Kogebog til Maple 18

Kogebog til Maple 18 Indledning Udgave 6, Henrik Just, Hjørring Gymnasium og HF, august 2014 Kogebogen er ikke en lærebog i Maple, men en samling af korte opskrifter på brug af de faciliteter, der er relevante for at kunne regne skriftlige eksamensopgaver. Maple-indtastninger er markeret med for at fremhæve dem. Du kan finde mere detaljerede vejledninger til Maple på denne webadresse: http://www. maplegym.dk. Det er en forudsætning, at du har installeret Hjørringpakken til Maple. Worksheet mode og Document mode Maple kan bruges enten i Worksheet mode eller Document mode. Kogebogen forudsætter at du bruger Worksheet mode, men de fleste funktioner bruges på samme måde i de to tilstande. Document mode giver bedre layoutmuligheder når der fremstilles opgaver i Maple (denne kogebog er f.eks. lavet i Document mode), men anbefales kun til erfarne Maple-brugere. For at Gøres sådan Start et nyt dokument i Worksheet mode Brug Worksheet mode som standard Vælg File - New - Worksheet mode. Vælg Tools - Options, (Mac: Maple 18 - Options), fanebladet Interface. Vælg Default format for new worksheets: Worksheet. Luk med knappen Apply Globally. Herefter kan du blot taste Ctrl-N eller klikke på ikonen for at åbne et nyt dokument i Worksheet mode. Vigtigt at huske i skriftlige opgaver For at skrive en flot og læsevenlig opgave og undgå redigeringsfejl bør du følge disse råd. Husk... Indsæt sidehoved/sidefod med navn, sidetal osv. Fjern stregerne i venstre side (forstyrrer læsningen) Fjern overflødige resultater ved indlæsning af pakker og ved definitioner (forstyrrer læsningen) Fjern tomme beregningsbokse Det gør du sådan Vælg View - Header Footer Vælg View - Show/Hide Content, fjern markering ved Execution Group Boundaries Sæt kolon efter kommandoen, for eksempel Tip: Indtast kommandoen uden kolon først så du ser eventuelle fejlmeldinger. En tom beregningsboks som denne slettes med Ctrl-Delete.

(forstyrrer læsningen): Brug korrekt matematisk skrivemåde i forklarende tekst. Indsæt forklarende formel ved at taste F5 eller klikke på Math øverst. Skift tilbage til tekst ved at taste F5 igen eller klikke på Text øverst. Slet alle definitioner i starten af hver opgave (også den første). Genberegn opgaven når du har redigeret i den. For at slette alle definitioner: For at indlæse Hjørring-pakken: For at lave alle beregninger i opgaven igen: Flyt markøren til restart, og tast herefter Enter gentagne gange. Hvad kan der gå galt Problem Decimalkomma Forklaring Husk at Maple bruger punktum som decimaltegn: 3.14 er korrekt, 3,14 virker ikke Gangetegn Skriv altid gangetegn, f.eks. i stedet for. Ekstra mellemrum Undgå ekstra mellemrum ved kommandoer: F.eks. er korrekt, virker ikke Store/små bogstaver Maple skelner altid mellem store og små bogstaver, f.eks. er korrekt, virker ikke En beregning tager lang tid Visse beregninger kan tage meget lang tid. Du kan afbryde en beregning med knappen. Tekst og beregninger I Worksheet mode skifter dokumentet mellem beregninger (kaldes Execution groups) og tekstområder. Beregninger vises med markøren. For at Indsæt et nyt tekstområde efter markøren Indsæt en ny beregning efter markøren Gøres sådan Klik på ikonen Klik på ikonen eller tast Ctrl-J efterfulgt af Ctrl-T eller tast Ctrl-J Slet en beregning eller et tekstområde Udfør en beregning Vælg Edit - Delete Element eller tast Ctrl-Delete Indtast udtrykket og tast Enter.

Indsæt et matematisk udtryk i et tekstområde Tast F5 eller klik på Text/Math ikonerne i værktøjslinjen for at skifte mellem almindelig tekst og matematiske udtryk. Tip: Du kan se i værktøjslinjen hvilken tilstand du er i Tip: Matematiske udtryk i tekstområder bliver ikke beregnet, de kan bruges til at forklare dine beregninger og skrive konklusioner. OBS: Dette gælder ikke Document mode, hvor alle formler beregnes hvis du trykker Enter Indtastninger Regneudtryk indtastes i Maple med almindelig matematisk notation. I paletterne kan du finde skabeloner for det, du ikke umiddelbart kan indtaste på tastaturet. I paletten Expression Common Symbols Greek Relational Finder du blandt andet Matematiske udtryk som potenser, brøker, kvadratrødder osv. Konstanterne og Græske bogstaver Ulighedstegn Calculus Differentialkvotienter og integraler Tabellen viser hvordan du kan indtaste visse udtryk uden at bruge paletterne: Eksempel Maple Gangetegn Brøker Potenser Variabel med indeks Indtast 12*17. Maple erstatter automatisk * af gangetegn. Indtast 3/4. Maple erstatter automatisk udtrykket af en brøk. Tip: Hvis tælleren indeholder et sammensat udtryk skal du markere det før du taster /. Indtast 5^7. Maple erstatter automatisk udtrykket af en potens. Indtast x_2. Maple erstatter automatisk _2 af et indeks. Generelle regler om indtastninger: Problem Hvordan flytter man markøren ud af et rodtegn, en eksponent, en brøk osv.? Hvordan håndterer man underforståede gangetegn, f.eks. i udtrykket? Løsning Tryk på højre piletast Du bør altid indtaste gangetegn, ellers risikerer du at Maple misforstår dig. I eksemplet vil Maple forstå indtastningen 2x korrekt, men yz vil blive opfattet som ét symbol. Tast derfor 2*x+ y*z. Matricer Tabeller med tal (den matematiske betegnelse er matricer) indtastes med paletten Matrix.

For at gøre dette Indsætte en matrix Indtaste tal i en matrix Tilføje en række Gør du sådan Indtast antal rækker (Rows) og antal søjler (Columns) og klik Insert Matrix. Tryk på tabulatortasten efter hvert tal for at skifte til den næste position. Tast Ctrl-Shift-R Tilføje en søjler Tast Ctrl-Shift-C Tip: Af hensyn til udskrift bør du undgå for mange kolonner, vend i stedet matricen så du får mange rækker. Beregninger Sådan udfører du beregninger i Maple: For at gøre dette Gør du sådan Beregne et udtryk Bruge resultatet fra en anden beregning Tryk Enter når markøren står i udtrykket eller: Højreklik og vælg Evaluate Resultatet vises på en linje for sig med en etiket til højre for resultatet, for eksempel: 5 (1) Vælg Insert - Label eller tast Ctrl-L. Indtast nummeret på det resultat du vil bruge, for eksempel: 23 (2) Genberegn de markerede formler Klik på i værktøjslinjen Genberegn hele dokumentet Klik på i værktøjslinjen Kun Document mode: Beregne et udtryk med resultatet på samme linje som udtrykket Tryk Ctrl-Alt-0 når markøren står i udtrykket eller Højreklik og vælg Evaluate and display inline. I dette tilfælde får resultatet ingen etiket og du kan ikke henvise til det i en anden beregning. Beregninger med decimaltal Maple laver eksakte beregninger hvis alle tal i udtrykket er eksakte. For eksempel = giver et eksakt resultat, mens = 3.56 giver et decimaltal som resultat. Maple-kommandoen evalf omregner til decimaltal Eksempel Maple Omregn brøken til et decimaltal (3)

0.6666666667 (3) Tip: Du kan også højreklikke på et udtryk og vælge Approximate samt et antal cifre. Eksponential- og logaritmefunktioner Når du indtaster udtryk med eksponential- og logaritmefunktioner er der nogle ting du skal være opmærksom på: Udtryk Maple Ingen specielle regler, kan indtastes som det står Skal indtastes med skabelonen skrive e på tastaturet! eller alternativt som exp(x). Du kan ikke blot Tallet Skal indtastes med skabelonen i paletten Common Symbols eller alternativt som exp(1). Du kan ikke blot skrive e på tastaturet! Formler og ligninger Skrives i Maple. Hvis du blot skriver betyder det! Indtastes ved at bruge skabelonen eller ved at indtaste log_10(x). Ingen specielle regler, kan indtastes som det står ved at indtaste 10^x. Reduktioner af bogstavudtryk Dette afsnit giver en oversigt over kommandoerne til at reducere bogstavudtryk. For at gøre dette Sætte på fælles brøkstreg Gøres sådan (4) (5) Gange parenteser ud Faktorisere et udtryk (6) (7) (8) (9) (10)

Samle led med bestemt bogstav Reducere mest muligt (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) Tip: Du kan også højreklikke på et udtryk og vælge reduktionskommandoen. Substitution/udregning for en bestemt værdi Dette afsnit viser hvordan du kan indsætte en bestemt værdi/et bestemt udtryk i stedet for et bogstav. For at lave denne beregning Gør du sådan i Maple Beregn for 28 (15) Indsætte i ligningen (16) Definition af variable Alle udtryk i Maple kan defineres som en variabel. Tabellen giver nogle eksempler på brug af variable: Beregning i Maple Forklaring Definer til at være det samme som (17) (18) (19) Definerer til at være 7. Advarsel: Når du definerer variablen kan du ikke samtidigt have en variabel, der blot hedder. Maple indsætter definitionen af. Denne kommando sletter alle defintioner.

(19) OBS: Husk at bruge denne i starten af hver opgave!!! Paletten Variables I paletten Variables kan du se alle variable, der er defineret. For at slette en definition: Højreklik på den relevante linje og vælg Unassign. Løsning af ligninger Ligninger løses med gymsolve-kommandoen eller numsolve-kommandoen. Hvis der er mere end én ubekendt i ligningen skal du angive hvilken, du vil løse for. For at løse dette problem Løse ligningen Gør du sådan i Maple Løsning til ligningen er (20) Løse ligningen Løsninger til ligningen er Løse ligningen intervallet i (21) Da der indgår flere ubekendte størrelser skal du angive hvilken du vil isolere. Løsninger til den trigonometriske ligning i intervallet [0;4*Pi] Ved ligninger med sinus, cosinus og tangens skal du angive et interval for at finde alle løsninger (22) Finde alle positive løsninger til ligningen Løs ligningen Løsning til ligningen i intervallet [0; oo[ Her er den ubekendte angivet foran intervallet, det er valgfrit om man gør det. (23)

(23) numerisk Kommandoen numsolve bruges til numerisk løsning Én løsning til ligningen (der kan være flere) er (24) Numerisk løsning finder kun én løsning, du kan angive et gæt på en løsning for at finde andre løsninger: Én løsning til ligningen (der kan være flere) er (25) Her er nogle eksempler på problemer du kan støde ind i ved ligningsløsning Problem Maple giver et uforståeligt resultat Løsninger til ligningen er Maple giver ikke et resultat Warning, Ved ligniner med sin, cos og tan skal du angive et interval for at få alle løsninger! Maple fandt ingen løsninger til ligningen (26) Forklaring/løsning Maple forsøger at angive et eksakt resultat. Du kan tvinge Maple til at regne med decimaltal ved at ændre ét af tallene til et decimaltal. Løsninger til ligningen er (27) Maple kan ikke løse ligningen. Brug numerisk løsning i stedet Én løsning til ligningen (der kan være flere) er (28) Husk at kun finder én løsning selvom der er flere (i dette tilfælde er der dog kun én). Maple giver kun én løsning selvom der er flere Warning, Ved ligniner med sin, cos og tan skal du angive et interval for at få alle løsninger! Løsning til ligningen er (29) Ved ligninger med sin, cos og tan skal du angive et interval Løsninger til den trigonometriske ligning i intervallet [0;2*Pi] (30) Maple giver blot den ubekendte som resultat, f.eks. Løsning til ligningen er (31) Ligningen har uendeligt mange løsninger, alle værdier af er løsning til ligningen

(31) Løsning af flere ligninger med flere ubekendte Maples gymsolve-kommando kan også løse flere ligninger med flere ubekendte Eksempel Løs de to ligninger med to ubekendte og Løs de to ligninger med to ubekendte og. Løsning i Maple Løsning til ligningssystemet er (32) OBS: Ligningerne skal i krøllede parenteser! Løsning til ligningssystemet er (33) Resultatet skal forstås sådan, at ligningen har uendeligt mange løsninger: Nemlig alle de talpar, som løser ligningen. Kommandoerne solve og fsolve Kommandoerne gymsolve og numsolve fra Hjørringpakken er lavet så de skriver resultatet på en måde, der er let at læse. Du kan også bruge Maples tilsvarende standardkommander solve og fsolve. Forskellen er forklaret i eksemplerne her: Løsning med Hjørringpakken Løsning til ligningen er Én løsning til ligningen (der kan være flere) er Trigonometri (34) (36) Løsning med standardkommandoer (35) Standardudgaven af solve finder også komplekse løsninger. Resultatet skrives som en liste af løsninger, og du kan ikke angive et interval. 2.219107149 (37) Resultatet skrives som et tal eller en liste af tal. Trekantsberegninger Tip: Du kan tegne skitser ved at vælge Insert - Canvas. Funktion sinus Eksempel med grader (store bogstaver!) Eksempel med radianer (små bogstaver!)

cosinus tangens invers sinus invers cosinus invers tangens Eksempel I trekant er givet siderne, og vinklen. Beregn siden. I trekant er givet siderne, og vinklen. Beregn vinkel. Maple Cosinusrelationerne benyttes Løsning til ligningen i intervallet [0;oo[ Siden er altså 3.07. Sinusrelationerne benyttes Husk sinusfælden! Der kan være to løsninger mellem 0 og 180, derfor angives dette interval Løsninger til den trigonometriske ligning i intervallet [0;180] (38) (39) (40) (41)

Vinkel er altså 41.09 eller 138.91 Tip: Husk altid at angive intervallet 0 til 180 når du bestemmer vinkler! Tip: For at indtaste et gradtegn i forklarende tekst gør du sådan: Gradtegnet findes i paletten Punctuation. Vælg View - Palettes - Show Palette - Punctuation for at vise denne. Du kan også bruge tastaturet: I Windows skal du holde Alt-tasten ned og taste 0176 på det numeriske tastatur, på Mac skal du taste Ctrl-Alt-' (apostrof). Funktioner og grafer Definition af funktioner I Maple kan man definere funktioner givet ved en regneforskrift. Eksempel Maple Kommentar (41) Definer funktionen Beregn og 13 (42) (43) Hvis du ikke har indlæst Hjørringpakken fremkommer der en dialogboks hvor du skal klikke OK. Det skyldes at Maple har to måder at forstå dette udtryk. Tip: Skriv kolon (:) efter definitionen som vist for at undgå Maples tekst. Løs ligningen Løsning til ligningen er (44) Da der kun er én ubekendt er det i dette tilfælde nok at skrive. Tegning af grafen for en eller flere funktioner For at tegne grafen for en funktion bruges plot-kommandoen. Eksempel: Tegn grafen for funktion. Efter kommaet angives hvilket x-interval, grafen skal tegnes i. I dette tilfælde har vi

valgt intervallet. Skrivemåden er altså plot (funktionsudtryk, uafhængig variabel=mindste værdi..største værdi). Tip: Du kan også angive intervallet for - aksen, f.eks.. Eksempel: Tegn graferne for og samme koordinatsystem i Funktionerne skal altså sættes i krøllede (eller firkantede) parenteser. Du kan tegne grafen for tre eller flere funktioner på samme måde. Når du har tegnet grafen kan du ændre visningen af grafen (marker først grafen ved at klikke på den). Tabellen giver nogle eksempler Eksempel Ændre farve, stregtykkelse mm. for en graf Maple Højreklik på grafen (derved bliver den markeret) og vælg f.eks. Line eller Color i menuen. Ændre koordinatsystemet Klik på for at zoome ind og ud. Klik på for at flytte koordinatsystemet. Klik på for selv at indtaste grænserne på akserne eller ændre andre egenskaber ved akserne. Indsætte gitterlinjer (for at gøre

det lettere at aflæse på grafen) Indsætte titel, figurtekst eller forklaring til grafen Indsætte tegninger, markering og andet Klik på for at indsætte gitterlinjer, og på ikonen ved siden af for at ændre egenskaberne. Højreklik på grafen og vælg Title - Add Title for at indsætte en titel (øverst i grafen) Title - Add Caption for at indsætte en figurtekst (nederst i grafen) Legend - Show Legend for at indsætte en forklaring til grafen (mest relevant hvis du har flere grafer) Alle teksterne kan redigeres ved at dobbeltklikke på dem, og de kan også indeholde formeludtryk. Klik på ikonen og vælg Drawing for at skifte få en værktøjslinje til at tegne på grafen. Du kan indsætte linjer, pile, geometriske figurer, tekst og frihåndstegning på grafen. (Værktøjerne gennemgås ikke i denne kogebog). Klik på ikonen og vælg Plot for at vende tilbage til den Du kan plotte punkter i et koordinatsystem på to måder Data som lister Indtast - og -koordinaterne som lister. Tegn derefter punkterne ind normale værktøjslinje. Advarsel/Tip: Hvis du udfører plot-kommandoen (f.eks. ved at trykke på eller ) igen forsvinder nogle af de ændringer du har lavet. For at undgå dette kan du tage en kopi af grafen: Marker grafen og tryk Ctrl-C (eller højreklik og vælg Copy) klik et andet sted i dokumentet og tryk Ctrl-V (eller højreklik og vælg Paste). Den oprindelige graf kan slettes. Plot af punkter

Data som matrix Data kan også indtastes i en matrix, enten lodret eller vandret. Du kan have overskrifter på rækkerne/kolonnerne hvis du sætter dem i anførselstegn. Tip: Hvis du har mange data bør du indtaste dem lodret (af hensyn til udskriften). Tegn derefter punkterne ind Regression Lineær regression Maple kan lave regressionsberegninger ud fra et talmateriale, metoderne bliver illustreret med et konkret eksempel (Danmarks olieproduktion): Årstal Olieproduktion i mio. kg.

Data som lister Indtast - og -koordinaterne som lister. (Her er -koordinaterne valgt som antal år efter 1980.) Udfør derefter lineær regression Forskrift fundet ved lineær regression: Data som matrix Data kan også indtastes i en matrix, enten lodret eller vandret. Du kan have overskrifter på rækkerne/kolonnerne hvis du sætter dem i anførselstegn. Tip: Hvis du har mange data bør du indtaste dem lodret (af hensyn til udskriften). (45) Forskrift fundet ved lineær regression: Modelfunktionen Til slut kan du definere resultatet som en funktion, hvor du vælger et passende antal cifre (46) Når du har defineret funktionen kan du let besvare spørgsmål til modellen. Eksempel. Giv en prognose for olieproduktionen i år 2010: Da der er gået 30 år beregnes funktionsværdien 6747.0 Dvs. det forventes at olieproduktionen i 2010 vil være ca. 6750 mio. ton. Eksempel. Hvornår forventes olieproduktionen at være 5000 mio. tons? Ligningen 21.75554507 Så dette forventes ca. 22 år efter 1980, altså i år 2002. Tegning af grafer Du kan desuden tegne datapunkterne og regressionsgrafen i samme koordinatsystem. Eksempel 1 løses: Eksempel 2: Angiv selv grænser for akserne (47) (48)

Andre typer regression På tilsvarende vis kan Maple lave andre typer regression, tabellen viser en oversigt over kommandoerne Lineær regression Eksponentiel regression Eksponentiel regression Potensregression Polynomiumsregression Proportionalitetsregression Du kan erstatte af en anden uafhængig variabel Du kan tilføje den afhængige og uafhængige variabel, eventuelt med et interval Differentialregning Grænseværdier For at beregne grænseværdier skal du åbne paletten Expression og vælge skabelonen. Tabellen viser eksempler på udregning af forskellige typer af grænseværdier Beregning Maple Kommentar Grænseværdi 6 (49) (50)

(49) Grænseværdi fra højre Grænseværdi fra venstre skrives tilsvarende med minus efter tallet. 0 (50) Grænseværdi for x gående mod uendelig 3 (51) Grænseværdi for x gående mod minus uendelig skrives tilsvarende som. Common Symbols. Differentialkvotienter Der er flere måder at beregne differentialkvotienter, her er nogle eksempler: Beregning Maple Kommentar Differentier Skabelonen findes i (52) paletten Calculus. Husk at sætte udtrykket i parentes! Differentier (53) (54) Indtast udtrykket, højreklik og vælg Differentiate - x. Differentier Differentier (55) (56) Hvis den variable er kan du bruge "mærke"-notationen. Hvis du først definerer funktionen kan du bruge "mærke"-notation Den sidste metode er lettest at bruge når du skal regne videre på differentialkvotienten! Beregning Beregn tangenthældningen i punktet Bestem de vandrette tangenter til grafen Maple Løsning til ligningen er (57) (58)

(58) Der er altså vandret tangent for Løs ligningen Løsning til ligningen er (59) Tangentligning Tangentligningen opstilles let ved hjælp af den generelle tangentligning. Eksempel: Bestem en ligning for tangenten til grafen for i punktet. Først defineres funktionen Integralregning Ubestemt integral (60) Dernæst opstilles tangentligningen ved at indsætte for Tip: Hvis du har tegnet grafen for funktionen kan du tilføje tangenten til grafen ved at trække og slippe tangentligningen til grafen. Eksempel: Bestem alle stamfunktioner til. Beregning i Maple Kommentar Skabelonen findes i paletten Calculus. (61) OBS: Maple beregner én stamfunktion, du skal selv tilføje integrationskonstanten som vist hvis du vil have alle stamfunktioner Eksempel: Bestem den stamfunktion til Beregning i Maple (62) (63) hvis graf går gennem punktet Kommentar Først defineres funktionen f Det ubestemte integral bestemmes (man kan selvfølgelig også skrive forskriften direkte ind som i forrige eksempel) Stamfunktionen defineres ved at henvise til resultatet

Løsning til ligningen er (63) (64) (65) (66) Punktet giver at, så integrationskonstanten kan bestemmes ved at løse denne ligning. Og resultatet opskrives Husk restart inden næste opgave! Bestemt integral Eksempel: Beregn det bestemte integral. Beregning i Maple Kommentar Skabelonen findes i paletten Calculus. (67) Tip: Du kan flytte rundt i skabelonen med Tabulator-tasten. Grafisk visning Kommandoen arealplot bruges til at illustrere bestemte integraler Farv et område mellem grafen og -aksen svarende til et bestemt integral Farv området afgrænset af graferne for to funktioner svarende til en forskel mellem to bestemte integraler

Deskriptiv statistik Ikke-grupperede data - beregninger ud fra rådata Hvis du kender de oprindelige observationer (rådata) kan du indtaste dem som en liste sådan: Beregning af hyppigheder (68) Beregning af frekvenser (69) Beregning af kumulerede hyppigheder

(70) Beregning af kumulerede frekvenser (71) Ikke-grupperede data - beregninger ud fra hyppighedstabel Hvis du allerede kender hyppighederne, så kan du indtaste dine data i en matrix. Overskrifterne er valgfrie, og du kan også skrive tallene i kolonner i stedet for i rækker. Beregning af frekvenser (72) Beregning af kumulerede hyppigheder (73)

(73) Beregning af kumulerede frekvenser (74) Ikke-grupperede observationer - beregning af deskriptorer De statistiske deskriptorer kan beregnes på samme måde uanset om du bruger rådata eller en hyppighedstabel Beregning af middeltallet 19.62500000 Beregningaf kvartilsættet (inklusiv minimum og maksimum) Minimum: 12 Nedre kvartil: 16 Median: 18 Øvre kvartil: 25 Maksimum: 27 (75) Deskriptiv statistik - grafiske illustrationer Tegning af stolpediagram/pindediagram

Tegning af boksplot Tip: Boksplottet bliver meget højt som standard; træk i den nederste kant for at gøre det smallere som vist her. Tip: Hvis du kun kender kvartilsættet indtaster du blot tallene som dine data. For eksempel kan boksplottet her også tegnes med Tegning af boksplot for flere observationssæt Grupperede data - beregninger Grupperede observationer indtastes som en matrix. Det er ligemeget om dine data står lodret som her

eller vandret som her: Gruppering af et observationssæt Ikke-grupperede data kan grupperes sådan: (76) Du skal angive et samlet interval, dine observationer ligger indenfor (her 0..10), og du skal angive antallet af intervaller (her 5). Grupperede observationer - beregning af deskriptorer Beregning af middeltallet Beregning af kvartilsættet Nedre kvartil: 8.82353 Median: 14.6429 Øvre kvartil: 20 15.91666667 (77) Grupperede observationer - grafiske illustrationer Tegning af histogram

Tegning af sumkurve (hvor kvartilsættet automatisk vises også) Du kan lave andre markeringer på sumkurven, for eksempel

Du kan også lave to markeringer, f.eks. Berening af fraktiler 40%-fraktilen beregnes sådan 12.50000000 Dvs. 40% af observationerne er 12.5 eller derunder. Statistik - hypotesetest (78) -test for uafhængighed Metoden til lave uafhængighedstest beskrives ved hjælp af et eksempel: Der er givet en række (fiktive) data om Mænds og kvinders tøjforbrug Mindre end 1500 kr. pr. måned Mindst 1500 kr. pr. måned Ialt Kvinder Mænd Ialt Vi ønsker at teste nulhypotesen 5% signifikansniveau. Indtast data i en matrix. : Størrelsen af tøjforbruget er uafhængigt af kønnet. Testen udføres på Indtast dernæst denne kommando, idet signifikansniveauet 5% skrives som decimaltallet 0.05. Resultat af chi-i-anden test for uafhængighed på signifikansniveau 5%:

Den kritiske værdi: 3.84146 Teststørrelsen: 4.77353 p-værdien: 0.0289005 = 2.89005% Nulhypotesen forkastes, da -værdien (testsandsynligheden) er 2.89%. Der er altså statistisk belæg for at sige, at tøjforbruget afhænger af kønnet. Du kan også få vist resultatet grafisk: Figuren viser den kritiske mængde under grafen for tæthedsfunktionen, samt placeringen af teststørrelsen. I dette tilfælde ligger teststørrelsen i den kritiske mængde, så nulhypotesen forkastes. Du kan også få Maple til at beregne de forventede værdier ud fra de observerede værdier: (79) -test for goodness of fit Metoden til at lave goodness of fit-test beskrives ved hjælp af et eksempel. Ved en meningsmåling forud for byrådsvalget i X-købing kommune fordelte svarene sig som vist i tabellen Vil stemme på Liste P Liste Q Liste R Ialt Antal 219 Vi ønsker at teste nulhypotesen : Tilslutningen til partierne er uændret siden sidste byrådsvalg. Testen udføres på 5% signifikansniveau. Ved sidste byrådsvalg var fordelingen som vist i tabellen, hvorfra de forventede antal beregnes

Indtast de observerede værdier og de forventede værdier Stemte på Liste P Liste Q Liste R Ialt Procentdel Forventet af 400 = 200.0 = 120.0 = 80.0 Indtast så denne kommando, idet signifikansniveauet 5% skrives som decimaltallet 0.05. Resultat af chi-i-anden test for goodness of fit på signifikansniveau 5%: Den kritiske værdi: 5.99146 Teststørrelsen: 5.08 p-værdien: 0.0788664 = 7.88664% Nulhypotesen accepteres, da -værdien (testsandsynligheden) er 7.89%. Der er altså ikke statistisk belæg for at sige, at tilslutningen til partierne har ændret sig. Du kan også få vist resultatet grafisk: Figuren viser den kritiske mængde under grafen for tæthedsfunktionen, samt placeringen af teststørrelsen. I dette tilfælde ligger teststørrelsen ikke i den kritiske mængde, så nulhypotesen accepteres. Differentialligninger af første orden (kun A-niveau) Indtaste differentialligninger Vigtigt: I en differentialligning kan man skrive såvel den ukendte funktion som de afledede på flere

måder. Tabellen viser hvordan du kan indtaste differentialligningen i hvert tilfælde. Eksempel Den ubekendte funktion skrevet med funktionsnotation: Indtastning i Maple Denne differentialligning kan indtastes direkte (80) Den ubekendte funktion skrevet som variabel Denne differentialligning kan indtastes direkte. Husk gangetegn! (81) Læg mærke til at Maple selv skifter til funktionsnotation Du kan ikke bruge denne notation for differentialkvotienten, men skal i stedet skrive sådan: (82) Gøre prøve Eksempel: Undersøg, om funktionen er løsning til differentialligningen. Beregning i Maple (83) Kommentar Definer først funktionen Indtast så differentialligningen: Du skal omskrive den til at bruge funktionsnotation. I dette tilfælde er venstresiden lig højresiden, så funktionen er en løsning. I nogle tilfælde kan det være nødvendigt at reducere resultatet med for eksempel simplify eller expand. Tegning af linjeelementer Derefter skal du bruge funktionen linjeelementer. Du skal angive et x-interval og et -interval, der skal tegnes indenfor. Eksempel: Tegn linjeelementer for differentialligningen, hvor der bruges -intervallet og y-intervallet.

Opbygningen af kommandoen er altså dfieldplot(differentialligning,funktion,x-interval,y-interval). Du kan ændre udseendet på samme måde som ved tegning af grafer. Analytiskløsning af differentialligninger Maple kan løse differentialligninger analytisk ved hjælp af kommandoen dsolve. Eksempel Maple Kommentar Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen (84) er et tal; normalt ville vi skrive f.eks. Bestem den partikulære løsning til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet (85) (86) (87) Skrivemåden når du vil bestemme en partikulær løsning er altså dsolve( { diff.ligning, begyndelsesbetingelse } ) Løsningen defineres som funktion ved at henvise til resultatet. Dette kræver at man først udtager højre side af lighedstegnet (rhs står for right hand side) Vektorregning og analytisk geometri (kun A-niveau) Vektorer i planen Eksempel Maple Kommentar Indtast vektoren Vektorer indtastes med paletten Matrix. Indtast 2 ved Rows, 1 ved Columns og klik

Beregn. Insert Vector. Husk at skrive gangetegn mellem tal og vektor! (88) Beregn prikproduktet (89) Prikproduktet skrives med en fed prik, som findes under Common Symbols. Et almindeligt gangetegn giver en fejlmelding. Beregn længden af vektoren Læg mærke til at der bruges dobbelte lodrette streger! (90) eller (91) Bestem determinanten af vektorparret og 10 (92) Bestem tværvektoren til vektoren (93) Bestem vinklen mellem vektorerne og 63.43494883 (94) Bestem projektionen af på (95)

(99) Vektorpile Du kan sætte vektorpile på vektorer ved at bruge paletten Accents. Hvis den ikke er synlig, så højreklik på en palette og vælg Show Palette - Accents. Eksempel Maple Kommentar Definer vektoren Klik først på derefter højrepil., tast a og Beregn og hvor (96) Vigtigt: og er ikke det samme! Du kan godt definere en vektor uden pil: men så skal den skrives uden pil i alle udregninger. Beregn midtpunktet af punkterne og Stedvektorerne for punkterne bruges. Midtpunktet er altså (6,1). (97) Analytisk plangeometri Eksempel Maple Kommentar Beregn skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne og Løsning til ligningssystemet er (98) Skæringspunktet er altså. Beregn skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne og gymsolve fandt ingen løsninger til ligningssystemet Maple finder ingen løsninger: Forklaringen er at de to linjer er parallelle, og derfor ingen skæringspunkter har.

Bestem centrum og radius for cirklen givet ved ligningen Centrum er altså radius er 5. og (99) Tegn cirklen med ligningen samt linjen med ligningen i samme koordinatsystem Bemærk at intervallerne for akserne skal angives. Maple indskrænker -aksen til det relevante. Cirkler kan blive forvrænget pga. forskellige enheder på akserne: Træk i kanten for at korrigere dette. Hvis du kun vil tegne én figur kan du undlade de krøllede parenteser. Vektorer i rummet Vektorregning i rummetforegår på samme måde som i planen, dog erstattes determinant og tværvektor af krydsproduktet. Eksempel Maple Kommentar Beregn krydsproduktet af vektorerne og Symbolet for krydsprodukt findes under Common Symbols (100) Analytisk rumgeometri Eksempel Maple Kommentar Beregn skæringspunktet mellem planen givet ved Skæringspunktet er altså. og linjen givet ved Løsning til ligningssystemet er (101) Beregn skæringspunktet mellem Skæringspunktet er altså

linjen givet ved. og linjen givet ved Løsning til ligningssystemet er (102) OBS: Husk at skifte parameter for den ene linje, idet vi ikke kræver at linjerne skal skære for samme parameterværdi. Hvis linjerne er vindskæve eller parallelle er der ingen løsning, og Maple skriver intet resultat. Bestem centrum og radius for kuglen givet ved ligningen Centrum er altså radius er 4. og (103) Kogebogen er udgivet under en Creative Commons licens (navngivelse kogebogen med et ikke-kommercielt sigte på betingelse af, at du krediterer forfatteren og giver licens til det nye værk på tilsvarende vilkår. Læs mere om betingelserne på http://www. creativecommons.dk