Måling og modellering af stofspredning i Østerå Formål Der er flere formål med at måle og modellere stofspredningen. For det første ønskes vandløbets longitudinale dispersionskoefficient D bestemt. Ydermere ønskes det at undersøge dynamikken mellem vandløbets forskellige zoner (midterløb og brinkzoner), og på hvilket kompleksitetsniveau det er hensigtsmæssigt at modellere denne. Endelig er det formålet at sammenligne resultater fra en kommerciel model (MIKE 11) med resultater fra en model udviklet af projektgruppen selv, for at vurdere pålideligheden af en simpel selv-programmeret model. Målemetode Der blev den 5. september 2003 foretaget et sporstofforsøg med momentan stofdosering på en udvalgt strækning af Østerå. Stofspredningen er målt ved, i ét punkt, at tilføre åen en masse af et farvestof (Rodamin), for derefter nedstrøms at måle passeret stofmængde kontinuerligt, i dette tilfælde i to stationer (A og B). Den passerede stofmængde måles med en fluorescensmåler, jf. Figur 1. Denne måler spændingsforskel på det reflekterede lys fra partikler i vandet, ud fra en lineær sammenhæng mellem stofmængde og spændingsforskel. Måleren nedsænkes ved pågældende station, så hovedet af måleren er under vandspejlet. Inden forsøget startes måles baggrundsspændingen, som senere fratrækkes de målte værdier indeholdende farvestof. Måleren er tilknyttet en logger, der registrerer sekundværdier af spændingsforskel. Efter at sporstofskyen blev vurderet at have passeret forbi den første målestation (B), blev fluorescensmålingsudstyret og autologger flyttet til målestation A, og målingen blev herefter genoptaget. Figur 1 Fortynding af sporstof samt fluorescensmåler 1
Figur 2 Ikastning af sporstof og monitering af sporstof ved station B Klik her for at se en animation af ikastningen af sporstof til Østerå. Målinger På Figur 3 er resultatet af sporstofforsøget angivet. Den første peak angiver målingerne ved station B (84 m fra ikastningsstedet). Efterfølgende er målinger som nævnt forsat længere nedstrøms ved station A (499 m fra ikastningsstedet). Det bratte fald i målingerne efter ca. 1100 s og frem til 1600 s skyldes flytningen af måleudstyret fra station B til station A. Ved starten på målingerne i station A, ved 1600 s, blev der registret værdier over baggrundsværdien samt en faldende tendens. Dette formodes at skyldes, at der er blevet målt på den langsomt frigivne hale fra et mislykket sporstofforsøg udført et par timer tidligere. Måleværdier, der er vurderet at stamme fra dette tidligere forsøg er sorteret fra i det videre arbejde. På måledagen blev der registret en baggrundsværdi på 0,45 volt. Figur 3 Sporstofmålinger foretaget ved station B og A. Baggrundskoncentrationen er ikke fratrukket. 2
På Figur 4 er målingerne af stofskyerne i de to målestationer vist. Ved station B oversteg målingerne i området fra 350-450 s den registrerbare grænse, 10 volt, som følge af overdosering af farvestof. Målingerne i station A viser en mere udglattet tendens med lavere værdier. Figur 4 Sporstofmålingerne ved station B og A. Baggrundskoncentrationen er ikke fratrukket. Behandling af måledata I følgende afsnit bestemmes, ud fra sporstofmålingerne, den longitudinale dispersionskoefficent, D, i Østerå vha. to metoder. Dels en metode, hvor D bestemmes statistisk ud fra tyngdepunktets beliggenhed samt spredningen, og dels en metode hvor en analytisk løsning af advektion/dispersions ligningen fittes til målingerne. Nedenstående præsenteres den statistiske metode [Larsen, årstal ukendt b]: På Figur 5 vises en principskitse af sporstofmålinger med indtegnet spredning og tid til tyngdepunktets passage af målestation. Figur 5 Principskitse af tiden til tyngdepunktets passage, µ t og spredning, σ(t). Dokumentation 3
Den longitudinale dispersionskoefficienten kan bestemmes ved formel 1: σ(x) D = (1) 2 µ t 2 hvor D: Dispersionskoefficienten, [m 2 /s] σ(x): Langsgående spredning af sporstofmålingerne, [m] µ t : Tiden fra start til farveskyens tyngdepunkts passage af målestationen, [s] Formel 1 er uafhængig af datagrundlagets fordeling. Tiden fra start til farveskyens tyngdepunkts passage af målestationen bestemmes ved formel 2: (2) µ t = (c t)dt (c)dt hvor c: Sporstofkoncentrationen til tidsskridtet t Spredningen mht. tiden kan bestemmes ved formel 3 (3) σ(t) = c (t µ ) t (c)dt 2 dt For at kunne omskrive den tidslige spredning fra sporstofforsøget, σ(t), til den stedslige spredning, σ(x), foretages der følgende væsentlige antagelse: Det antages, at sporstofskyen bevæger sig uændret med middelhastigheden, v, gennem måletværsnittet. Omregningen fra σ(x) til σ(t) bestemmes derfor til: (4) σ ( x) = v σ(t) hvor v: Middelhastigheden over strækningen, [m/s] σ(t): Langsgående tidslig spredning af sporstofmålingerne, [s] σ(x): Langsgående stedslig spredning af sporstofmålingerne, [m] 4
Den longitudinale dispersionskoefficient kan således bestemmes til: 2 2 σ(t) D = v (5) 2 µ t Dispersionskoefficienten på strækningen mellem de to stationer B og A kan bestemmes som: 2 2 2 σ(t) A σ(t) B D AB = v (6) 2 ( µ ta µ tb ) I tabel 1 er de beregnede dispersionskoefficenter fremstillet. Spredning, σ(t) [s] Tid til tyngepunkt, µ t [s] Middelhastighed, v [m/s] Station A (499 m) 3454 3770 0,08 10,1 (formel 5) Station B (84 m) 134 478 0,08 0,12 (formel 5) Mellem station B og A (formel 6) - - 0,08 11,5 Tabel 1 Beregning af dispersionskoefficent ud fra tyngdepunktets beliggenhed og spredningen. Dispersionskoefficient, D [m 2 /s] Grunden til at dispersionskoefficienten i station B bliver meget lav er formodentligt på grund af manglende opblanding i målingerne. Heraf transporteres sporstoffet med en højere hastighed i vandoverfladen end den til beregningerne anvendte middelhastighed. Der er også stor usikkerhed på anvendelsen af middelhastigheden, da den stammer fra en middelværdi af de to vandføringsmålinger. Heraf indgår både usikkerheden i tværsnitsarealbestemmelse samt hastighedsmålingerne i åen. Herudover er vandføringsmålingerne foretaget to dage tidligere end sporstofmålingerne. På baggrund af ovenstående vælges i anvendelsen af den analytiske løsning, udover at fitte massen og den longitudinale dispersionskoefficent, desuden at fitte middelhastigheden. Der benyttes følgende analytisk løsning af advektion/dispersions ligningen [Larsen, årstal ukendt (a)]: (7) c(x, t) = 2 m / A (x v t) exp 4 π D t 4 D t hvor c(x,t): Stofkoncentrationen som funktion af tid og sted [-] m/a: Massen af stof (kalibreringsparameter) [-] D: Longitudinal dispersionskoefficient [m 2 /s] v: Middelstrømningshastighed [m/s] t: Spredningstid [s] 5
Der fittes på værdierne masse af stof, middelstrømningshastighed samt dispersionskoefficenten efter mindste kvadraters metode (RMSE). I figur 6 og 7 er fitningen af de målte data vist. 12 10 Målt Analytisk løsning Koncentration [-] 8 6 4 2 0 0 250 500 750 1000 1250 1500 Tid [s] Figur 6 Målt og fittet sporstoftransport i Station B. Dokumentation 1 0.8 Målt Analytisk løsning Koncentration [-] 0.6 0.4 0.2 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Tid [s] Figur 7 Målt og fittet sporstoftransport i Station A. Dokumentation Man kan diskutere om det er reelt at fitte efter RMSE på hele koncentrationskurven, eller om man burde fitte visuelt enten til forsiden eller bagsiden af koncentrationskurven. Men eftersom RMSE giver en sammenlignelig værdi er der i dette projekt valgt at anvende denne metode, således at denne værdi kan minimeres, selvom det er muligt at der kunne opnås et bedre fit ved at anvende en anden metode. 6
I Tabel 2 ses resultaterne af fitningen. Længde fra ikastningsstedet til målestedet, x [m] Fittet middelhastighed, u [m/s] Dispersionskoefficient, D [m2/s] RMSE Station A 499 0,144 2,5 0,0040 Station B 84 0,200 0,36 1,325 Tabel 2 Resultater af fitning af analytisk løsning Det er bemærkelsesværdigt at hastigheden er væsentligt større når denne fittes, i forholdt til at bruge den beregnede ud fra vandføringsmålingerne (tabel 1). Dispersionskoefficienten fundet ud fra den analytiske løsning er hhv. en faktor 3 og 4 mindre i station B og A. Det er ikke muligt at angive en grund til den store forskel I dispersionskoefficientbestemmelsen de to metoder imellem. Da der er forholdsvis store afvigelser mellem de fundne dispersionskoefficenter er det valgt, i projektgruppens egen model, at kalibrere dispersionskoefficienten ind efter målingerne i stedet for at bruge en af de ovenstående. Dog anvendes de beregnede dispersionskoefficienter i MIKE 11 modelleringen. Stoftransportmodellering Stofspredningen modelleres dels med en kommerciel model (MIKE 11), og dels med en model udviklet af gruppen selv, programmeret i MatLab. Begge modeller bruges til at modellere stoftransporten, og er hermed med til at vurdere den beregnede dispersionskoefficient. MatLab-modellen bruges desuden til undersøgelsen af dynamikken mellem vandløbets forskellige zoner. Dette gøres ved at modellere to forskellige opsætninger med forskellig kompleksitetsgrad i beskrivelsen af udveksling mellem vandløbets zoner og sammenligne resultaterne af dem. Opstilling af stofspredningsmodel i MatLab Der opstilles en endimensional finite differens stofspredningsmodel som består af to dele: En strømningsmodel samt en stoftransportmodel. Fysisk beskrivelse Strømningen i åen kan opdeles i en primær strømning med høj hastighed, som foregår i midten af åen (hvor grøden er skåret), samt en sekundær strømning (dødzone) som foregår langs brinkerne; her er hastigheden tilnærmelsesvis nul. På baggrund af disse store forskelle i strømningshastighed er der valgt at opstille to forskellige modeller. Dels en model hvor der regnes i hele åens tværsnit, og dels en model, hvor der differentieres mellem midten af åen, med stor strømningshastighed og dødzonerne, for derefter at sammenligne resultaterne af de to modeller. Princippet i opdelingen af åens tværsnit i flere bokse ses af de to følgende figurer. 7
Figur 8 Tværsnit af dødzonemodel Figur 9 Principskitse af dødzonemodel (De blå pile indikerer diffusion/dispersion, de sorte er udvekslingsvandføring til dødzonerne, mens de røde pile indikerer konvektion.) Princippet i dødzonemodellen er, at der i midterboksene forekommer både dispersion/diffusion og konvektion, mens stofudvekslingen til dødzonen sker ved et udvekslingsled, der påføres modellen som en tvungen dobbeltrettet konvektiv flux. Opstilling af strømningsmodel Strømningsmodellen baseres udelukkende på vandføringsmålingen foretaget den 3. september 2003, dvs. at strømningen regnes stationær. Desuden antages, at vandføringen d. 3. september tilnærmelsesvist er den samme som d. 5. september, hvor sporstofforsøget er lavet. Der har i de mellemliggende to døgn ikke forekommet nævneværdige regnhændelser, og vandstanden er ikke observeret at have ændret sig. I kraft af forudsætningen om stationaritet negligeres en eventuel større vandføring nedstrøms. Denne antagelse vurderes at være rimelig da der kun modelleres en strækning på ca. 1500 m, samt at der ikke findes sidetilløb på strækningen. Desuden vurderes den laterale tilførsel af vand på strækningen at være negligeabel i forhold til åens vandføring. Strømningsmodellen baseres på tilnærmede trapezformede tværsnit, hvor der i åens længderetning interpoleres lineært mellem de to af projektgruppen opmålte tværsnit (tværsnit 1 og 2) samt et tværsnit fra Nordjyllands Amt (tværsnit 0). For hver stedsskridt i længderetningen beregnes den naturlige dybde, på baggrund af vandføring, Manningtal, anlæg, bundbredde og bundhældning. Herved kan tværsnitsarealet samt middelhastigheden beregnes. I tabel 3 ses de anvendte geometriske beregningsparametre, samt beregnet tværsnitsareal og middelhastighed i de tre tværsnit. 8
Anlæg, venstre Anlæg, højre Bundbredde Naturlig dybde Tværsnitsareal Middel- Hastighed [-] [-] [m] [m] [m 2 ] [m/s] Tværsnit 2 1.11 2.39 7.25 0.59 4.89 0.092 Tværsnit 1 2.99 3.94 5.50 0.66 5.14 0.088 Tværsnit 0* 3.81 3.81 5.25 0.67 5.23 0.086 Tabel 3 Beregningsparametre og beregnede middel-vandhastigheder. *Amtets tværsnit ved skalapæl 22 [Nordjyllands Amt, 2000] Dokumentation Til beregningerne anvendes som udgangspunkt middelværdien af de to Manningtal beregnet efter målingerne den 3. september 2003 samt en bundhældning på 0,21 [Nordjyllands Amt, 2000] Forudsætningen for at anvende den naturlige dybde til beregning af hastigheden i åen er, at der ikke forekommer opstuvning. Dette er en antagelse da der ca. 2300 m nedstrøms fra tværsnit 0 findes et stryg, og det er muligt at stuvningen påvirker dybden i det modellerede område, så den overstiger naturlig dybde. Ideelt set burde der foretages en opstuvningsberegning, for at belyse denne problemstilling, men da dette ville kræve betydeligt flere tværsnitsopmålinger og vandføringsmålinger, er denne problemstilling negligeret. Modelleringsprincip for stofspredning Som tidligere omtalt opstilles to numeriske modeller, en med strømning i hele åens tværsnit og en med dødzoner langs brinkerne. Princippet i modellerne er det samme, blot udvides kompleksitetsniveauet i den sidstnævnte model. Det centrale i modellerne er advektion/dispersionsligningen, som omskrives på differensform og modelleres ved eksplicit finit differens i et Forward Time Central Space (FTCS) skema. En forudsætning for den anvendte 1-dimensionelle advektion/dispersionsligning er stationære og ensformige strømninger. Da åens tværsnit ikke er konstant og strømlinierne heraf ikke er parallelle er forudsætningen om ensformig strømning ikke opfyldt, men eftersom der ikke sker bratte tværsnitsændringer, vurderes denne fejl negligeabel. Der regnes med fuld opblanding af sporstoffet i alle de bokse, vandløbet opdeles i. Dette er ikke i overensstemmelse med virkeligheden, idet det er observeret, at en stor del af stoffet transporteres i overfladen i midten af åløbet, hvor vandhastigheden er høj. Dette betyder, at observationsdata vil indikere en højere middeltransporthastighed af sporstof-fanen, end den der er beregnet ud fra vandføringsmålingerne i Østerå. Massen af tilledt sporstof måles ikke, men bestemmes ved kalibrering til en passende størrelse i de enkelte modeller. Dette skyldes, at observationsdata ikke måles i masse-udtryk, men derimod den målte spændingsforskel på tilbagekastet lys, og denne måling er ikke mulig at lave på den tilledte masse. Et udtryk for den tilledte masse til begyndelsestidspunktet indkalibreres ved at få arealet under 9
koncentrationskurverne for hhv. målt og modelleret tidsserie i et målepunkt (station A) til at stemme overens. Rand- og startbetingelser Randbetingelserne i modellen implementeres ved at antage en koncentration på nul ved både øvre og nedre rand (for x = 0 og x = L er c = 0). For at dette kan lade sig gøre forlænges modellen med 500 m i hver ende i forhold til de i tabel 3 angivne tværsnit, således at randene er upåvirkelige af stoftransporten i den simulerede periode. Der anvendes de samme randtværsnit i forlængelsen af modellen. Startbetingelsen implementeres ved, at der til tiden 0 introduceres en mængde stof i boksen svarende til det tværsnit, hvor sporstoffet blev ikastet. Et udtryk for stofmængden vil senere blive indkalibreret ud fra måledata. Startkoncentrationen i alle andre bokse sættes til 0. Model med strømning i hele åens tværsnit (Trapez-modellen) Der er ingen yderligere forudsætninger til denne model udover de allerede nævnte. Teoretisk grundlag for trapezmodellen Trapezmodellen kalibreres på: - Dispersionskoefficient - Initial stofmasse Det er kontrolleret om trapezmodellen regner korrekt i forhold til den førnævnte analytiske løsning i en simplificeret situation med ensartede strømningsforhold på hele den modellerede stræknings længde. I denne situation giver model og analytisk løsning samme resultater for to udvalgte stationer. Dermed sandsynliggøres, at modellen regner korrekt stofspredning, givet korrekt beregnet strømning. Kontrol af trapezmodellen Model med udveksling til dødzone (Dødzonemodellen) I denne model foregår al strømning i den midterste rektangulære boks. I de døde zoner langs brinkerne foregår ingen langsgående strømning. Udveksling til dødzonerne sker ved en tvungen dobbeltrettet udvekslingsvandføring. Forudsætninger for dødzonemodel: Foruden de generelle forudsætninger for stoftransportmodellering er gjort følgende forudsætninger: - Dødzonen defineres som angivet på Figur 8 og 9. - De to dødzoner tilknyttet en given midterboks modelleres for simpelheds skyld som én boks med kontaktfladeareal (areal mellem midterboks og dødzone) og volumen svarende til summen af kontaktfladeareal og volumen af de to dødzoner. 10
- Hele den tilledte masse modelleres tilledt i midterboksen i det tværsnit hvor sporstoffet blev ikastet. - Udvekslingen til dødzonen styres at en tvungen konvektiv flux. - Bredden af den rektangulære boks kendes ikke, da det ikke præcist vides hvor store dødzonerne er. Denne bredde er derfor også en kalibreringsparameter i modellen og anvendes til regulering af middelhastigheden. Teoretisk grundlag for dødzonemodellen Dødzonemodellen kalibreres på: - Dispersionskoefficient - Initial stofmasse - Udvekslingsvandføring - Bredde af den rektangulære boks I det tilfælde at dødzonemodellen regnes uden udveksling til sidebokse er dens transportmæssige forudsætninger de samme som for trapemodellen. Dermed underbygger kontrollen af trapezmodellen også denne model. 11
Kalibrering, validering og resultater af stofspredningsmodel Stofspredningsmodellen kalibreres efter sporstofmålingerne foretaget den 5. september i station A - 499 m fra ikastningsstedet. Det primære formål med kalibreringen er at finde dispersionskoefficienten, således stoftransporten kan kan sammenlignes med stoftransportmodelleringen i MIKE 11 modelleringen samt de dispersionskoefficienter der er fundet ved de teoretiske metoder. Modellen indkalibreres ved at minimere RMSE (Root Mean Square Error) mellem målte og modellerede koncentrationer. I tabel 4 er de indkalibrerede parametre vist. Dow nload stofspredningsmodel (MatLab) Trapezmodel Dødzonemodel uden udvekslingsvandføring Dødzonemodel med udvekslingsvandføring Initialmasse [-] 35 62 87 Dispersionskoefficient, 0,45 2,2 1,5 D [m 2 /s] Udvekslingsvandføring - 0 0,0005 [m 3 /(s m)] Bredde af den - 3,1 3,1 rektangulære boks Tidsskridt, dt [s] 0,25 0,25 0,25 Stedskridt, dx [m] 5 5 5 Root Mean Square 0,6514* 0,0622 0,0743 Error, RMSE [-] Konvektivt couranttal 0,0440 0,0035 0,0035 [-] Peclet tal [-] 0,0020 0,0063 0,0043 Middelhastighed i station A [m/s] 0,088 0,139 0,139 Tabel 4 Resultat af kalibrering. (*trapezmodellen er fittet visuelt og ikke efter RMSE) Den vandføring, der er anvendt i modellen er målt den 3. september 2003, og sporstofforsøgene er foretaget den 5. september 2003. Det er derfor muligt, som før nævnt, at den målte vandføring ikke er den samme som under sporstofforsøgene. Der tages højde for dette i dødzonemodellen ved at ændre på bredden af den rektangulære boks, for hermed at ændre det bestrømmede tværsnitsareal og dermed middelhastigheden. Følgende vises resultatet af kalibreringen, i form af de tre forskellige modelopsætninger sammenholdt med målinger fra station A. 12
Figur 10 Kalibreringsresultat af trapezmodel i Station A Det fremgår tydeligt af figur 10, at der er et problem ved, at den modellerede hastighed er lavere end den hastighed sporstorstofforsøget er foretaget ved. Dette skyldes at der i modellen forekommer strømning i hele åens tværsnit. Dette problem forsøges afhjulpet ved implementeringen af dødzonerne, jf. figur 11, hvor kalibrering af dødzonemodellen uden udvekslingsvandføring er vist. Figur 11 Kalibreringsresultat af dødzonemodel uden udvekslingsvandføring i Station A 13
Af figur 11 ses et langt bedre fit, når dødzonemodellen anvendes, hvilket primært skyldes regulering af middelhastigheden vha. bredden af den rektangulære boks. På figur 12 er dødzonemodellen sat op med udvekslingsvandføring tilkoblet. Figur 12 Kalibreringsresultat af dødzonemodel med udvekslingsvandføring i Station A Umiddelbart er det svært at få et bedre fit ved implementering af udvekslingsvandføringen, da udvekslingsvandføringen og dispersionskoefficienten er meget afhængige af hinanden. En større udvekslingsvandføring medfører at dispersionskoefficienten, når modellen fittes, skal være mindre og vice versa. Dette er et tydeligt eksempel på at for mange kalibreringsparametre kan medføre, at modellen bliver besværlig at indkalibrere og at modellen heraf bliver dårligere. Validering Modellen valideres på sporstofmålingerne udført i Station B (84 m fra ikastningsstedet). Eftersom trapezmodellen i kalibreringen er forkastet, vises her kun resultatet af de to dødzonemodeller, 14
Figur 13 Valideringsresultat af dødzonemodel uden udvekslingsvandføring i Station B Figur 14 Valideringsresultat af dødzonemodel med udvekslingsvandføring i Station B Umiddelbart har den modellerede sporstofkoncentration en meget mindre peak-værdi end den målte koncentration, og desuden har den modellerede koncentration en meget længere hale end den målte koncentrationskurve. Det formodes, at den store forskel mellem modelleret og målt skyldes, at der ikke har været fuld opblanding ved sporstofmålingerne (på grund af måling i ringe afstand fra i- 15
kastningsstedet). Sporstoffet er derfor transporteret i overfladen i midten af åen. Heraf er det konvektionen som er styrende for stoftransporten og diffusion fra siderne er ikke forekommende, da der ikke er fuld opblanding. Det kan ud fra ovenstående ikke fastsættes om modellen er valid, da måledataene ikke repræsenterer det modellerede pga. strømningen i overfladen. Resultater af stofspredningsmodel Følgende vises resultaterne af stoftransportmodelleringen i form af stoftransport som funktion af afstanden til øvre rand. Der er ikke medtaget resultater fra trapezmodellen, da det i kalibreringen blev konkluderet et trapezmodellen er for dårlig til at beskrive stoftransporten tilfredsstillende. Figur 15 Koncentration som funktion af afstanden fra øvre rand for dødzonemodellen med udveksling til dødzonerne (Sporstoffet tilledes i x = 500 m) Klik her for at se en animation af stoftransporten (dødzonemodellen med udveksling til dødzonerne) Følgende figur viser stoftransporten som funktion af tiden i station A og B i dødzonemodellen med stofudveksling til dødzonerne. 16
Figur 16 Koncentration som funktion af tiden i Station A og B (dødzonemodellen). For at belyse fluxen til dødzonen er denne optegnet som funktion af tiden i de to stationer. Figur 17 Flux til dødzonen som funktion af tiden i to snit Det ses af figuren, at udvekslingen ind i dødzonerne er stor når stofbølgen passerer, og når bølgen er passeret frigives stoffet langsomt igen. Ved sammenligning med stofkoncentrationen i midterboksen 17
(figur 16) ses, at fluxen til dødzonen ændrer retning ved maksimalkoncentrationen i midterboksen. Desuden ses, at størrelsen af fluxen til dødzonen naturligvis afhænger af størrelsen af koncentrationen i midterboksen Selvom det er tydeligt, at der forekommer udveksling til dødzonen betyder de stort set intet for stoftransporten i Østerå, hvilket gav sig udslag i at dødzonemodellen ikke kunne indkalibreres bedre ved at påføre udvekslingsvandføringen, jf. figur 11 og 12. Modellering af stofspredning i MIKE 11 Formålet med at modellere stofspredning i MIKE 11, er vha. modellens HD og AD modul at modellere stoftransportforsøgene med de beregnede dispersionskoefficienter, for hermed at kunne sammenligne med stofspredningsmodelleringen i MatLab modellen. Der er blevet modelleret på en ca. 700 m lang strækning, startende 200 m opstrøms for station B og til ca. 40 m nedstrøms for station A. Der blevet modelleret med konstant vandføring på 0,45 m 3 /s. Sporstofmodelleringen er foretaget ved, at der i første tidsskridt er frigivet en given koncentration sporstof i beregningscellen beliggende i tværsnit 2. Dow nload MIKE 11 setup De simulerede og målte værdier er ikke umiddelbart enhedsmæssigt sammenlignelige, idet sporstoffet på måledagen blev registreret i volt mens det udledte sporstof i MIKE 11 indsættes som koncentration. I det følgende er simulerede og målte værdier regnet sammenlignelige ved at fremstille dem som massekurver, hvor sporstofkoncentrationen i MIKE 11 er tilpasset således, at arealet under den simulerede og målte massekurve er ens. Massekurven angiver mængden af sporstof der har passeret målepunktet under det pågældende tidsskridt, i det videre vil massekurverne regnes enhedsløse. Der foretages simuleringer med to forskellige dispersionskoefficienter. Dels dispersionskoefficienten der er bestemt ud fra tyngdepunket og spredningen i mellem station A og B (D = 11,5 m 2 /s), samt den dispersionkoefficient der er fremkommet ved fitning af den analytiske løsning af advektion/dispersions ligningen i station A (D = 2,5 m 2 /s). Resultatet af sporstofmodelleringen ved station A og B, for D = 11,5 m 2 /s, er angivet på Figur 18 og 19 18
0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.000 11:10:00 3-9-2003 11:20:00 11:30:00 11:40:00 11:50:00 12:00:00 12:10:00 12:20:00 12:30:00 12:40:00 Figur 18 Målt (sort) og simuleret (blå) gennemstrømmet masse pr tidsskridt ved station B, D = 11,5 m 2 /s. 0.0010 0.0009 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0000 11:30:00 3-9-2003 12:00:00 12:30:00 13:00:00 13:30:00 14:00:00 14:30:00 15:00:00 15:30:00 16:00:00 Figur 19 Målt (sort) og simuleret (blå) gennemstrømmet masse pr tidsskridt ved station A, D = 11,5 m 2 /s. Som det fremgår af figur 18 og 19, gav den første simulering en dårlig sammenhæng mellem målte og modellerede værdier både i placering af tyngdepunktet og i spredningen. Den tidslige forskydning formodes at skyldes, at der ikke som antaget har været fuld opblanding fra start ved sporstofforsøget. Derved er det udkastede sporstof blevet transporteret med den relativt højere transporthastighed i 19
vandløbets midte ved overfladen. Desuden ses at den anvendte dispersionskoefficient på 11,5 m 2 /s er alt for stor, idet spredningen på de modellerede kurver er meget større end spredningen på de målte data. Derfor vælges at gennemføre en modellering med en dispersionskoefficient på 2,5 m 2 /s, jf. figur 20 og 21. 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.000 11:20:00 3-9-2003 11:40:00 12:00:00 12:20:00 12:40:00 13:00:00 13:20:00 13:40:00 Figur 20 Målt (sort) og simuleret (blå) gennemstrømmet masse pr tidsskridt ved station B, D = 2,5 m 2 /s. 0.0010 0.0009 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0000 11:30:00 3-9-2003 12:00:00 12:30:00 13:00:00 13:30:00 14:00:00 14:30:00 15:00:00 15:30:00 16:00:00 Figur 21 Målt (sort) og simuleret (blå) gennemstrømmet masse pr tidsskridt ved station A, D = 2,5 m 2 /s. 20
Igen ses det, at de modellerede massekurver stemmer dårligt overens med de målte værdier, på grund af tidsforskydningen som er et resultat af at hastighederne i målinger og model ikke er den samme. Som ventet ses det, at spredningen på de modellerede massekurver er blevet justeret ved at sænke dispersionskoefficienten, således er peakværdien er steget. For at belyse hvordan stoftransporten er opdelt i konvektiv og dispersiv transport er der i figur 22 udtrykket et eksempel på dette i station A. 0.000040 0.000035 0.000030 0.000025 0.000020 0.000015 0.000010 0.000005 0.000000 12:00:00 3-9-2003 13:00:00 14:00:00 15:00:00 16:00:00 Figur 22 Total (sort), konvektiv (blå) og dispersiv (rød) transport ved station A. Den dispersive transport ses at gå fra positive til negative værdier, som en følge af ændringen i koncentrationsgradienten. Som ventet ses den konvektive transport at være den dominerende transporttype i åen. Vurdering af resultater Som det fremgår af de ovenstående afsnit er der meget stor usikkerhed på fastsættelsen af den longitudinale dispersionskoefficient, og der kan ikke i denne vurdering gives en entydig værdi. Målingerne i station B er fundet mere eller mindre ubrugelige idet der er målt i en forholdsvis kort afstand fra ikastningsstedet og der heraf ikke har været fuld opblanding i åen. Dette understøttes af at der ikke fås den samme dispersionskoefficient i de to stationer, og heraf bliver dispersionskoefficienten beregnet på strækningen mellem station B og A ud fra tyngdepunktets beliggenhed og spredningen også fejlagtig, selvom at det var forventeligt usikkerhederne ville blive elimineret at ved at anvende to stationer til bestemmelsen af D. På baggrund af ovenstående er der i denne vurdering kun sammenlignet værdier i station A, jf. tabel 5 21
Den anden store usikkerhed i bestemmelsen af D er hvilken hastighed, der skal anvendes. Det har vist sig at strømningsmodellerne både i MatLab modellen (trapezmodellen) og i MIKE 11, hvor der regnes med strømning i hele vandløbets bredde, giver en alt for lille middelhastighed, og at de modellerede sporstofkurver heraf bliver tidsforskudt. Denne usikkerhed er elimineret ved at der i dødzonemodellen er reguleret på bredden af det område hvori strømningen foregår. På baggrund af dette er der desuden angivet i tabel 5, hvad middelhastigheden i station A er ved bestemmelsen af D Dispersionskoefficient i Station A [m 2 /s] Middelhastighed [m/s] Kommentar Fitning af analytisk løsning 2,5 0,14 Forholdsvist godt fit Beregning ud fra tyngdepunktets beliggenhed og spredningen MatLab-model (Trapezmodellen) 10,1 - Bestemt statistisk uden brug af middelhastigheden 0,45 0,08 Modelleret graf er tidsforskudt i forhold til den målte 2,2 0,14 Forholdsvist godt fit MatLab-model (Dødzonemodel uden udvekslingsvandføring) MatLab-model (Dødzonemodel med 1,5 0,14 Forholdsvist godt fit udvekslingsvandføring) MIKE 11 (Opsætningen hvor der 2,5 0,09 Modelleret graf er anvendes den D der fundet ud fra tidsforskudt i forhold til den den analytiske løsning) målte Tabel 5 Resultater af bestemmelsen af den longitudinale dispersionskoefficient. Det vurderes ud fra tabellen at den bedste bestemmelse af D, fås i MatLab modellen hvor dødzonerne implementeres, hvilket også er som forventet, da der langt fra forekommer strømning i hele åens tværsnit. Det konkluderes, at anvendelse af MatLab-modellen med dødzoner giver en bedre beskrivelse af den aktuelle situation end i MIKE 11. Hvad angår modelkompleksitet er det fundet, at det ikke øger modellens præcision, hvis udveksling til dødzonerne medtages 22
Modelsammenligning I det følgende er der foretaget en sammenligning af trapezmodellen i MatLab og MIKE 11-modellen for at vurdere om de to modeller modellerer ens under de samme forudsætninger. Der er i begge modeller modelleret med samme hydrauliske forudsætninger, samt en dispersionskoefficient på 2,5 m 2 /s. Resultatet ses af figur 23. Figur 23 Resultat af modellering ved station A under samme forudsætninger i MatLab-modellen og i MIKE 11-modellen. R 2 =0,995. Det ses ud fra figur 23, at der er en lille forskel på modelleringen af koncentrationsforløbet i de to modeller. Der kan være flere grunde til forskellen, blandt andet i selve beregningsmetoderne for hhv. strømningsmodel og stoftransportmodel. Strømningsmodellen i MIKE 11 anvender en fuldt implicit løsning af Saint Venant ligningerne vha. et Abbot Ionescu løsnings skema, hvorimod projektgruppens egen model bygger på beregning af naturlig dybde i vandløbets længderetning ud fra Manningformlen. Alene denne forskel kan give anledning til forskel i beregning af middelhastigheden, dog er dette ikke undersøgt yderligere her. 23
Stoftransportmodellen i MIKE 11 anvender en implicit central finite differens løsning af advektion/dispersions ligningen i tid og sted, hvorimod MatLab-modellen løser samme ligning vha. Forward Time Central Space skemaet, der løses eksplicit. Der er mulighed for at denne forholdsvise simple løsning kan generere numerisk dispersion, som MIKE 11 modellen burde være fri for, idet der anvendes en implicit løsning af advektion/dispersions ligningen. Den udførte kontrol af MatLabmodellens stoftransportmodul har dog sandsynliggjort, at denne regner korrekt og dermed fri for numerisk dispersion. Middelhastigheden i MatLab-modellen er ca. 2 % mindre end i MIKE 11. Anvendes MIKE11- hastigheden i MatLab-modellen kan de to kurver bringes til bedre fit med en korrelation på R 2 = 0,999. Af denne grund og udfra ovenstående betragtninger konkluderes, at forskellen mellem modellernes resultater må tilskrives forskellen i strømningsmodellerne, og at stoftransportmodellerne giver stort set ens resultater. Det konkluderes yderligere, at fejlen ved at benytte en meget simpel strømningsmodel i dette tilfælde kun giver anledning til en lille fejl. 24