er en n n-matrix af funktioner

Transkript

1 Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet Stabilitet for logistisk ligning Stabilitet for Lotka-Voltera sstem Definition 18.1 Lad I, J være åbne intervaller og F (x, ) : I J R en reel funktion. En løsning til differentialligningen = F (x, ) er en differentiabel funktion (x) : I J på et åbent delinterval I I, som indsat giver (x) = F (x, (x)), x I Calculus Uge Calculus Uge Eksistens og entdighed Eksistens og entdighed Sætning 18.2 Antag at F (x, ) er kontinuert og F (x, ) eksisterer og er kontinuert i I J. For et givet (x 0, 0 ) I J findes entdigt bestemt et maximalt delinterval I I og en differentiabel funktion (x) : I J, som er en løsning til differentialligningen og opflder = F (x, ) (x 0 ) = 0 Bemærkning 18.3 Den udvidede ligning = F (x, ), (x 0) = 0 kaldes et begndelsesværdiproblem. Eksistens- og entdighedssætningen for begndelsesværdiproblemer har en naturlig og vigtig udvidelse til differentialligningssstemer. Calculus Uge Calculus Uge Ingen explicitte løsninger Exponentialfunktionen 18.4 Differentialligningen = x3 + e x har løsningskurver igennem ethvert (x 0, 0 ) R R. Løsninger kan ikke umiddelbart urkkes ved kene elementære funktioner Den entdigt bestemte løsning til begndelsesværdiproblemet er eksponentialfunktionen =, (0) = 1 (x) = e x Calculus Uge Calculus Uge Elementære funktioner Eksponential af matrix 18.8 Den entdigt bestemte løsning til begndelsesværdiproblemet er de trigonometriske funktioner 1 = 2 = (0) = 1, (0) = 0 (x) = cos x (x) = sin x 18.9 Lad A være en n n-matrix og lad Y(x) være en n n-matrix af funktioner. Den entdigt bestemte løsning til begndelsesværdiproblemet er en n n-matrix af funktioner dy = AY Y(0) = I n Y(x) = exp(ax) som kaldes eksponentialet. Calculus Uge Calculus Uge

2 Eksponential af matrix Eksponential af matrix fortsat Hvis Λ er diagonalmatricen med indgange λ 1,..., λ n, så er exp(λ) diagonalmatricen med indgange e λ1x,..., e λnx. Hvis U diagonaliserer A, A = UΛU 1. Så kan eksponentialet beregnes ved Der gælder loven exp(ax) = U exp(λx)u 1 exp(ax 1 + Ax 2 ) = exp(ax 1 ) exp(ax 2 ) ( ) ( ) 1 x Lad A =. Så er eksponentialet exp(ax) =. 0 0 LØSNING. Differentialligningssstemet er: ( ) ( ) ( ) ( ) = = samt betingelsen ( ) 1 (0) 2 (0) 1 (0) 2 (0) ( ) 1 0 = Hvilket giver 1 (x) = 0, 2 (x) = 1, 1 (x) = 1, 2 (x) = x. Calculus Uge Calculus Uge løsning [S] 7.2 Direction fields... ; [LA] 18 Generel diff... Logistisk ligning grafisk 1 - Retningsfelt = x3 + e x 1 x For den logistiske ligning ) prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne med små tangentstkker. I et givet punkt (t 1, 1 ) vil en tangent have ligning = (1 1 )(t t 1) Calculus Uge Calculus Uge løsning Logistisk ligning - Retningsfelt 2 For det logistiske begndelsesværdiproblem ), (0) = t prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet i små intervaller. I et givet punkt ( n, t n ) vil differentialet være og = 0.08 n (1 n ) n n (1 n )(t t n) Calculus Uge Calculus Uge Tabellæg løsning til For Lotka-Volterra sstemet ), (0) = 100 n t n n n t n n = kr arw = rw + brw er hastighedsfeltet i RW -planen givet ved vektorerne (, ) = (kr arw, rw + brw ) Calculus Uge Calculus Uge

3 1 For Lotka-Volterra sstemet k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02, b = = 0.08R 0.001RW = 0.02W RW tegnes hastighedsfeltet i RW -planen. 1 - figur W Hastighedsfeltet R Calculus Uge Calculus Uge For Lotka-Volterra sstemet k = 0.08, a = 0.001, r = 0.02, b = = 0.08R 0.001RW = 0.02W RW prøver vi at tilnærme løsningen med differentialet. I et givet punkt (R n, W n ) vil differentialet være = (0.08R n 0.001R n W n ) = ( 0.02W n R n W n ) 1 - Tabellæg løsning til R = og W = 75 månedsvis: Calculus Uge Calculus Uge Vi viser nu hastighedsfelter for forskellige lineære sstemer. figur 1 To positive egenværdier figur 2 En positiv og en negativ egenværdi figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 figur 4 Ingen reelle egenværdier Figur 1 To positive egenværdier Calculus Uge Calculus Uge Figur 2 En positiv og en negativ egenværdi Figur 3 En egenværdi med multiplicitet 2 Calculus Uge Calculus Uge

4 Autonom ligning Figur 4 Ingen reelle egenværdier Definition 19.1 En differentialligning = F () kaldes et autonom sstem. En konstant løsning (x) = b, F (b) = 0 kaldes en ligevægt. En ligevægt kaldes (lokal) stabil, hvis enhver løsning (x) som kommer tilstrækkelig tæt på b, vil konvergere mod b for x gående mod uendelig. I modsat fald kaldes ligevægten ustabil. Der er en oplagt udvidelse til differentialligningsstemer. Calculus Uge Calculus Uge Ligevægt 19.2 Den autonome ligning Bemærkning 19.3 For en ligevægt (x) = b, F (b) = 0 for det autonome sstem = a + b, a 0 har ligevægtsløsningen (x) = b a Der gælder: a < 0: stabil ligevægt a > 0: ustabil ligevægt FASEDIAGRAM = a + b gælder F (b) < 0: Stabil ligevægt. F (b) > 0: Ustabil ligevægt. F (b) = 0: Ingen konklusion. = F () Calculus Uge Calculus Uge Bemærkning figur Bemærkning 19.4 I en omegn af en ligevægt (x) = b, F (b) = 0 kan det autonome begndelsesværdiproblem = F (), (x 0) = b + ɛ tilnærmes med den lineære ligning Fasediagram = F () hvor (x) b + z(x). dz = F (b)z, z(x 0 ) = ɛ Calculus Uge Calculus Uge Logistisk stabilitet Logistisk stabilitet 19.6 Den logistiske ligning figur har ligevægts løsninger = k (1 K ) (t) = 0, (t) = K og F ( ) = 2k K + k F (0) = k > 0: 0 Ustabil ligevægt. F (K) = k: K Stabil ligevægt. Fasediagram = k (1 K ) Calculus Uge Calculus Uge

5 Lotka-Volterra stabilitet Lotka-Volterra stabilitet 19.7 For Lotka-Volterra sstemet, a, b, k, r > 0, er der to ligevægtsløsninger = kr arw = rw + brw fortsat I (R, W ) = (0, 0) er den lineære approximation som giver en ustabil ligevægt. = kr = rw (R, W ) = (0, 0), (R, W ) = (r/b, k/a) Calculus Uge Calculus Uge Lotka-Volterra stabilitet fortsat I (R, W ) = (r/b, k/a) er den lineære approximation for ( R, W ) = (R r/b, W k/a) d R = ar b W d W = bk a R som har en ustabil ligevægt. Man kan vise, at løsningskurverne t (R(t), W (t)) for det oprindelig sstem er deformationer af cirkler omkring ligevægtspunktet. Der er altså en cklisk udvikling i modellen. 1 - figur W Hastighedsfeltet R Calculus Uge Calculus Uge