τ = t/t. Vis, at 1,2) kan skrives på den dimensionsløse form: dy dτ = y i y Da y expγ1 1 θ )) = y i + g 1 y, θ) 3) dθ dτ = θ i θ + βda y expγ1 1 θ )) H cθ θ c ) = θ i + g 2 y, θ) 4) og angiv, hvorledes t, Da, γ, β og H c er relateret til de fysiske parametre. Den dimensionsløse gruppe Da kaldes Damköhlertallet og er et mål for forholdet mellem den kemiske reaktionshastighed og tilføreselshastigheden af reaktanten. I spørgsmål 3-7 antages, at T c = T 0. Endvidere sættes β = β. 1 + H c 3. Vis, at systemets stationære tilstande for de fastholdte indgangsbetingelser c i t) = c 0, T i t) = T 0 er bestemt af følgende algebraiske ligninger: hvor fy) betegner funktionen fy) = ln 1 y y Vis, at der gælder θ s = 1 + β 1 y s ) 5) + fy s ) = ln Da 6) γ 1 + β γ, 0 < y < 1 7) 1 y) f y) = β β + γ)z 2 + β 2 γ)z + 1 z1 z)1 + β z) 2 hvor z = 1 y Gør rede for, at f y) < 0 for alle y ]0, 1[, såfremt betingelsen γβ 1 + β < 4 8) er opfyldt. Vis, at der er netop een stationær tilstand, y s, θ s ), for enhver værdi af Da, når 8) er opfyldt. Vis at der gælder Da expγ1 1 θ s )) = 1 y s 1 9) 4. Ved stationær drift af reaktoren er y og θ faste på henholdsvis y s og θ s, og stationær drift er som nævnt betinget af, at indgangsbetingelserne ikke varierer i tid. I praksis er det imidlertid umuligt at undgå små fluktuationer i både indgangskoncentration og indgangstemperatur. 3

En ændring af værdierne til et vist tidspunkt, τ 0, vil bevirke, at y og θ også flytter sig fra de stationære værdier. Vi kan skrive yτ) = y s + y, θτ) = θ s +, τ > τ 0 Spørgsmålet er nu, om en lille ændring af indgangsværdierne betyder væsentlige ændringer af den stationære tilstand. Hvis indgangskoncentration og temperatur vender tilbage til de oprindelige værdier, vil vi så se, at y 0, 0, for τ eller kan vi risikere, at y, θ) med voksende τ afviger mere og mere fra y s, θ s )? I det første tilfælde kaldes den stationære tilstand stabil, i det andet tilfælde ustabil. Vis ved hjælp af Taylors formel med udviklingspunkt y s, θ s ) at de to ligninger 3) og 4) kan samles på matrixform ved hjælp af Jacobimatricen funktionalmatricen) for gy, θ) =g 1 y, θ), g 2 y, θ)) og skrives således d dτ = Dgy s, θ s ) + ɛ y, ) y, ) 10) hvor ɛ y, ) 0 for y, ) 0. Benyt 9) til at vise, at 1 γ y Dgy s, θ s ) = s θs 2 1 y s ) β 1 βγ 11) 1) y s θs 2 1 y s ) H c + 1) Hvis den stationære tilstand er stabil vil det sidste led på højre side af 10) gå mod 0 for τ. Løsningerne til 10) vil så med tilnærmelse være de samme som løsningerne til det lineære system d dτ = Dgy s, θ s ) 12) Dette system kaldes for det lineariserede system for 10). Hvis den stationære tilstand er ustabil vil det sidste led ikke på samme måde kunne udelades. I spørgsmål 5-8 benyttes følgende parameterværdier: γ = 50, β = 0.30, H c = 3. 5. Vis at der netop er een stationær tilstand for Da = 0.20 og angiv denne 3 decimaler). Hvor stor en procentdel af reaktionsvarmen fjernes i køleaggregatet? Find med MPLE den fuldstændige løsning til 12). Beskriv løsningernes opførsel for τ. Kan man herefter forvente, at den stationære tilstand er stabil? 4

6. Man kan grafisk illustrere løsningerne til et differentialligningssystem som f.eks. 3,4) idet y, θ) = yτ), θτ)) jo er en parameterfremstilling for en kurve i y, θ)-planen. Systemet af disse kurver kaldes faseportrættet for differentialligningssystemet. Man kan naturligvis også tale om faseportrættet for 10) eller 12) i en y, )-plan. Benyt MPLE til at tegne en repræsentativ del af faseportrættet for 3,4) nær den fundne stationære tilstand. Tegn også faseportrættet for 12) og sammenlign. Gør rede for, at den stationære tilstand er ustabil. 7. Det besluttes at ændre lidt på reaktorkonfigurationen, således at værdien af y s under de nye betingelser bliver 0.12. Bestem den hertil svarende værdi af Da. Find med MPLE den fuldstændige løsning til 12) i den nye stationære tilstand og beskriv ligningernes opførsel for τ. Tegn faseportrættet for 3,4) og 12) på samme måde som i spm. 6. Vis, at den nye stationære tilstand er stabil. Hvor stor er omdannelsesgraden af til B ved stationær drift? 8. For at stabilisere reaktoren i spm. 6 ønsker man at forsøge med en regulering af kølevandstemperaturen, således at T c reduceres hvis T > T s og T c forøges, hvis T < T s. Man kan overveje forskellige strategier, f.eks at Kølevandstemperaturen styres direkte efter overtemperaturen i reaktoren. Koblingen er givet ved θ c = K 1 θ s θ) + 1 Undersøg denne strategi og indflydelsen af konstanten K 1 ved hjælp af MPLE. 5