Bygningskonstruktion og arkitektur

Bygningskonstruktion og arkitektur Program lektion 9 8.30-9.15 Bæreevnebestemmelse af centralt, ekscentrisk og tværbelastet stålsøjle. 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Bæreevnebestemmelse af centralt, ekscentrisk træsøjler. Spær. Rammer. 10.15 10.45 Pause 10.45 1.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning Kirkegaard, institut 5, Aalborg Universitet 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 1/58 Søjlen Har set på Beton..nu Stål +Træ 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide /58

Søjlen Når et konstruktionelements kritiske last (P cr ) er opnået, forbliver elementet ikke lige, men bliver instabil og bøjer/buler ud ( buckling ) P<P cr P>P cr P>P cr 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 3/58 Søjlen Lang søjle svigter ved instabilitet Kort søjle svigter ved flydning 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 4/58

Søjlen Last a Def. Load b Last Def. a b 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 5/58 Arbejdskurven har betydning for den model man regner en søjle efter 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 6/58

Eulers formel for lineær elastisk materiale x P ν + k ν= 0, k = P/EI P P ν= C 1 sin kx + C cos kx y v ΕΙν = Μ Μ + Ρν = 0 ΕΙν + Ρν = 0 M x Randbetingelse ν(0) = 0 C = 0 ν(l) = 0 C 1 = 0 sin kl = 0 kl = nπ or C 1 = 0 Eulers søjle formel P cr = n π EI/L 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 7/58 Model for Eulers søjleformlen 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 8/58

Den centralt belastet søjles bæreevne Sammenhæng imellem kritisk spænding σ cr og kritisk last P cr π EI P > Pcr = L P Pcr σ = > σ cr = A A π E( Ai ) I σcr =, i =, i = inertiradius L A A E σ = = kritisk spænding cr π ( L i) L λ = = slankheds tal i 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 9/58 Bæeevnebestemmelse af stålsøjle Bæreevne N R af trækstang med tværsnitsareal A: N R = Af yd, f yd : flydespænding Bæreevne N cr af trykstang med tværsnitsareal A : N cr = caf yd c = f(l, E) c :reduktionsfaktor 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 10/58

Søjlereduktionsfaktoren c Forsætter i dagens opgave 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 11/58 En virkelig søjle Ikke lige Indre spændinger Lokale effekter Eksentrisk last 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 1/58

Søjlekurver 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 13/58 Fri søjlelængde 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 14/58

Fri søjlenlængde L s (a) (b) (c) (d) L L L L π EI π EI 4π EI L 4L L L s =L L s =L L s =0.5L L s =0.699L K=1 K= K=0.5 K=0.699.046π EI L P cr = P cr = P cr = P cr = P cr π EI = ( KL) 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 15/58 Fri søjlelængde 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 16/58

Facaden fastholder mod udbøjning 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 17/58 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 18/58

Gitterstænger er søjler, når de udsættes for tryk 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 19/58 Søjlens form 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 0/58

Inertiradier Inertiradius i er udtryk for hvor effektivt materialet udnyttes i søjler. Jo større i, jo stivere er søjlen for udbøjning. 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 1/58 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide /58

National Galleri Berlin Mies van der Rohe 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 3/58 Barcelona Pavillion Mies van der Rohe 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 4/58

1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 5/58 Skole i Wohlen - Calatrava 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 6/58

1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 7/58 Renault Center Swindon Norman Foster 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 8/58

La Grande Arch de La Défense -Von Spreckelsen 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 9/58 Maison Dom-I-no, Le Corbusier 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 30/58

Farnsworth House Mies van der Rohe 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 31/58 Kansai lufthavn - Renzo Piano 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 3/58

Træbjælker med trykkraft (søjle) Bjælker med tryknormalkraft kan bryde ved: Trykbrud i materialet (stukning-kort søjle) σ f c,0 1 c,0, d eller ved instabilitet/søjlevirkning k c σ c,0 f c,0, d 1 Stål: N cr = caf yd 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 33/58 Søjlereduktionsfaktor (k s ) : Træ k c,stål c 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 34/58

Teoretisk definition af k c Pcr A k = σ c cr s π Ed I = l A s π Ed I = l A f π E = λ f c,0, d c,0, d d k rel s c f π E = l f 1 = λ d c,0, d i c,0, d σ cr /f cd 1 λ rel Udtrykket tager ikke hensyn til imperfektioner! 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 35/58 Definition af λ og λ rel for rektangulært tværsnit λ er slankhedsforholdet defineret ved: ls ls ls ls λ y = = 1 λ z = = 1 i h i b y λ rel er det relative slankhedsforhold defineret ved: λ f λ λ = λ = y c, 0,k z c, 0,k rel,y rel,z π E005, π E005, z f 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 36/58

Imperfektioner som for stålsøjlen I praksis er den teoretiske søjlebæreevne for stor i forhold til den virkelige bæreevne. Dette skyldes imperfektioner, så som forhåndsudbøjninger excentrisk placeret last uhomogent materiale (uensartet stivhed) egenspændinger 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 37/58 Definition af k c i hht. DS413 k c,y = k 1 + k λ y y rel,y ( ( ) ) k = 05. 1+β λ 05. +λ y c rel,y rel,y 1 c, 0,k λ rel,y = λ y π E005, f Udtrykket tager hensyn til imperfektioner via parameteren β c. k c,z beregnes som ovenfor blot med index z i stedet for y k c som fkt. af λ rel er tabuleret i Ståbi. 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 38/58

Søjlekurver (k c som fkt. af λ rel ) teoretisk søjlekurve 1/(λ rel ) 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 39/58 Fri søjlelængder I hht. DS413 6.8.4 (s. 59) kan søjlelængden (knæklængden) sættes lig med afstanden mellem to tilgrænsende momentnulpunkter. Dvs. søjlelængden reelt afhænger af belastningen. 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 40/58

Søjlelængder i spær 0.0 0.6 0.6 1.0 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 41/58 Sibelius Hallen, Finland 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 4/58

Kvartershus, København 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 43/58 Academy Mont-Cenis 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 44/58

1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 45/58 Brudkriterier for træsøjler og træbjælkesøjler σ σ σ + k + 1 k f f f t, 0 m,y m,z m c,z t, 0,d m,d m,d σ σ σ + + k 1 k f f f t, 0 m,y m,z m c,y t, 0,d m,d m,d λ rel,y 0.5 eller λ rel,z 0.5 Hvis λ rel,y og λ rel,z < 0.5 ingen søjlevirkning, men stukning. Bjælkesøjler er søjler med tværbelastning 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 46/58

1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 47/58 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 48/58

1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 49/58 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 50/58

1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 51/58 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 5/58

1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 53/58 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 54/58

Ramme konstruktion - søjle 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 55/58 Rammens virkemåde 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 56/58

Rammens virkemåde Væg Ramme Statisk system 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 57/58 Rammens virkemåde Stive rammehjørne medfører at deformationer i søjle overføres til bjælke. 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 58/58

Opgave 1 Eksempel 8 og 9 fra note om stålkonstruktioner (udleveret i lektion 1). 1-03-006 17:39 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 59/58