Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download ""

Transkript

1

2

3

4

5

6

7

8 1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at en multiplikation på venstre side i formlen bliver omsat til en differens på højre side en egenskab, som giver associationer til logaritmernes produktregel: log( x y) = log( x) + log( y ). Vi skal se et eksempel på, hvorledes formlen (1) kan benyttes til at multiplicere to vilkårlige tal. Eksempel 1.1 Tallene a = 438, 2904 og b = 23,81256 ønskes multipliceret. Løsning: Flyt kommaerne i a og b, så man får to tal a1 og b1, der begge ligger i intervallet [ 1, 1] : (2) ab = a b med a 1 = 0, og b 1 = 0, Vi vil nu bestemme to vinkler A og B, så (3) sin( A) = a = 0, sin( B) = b = 0, Bruges sin -tasten på lommeregneren, så får vi mulighederne A = 25,99485 og B = 13, Summen og differensen af vinklerne fås nemt til A+ B= 39, og A B= 12, Cosinus til hver af disse gradtal giver: cos( A+ B) = cos(39, ) = 0, cos( A B) = cos(12, ) = 0, Vi kan nu udregne højresiden i (1) ved at trække 0, fra 0, og dividere resultatet med 2, hvilket giver 0, Ifølge (1) og (3) har vi udregnet sin( A) sin( B) = a1 b1. For endeligt at få udregnet a bskal vi ifølge (2) blot flytte kommaet 5 pladser til højre. Det giver 10436,82.

9 Nu vil det ikke være særligt fornuftigt at benytte lommeregneren til på denne måde at udregne produktet af to tal; så kunne man jo lige så godt gange de to tal sammen direkte ved hjælp af lommeregneren! Før lommeregnerens tid har det imidlertid været forbundet med et stort arbejde at multiplicere og dividere store tal, hvorimod addition og subtraktion foregik noget nemmere. Indtil et godt stykke op i 1500-tallet havde man ikke noget bedre end den sædvanlige skolemetode, hvor tallene stilles op ved siden af hinanden, og hvor man ganger cifre sammen og opstiller dem under hinanden en metode, som stadig kort omtales i folkeskolen i dag. Så fandt man på at anvende formler såsom (1) til at lette multiplikationerne, og beregningsprocessen fik navnet prosthaphaeresis, der på græsk betyder addition og subtraktion. Idéen var at multiplikationer blev erstattet af mindre arbejdstunge additioner og subtraktioner. Hertil kommer dog tabelopslag, idet man måtte bruge trigonometriske tabeller. Tænker man sig for eksempel formel (1) anvendt, så skal man foretage 2 subtraktioner, 1 addition, 4 tabelopslag samt en simpel multiplikation med 0,5. De første to tabelopslag består i at man finder A og B ved at gå omvendt ind i en sinustabel. De sidste to består i, at man aflæser cosinus til A B og A+ B i en cosinus-tabel. Øvelse 1.2 a) Anvend formel (1) til at gange 55,82316 med 4207,175. Prøv eventuelt at få fat i en gammel sinus-tabel og cosinus-tabel, ellers snyd ved at bruge lommeregneren som tabel. Du skal dog foretage additionerne, subtraktionerne og den simple multiplikation i hånden. Kontrollér resultatet med det, som en lommeregner vil give. Hvor stor er nøjagtigheden? b) Foretag multiplikationen fra spørgsmål a) ved hjælp af skolemetoden. c) Vurdér metoderne i forhold til hinanden. En fordel ved at anvende prosthaphaeresis er, at man nok ikke så nemt kommer til at lave en beregningsfejl som i tilfældet med skolemetoden, hvor der skal foretages et hav af simple multiplikationer samt et ikke ringe additionsarbejde. 2. Astronomia Danica Et centrum for anvendelse af Prosthaphaeresis var faktisk i Danmark, på øen Hven i Øresund. Her foretog Tycho Brahe ( ) som bekendt en mængde observationer af himlens stjerner på sine residenser Uranienborg og Stjerneborg. Han bestemte stjernernes positioner på himmelkuglen med en på den tid uhørt stor nøjagtighed. I sit arbejde havde han blandt andet brug for at kunne beregne sider og vinkler i sfæriske trekanter. En sfærisk trekant er en trekant, der befinder sig på en kugleoverflade. Til beregningsarbejdet, der inkluderede mange multiplikationer, havde Tycho Brahe assistenterne Longomontanus og Paul Wittich. Longomontanus udgav i 1622

10 en bog med titlen Astronomia Danica, hvori han gjorde rede for de regnemetoder, der blev anvendt på Hven. I bogen Tyge Brahe skrevet af Alex Wittendorff, forklares det, at Longomontanus oprindelige navn var Christen Sørensen. Christen Sørensen var bondesøn, og da han blev en studeret mand, tog han efter tidens skik navn efter sit hjemsted, som var Lomborg ved Lemvig. Lomborg blev altså til Longomontanus på latin. Trods fattigdom lykkedes det ham at blive student som 26 årig. Et par år efter blev han anbefalet til Tycho Brahe af en af universitetets professorer. Han havde sjældne evner som matematisk beregner og faldt godt til på Hven. Efter Tycho Brahe havde forladt øen studerede Christen videre i Tyskland og arbejdede igen hos Tycho Brahe i Böhmen. I 1605 blev han professor ved Københavns Universitet, fra 1607 i matematik og astronomi. Hans titel af matematik-professor kan også aflæses på forsiden af Astronomia Danica! Det var under Longomontanus ledelse, at observatoriet på Rundetårn blev indrettet. Desuden stod han for udgivelsen af universitetets almanak. Kun de af Tycho Brahes assistenter, der viste sig dygtigst, blev inddraget i de avancerede beregningsarbejder. Alle kunne derimod hjælpe til ved observationerne. Det var den danske konge, Frederik den 2. s hensigt, at Uranienborg skulle være et førsterangs forskningscenter, hvilket det også blev. Tycho Brahes observatorium Stjerneborg på øen Hven i Øresund

11 I det følgende skal du undersøge, hvad der går for sig i eksempel 1 på side 10 i Longomontanus værk, Astronomia Danica, idet du husker hovedidéen i metoden, beskrevet i denne notes afsnit 1. Situationen i Longomontanus eksempel er dog en smule anderledes, idet en eller flere af de tal, som han ønsker at gange sammen, er et trigonometrisk udtryk i sig selv. Denne kendsgerning gør dog bare Prosthaphaeresis ekstra fordelagtig. Det skal desuden bemærkes, at Tycho Brahe var i besiddelse af en sinustabel, men ikke en cosinustabel. Førstnævnte kan dog benyttes som cosinustabel, når man husker på formlen cos( x) = sin(90 x). Endvidere er tallene i Astronomia Danica angivet uden decimalkomma, så man må gætte sig til, hvor kommaet skal stå. Brugen af et komma (eller punktum) til at adskille heltalsdelen og brøkdelen af et tal var kun så småt ved at blive taget i brug i begyndelsen af 1600-tallet. Øvelse 2.1 a) Hvad er udgivelsesåret for den betragtede udgave af Astronomia Danica? b) Bevis formlen cos( x) = sin(90 x) ved at betragte enhedscirklen. c) Brug formlen under punkt b) samt den logaritmiske formel (1) ovenfor til at bevise følgende formel, hvor A = 90 A er komplementet til A: (4) sin( A) sin( B) = 1 [ sin( A + B) sin( A B) ] 2 Det var reelt denne formel, som blev anvendt på Hven, selvom man anvendte en anden notation. d) Se på tegningen af den plane trekant på side 10 i Astronomia Danica: Hvordan vil du selv løse opgaven med at bestemme siden BC? (Angiv et udtryk med en trigonometrisk funktion) Hvad får du som resultat? e) Forestil dig, at du levede i 1600-tallet og skulle udregne det udtryk, du fandt for siden BC i spørgsmål d); dvs. at du kun måtte gøre brug af formel (4). Hvordan ville du da udføre beregningen? Gør det! f) Tycho Brahe angav vinkler i grader og minutter. Her svarer 60 (læses 60 bueminutter eller bare 60 minutter) til 1. Vinklen svarer således til en vinkel på ( / 60) = 23,65. I eksempel 1 anføres blandt andet en vinkel 20 33, dog skrevet med en anden notation. Hvad svarer denne vinkel til i grader med decimaldele (kommatal)? g) Oversæt det, som Longomontanus gør i sit eksempel 1, til moderne matematik. Hjælp: Prøv dig frem på lommeregneren for at finde ud af, hvorfra de forskellige tal stammer, idet du har løsningen af spørgsmål e) for øje! h) Hvor præcis er den værdi, som Longomontanus får for siden BC? Hvilken deludregning i processen er mest unøjagtig, tror du?

12 3. Logaritmernes fremkomst Selvom de prosthaphaeresiske regler kun var et skridt på vejen i udviklingen af regnekunsten, så menes de at have været en vigtig inspirationskilde til opdagelsen af logaritmerne. Skotten John Napier ( ), som normalt tilskrives æren for at have indført logaritmerne, skal have lært om Prosthaphaeresis gennem en bekendt, John Craig, som var læge for kong James den 6. af Skotland. Kongen var i 1590 på en sejltur til Danmark for at møde sin kommende brud, prinsesse Anna, datter af den danske konge Frederik den 2. Craig skal have været med på turen og stiftet kendskab til Prosthaphaeresis i forbindelse med et besøg på Tycho Brahes observatorium. Efter John Napier præsenterede sin specielle logaritme kom englænderen Henry Briggs ( ) til og indførte den nu velkendte titalslogaritme. Helt indtil 1970 erne har logaritmerne spillet en fundamental rolle som middel til at lette arbejdet ved numeriske beregninger. Logaritmernes betydning i dag, hvor vi har computere og lommeregnere, ligger derimod først og fremmest i den teoretiske matematik. Øvelse 3.1 a) Fremskaf en titals-logaritmetabel samt en antilogaritmetabel, gerne firecifrede tabeller fra Erlang C. Produktreglen log( x y) = log( x) + log( y) log( x y) log( x) + log( y). Benyt sidstnævnte for- giver følgende identitet: x y = 10 = 10 mel til at multiplicere tallene 3,782 og 62,98. Hjælp: Bemærk, at en sædvanlig logaritmetabel kun kan anvendes direkte i intervallet [1, 10[, og en sædvanlig antilogaritmetabel (10 x ) kun i intervallet [ 0,1 [. Heldigvis kan man også bestemme logaritmen og antilogaritmen til tal, der ligger udenfor de pågældende intervaller. Man foretager blot nogle små korrektioner, som det fremgår af følgende eksempler: log(37, 49) = log(10 3, 749) = log(10) + log(3, 749) = 1+ log(3, 749) 2 2 log(0, 03298) = log(10 3, 298) = log(10 ) + log(3, 298) = 2 + log(3, 298) 3, ,426 0, = = , , , = 10 = Disse korrektioner kan nærmest klares i hovedet. b) Diskutér fordele ved logaritmerne i forhold til de prosthaphaeresiske regler. Kan logaritmerne med fordel bruges til andet end multiplikationer?

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Eksponentielle funktioner

Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Potenser, rødder og logartime

Potenser, rødder og logartime Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/0-03 0. Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a),

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET

TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET TIL UNDERVISEREN Dette undervisningsmateriale tager udgangspunkt i programserien Store Danske Videnskabsfolk og specifikt udsendelsen om Tycho Brahe. Skiftet fra det geocentriske

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

Matematikken i Danmark på Tycho Brahes tid

Matematikken i Danmark på Tycho Brahes tid Matematikken i Danmark på Tycho Brahes tid Et undervisningsforløb i matematikkens historie målrettet 2. og 3. g. A F E SBEN W ENDT L ORENZEN Matematikken som historisk vindue Matematik som videnskab er

Læs mere

Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen

Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen Indledning Det er velkendt, at mange skytter skyder over målet, når der skydes i kuperet terræn, eller fra bygninger, hvor man ikke skyder lige på målet

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii Årsplan Matematrix. kl. A Første halvår Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Dette er samtidig et redskab for

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver

Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver Generelle kommentarer omkring løsning af fysikopgaver Det skal tydeligt fremgå af besvarelsen hvilken tankegang, der ligger bag løsningen. Dvs. fyldestgørende og præcis forklaring, men samtidig så kort

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii Årsplan 08/9 Matematik. årgang TriX A Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Kapitlet har især fokus på kerneområderne

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet penge Periode Mål Eleverne skal: Lære at anvende simpel hovedregning gennem leg og praktiske anvende addition og

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012 Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-35 Kendskab og skriftligt arbejde At finde elevernes individuelle niveau samt tilegne mig kendskab til deres

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår19, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Spilleregler. Vær opmærksom på, at spillet kan gennemføres ved kun at udføre 3 missioner (ud af de 6 der opført her).

Spilleregler. Vær opmærksom på, at spillet kan gennemføres ved kun at udføre 3 missioner (ud af de 6 der opført her). Spilleregler Denne lille guide har til formål at hjælpe dig som lærer med at få et overblik over de opgaver, eleverne skal udføre i løbet af spillet. Herunder kan du finde en trinvis gennemgang af, præcis

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

MUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 1.-3. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse!

MUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 1.-3. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! MUSEET PÅ VEN Lærervejledning 1.-3. klasse Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! Denne vejledning er tænkt som et tilbud for dem der godt kunne tænke sig at

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Vinkelmåling med sekstant

Vinkelmåling med sekstant Vinkelmåling med sekstant I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?.

Jeg ville udfordre eleverne med en opgave, som ikke umiddelbar var målbar; Hvor høj er skolens flagstang?. Hvor høj er skolens flagstang? Undersøgelsesbaseret matematik 8.a på Ankermedets Skole i Skagen Marts 2012 Klassen deltog for anden gang i Fibonacci Projektet, og der var afsat ca. 8 lektioner, fordelt

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

Mattip om. Ligninger 1. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. Hvad en ligning er. Hvordan du kan genkende en ligning

Mattip om. Ligninger 1. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. Hvad en ligning er. Hvordan du kan genkende en ligning Mattip om Ligninger 1 Du skal lære: Hvad en ligning er Kan ikke Kan næsten Kan Hvordan du kan genkende en ligning Ligningsløsning ved gæt og kontrol Reducering og løsning af ligninger 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Indhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv.

Indhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv. Indhold Kontrol af resultater, skrivemåder osv.... 1 Om materialer:... 2 Om opgaverne... 2 1.0 Om regningsarternes hierarki og talforståelse... Opgave 1.1... 4 Opgave 1.2... 4 Opgave 1.... 4 R1 Kortfattet

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere