Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007)
Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Vektorer...3 Indtastning af vektorer...3 Addition, subtraktion og multiplikation med tal...4 Længden af en vektor...4 Enhedsvektorer...5 Skalarprodukt (prik-produkt)...5 Vektorprodukt (kryds-produkt)...6 Rækker eller søjler...6 Et eksempel: Planens ligning...7 Rumgeometri med ligninger...8 Linjer...8 Kugler...8 Planer...9 2
Vektorer Der er desværre ikke den helt store fordel ved at bruge TI-Interactive i forbindelse med vektorregning. Dette skyldes først og fremmest, at der i vektorregning faktisk ikke er de store udregninger. Det er mere et tænkearbejde. Man kan dog få programmet til at udføre de udregninger der er (skalarprodukt, krydsprodukt, længde af en vektor ). Her er en oversigt over mulighederne. Alle eksemplerne er for vektorer i 3 dimensioner. Man kan bruge de samme formler for vektorer i 2 dimensioner (undtagen formlen for krydsprodukt, som burde erstattes af en formel for determinant). Indtastning af vektorer Man indtaster en vektor ved i en mathbox at skrive f.eks. a := [ 4 ; 3 ; 6] Bemærk at der er semikolon mellem tallene. Man kan opnå det samme ved i math-paletten at klikke på (det hedder en matrice), vælge, og så bare udfylde felterne. Resultatet vises således: Her plejer matematiklæreren så at råbe: Pile over vektorer! Det kan TI-Interactive godt, så det gør vi herefter. Bemærk dog, at vektorpilene sommetider kan drille (problemet er hvad der står under pilen, og vil give fejlmeldinger i stil med EVAL ERROR: Data type ), og at alt det følgende virker ligeså godt uden vektorpile. I definitionen ovenfor markeres a, og man klikker på ikonen i math-paletten, og vælger : 3
Resultatet ser således ud: Bemærk: Herefter er der forskel på og, så bruger man vektorpile (og det bør man naturligvis), så skal man gøre det konsekvent. Hvis man kommer til at bruge komma i stedet for semikolon (eller vælger således: ) bliver det vist Bortset fra, at vi plejer at bruge den første skrivemåde til vektorer og den sidste til punkter, så virker alt det følgende i begge tilfælde, men man kan ikke frit blande de to skrivemåder. Addition, subtraktion og multiplikation med tal Hvis man har defineret 2 eller flere vektorer, så kan man lægge dem sammen, trække dem fra hinanden eller gange dem med et tal ved at bruge de sædvanlige tegn for plus og minus: (regn selv efter) Længden af en vektor Man kan udregne længden af en vektor ved i en mathbox at skrive norm(a) hvor a er en vektor. For eksempel Dette er lavet ved i en mathbox at skrive norm(a) (med vektorpil over a). 4
Enhedsvektorer Hvis man har en vektor, og så gerne vil finde en enhedevektor, som peger i samme retning, så gøres det ved at gange den med et tal. Dette kan gøres automatisk ved i en mathbox at skrive unitv(a). (enhed hedder jo unit på engelsk) Her er et eksempel (jeg regner eksakt. Det ser så dejligt kompliceret ud): Skalarprodukt (prik-produkt) Man kan udregne skalarproduktet mellem to vektorer ved i en mathbox at skrive dotp(a,b) Skalarprodukt kaldes også prik-produkt, så det er næppe så svært at huske. Her er et eksempel: a b Man kan altså udregne vinklen mellem to vektorer vha. formlen cos( v) = a b I TI-InteractiveInteractive kaldes cos 1 (...) for arccos(... ). Det kan også findes i en menu i math-paletten. Vi skriver altså bare : 5
hvor man skal huske at regne i grader. Man kunne naturligvis også finde vinklen ved at løse ligningen: Vektorprodukt (kryds-produkt) Man kan udregne vektorproduktet mellem to vektorer ved i en mathbox at skrive crossp(a,b) Vektorprodukt kaldes også kryds-produkt, så det er næppe så svært at huske. Her er et eksempel: Rækker eller søjler Hvis man gerne vil bruge den vandrette notation når det er punkter og den lodrette notation ved vektorer, så får man brug for at kunne ændre den ene til den anden. Dette kan gøres med funktionen transpose(a). Her er et eksempel på hvordan man kan bruge det: Vi har to punkter (lavet med A:=[1,2,5], dvs med komma mellem tallene): og vil udregne vektoren AB kan man ikke bare skrive B A, da dette vil give og vi ville jo skrive vektorer med den lodrette notation. Vi bruger så funktionen transpose( ), og får 6
Et eksempel: Planens ligning Her et eksempel. Jeg har forsøgt at gøre det så smart som muligt (dette er ikke altid en god ide), idet jeg vil udnytte at planens ligning a ( x x0 ) + b( y y0 ) + c( z z0 ) = 0 fremkom ved at udregne skalarproduktet mellem vektorerne a n = b og c x x y y z z 0 0 0 og så udnytte, at dette skal give nul. Jeg vil også bruge metoden med skifte fra rækker (punkter) til søjler (vektorer). Endelig benytter jeg, at man kan finde en normal-vektor ved at udregne kryds-produktet mellem to retnings-vektorer. Vi vil finde ligningen for den plan, der indeholder punkterne A(1,4,3), B(4,3,7) og C(3,-2,4), og derefter vise, at punktet D(1,0,-2) ligger i planen. Først findes 2 retningsvektorer: Så vindes en normalvektor ved at udregne deres krydsprodukt: Nu opskrives planens ligning, enten med håndkraft eller ved at benytte fidusen ovenfor: 7
Til slut indsættes punktet D(1,0,-2) i ligningen: Det passer (giver true), så punktet ligger i planen. Rumgeometri med ligninger TI-Interactive s største styrke er regning med formeludtryk og løsning af ligninger, og da det meste i rumgeometrien kan formuleres med ligninger, vil vi udnytte dette. Linjer Normale angiver vi ligninger ved hjælp af parametrefremstillinger. Dette kan imidlertid også skrives som 3 ligninger (med and i mellem). Vi ser på et eksempel: Linjerne l og m givet ved parametrefremstillingerne Skrives i TI-Interactive som ligningerne Bemærk brugen af and mellem linjerne, og bemærk især brugen af := og =!!! Hvis man vil finde skæringspunktet mellem disse ligninger skriver man bare: Hvis linjerne ikke havde krydset hinanden, ville svaret naturligvis blive false Vil man finde punktet svarende til t = 2 skriver man bare Og hvis man vil undersøge om punktet (4,5,-2) ligger på linje l, skriver man (eller ) Kugler Kugler angives naturligvis bare ved kuglens ligning. En kugle med centrum i (2,3,-4) og radius 12 har ligningen 8
Hvis man vil finde skæringen mellem denne kugle, og linjen med ligningen Skriver man bare Der er altså to skæringspunkter: (12.394 ; -0.596 ; 0.798) og (6.109 ; 11.739, -5.370) Planer Lige som med kugler, planer defineres ved at skrive planens ligning: Hvis man vil finde skæringen mellem denne plan og linjen givet ved Skriver man Man kan også finde skæringen mellem to planer. Dette vil typisk give en linje. Vil man finde skæringen mellem planen α og planen β med ligningen Skriver man Her spiller symbolet @1 rollen som parameteren. Vil man gerne kalde parameteren t, skriver man bare i næste linje og resultatet kan derefter benyttes helt som hvis man selv havde indtastet ligningen. 9