Al gebra og ligning er 7..0-1 Ligninger '? k 'Z "-0'1 Zo '8 x.:: 3-4)("'~g 3~X"'3,.il ''<'0 f3 1 X ", 6' f1.=l/ - 4 ><", 1 p. '- x "- "I- -1- )( -1-1 - x =. -f.)( TAL OM - '" Når man skal løse ligninger, skal man sørge for at få x'erne stående alene på den ene side af lighedstegnet og tallene på den anden side af lighedstegnet. Husk, at man må lægge lige meget til, trække lige meget fra, gange og dividere med lige meget på begge sider af lighedstegnet. EKSEMPEL 6x - 3 = 9 6x - 3 + 3 = 9 + 3 3 lægges til på begge sider af lighedstegnet. 6x = 1 x= Der divideres med 6 på begge sider af lighedstegnet. 1 Løs ligningerne: a 4x - 6 = 10 b 6x + 3 = -1 c 16-7x = d 4 + 4x = 17-5 e x + 8 = O f -5x + 6 =-9 EKSEMPEL x - 3 = 5x + 6 x - 3 + 3 = 5x + 6 + 3 3 lægges til på begge x = 5x + 9 sider af lighedstegnet. 13 Løs ligningerne:. a c e 1-3x =18 4x = 3x - 8 5-x =17 14 Løs ligningerne: a c e 8 + 5x = x + 9 0 3x = x - 5-13x = -7x + 6. 5 15 Løs ligningerne: a c e 6x 1 = 14x + 5-16x = 8x - 3 - x 9x + 4 = 1x - b -x + 9 = 3 d 7x = 3x 1 f -x + 16 = 6x b 6x + = 3x - 1 d 14x - 3x = -6 + 4 f -x + 8 = 3x - 4 b 6 9x = 3x + d -5x + 3 = 5x - 17 f -3x +7 = -x - 3 x - 5x = 5x + 9-5x -3x= 9-3x _ 9 -=3 - :""3 x= -3 5x trækkes fra på begge sider af lighedstegnet. Der divideres med -3 på begge sider af lighedstegnet. 16 Reducer og løs ligningerne: a 6x + 3(9 4x) = 0 (3 x - 34) b 4 (8 x + 3) = -6(3x - 4) - 13 c 4(-8x + 8) = 5(5 5x) d 3x - 18 (6x - 4) = 10 + 3( + 4x) e 3x(6x-)+18=-10+x(4+9x) f 3 3 + 8(- - 3x) = -5( + x) - (x + 15)
8 Algebra og ligninger 17 Reducerog løs ligningerne: a 3x - 6(x - 3) = -(x - 1) + 4 b -.!. (6-4x) + 3x = -6(x - 5) c -5x + 8(3 + x) - 6x = -(3x + 4) + 5 d 3x - 6 3-.!. x + 7 = -5(-x - 6) Man kan kontrollere, om den løsning, man har fundet, er rigtig ved at indsætte løsningen i ligningen i stedet for x. Løsningen indsættes i den oprindelige ligning. Er de to værdier på venstre og højre sidelige store, er løsningen rigtig. 19 Løs ligningerne og lav kontrol: a 6x-18=x+6 b 3x+15=9x-1 c 4(- - ~ x) = (x + )(-3) d ~ (x + 8) = ±(16-4x) +3 e 3(x + 8) - 3 = 18(x -.! ) f (4x - 6)3 = 5(x - 10) 3x x EKSEMPEL I ligningen 3x + 8 = -4x - 6 har vi fundet løsningen x =. Vi kontrollerer: 3x + 8 = -4x - 6 3. + 8 = -4' - 6 6 + 8 = -8-6 14 = -14 Løsningen er forkert. 0 Rektanglet på tegningen har en omkreds på 7 cm. a Find ved hjælp af en ligning rektanglets sider. b Find arealet af rektanglet. EKSEMPEL I ligningen 3x + 8 = -4x - 6 har vi fundet løsningen -. Vi kontrollerer: 3x + 8 = -4x - 6 3 (-) + 8 = -4.(- ) - 6-6 + 8 = 8-6 = Løsningen er rigtig. 18 Løs ligningerne og lav kontrol: a -3x + 6 = x - 9 b 5x - 3 = 6 + x - 9. c 9x + 16 = 3x - 6 d 8x - 1 = 6x + 6 e 3x + 8 = -4x + 71 f -6x - 3 = 5 + x 1 Søren, Mads og Anders skal dele overskuddet på 178 kr. fra deres flødebollekastebod. Anders får dobbelt så meget som Søren, og Mads får halvt så meget som Anders. Hvor meget får de hver? Skriv en ligning, der kan løse problemet.
Algebra og ligninger 9 TAL OM 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 Man kan også løse ligninger ved hjælp af regneark. Løs ligningen 8 + 5x = x + 9 ved hjælp af regneark. 86 A 8 + 5x= x + 9 Venstre side Jjøjre side x 8 + 5x x + 9 11 31 7 o O 8 9 1 13 31 18 33 3 3 35 4 8 37 5 33 39 6 38 41 7 43 43 8 48 45 Ligningen er indtastet i A. Ligningen deles op i en højre og en venstre side og skrives i hver si n kolon ne, her B5 og E5. I A5 skrives x. For at Excel kan udføre en regnehandling, skal man huske at sætte et lighedstegn foran regneudtrykket. I celle B6 skal der således stå: =8+5*A6 hvor A6 er den værdi, der vælges for x. I celle E6 skal der stå: =*A6+9 I celle A6 vælger vi at starte med x = -1. I celle A7 skrives: =A6+1. Kopier celle A7, marker fx 10 celler ned og tryk indsæt. Kopier ligeledes celle E6. Marker 10 celler ned og tryk indsæt. Når højre og venstre side giver samme resultat, harvi en løsning. Løsningen er: x = 7 F 86 A.. -x + 8 = 3x 4 - -.. 3 4 Venstre side J:j_øjre._~}de 5 x -x + 8 3x- 4 6 -fj 101 - -10 o 7-1 9 - -7 8 O 8-4 9 1 7-1 - - 10 6 11 3 5 5 1 4 4 8 13 5 3 11 14 6 14 15 7 1 17 -_. - ~ 16 Når man skal løse ligningen -x + 8 = 3x - 4, kan man ikke starte med at skrive minus i en celle. Cellen skal først formateres. Det gøres således: Højreklik på feltet. Tryk på "Formater celler" og vælg "Tekst". Herefter kan udtrykket skrives. Løsningen er x = 3 Løs ligningerne ved hjælp af regneark: a 9x + 6 = -x + 6 b -4x + 3 = 8x - 9 c x - 6 = 5x + 4 d 5x + 3 = (x - 6) e -(6+3x)=x-18 f 40 6x = 5x + 7
- ---- 10 Algebra og ligninger 3 Tegn den linje, der går igennem (4,5) 8 Omskriv til decimaltal: og (-,-7). a 0% b 0,5% a Hvad er linjens hældningstal? c 13% d 90,5% b Hvad er linjens forskrift? f 4 Beregn: g 1-4 h 3-4 a J196 +.)34 b J8:7 -.)5 c.)9 5 +.J%1 e - 5 1-0 J 9 A = (-5,-3) C = (3,3) d J18:3. J5 a Tegn firkant ABCD. 1-3 "5 B=(-1.5) D= (-1,-5) e J64Pi :19 b Tegn linjen I:y= ~x+ 1 f.)5 40 18 51: y = x + 4 m: y = 3x Tegn linjerne log m. Aflæs koordinaterne til deres skæringspunkt. c Deler linjen I firkant ABC D i to lige store dele? d Hvilken slags firkant er ABCD? 30 Tegn linjen m: y = x + 6 a I hvilket punkt skærer linjen m x-aksen? 6 Beregn: b I hvilket punkt skærer linjen m a 4 + 3 b 4 5-3 6 y-aksen? C 10 _ 10 d 9 3-6 3 e 54 + 4 5 f r 8 3 g 6 4 5 h 9-4 4 7 Linjen V A er vinkelhalveringslinje til L.A. B a Tegn trekant ABC i rigtig størrelse. b Find længden af AE og h b. A c
Algebra og ligninger 11 31 Beregn arealet affigurerne. B F D E ~~ ~ K G 3 Mellem 1563 og 1665 blev London fem gange ramt af pest. Ved pesten i 1665 døde ca. 70000 af byens omkring 500000 indbyggere. a Hvor mange procent af byens indbyggere døde? b Hvor stor en brøkdel af byens indbyggere døde? c Hvor stor en brøkdel af byens indbyggere overlevede? d Hvor mange procent af byens indbyggere overlevede?
1 Algebra og ligninger På en tallinje ligger de negative tal til venstre for nul. De positive tal ligger til højre for nul. Tallet nul er hverken positivt eller negativt. Jo længere man går til højre på tallinjen, jo større bliver tallet. Går man mod venstre, bliver tallene mindre. Hvis jeg beholder alle pengene, hvor mange har du så? I I I I I I I I ~ - 4-3 - -1 O 3 4 33 Afgør om resultaterne er positive, negative eller lig med nul: a (-5)-(-5) b 7 (-7) c (-5) (-5) d (-3) (-3). (-3) e 3 3 f 4 g (-4) h (-4)3 3 6 j (-3)6 k (-3)5 I (1-6)3 34 Reducer udtrykkene: a ~ (-4x + 1) - 3(3x - 7) b -(x + 6) + ~ (6x - 9) c 36x - 8(- + 3x) - 18 1'": d..(4-6x)+3(-x -1) 36 Løs ligningerne og lav kontrol: '(S~ e (9x + 16) - (13x + 6) a -5x - 3( - x) = 8x 86 f 75+9(3x-8l+ 16-4x b -(6x + 3) + 4x = (8x - 6) - c 3x + 8 - (4 + x) = 6(x + 1) + 9 35 Løs ligningerne og lav kontrol: d -(-5 + 3x) + 40 = 5( x + 7) - 7 a - 1 + 8x + 6 = 3x - 6 b 3(x - ) = 1(x + 1) c -(x + 8) = 3(x - 1) e 0 - ( x - 8) + 3x = 6(x - 3) + 66 f 3x - (6 + x) = 40-3(x + 8) - 36 d -8 + 3x = x - 6 + 8 37 Afgør om udtrykkeneer sande eller falske: e 0-5(x - 1) = 6x + 73 a (-3)3 > O b (-3)5< 0 f 4x - (x + 6) = -3(x + ) c (-3)6> O d (-3) < O -..-..-.-
Algebra og ligninger 13 38 Simon er tre år ældre en Mikkel. Tilsammen er de 7 år gamle. b Hvor gamle er Simon og Mikkel? 39 Caroline er fem år yngre end Sara. Tilsammen er de 31 år. b Hvor gamle er Sara og Caroline? 40 Løs ligningerne og lav kontrol: a 4x + 3 - x + 6 = 8x 6 + 3x 1 b 6 8x 3x + 4 = -7x + S + 3x 3 c 4-3(S-x)=(x+8)+19 d 9(-3x + 4) - 16 = 3 + ( x - 6) 41 Løs ligningerne og lav kontrol : a -9 3x 8x + 16 = 3x + 8 - x + 1 b 14x 3x - 6 + x = 4x 3 - x - 1 c -6x + 3-18 x = 7x 6-3 d -16-18+3x=9x-1x+3-1 4 Daniel køber kød for 16 kr. Hvis han havde købt et kilogram mere, ville det have kostet 70 kr. Hvor mange kilogram køber Daniel? 43 Alexander og Casper har tilsammen SOO kr. Alexa nder ha r 40 kr. mere end Casper. b Hvor mange kroner har de hver? 44 Oskar har 4 kr. mere end Mie. Hvis Mie får 4 kr. mere, vil hun have halvt så meget som Oskar. b Hvor ma nge kroner ha r hver? 45 Peter er otte gange så gammel som sin datter. Om fire år er han kun fire gange så gammel som sin datter. b Hvor gamle er Peter og hans datter nu? cay]) V Jamen - hvis du er 10 år så er jeg jo FIRS I ' Men om 4 år er jeg kun 56!
14 Algebra og ligninger 46 Reducer udtrykkene: a 3a - 4 + 8-6a + b x - 6y + y - 4x + 10y c a + 6a - 4a d 1b + 3b + 7b - a e -4b + b - 6b - b f -9a + 4-8a + 5a - 1 47 Reducer: a 9x + 3x - 0x b 16y-y-5y+x c -a + 1a - a d -13b + 8b + 5 + 5b e 9x - 3y + x - Y f a - 6b+ 3a + 8b 48 Beregn værdien af udtrykkene for x = 4: a 6x - 8 - x b 5(x - 4) c x(x + 8) d 6x - 0 + 4x e x - 4x f x(x - 4) 49 Gang ind i parenteserne: a 6(a - 6) b -(x + 4) c 4(-3 - x) d x(-1 +x) e -6(a - 3) f (-4b+ 3) 5 Løs ligningerne: a 6x - 5 = 13 b 0 + x = 30 c 0-3x = 5 d 4x + 9 = 1 e x+ 14= 1 f -4x+0=1 x + 7 53 Omkredsen af rektanglet er 78 cm. Bestem længden af den korte side. Skriv en ligning, der kan løse problemet. 54 Løs ligningerne og lav kontrol: a 6x - 4 = 3x + 8 b -x + 5 = -3x - c 1-5x = 7x - 1 d 10 + 3x = x + e -5x+6=x-15 f 1 - x = 8-3x x 50 Reducer: a 3(x - 4) + 6x b 3a [1 - al + a c -5(x - 1) + 6x e x( - x) - 4x d ~(-6-4xl f -~(16-8xl 4 Mark og Daniel er tilsammen 310 cm høje. Daniel er 30 cm højere end Mark. a Skriv en ligning, der kan løse problemet. b Hvor høje er Mark og Daniel?
Algebra og ligninger 15 55 I to af opgaverne er der ganget forkert ind i 57 Løs ligningerne og lav kontrol: parenteserne. Hvilke opgaver er det? a x - 1 = 4x + 9 b -4-x=6x+l0 a 6(9-3x) = 18x + 54 c 14-7x = x - d 40-5x = 16 + x b -4( - 6x) = 4x - 8 e 9(x + 3) = 7 f 18=-(5x-3) c -6 + 15x = -3(-5x + ) d 8x - 4 = 4(6 - x) 58 Cec ilie er dobbelt så gammel som Anders. e -3(x - 7) = 1-6x Tilsammen er de 7 år. f -6(-+3x)=-18x+1 a Skriv en lign ing, der kan løse problemet. 56 To af ligningerne har ikke en positiv løsning. b Hvor gamle er Anders og Cec ilie? Hvilke ligninger er det? a 4x -5=19 c 3 = 6x + 1 e 3x = x + 0 b 0 x =-4 d x+6=10 f -3x 6 = 3