Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position, bevægelsesmængde og energi er angivet i hhv. udtryk (3.21), (3.22) og (4.3). Disse operatorrepræsentanter bruges til at afkode information om den pågældende observabel, idet forventningsværdien for en observabel O for en kvantepartikel i en kvantetilstand ψ er givet ved udtryk (3.20) eller (3.25). Som vist for energien i KM4 s. 4 opnås altid den samme værdi O, hvis den pågældende observabel måles for en kvantepartikel, der er i en egentilstand ψ O for Ô ( Oˆ ψo OψO ) =. I en egentilstand for en observabel O er denne bevægelsesegenskab således veldefineret. I KM4 s. 2-3 blev det vist, at for et tidsuafhængigt potential som i udtryk (4.7) er egentilstandene for energien separable i r og t, jf. udtryk (4.11). Endvidere udgør egentilstandene for et systems Hamiltonoperator et fuldstændigt sæt, sådan at en vilkårlig tilstand kan skrives som i udtryk (4.14), eller evt. som i udtryk (4.16), hvis energispektret er diskret/kvantiseret. I den forbindelse er 2 n c og ce ( ) 2 de hhv. sandsynligheden for at måle den kvantiserede energi E EE ; + de. E n og sandsynligheden for at måle en energi i intervallet
Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter Alle operatorrepræsentanter Ô har flg. egenskaber: Ô er lineær: ( ) Oc ˆ ψ + cψ = coˆψ + côψ. (8.1) 1 1 2 2 1 1 2 2 Som det f.eks. fremgår af opg. M, er operatorrepræsentanternes linearitet en nødvendig forudsætning for at kunne bringe superpositionsprincippet i anvendelse. Ô er Hermitisk : Til en operator Ô 1 hører en Hermitisk konjugeret operator Ô, der opfylder ψ1 ( Oˆ ψ ˆ 2 ) ( ψ1 O ) ψ2, (8.2) svarende til * ( ) ( ) ψ rto, ψ rtdr, Oψ rt, ψ rtdr, 3. (8.3) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) * 3 3 1 2 3 1 2 En operator er Hermitisk, hvis den er sin egen Hermitisk konjugerede 2 : 3 ˆ ˆ O= O. (8.4) 1 Svarende til at der til ethvert komplekst tal hører en kompleks konjugeret. 2 Svarende til at et komplekst tal er reelt, hvis det er sin egen kompleks konjugerede. 3 For en Hermitisk operator er udtrykket Ô Ô 1 2 virker mod højre på ket en eller mod venstre på bra en. ψ ψ således utvetydigt, idet det betyder det samme, hvad enten Ô
Kvantemekanik 8 Side 3 af 10 Som det fremgår af nedenstående, er operatorrepræsentanter nødvendigvis Hermitiske, idet deres målbare egenværdier O ellers ikke ville være reelle: idet ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) O= O = O = O = O ψ * O ψo ψo ψo ψo ψo ψo ψ O = O *, ψ O Oˆ (8.5) * = ψo O (8.6) er den komplekskonjugerede version af egenværdiligningen for O ˆ. Egentilstandene for O ˆ er separable i r og t og udgør et fuldstændigt sæt 4 : ψ rt, = T tφ r, (8.7) ( ) ( ) ( ) O O O sådan at man ved at lade den tidsafhængige del indgå i udviklingskoefficienterne 5 får 6 ψ φ φ. (8.8) ( rt, ) cot (, ) ( r) do cn( t) n( r) = O + n Fuldstændigheden af O s egentilstande er en nødvendig betingelse for, at måling af O er beskrevet ved veldefinerede sandsynligheder, der som bekendt er givet ved (, ) 2 cot do og c () t 2. n 4 For systemer med tidsuafhængige potentialer kan alle løsninger til Schrödingerligningen i udtryk (4.5), og herunder således også egentilstande for O, skrives i 2 3 ˆ Ht i 1 1 (, ) (,0) 1 ˆ i ˆ i ψ r t = e ψ r = Ht + Ht + Ht ˆ + ψ ( r,0), 2 6 der for ψ ( r,0) = φe ( r) reducerer til udtryk (4.11). 5 c( O, t) c( O) T( t), c( t) c T( t) = =. O n n n 6 Denne måde at skrive overlejringen på er helt generel, idet en evt. kvantiseret del af egenværdispektret blot er skilt ud fra den kontinuerte del. Dette vil være praktisk for f.eks. et atom eller en kvantebrønd som den i opg. F, hvor energiegenværdispektret er diskret for de bundne tilstande med E < 0 og kontinuert for de frie/ioniserede tilstande med E > 0.
Kvantemekanik 8 Side 4 af 10 Egentilstandene for enhver operatorrepræsentant Ô er som tidligere nævnt de tilstande, hvori man vil måle det samme - nemlig den til egentilstanden hørende egenværdi - hver gang, man måler den bevægelsesegenskab, som Ô repræsenterer. En vilkårlig tilstand er en overlejring af egentilstandene, hvorfor egenværdierne således udgør de måleresultater, der kan opnås.
Kvantemekanik 8 Side 5 af 10 Egentilstande for positionen Egenværdiligningen for positionen er givet ved r φ r = r φ r (8.9) eller jf. udtryk (3.21) ( ) ( ) ˆ r 0 0 r 0 r φ r r r. (8.10) ( ) = φ ( ) r0 0 r0 Løsningen til udtryk (8.10) er φ r ( r) = δ ( r r ) 0 0, (8.11) idet deltafunktionen indsat giver r 0= r0 0 for r r0 r δ 0 = r δ 0 for r = r. 0 og ( ) ( ) 0 0 Da egentilstandene for observablen r udgør et fuldstændigt sæt, og da egenværdierne er kontinuerte, fås ifølge udtryk (8.8): 3 3 ψ ( rt, ) = cr 3 ( 0, t) φ r ( r) dr 3 ( ) ( ) 0 0 = cr0, tδ r r0 dr = crt,. ( ) 0 (8.12) Den vægt crt (, ), hvormed egentilstanden for positionen med tilhørende egenværdi indgår i en vilkårlig tilstand ψ ( rt, ), er således bølgefunktionen ( rt, ) svarende til at sandsynligheden crt (, ) 2 dv ψ r selv, for at få en realisation af positionen i rumfanget dv omkring egenværdien r jo netop er det samme som sandsynligheden ψ dvfor at måle en position i rumfanget dv omkring punktet r. ( rt, ) 2
Kvantemekanik 8 Side 6 af 10 Kommutatorer I henhold til usikkerhedsrelationen fra udtryk (1.17) kan det ikke lade sig gøre samtidigt at bestemme x og p x med vilkårlig stor nøjagtighed. Noget helt tilsvarende gælder for y- og z-komposanterne, og derfor siges positionen r og bevægelsesmængden p at være ikke-kompatible observable, idet kompatibel i denne sammenhæng således betyder samtidigt målbar. Om to observable A og B er kompatible afgøres af den såkaldte kommutator 7 Aˆ, Bˆ AB ˆ ˆ BA ˆˆ, (8.13) idet to observable er kompatible, hvis deres kommutatorrelation er nul: AB ˆ, ˆ 0 =, (8.14) hvilket vil sige at den rækkefølge, hvormed  og ˆB virker, er ligegyldig 8 : AB ˆ ˆ = BA ˆˆ. (8.15) 7 Bemærk, at en kommutator således er en operator. 8  og ˆB siges i så fald at kommutere.
Kvantemekanik 8 Side 7 af 10 Da og dermed ψ xp ˆˆ xψ ( x, t ) = x, i x ψ px ˆx ˆ ψ ( xt, ) = ( xψ ) = ψ + x, i x i i x ψ ψ xp ˆ, ˆx ψ = ( xp ˆˆx px ˆxˆ) ψ = x ψ x i x + i i x = ψ i er kommutatorrelationen for x og p x således (8.16) (8.17) svarende til at x og p x er ikke-kompatible. 9 xˆ, pˆx = i, (8.18) Antag for et øjeblik, at der findes en bølgefunktion, der er samtidig egenfunktion for såvel x som p x : xˆ φ = xφ, x0p0 0 x0p0 pˆ φ = pφ. x xp 0 0 0 xp 0 0 En kvantepartikel kendetegnet ved x p ( x) har netop bevægelsesmængden p 0. Men ifølge udtryk (8.18), (8.13) og (8.19) er i så fald 0 0 (8.19) φ befinder sig således i netop punktet x 0 og iφ = xˆ, pˆ φ = xp ˆˆ φ pˆ xˆφ = xp ˆ φ pˆ xφ = px 0ˆφx0p xp 0 0ˆxφx0p = px 0 0 0φx0p xp 0 0 0φx0p0 = 0, x0p0 x x0p0 x x0p0 x x0p0 0 x0p0 x 0 x0p0 (8.20) svarende til at en sådan kvantepartikel, for hvilken position og bevægelsesmængde er samtidigt målbare, ikke kan eksistere. 9 Bemærk, hvordan den klassiske kompatibilitet fås for h 0.
Kvantemekanik 8 Side 8 af 10 Generelt er således Aˆ, Bˆ φab = ABφAB BAφ BA 0 =, (8.21) svarende til at kommutatoren enten er nul (A og B kompatible), eller at φ AB = 0 (A og B ikke-kompatible). Kun for kompatible/samtidigt målbare observable, hvis kommutator er nul, eksisterer 10 der således et fuldstændigt sæt af samtidige/sammenfaldende egentilstande, og i sådan en egentilstand φ AB vil man således måle netop A, hvis man måler observablen A, og netop B, hvis man måler observablen B. 11 Ifølge opg. P er xy ˆ, ˆ xp ˆ, ˆz yp ˆ, ˆz = = = 0, (8.22) og der findes således et fuldstændigt sæt af samtidige egentilstande for f.eks. x, y og p z. 10 Ifølge opg. 7.2 kan der således godt findes egentilstande for en observabel A, der ikke samtidig er egentilstande for en hermed kompatibel observabel B. 11 Bemærk, at der bruges samme notation for en observabel, f.eks. energien E, som for en egenværdi for denne observabel, f.eks. egenværdien E.
Kvantemekanik 8 Side 9 af 10 Usikkerhedsrelationen Ved sammenligning af udtryk (8.18) med udtryk (1.17) ses, at usikkerhedsrelationen for x og eftersom p x kan skrives ΔΔ 1 x px xˆ, pˆx 2, (8.23) i = ψ iψ = i ψ ψ = i. (8.24) Udtryk (8.23) kan vises at gælde for alle observable: Δ 1 A Δ B Aˆ, Bˆ 2. (8.25) Samtidig målbarhed svarer til ΔAΔB 0, hvilket således ifølge udtryk (8.25) er opfyldt for AB ˆ, ˆ 0. =
Kvantemekanik 8 Side 10 af 10 Bevægelseskonstanter Ifølge udtryk (3.25) er d O d ˆ ˆ ˆ O O ψ O Oˆ ψ = ψ ψ = ψ + ψ ψ + ψ. dt dt t t t Ifølge Schrödingerligningen i udtryk (4.5) er ψ = 1 Hˆ ψ, t i (8.26) (8.27) og tilsvarende, da Ĥ er Hermitisk 12 : ψ 1 = ψ Ĥ. (8.28) t i Ved indsættelse i udtryk (8.26) fås dermed d O 1 ˆ ˆ ˆ O 1 = ψ HO ψ + ψ ψ + ψ OH ˆ ˆ ψ : dt i t i d O 1 ˆ ˆ, ˆ O ψ OH = ψ + ψ ψ. (8.29) dt i t Så hvis O ikke selv eksplicit afhænger af tiden og desuden kommuterer med Ĥ, så er O konstant i tid, og O kaldes dermed en bevægelseskonstant. 13 For et tidsuafhængigt potential ( ) V r er Hˆ t = 0, og da Ĥ i sagens natur kommuterer med sig selv, er energien i så fald en bevægelseskonstant og E dermed konstant i tid, jf. udtryk (4.20), som netop blev udledt for tidsuafhængigt potential. 12 For en vilkårlig operator er den til 1 1 1 1 Ô ψ hørende bra ψ Ô =. i i i i 13 Klassiske eksempler på bevægelseskonstanter er således den mekaniske energi for et konservativt system eller den samlede bevægelsesmængde for et isoleret system., idet ( ) *