Dokumentation - Del 2 - Måling og modellering af vand- og stoftransport i grundvandsstrømninger

Transkript

1 Dokumentation - Del 2 - Måling og modellering af vand- og stoftransport i grundvandsstrømninger Opsætning af vandtransportmodel I dette afsnit beskrives grundlæggende teori og anvendt metode til modellering af den 2- dimensionelle vandtransport i sandkassen i Del 2. Vandtransporten modelleres ved implicit finit differens approksimation af Richards ligning. Trykniveauer i diskretiserede bokse udregnes implicit ved hjælp af flux- og massebalancebetragtninger. Diskretisering og randbetingelser Sandkassen diskretiseres i længde (x) og højde (z), som vist på figur a. Øvre og nedre rand forudsættes impermeable, dvs. at bokskanterne op mod disse defineres som nul-flux rande. Højre og venstre rand er indlagt som boks-knudepunkter, det er muligt at definere trykniveauet i de tilstødende vandkamre som randbetingelse. figur b viser ledes fluxe og konduktiviteter defineres i forhold til den enkelte boks (i,j). Figur a og b. Diskretisering af sandkassen i længde (x) og højde (z). I og J er antallet af h- punkter i hhv. x- og z-retningen. Øvre og nedre rand defineres som nul-flux rande, og højre og venstre rand defineres som h-rande, tilsvarende trykniveauet i de tilstødende vandkamre. Notationer for boksen markeret med fed er vist i forstørrelsen på figur b. vx i,j og vz i,j er Darcyhastigheder ud af boks (i,j) i hhv. x- og z-retning. KI i,j og KJ i,j er hydrauliske ledningsevner på boksgrænserne tilstødende boks (i,j) i hhv. positiv x- og z-retning. Randbetingelserne ved højre og venstre rand er skitseret på figur 2. Trykniveauerne langs randen er bestemt ved relationen h = z + ψ således, at der bliver konstant trykniveau fra bund til vandoverflade, samt at h = z over vandoverfladen, idet ψ her er 0.

2 Figur 2. Randbetingelse ved højre og venstre rand. Der er konstant trykniveau (z vs ) fra kammerets bund op til vandoverfladen. Derover er trykniveauet lig højden over bunden. Begyndelsesbetingelser Vandstanden holdes konstant i de to sidekamre gennem hele modelleringen. Der trækkes en imaginær linje fra vandspejlet i det ene kammer til vandspejlet i det andet. Som begyndelsesbetingelse sættes vandindholdet til mætning i boksene under denne linje og til markkapacitet i boksene over linjen. Fluxligning Fluxen mellem de enkelte bokse regnes ved Darcyligningen, hvilket i x-retningen er givet ved. formel, notationer jf. figur b. h h i+,j h i,j vx i, j = KIi, j = KIi,j () x x vx i,j : Darcyhastighed i x-retningen [cm/h] KI i,j : Hydraulisk ledningsevne i grænselag mellem boks (i,j) og (i+,j) [cm/h] (formel 2) h: Trykniveau i aktuel boks [cm] x: Stedsskridt i x-retningen [cm] Beregning af hastighed i z-retningen foregår tilsvarende. Hydraulisk ledningsevne på grænselaget mellem to bokse regnes som et harmonisk gennemsnit mellem de hydrauliske ledningsevner i de tilstødende bokse, jf. formel 2. 2 K i, j K i+, KIi, j = (2) K i, j + K i+, j Massebalance j Den overordnede massebalance pr. bredde-enhed for den enkelte boks er givet ved formel 3. 2

3 (3) mind m ud = m m ind : Vandmængde tilført boks [cm 2 /h] m ud : Vandmængde transporteret ud af boks [cm 2 /h] m: Tilvækst i vandmængde [cm 2 /h] (formel 4) m ind og m ud er givet ved udtryk af formen Darcyhastighed ganget med gennemstrømmet areal. Et eksempel herpå er givet i formel 4, som udtrykker transport ud af boks (i,j) i x-retningen. (4) m ud,x (i, j) = vx i, j z = KI i, j h n+ i+, j x h n+ i, j z z: Stedsskridt i z-retning [cm] n: Aktuelt tidsskridt I denne forbindelse letter det overblikket at indføre størrelsen konduktansen, C, som i x-retningen er givet ved formel 5. z CIi, j = KIi, j (5) x Tilsvarende udledes CJ i z-retningen. Dermed kan m ind og m ud udtrykkes på formen led ind i boksen og 2 led ud af boksen). C i, h j n+ (2 Tilvæksten i vandmængde er givet ved tilvæksten i volumetrisk vandindhold gange boksrumfanget, jf. formel 6. (6) θ m = x z t = h θ t ψ x z h h n + n+ n n+ i, j i, j = t θ ψ x z t: n ψ θ + Tidsskridts længde [h] : Gradient på retentionskurve til tidsskridtet n+ [(cm H 2 0) - ] Løsning af ligningssystem Massebalancen i formel 3 opstilles for hver boks (undtagen bokse med h-randbetingelser). Dette giver et ligningssystem på (I-2) J ligninger, med tilsvarende antal ubekendte. Alle led med kendte h- værdier - dvs. h-værdier til kendt tidsskridt samt randbetingelser samles på højresiden, og ligningssystemet løses for at bestemme h-værdier til ukendt tidsskridt. Ligningssystemet er på formen vist i formel 7. (7) coeff h = b 3

4 coeff : Koefficientmatrix til ukendt tidsskridt. Dimension (I-2) J (I-2) J h : b : Vektor med h-værdier til ukendt tidsskridt. Længde (I-2) J Kendt-værdi vektor. Længde (I-2) J Ligningssystemet løses ved matrix-left-division i MatLab, ved b ganges med den inverse matrix til coeff, og h bestemmes. Når h er bestemt kan ψ bestemmes ud fra relationen h = z + ψ, og θ kan beregnes ud fra figur 3, som omtales senere. Bestemmelse af retentionskurve-gradient n θ + Det er ikke muligt umiddelbart at bestemme ψ retentionskurve-gradienten i formel 7, da den skal bestemmes til det ukendte tidsskridt (n+). Desuden bestemmes størrelsen forskelligt, afhængigt af om der er mættede eller umættede forhold. Efterfølgende udledes en procedure til bestemmelse af gradienten. Denne består dels af en metode til bestemmelse af gradient til kendt tidsskridt, og dels af en metode til iteration af gradient til ukendt tidsskridt. Bestemmelse af gradient til kendt tidsskridt I den umættede zone ved poreundertryk mellem pf og pf 3 forudsættes det, at gradienten kan beregnes ved et Campbell-udtryk, jf. formel 8 (som er en differentiering af formel 2.7 i Loll og Moldrup, 2000). ψ e θs ψ = (8) dψ umættet ψ b b θ S : Volumetrisk vandindhold ved mætning [cm 3 /cm 3 ] ψ e : Porevandspotentiale ved air entry [cm H 2 O] ψ: Aktuelt porevandspotentiale [cm H 2 O] b: Campbell b [-] I den mættede zone regnes gradienten lig den specifikke magasinkoefficient S S, som udtrykker mængden af frigivet vand som følge af en sænkning af trykniveauet på m. Det var meningen, at gradienten i et ψ-interval omkring overgangen fra mættet til umættet zone skulle beregnes som en glidende overgang mellem mættede og umættede gradienter. Dette giver dog fejl i gradient-beregningen. En forklaring på dette findes her. I stedet defineres overgangen mellem mættet og umættet zone at gå skarpt ved ψ e. Ved ψ lavere end denne værdi (umættet zone) regnes gradienten ved formel 6, og ved højere ψ (mættet zone) regnes gradienten lig S S. Dette er skitseret på Figur 3. 4

5 Figur 3. Bestemmelse af gradienten i hhv. mættet og umættet zone. I kapillarzonen regnes gradienten som i den mættede zone. Iteration af gradient til ukendt tidsskridt Når gradienten til ukendt tidsskridt skal bestemmes gættes først på at den har værdien i kendt tidsskridt,, efter ligningssystemet (7) løses. Dette giver nogle midlertidige værdier af θ og ψ til tidsskridtet n+. Ud fra disse kan en midlertidig beregnes. Denne gradient sammenlignes med den gættede gradient i alle bokse, og hvis den mindst én boks afviger mere end en bestemt afskæringsværdi, gennemregnes ligningssystemet igen med den nye gradient. Denne iteration fortsætter indtil forskellen mellem gættet og beregnet gradient i alle bokse er under afskæringsværdien. Afskæringsværdien er sat til 0-7 (cm H 2 0) -. 5

6 Forsøg på glidende overgang mellem gradient i mættet og umættet zone θ Som omtalt er det forsøgt at lave en glidende overgang af gradienten ψ mellem mættet og umættet zone, men dette giver forkerte gradienter i overgangszonen. I dette afsnit forklares for. Konstruktion af glidende overgang Ideen er at udtrykke gradienten ved et Campbell udtryk i den umættede zone ved poretryk op til 2 ψ e, og ved poretryk over 0 cm H 2 0 sættes gradienten til den specifikke magasinkoefficient S S, der gælder i den mættede zone. I overgangszonen mellem poretrykkene 2 ψ e og 0 cm H 2 0 er ønsket at lave en glidende overgang mellem de to måder at beregne gradienten. Dette er skitseret på figur. θ Figur. Bestemmelse af gradienten ψ zone ved ψ = 0. med glidende overgang fra umættet zone ved 2 ψ e til mættet Gradienten i overgangszonen bestemmes ved formel, som er udledt til at give en glidende overgang mellem ψ = 2 ψ e og ψ = 0 cm H 2 0. dψ 2 ψ e + ψ = 2 ψ dψ 2 ψ e + ψ + 2 ψ () vægtet e mættet e umættet dψ vægtet : Vægtet gradient i overgangszonen [(cm H 2 0) - ] ψ e : Porevandspotentiale ved air entry [cm H 2 0] ψ: Aktuelt porevandspotentiale i overgangszonen [cm H 2 0] dψ 6

7 dψ mættet dψ umættet : Mættet zone gradient ved aktuelt poretryk ψ [(cm H 2 0) - ] : Umættet zone gradient ved aktuelt poretryk ψ [(cm H 2 0) - ] Gradienterne i hhv. mættet og umættet zone er givet ved formel 2 og 3, formel 2 er en differentiering af den generelle Campbell-formel [Loll & Moldrup, 2000]. ψ e θs ψ = (2) dψ umættet ψ b b θ S : Volumetrisk vandindhold ved mætning [cm 3 /cm 3 ] ψ e : Porevandspotentiale ved air entry [cm H 2 O] ψ: Aktuelt porevandspotentiale [cm H 2 O] b: Campbell b [-] (3) dψ mættet = S S S S : Specifik magasinkoefficient [cm - ] I formel bliver den vægtede gradient lig umættet zone gradienten ved ψ = 2 ψ e og lig mættet zone gradienten ved ψ = 0, så overgangskurven skaber en kontinuert overgang fra kurven i umættet zone til kurven i mættet zone. Imidlertid viser det sig, at der ikke forekommer glidende overgang mellem gradienterne i de to zoner ved anvendelse af formel. Det skyldes, at på Campbell-kurven (Figur ) går θ mod uendelig når ψ går mod 0, hvilket skaber kurvegradienter, der også går mod uendelig, som det er vist på Figur 2 med stiplet linje. Derfor får også den vægtede gradient et urealistisk forløb (fuldt optrukken linje på Figur 2), idet Campbell-gradienten selv ved ψ tæt ved 0 bliver altdominerende i forhold til den mættede gradient. Derfor må den glidende gradient-metode forkastes til bestemmelse af gradienten i overgangszonen. Strengt taget er det heller ikke korrekt at anvende et Campbell-udtryk ved porevandspotentialer højere end -0 cm (dvs. ved pf mindre end ), da det ikke er defineret i det område [Loll & Moldrup, 2000]. 7

8 θ ψ Figur 2. Gradienten som funktion af ψ i baskarpsand. Både gradienten regnet via Campbellformlen (formel 2) og den vægtede gradient (formel ) er vist. Bemærk at negative værdier af ψ er angivet på ordinaten. Alternativ løsning på gradienten i overgangszonen Da det ikke har været muligt at konstruere en glidende overgang mellem gradienterne i mættet og umættet zone er det i stedet valgt at lave en skarp overgang mellem de to gradienter ved ψ e, som vist på Figur 3. Dermed forudsættes gradienten at kunne beregnes under mættet-zone forhold i den mættede zone og i kapillarzonen, mens den regnes ved Campbell-udtryk i den umættede zone over kapillarzonen. 8

9 Figur 3. Skarp overgang mellem mættet og umættet zone gradienter ved ψ e. 9

10 Metoder til bestemmelse af hastighedsfelt i partikelsporingsmodel Forskellige metoder kan tages i anvendelse, når hastighedsfeltet for partiklerne skal bestemmes i PT-modellen i Del 2. I dette projekt er eksperimenteret med to metoder. Den første er en avanceret metode, hastigheden i et vilkårligt punkt regnes som vægtede middelværdier af omkringliggende hastigheder beregnet i HD-modellen (link). Ved den anden mere simple metode beregnes middelhastigheder for hver af de beregningsmæssige bokse i modellen. Efterfølgende gennemgås hver af de to metoder. Metode. Individuelle hastigheder beregnet ud fra partiklers position Dette er den mest avancerede metode. Hastigheden i hhv. x- og z-retningen beregnes i et vilkårligt punkt ud fra en vægtning mellem de fire omkringliggende hastighedsvektorer fra HD-modellen, i hhv. x- og z-retningen, som skitseret på figur. En partikel befinder sig i øvre højre hjørne af boks (i,j). Afstandene ax, az, bx og bz beregnes ud fra partiklens position (xpos,zpos), størrelsen af i og j, samt i hvilket hjørne af boksen partiklen befinder sig. Faktorerne normeres i forhold til x og z, så de har værdier mellem 0 og. Faktorerne bruges til individuel vægtning af de fire omkringliggende x-hastigheder (vandrette pile) og de fire omkringliggende z-hastigheder (lodrette pile). Figur. Bestemmelse af indgående hastighedsvektorer og vægtningsfaktorer ved beregning af hastigheder i vilkårlige punkter. En partikel befinder sig i øvre højre hjørne af boks (i,j). 0

11 På figur bestemmes x-komposanten af partiklens hastighed, ux p, ved formel. z-komposanten udregnes på tilsvarende måde. () ux p = ax bx ux j + ax ( bx) ux i, i, j+ + ( ax) bx ux i, j + ( ax) ( bx) ux i, j+ Hvilke fire hastighedsvektorer der indgår til bestemmelse af partiklens hastighed er afhængig af partiklen befinder sig indenfor den enkelte boks. På Figur 2 er partiklen flyttet fra øvre højre hjørne (placeringen på Figur ) til nederste venstre hjørne og det ses, at de indgående hastighedsvektorer i både x- og z-retning er udskiftede, samtidig med at vægtningsfaktorerne nu skal udregnes på anden måde. Figur 2. Bestemmelse af indgående hastighedsvektorer og vægtningsfaktorer ved beregning af hastigheder i vilkårlige punkter. En partikel befinder sig i nedre venstre hjørne af boks (i,j). Det har vist sig meget besværligt praktisk at opstille en model, der kan tage højde for partiklens position indenfor boksen, beregne a- b-faktorerne rigtigt, vægte de rigtige hastighedsvektorer, samt tage højde for randeffekter. Efter en del arbejde er dette ikke lykkedes. Derfor er Metode blevet opgivet til fordel for den mere simple Metode 2, omtalt efterfølgende. Metode 2. Middelhastigheder i hver boks I denne model beregnes én værdi for hastigheden i hver boks, og uafhængigt af en partikel befinder sig indenfor boksen vil den have denne hastighed til sin næste konvektive flytning.

12 Middelhastigheden i boksen beregnes ud fra 6 omkringliggende hastighedsvektorer fra HDmodellen, som vist på figur 3. Figur 3. Indgående hastighedsvektorer ved bestemmelse af middelhastigheder i boks (i,j) x-komposanten af hastigheden af en partikel der befinder sig i boks (i,j) beregnes ud fra de 6 viste vandrette vektorer, og tilsvarende med de lodrette vektorer for z-komposanten. De tynde pile angiver, at disse vektorer får vægtningsfaktoren og de tykke vægtningsfaktoren 2. x-komposanten af hastigheden i boks (i,j) regnes dermed ved formel 2. z-komposanten regnes tilsvarende. 2 ux 2 ux ux ux ux ux boks i, j + i, j + i, j + i, j + i, j+ + ux i, j = (2) 8 Ved randene udelades de vektorer der måtte befinde sig udenfor randen i vægtningen. Denne metode har vist sig hensigtsmæssig til programmering, da det er forholdsvist simpelt at beregne boksenes middelhastigheder og for hver partikel at bestemme hvilken boks den befinder sig i til det enkelte tidsskridt. Desuden kan fejlen ved at benytte middelhastigheder minimeres ved at anvende en fin-diskretiseret model. Af disse grunde er det valgt at benytte Metode 2 i modellen. i, j+ 2

13 Opstilling af partikelspredningsmodeller Der opstilles partikelspredningsmodeller (PT-modeller) for både grundvandsstrømningen i sandkassen i Del 2 samt for kanalstrømningen i Del 3. I dette afsnit redegøres for den grundlæggende teori og metode for PT-modellerne. I de enkelte delprojekter forklares dan metoden implementeres i de konkrete tilfælde Teoretisk grundlag I en strømning transporteres partikler dels ved konvektion, dels ved diffusion/dispersion, og desuden ved gravitation, hvis densiteten af partiklerne er forskellig fra densiteten af det flydende medium. PT-modellerne opstilles som eksplicitte numeriske modeller med fast diskretisering i tid. Transport ved konvektion og gravitation bestemmes som produktet af hastighed og tidsskridt, mens den diffusive/dispersive transport bestemmes ved en random walk-metode [Jensen og Jensen, 995]. Hverken modellen i Del 2 eller Del 3 regner med retardation, da en sådan ikke forekommer i de tilhørende forsøg. Transporten i de tre retninger x (længderetning), y (bredde-retning) og z (lodret retning) bestemmes ved formel -3. I Del 3 er der dog byttet om på y- og z-aksen. x = u t + 2 D xx t r + 2 D xy t r2 + 2 D xz t r3 () y = v t + 2 D (2) yy t r4 + 2 D yx t r5 + 2 D yz t r6 (3) z = w t + 2 D zz t r D zx t r D zy t r 9 + w s t x: Transport i x-retningen [m] y: Transport i y-retningen [m] z: Transport i z-retningen [m] u: Vandhastighed i x-retningen [m/s] v: Vandhastighed i y-retningen [m/s] w: Vandhastighed i z-retningen [m/s] t: Tidsskridt [s] D ij : Diffusions/dispersionskoefficient i i-retningen forårsaget af strømning i j-retningen [m 2 /s] r i : Tilfældige, uafhængige standardnormalfordelte tal w s : Sedimentationshastighed [m/s] I formel er størrelserne D xy og D xz meget små i forhold til D xx, og derfor antages bidragene fra disse at kunne negligeres, og de to sidste diffusion/dispersionsled medtages ikke i beregningerne. Tilsvarende gør sig gældende for formel 2 og 3. Da random walk modellen modellerer statistisk kræves et forholdsvist stort antal partikler for at modellens resultater bliver pålidelige. Dette kontrolleres ved at undersøge resultaternes stabilitet ved flere modelkørsler. 3

14 Metode Partikelspredningen modelleres ved eksplicit finit differens, med formel -3 som de styrende ligninger. Efterfølgende forklares den generelle procedure for modelleringen. Først defineres den geometri, indenfor hvilken PT-modellen skal virke. Som vist i ovenstående afsnit bygger PT-modellen på et eksisterende hastighedsfelt beregnet af en anden model (i Del 2 beregnes hastighedsfeltet af den opstillede 2D grundvandsmodel og i Del 3 af CFX). Dette hastighedsfelt hentes ind i modellen. Variationen af dispersionskoefficienterne indenfor modellens rammer defineres efterfølgende. Disse kan enten have en fast værdi eller variere i rummet. Det defineres mange partikler der skal modelleres, og de skal starte i den opstillede geometri. Hastighedskomposanter og dispersionskoefficienter bestemmes for den enkelte partikel ud fra dens position i hastighedsfeltet og indenfor eventuel variation af dispersionskoefficienter. Den praktiske metode til denne bestemmelse er forskellig i Del 2 og 3, og forklares i de individuelle afsnit. Herefter flyttes partiklen ved formel -3. Hvis flytningen vil forårsage, at partiklen falder udenfor modellens geometri, tages forholdsregler mod dette. Sådanne forholdsregler kan være at bevare partiklen umiddelbart indenfor randen eller at lade den prelle af mod randen, afhængig af de fysiske forhold ved randen. F.eks. vil det være mest realistisk at bevare en partikel der vil bevæge sig over en vandspejls-rand umiddelbart indenfor randen, mens en partikel der rammer en glat væg i en kanalstrømning vil have tendens til at prelle af. Hastighedskomposanter og dispersionskoefficienter bestemmes til det nye sted, og flytningsproceduren gentager sig, og så videre indtil et stopkriterium for partiklen mødes. I Del 2 er stopkriteriet at partiklen er kommet gennem sandkassen, og i Del 3 at den er sedimenteret. Når modelleringen foretages for et stort antal partikler kan efterfølgende foretages statistisk analyse af resultaterne. 4

15 Kontrol af numerisk PT-model for sandkasse I dette afsnit undersøges om den numeriske PT-model for sandkassen regner korrekt i forhold til den -dimensionelle analytiske løsning for gennembrudskoncentration, som er bestemt her. PTmodellen justeres til at køre under de samme forudsætninger som den analytiske løsning, efter den skal give samme gennembrudskurve som den analytiske løsning, hvis den regner korrekt. Løsningsmetodernes forudsætninger Forudsætningerne for brug af den analytiske løsning ses efterfølgende, sammenlignet med den fulde PT-model for sandkassen. Konvektion (dimensioner) Konvektion (rumlig variation) Analytisk løsning Fuld PT-model -dimensionel (x-retning) 2-dimensionel (x- og z- retning) Middelværdi for x- Diskrete værdier af x- og hastighed ( u ) i hele z-hastigheder i hver boks. sandkassen. u = 3, m/s Dispersion (dimensioner) -dimensionel (x-retning) 2-dimensionel (longitudinal og transversal dispersion i x- z planen) Dispersion (rumlig variation) Middelværdi af D x i hele sandkassen. D x = 0,42 cm 2 /min Tabel. Forudsætninger for hhv. analytisk løsning og fuld PT-model. Justering af PT-model til sammenligning D x fra analytisk løsning anvendes som longitudinal D (D l ) i hele sandkassen, mens den transversale D (D t ) regnes som 50 Da forudsætningerne for den analytiske løsning og PT-modellen jf. Tabel ikke er ens, er deres resultater ikke umiddelbart sammenlignelige. Derfor simplificeres PT-modellen i denne undersøgelse, så dens forudsætninger stemmer overens med den analytiske løsning. Dette gøres ved at sætte alle z-hastigheder til 0 og sætte alle x-hastigheder til beregnet i den analytiske løsning, og desuden kun at regne longitudinal dispersion i x-retningen med dispersionskoefficienten D x fra den analytiske løsning. D l Model-sammenligning Den simplificerede PT-model gennemkøres og den resulterende gennembrudskurve sammenlignes med den analytiske løsningskurve for de målte gennembrudskoncentrationer til højre sidekammer. Kurverne er optegnet på Figur, af hvilken det ses, at den modellerede kurve og den analytiske 5

16 løsningskurve er sammenfaldende. Hermed er det sandsynliggjort, at PT-modellen regner korrekt under de givne forudsætninger. Figur. Modelleret gennembrudskoncentration sammenlignet med måledata med fittet analytisk løsningskurve. 6