Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis - Brudberegning, metode B, DS - 411 Jernbetonsøjler - Centralt belastet søjle - Excentrisk belastet/tværbelastet søjle 1 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Deformationsberegning af bjælker Anvendelsestilstand -> Karakteristiske materialeværdier 1
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Arbejdskurver Anvendelsestilstand -> små laster -> elastisk tilstand 3 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Armering: E sk 10 5 MPa Elasticitetsmoduler Forhold mellem armeringens og betonens elasticitetsmodul: Esk α E ck Vejledende værdier (E ck afhænger af lastens varighed): 4
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Revnet/urevnet tværsnit Tværsnittet er revnet hvor f ct,flk er overskredet! 5 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Deformationsberegninger generelt ε κ c,min x Arbejdsligningen giver lodret bjælkeflytning, w y : w y M1 urdx + M1κ ur, rdx + L ur κ M1 L L ur, r r κ dx r 6 3
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Urevnet tværsnit Både beton og armering er i den elastiske tilstand Spændingen i betonen er overalt under bøjningstrækstyrken, hvorfor tværsnittet er urevnet 7 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Transformeret tværsnit Ved at transformere tværsnittet om til beton kan elasticitetsteorien og derved Navier s formel anvendes direkte! 8 4
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Revnet tværsnit Betonen regnes ikke at kunne optage trækspændinger, men er i den elastiske tilstand i tryksiden 9 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Transformeret tværsnit 10 5
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Spændinger vha. Naviers formel Spænding i beton: c N A r, tr + M I r, tr y Spænding i i te armeringslag i træk: E N M sk si ysi ci E + α ck Ar tr I, zr, tr Spænding i j te armeringslag i tryk: E N + M sk scj yscj cj E ck Ar tr I α, zr, tr 11 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Tværsnitskonstanter for transformeret tværsnit Areal: A Inertimoment: I da + ( α 1) Ascj + α r, tr Asi Act y da + 1 α Ascj y1scj + α Ved ren bøjning er tyngdepunktsaksen, η, sammenfaldende med nullinjen, x: S zr, tr ( ) Asi y1si Act z1 A ( x) y ct 1ct, G ( x) + ( α 1) A y scj 1scj + α A y si 1si Act ( x) + ( α 1) A x r, tr A scj + α A si x 1 6
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Eksempel 1 Spændingerne ønskes bestemt i det revnede tværsnit ved ren bøjning med M 155 knm 13 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Transformeret areal: A r tr, 10 x + (8 1) 01+ 8 5 314 10 x + 15374 mm Statisk moment om z 1 (overkant): 3 S 1 10 (8 1) 01 40 8 314 (3 410 370) 105 506100 mm z x + + + x + 1 Tyngdepunkt, x η G, ved ren bøjning: η G 105 x + 506100 x 10 x + 15374 105 x x 158 mm mm + 15374 x 506100 0 14 7
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Inertimoment: I zr, tr 1 1 3 10 158 + 10 158 (158 + (8 1) 314 [3 (410 158) 6 4 1019,6 10 mm Spændinger i beton og armering: 6 155 10 c ( 158) 4,0 MPa 6 1019,6 10 1 158) + (370 158) ] + 8 10 (158 40) 6 155 10 s1 8 (410 158) 306 MPa 6 1019,6 10 6 155 10 s 8 (370 158) 58 MPa 6 1019,6 10 6 155 10 sc 8 (40 158) 143 MPa 6 1019,6 10 15 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Ved bøjning med normalkraft, skønnes en værdi af Nullinjens placering, x 0 Dernæst beregnes areal, inertimoment og spændinger Nullinjens placering findes da iterativt vha.: x k + 1 ( ysi xk ) Bøjning med normalkraft 1 α c,min si 16 8
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Deformationsberegninger i praksis Bjælken regnes på den sikre side fuldt revnet Elasticitetsteorien anvendes til bestemmelse af nedbøjninger, idet det revnede transformerede tværsnit anvendes Det revnede tværsnit skal bestemmes både for positive og negative momenter Der tages højde for eventuelle tværsnitsændringer ved ændringer i længdearmeringsføringen 17 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Eksempel 1, fortsat Nedbøjningen af statisk ubestemt bjælke ønskes bestemt for en karakteristisk belastning på 30 kn/m Det revnede tværsnits areal og inertimoment bestemmes for hhv. positivt og negativt moment: x pos. moment 0,158 m neg. moment 0,08 m A r,tr 0,0486 m 0,0314 m I zr,tr 1,00 10-3 m 4 3,96 10-4 m 4 18 9
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Bjælken modelleres numerisk vha. tværsnit, R1 svarende til positivt moment, og R svarende til negativt: 19 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Udbøjning vha. numerisk beregning: 1.96 mm 1.96 mm Moment vha. numerisk beregning: 67,6 knm 63 knm 63 knm Det ses, at grænsen mellem R1 og R intervallerne er korrekt antaget. 0 10
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Spændinger, maksimalt positivt moment c M I zr, tr y ( α 1) c s α c for for y < 0 y 0 y m -0,158-0,118 0,1 0,5 c MPa -9,8-7,3 13,1 15,6 s MPa 51,0 104,8 14,5 1 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Spændinger, maksimalt negativt moment c M I zr, tr y ( α 1) c s α c for for y < 0 y 0 y m -0,08-0,04 0,00 0,38 c MPa -14,0-7, 0,3 56,0 s MPa -50,,4 447,9 11
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Brudberegning, metode B, DS - 411 Metode A, plastisk beregning (anden gang) : Metode B, elastisk beregning : 3 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Jernbetonsøjler Indtil nu, har vi ikke taget stabilitetsproblemet med, når vi har set på normalkraftpåvirkede tværsnit! NB!: Stabilitetsproblemer undersøges i brudgrænsetilstanden 4 1
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Centralt belastet søjle Kritisk søjlekraft, Eulers Formel P cr π EI l s l s er den frie søjlelængde, der afhænger af geometri og understøtningsforhold: 5 6 13
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonsøjletværsnit 7 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Armering i betonsøjler 8 14
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Kritisk betontrykspænding: Pcr cr A EI π Al π E λ s λ er søjlens slankhedsforhold, givet ved: λ l s I/ A 9 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Arbejdskurve for beton d E E0(1 / fc) dε Arbejdskurven er krum, hvorfor E må regnes som en 30 funktion af spændingen 15
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Ved indsættelse af den kritiske betontrykspænding og regningsmæssige værdier fås: E π λ π E 0 1 / f λ fcd 1+ fcd λ /( π E0 cd ) Begyndelseselasticitetsmodulet sættes til: E 0 1000 f 0,75E hvor: 51.000 E0d γ m cd 0d ck for for f f fck f + 13 cd cd 5 MPa > 5 MPa 31 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Uarmerede søjler: N A Armerede søjler: N c ( Ac + α As ) (Beton og armering regnes elastisk) Ac + f yd As (Armeringen flyder) Ac (Ingen overlapningsstød) 1,5 A (Overlapningsstød) c Transformeret tværsnit:: Esd α 500 f cd A c αa s 3 16
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Eksempel Der betragtes en simpelt understøttet søjle med en længde, l 3 m 33 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Regningsmæssige værdier: f cd f yd 30 /1,65 18, MPa 500 /1,30 385 MPa E0 1000 18, 1800 MPa E sd α 5 5 10 /1,30 1,54 10 MPa 5 1,54 10 16,9 500 18, Tværsnitskonstanter for beton: A c 00 00 4 10 4 mm 3 8 I 1 mm c 00 00 1,33 10 1 3000 λ 5 8 4 1,33 10 / 4 10 4 34 17
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Kritisk betontrykspænding: 18, 1+ 18, 5 /( π 1800) 14,9 MPa Den normalkraft der kan optages (uden stød) fås da til: N 4 14,9 (4 10 + 16,9 804) 766 kn 4 14,9 4 10 + 385 804 881 kn 4 14,9 4 10 1143 kn 35 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Excentrisk og tværbelastede søjler M 0 : Moment fra tværlast u 0 : Udbøjning fra tværlast u : Total udbøjning N u : Moment fra excentrisk last 36 18
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Excentrisk belastet søjle 37 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Bjælkedifferentialligningen giver udbøjningen: d u M M 0 + N u κ dx E I E I Differentialligningen kan kun løses analytisk for nogle enkelte tilfælde Vianello s metode kan i stedet anvendes: - Der skønnes en udbøjningsfigur - Differentialligningen løses for udbøjningsfiguren - Løsningen anvendes som nyt skøn for udbøjningsfiguren - Der fortsættes indtil den rigtige brudfigur er fundet 38 19
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Forenklet empirisk metode, DS 411 Den regningsmæssige last, N Sd, må ikke overskride den kritiske normalkraft, N. Samtidig skal bøjningsmodstandsevnen, M Rd, mindst være lig med den regningsmæssige lastvirkning, M Sd, der bestemmes vha.: M Sd M S 0d + NSd e1 + NSd e M Sd0 e 1 e : Største moment indenfor midterste femtedel fra excentrisk last og tværlast : Excentricitet pga. unøjagtigheder : Søjlens udbøjning i det betragtede snit 39 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Maksimal krumning fås ved trykbrud i beton, samtidig med at armering flyder: d x ε y ε cu x ε cu d x ε + ε κ max cu ε x cu y ε cu + ε y d Excentricitet, e, fra udbøjningen sættes til: e u 5 48 max κ max ε cu + ε y ~ 1/10 l d l 40 0
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Eksempel, fortsat Belastning: p d 6 kn/m N Ad 40 kn (centralt) N Bd 80 kn (excentrisk med e B 0,3 m) Der regnes med en tolerance på 0,01 m hvorved excentriciteten for begge laster øges med dette 41 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Laster: 6 kn/m 80 kn 40 kn Momentkurve ( M N ): S 0d + Sd e 1 Midterste 1/5 del 16,6 knm 1,6 knm 5,7 knm 4 1
Christian Frier Aalborg Universitet 006 N - M diagram, 4. gang: 4. gang regnede vi på samme tværsnit, hvor vi fandt ud af, at brudmomentet er 31,7 knm for en tryknormalkraft på 10 kn : 43 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Søjletop (ingen excentricitet fra udbøjning): M Sd 5,7 knm < M 31,7 knm Rd Midterste 1/5 del (excentricitet fra udbøjning): e M ε ~ 1/10 cu + ε y l d 0,0035 + 0,005 1/10 3,0 0,165 0,033 m Søjlen holder! Sd M + N e + N e S 0d Sd 1,6 + 10 0,033 5,6 knm < 31,7 knm 1 Sd Normalkraft: N Sd 10 kn < N 745 kn Rd 44
Christian Frier Aalborg Universitet 006 De vigtigste pointer! Nedbøjningsbestemmelse for bjælker Anvendelsestilstand, karakteristiske værdier Elastisk beregning Revnet/urevnet tværsnit Revnet tværsnit anvendes på den sikre side Jernbetonsøjler, stabilitetsproblemer Centralt belastede/ excentrisk / tværbelastede søjler 45 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Opgave 6 3.5 m 5 m 5 m Vi vil igen betragte kontorbygningen fra sidst 46 3
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Der skal dimensioneres en søjle i bunden af bygningen. Søjlen er opbygget af følgende tværsnit Der regnes igen med følgende regningsmæssige værdier: f cd 18, MPa, f yd 385 MPa, E sd 1,54 10 5 MPa Der regnes med en regningsmæssig normalkraft i søjlen på 300 kn og en regningsmæssig tværlast fra vind på 4 kn/m. Normalkraften regnes med en excentricitet, e 1 0,1 m 47 Christian Frier Aalborg Universitet 006 Da søjlens understøtningsform er usikker, ønskes søjlen beregnet både som simpelt understøttet, og fast indspændt 48 4
Christian Frier Aalborg Universitet 006 N-M diagrammet vi opstillede 4. gang kan anvendes ved Eftervisning af søjlens bæreevne 49 5