Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest geniale, og for at underbygge denne påstand bliver positionssystemet sammenlignet med romertallene eller et andet forældet system til talnotation. At der kunne være valgt et andet grundtal end 0 for positionssystemet, nævnes oftest, men holdningen er typisk, at det ene grundtal kan være lige så godt som det andet. Dette er naturligvis ikke rigtigt. Grundtallet 2 er f.eks. særligt velegnet til EDB, men ideen går tilbage til Leibnitz. Med 2 som grundtal bliver antallet af cifre i et tal ofte over 3 gange så stort som hvis man bruger 0 som grundtal, hviket er upraktisk hvis man ikke er en EDB-maskine, så ofte konverteres til grundtal 6 eller 8, men heller ikke disse forslag er af ny dato, idet Karl XII af Sverige var talsmand for at grundtallet skulle ændres til 8 [Petre, side 50]. Nogle mente at grundtallet burde være et primtal, mens George Buffon (707-788) foreslog at 2 skulle være grundtal i stedet for 0, idet 2 har flere divisorer end 0 [Dantzig, side 27,258-259]. Dette vil f.eks. medføre, at /3 kan skrives som en endelig decimalbrøk. Før. verdenskrig var der 2-talsforeninger, der arbejdede i den gode sags tjeneste ved at udgive omregningtabeller, logaritmetabeller m.m., men det er meget besværligt at skifte grundtal, og fordelen ved skiftet fra 0 til 2 er trods alt ret begrænset, så bevægelsen led samme skæbne som kunstsproget volapyk. Man kan imidlertid forestille sig andre ændringer af talnotationen, som vil give større forbedringer end et skift fra grundtal 0 til grundtal 2. Da ændringer af vor talnotation er urealistisk, kan vi lave tankeeksperimentet om at ændre vor talnotation, uden at skele til om det er praktisk gennemførligt. Svagheder ved den sædvanlige talnotation Hvordan udregner man 999 9999? Man kan gøre som vi lærte i skolen og skrive 999. 9999 8999 89990 899900 998900 eller 999 9999 = (000 -) (0000 -) = 000 0000-000 -0000 + = 998900. De fleste vil nok foretrække den sidste beregningsmetode, idet multiplikationer med små cifre er lettere end multiplikationer med store cifre. Hvis man skriver tallene som romertal, vil den sidste beregningsmetode være ret oplagt, idet 999=IM
og9999 = IX, så i visse tilfælde har romertal nogle fordele sammenlignet med vores notation. Med romertal skriver man i visse tilfælde et tal som differensen mellem 2 tal, hvilket aldrig forekommer hos os 2. Hvis man f.eks. skal afsætte,9 cm på millimeterpapir vil de fleste nok gå 2 cm op og mm ned i stedet for at tælle 9 mm op fra cm. Vi skriver med andre ord tallene på en måde, men afsætter dem på en anden måde. Det samme fænomen gør sig gældende, når vi kalder tidspunktet.56 for fire minutter i tolv. Et andet forhold, som de færreste gør sig klart, er, at det normale talsystem er udviklet til at skrive positive tal. Normalt, når vi skal skrive et negativt tal, gør vi det ved at sætte tegnet foran det tilsvarende positive tal, som så skrives i positionssystemet. Tegnet betragtes normalt ikke som et ciffer, men er dog så tæt beslægtet med cifrene, at det f.eks. har fået sin egen tast på de grafiske lommeregnere fra Texas Instruments til stor forvirring for eleverne, der ikke er vant til at adskille dette tegn fra tegnet for subtraktion. Da vores notation er beregnet til positive tal, må vi supplere den lille tabel med følgende tabel, når vi skal multiplicere tal, der ikke nødvendigvis er positive. + - + + - - - + I gymnasiet klarer de fleste elever at gange et positivt tal ind i en parentes, mens det let går galt, hvis der er for mange minustegn. Det skyldes at vor talnotation primært er beregnet til at skrive positive tal. En sidste svaghed ved vor talnotation er, at enhver sekvens af cifre betyder noget. Det vil sige, at hvis blot et enkelt ciffer bliver misforstået, fejlskrevet, glemt e. lign. får man noget forkert. Enhver der har telefoneret til oplysningen i et fjernt udland, kender problemet. Negative cifre n n 0 I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn a + + xa + x0a, hvor a er grundtallet. Vi vil i første omgang antage, at grundtallet er 0. I almindelighed antages det, at cifrene er de hele tal fra 0 til a, men hvis vi i positionssystemet skal have noget, der modsvarer subtraktion, må nogle af cifrene være negative. Lad os se hvilke konsekvenser, det vil få, hvis vi bruger cifrene,0,,2 7,8. Her og i det følgende betyder et tal med en prik over, at tallet er ganget med. Denne notation blev brugt af inderne til at angive negative tal fra det. århundrede [Dantzig, 84,86; Gericke, 64]. Vi får da 9 = og 95 = 5. Visse tal får derfor et ekstra ciffer, hvilket naturligvis er en ulempe. Til gengæld har vi mulighed Tegnet X er blot et af flere mulige tegn for 0000 [Gullberg, 39]. 2 Det skal bemærkes at romerne ville skrive tallene additivt. Den ovenfor viste metode opstod først i middelalderen [Gullberg, 4]. Romerne benyttede somme tider subtraktion når tallene blev udtalt og f.eks. hed 8 duodeviginti hvilket betyder 20 2.
for at skrive negative tal i positionssystemet, og vi får f.eks. 6 = 4. Det er stadig lige let at undersøge hvilket af 2 forelagte tal der er størst. Man ser hvilket der har størst første ciffer (hvis tallene ikke har lige mange cifre suppleres med nuller). Hvis tallene har samme første ciffer, sammenlignes andet ciffer osv. Eller sagt på en anden måde: tallenes ordning svarer stadig til den leksikografiske ordning af ciffersekvenser. Addition og multiplikation forløber som sædvanligt dog med brug af nedenstående tabeller + 0 2 3 4 5 6 7 8 8 0 2 3 4 5 6 7 0 0 2 3 4 5 6 7 8 0 2 3 4 5 6 7 8 2 2 3 4 5 6 7 8 0 3 2 3 4 5 6 7 8 0 4 3 4 5 6 7 8 0 2 5 4 5 6 7 8 0 2 3 6 5 6 7 8 0 2 3 4 7 6 7 8 0 2 3 4 5 8 7 8 0 2 3 4 5 6. 0 2 3 4 5 6 7 8 0 8 7 6 5 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 4 5 6 7 8 2 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 3 7 0 3 6 2 5 8 2 24 4 6 0 4 8 2 6 20 24 28 32 5 5 0 5 0 5 20 25 30 35 40 6 4 0 6 2 8 24 30 36 42 48 7 3 0 7 4 2 28 35 42 5 56 8 2 0 8 6 24 32 40 48 56 64 Vi ser, at i additionstabellen bliver resultatet 2-cifret i 37 ud af 00 tilfælde i modsætning til normalt, hvor resultatet bliver tocifret i 45 ud af 00 tilfælde. Ved at afskaffe 9 og indføre undgår vi derfor en del menter i additionsstykker. I multiplikationstabellen bliver resultatet tocifret i 58 tilfælde i modsætning til normalt 59 tilfælde, så gevinsten er i den henseende til at overse. Til gengæld er -tabellen væsentligt simplere end den gammelkendte 9-tabel. Der skjuler sig dog yderligere 2 fordele ved at have et særligt tegn for. Den ene er at multiplikation med negative tal forløber fuldstændigt som multiplikation med positive tal.
Den anden er at subtraktionen a b kan udregnes som a + b. Herved undgår man helt at skulle låne i stykker med subtraktion, idet man kan have en negativ mente. Vi kan med andre ord helt undvære særlige regneregler for subtraktion. Udvidelse af ideen Ovenfor så vi at 2-cifrede tal ikke vil forekomme så ofte, når et af cifrene er negative. Næste skridt er derfor også at afskaffe 8 og indføre 2 = 2. Vi fortsætter på denne måde til vi når ned på et minimum af 2-cifrede tal i additionstabellen. Dette opnås ved at have 5 positive og 4 negative cifre eller 4 positive og 5 negative cifre. Hvis vi ønsker lige mange positive og negative cifre, må vi ændre grundtallet til et ulige tal. Nedenfor er som eksempel vist additions- og multiplikationstabeller for grundtal 7 med lige mange positive og negative cifre. + 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 0 2 3 3 2 0 2 0 0 2 0 2 3 0 3 2 2 0 2 3 3 2 0 2 3 3 3 0 2 3 3 2 2. 3 2 3 2 2 3 3 0 3 0 2 3 2 2 0 2 3 3 2 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 2 3 3 2 3 0 2 3 2 0 2 3 0 3 2 Hvis grundtallet var ville under 25% af resultaterne være 2-cifrede i additionstabellen og under 50% af resultaterne i multiplikationstabellen ville være 2- cifrede. Der ville derfor kunne opnås en væsentlig nedsættelse af mængden af menter, hvis negative cifre indføres selv hvis man fik et større grundtal. Det er imidlertid væsentligere at bemærke, at ovenstående tabeller har så meget symmetri at de ville være væsentligt lettere at lære i de små klasser. Man kunne eventuelt have et væsentligt større grundtal end 0 (f.eks. 7) uden at arbejdet med at lære tabellerne ville være større end i dag. Multiplikation med går særligt let, idet overprikkede cifre erstattes af ikkeoverprikkede og omvendt. Herved vil regnearten subtraktion nærmest være afskaffet ligesom indførelse af negative tal i de små klasser ville foregå uden det store besvær. Det eneste eleverne skulle lære var at fortolke tal, hvor første ciffer har en prik over. En anden fordel ved at have cifrene symmetrisk fordelt omkring 0 ville være, at man afrunder et tal ved blot at smide de bageste cifre bort. Lettere kan det ikke være.
Division Division forløber lidt anderledes end normalt. Den sædvanlige divisionsalgoritme er beregnet til positive tal og forløber som gentagen division med rest. Resten bliver hver gang et ikke-negativt tal mindre end divisor. Hvis cifrene ligger symmetrisk omkring 0, så skal resten være et positivt eller negativt tal, hvis numeriske værdi skal være så lille som muligt. Når man beregner næste ciffer i kvotienten, skal man med andre ord ramme så præcist som muligt. Da de øvrige regnearter går lettere, vil dette øjensynligt være lettere end at skulle gætte det største ciffer så resten bliver positiv. Hvis cifrene ligger symmetrisk omkring 0 vil ½ ikke kunne skrives som en endelig decimalbrøk, hvilket nok vil være den største ulempe ved at have lige mange lige og ulige cifre. Så længe vi bruger et positionssystem til talnotation, kommer vi dog ikke ud over, at langt de fleste divisioner vil give uendelige decimalbrøker. Det vil derfor stadigt være hensigtsmæssigt at bruge brøker til at angive eksakte resultater, og decimalbrøker til at angive tilnærmede tal og til at vise hvor stort et tal er. Lige og ulige Mange vil mene, at opdelingen i lige og ulige tal er af stor betydning. For eksempel gælder for n lige ( ) n = for n ulige Hvis grundtallet for positionssystemet er lige, kan man se om et tal er lige ved at se om det sidste ciffer i tallet er lige. Når grundtallet er ulige, undersøger man om et tal er lige ved at undersøge om tværsummen er lige. Hvis man altid skrev tværsummen af et tal efter selve tallet så ville det være let at se om et tal var lige eller ulige. Dette ekstra ciffer ville kunne virke som et kontrolciffer således at det let ville kunne checkes om et ciffer i et tal var skrevet forkert. Ved regneoperationer med de tallene skulle man da lave de tilsvarende regneoperationer med tallenes kontrolcifre. Det ville svare til, at tværsumsprøven kendt fra folkeskolen ville være indbygget i regneoperationerne. Herved ville talnotationen blive fejldetekterende. Der findes metoder, der også kan korrigere fejl, men ovenstående metode til fejldetektion udmærker sig ved ikke at kræve mere end hvad eleverne kommer igennem allerede. Er det realistisk? Naturligvis ikke. Grundtallet 0 bliver næppe ændret, men man kunne sagtens indføre et tegn for uden at afskaffe tegnet 9. Man kan med andre ord have 2 systemer som bruges sideløbende eller blande dem efter forgodtbefindende. Den eneste ulempe ved at blande de 2 systemer er at der ikke vil være en entydig måde at skrive tallene på, og at man derfor skulle kunne omregne, men denne omregning forløber let. Alt dette er naturligvis ikke noget vi skal nævne over for vore elever. Men der er en pointe i at nævne, at vores talnotation er beregnet til at skrive positive tal, og at man
derfor skal være ekstra påpasselig, når man regner med negative tal, så man undgår fortegnsfejl. Denne pointe kommer ikke frem, hvis man fremstiller sagen, som om vores talnotation var andre former for notation overlegen. Referencer Tobias Dantzig: Tallet, Videnskabens sprog. Gyldendal 965. Jan Gullberg: Mathematics, From Birth of Numbers. Norton & Co. 997. Helmuth Gericke: Talbegrebets Historie. Matematiklærerforeningen 994. Jaak Peetre: Inför millenium skiftet var Julius Caesar matematiker? Normat, årgang 47, hæfte 4, 999.