Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2017 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik A Kasper Huss Jønsson 2.yz Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4 Titel 5 Titel 6 Titel 7 Titel 8 Titel 9 Titel 10 Titel 11 Titel 12 Tal og bogstavregning Trigonometri Geometri i planen Funktioner Differentialregning Trigonometriske funktioner Vækstmodeller regression. Integralregning Rumgeometri Differentialligninger Statistik Historisk matematik Side 1 af 13
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb) Titel 1 Tal og bogstavregning Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A1 stx. Systime 2005-2010 Kap 1 Tal- og bogstavregning s. 8-44. Kap. 2 Ligninger og uligheder s. 48-89. Kap.3 Rødder og potenser s. 94-110. - Regningsarternes hierarki - Brøkregning - Parentesregneregler - Kvadratsætningerne - Numerisk værdi - Førstegradsligninger - 2 ligninger med 2 ubekendte - Andengradsligningen - Uligheder - Potenser, rødder Omfang Ca. 9 % Matematikkens symbolsprog kontra naturligt sprog. Få overblik over de basale regneregler og begreber inden for matematikken. Løsning af forskellige typer ligninger. Løsninger til andengradsligningen (Kap. 2 sætning 1 s.57). Klasseundervisning Arbejde i grupper, par og enkeltvis Side 2 af 13
Titel 2 Trigonometri Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A1 stx. Systime 2005-2010 Kap 4 Trigonometri s.124-145. Omfang Ca. 6 % - Ensvinklede trekanter - Definition af cosinus, sinus og tangens ved enhedscirklen - Beregning af sider og vinkler i retvinklede trekanter. - Sinus- og cosinusrelationerne. - Areal af trekanter. - Det dobbelttydige tilfælde ved brug af sinusrelationerne til bestemmelse af vinkler. Beregninger i forskellige typer trekanter. Benyttelse af cosinus, sinus og tangens til beregning af vinkler og sider. Forståelse for hvornår de forskellige formler skal benyttes. Forståelse af den bagvedliggende teori. Bevisførelse. Brug af CAS (TI-89). Sinusrelationerne (Kap.4 sætning 4 s. 137-138). Cosinusrelationerne (Kap. 4 sætning 5 s. 140-141). Lærerstyret klasseundervisning med eksempelbrug Arbejde parvis og enkeltvis Side 3 af 13
Titel 3 Geometri i planen Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A1 stx. Systime 2005-2010 Omfang Ca. 16 % Kap 5 Linjer og vektorer s.164-205. Kap. 6 Cirkler og vinkler s. 208-230. Kap. 7 Linjer og afstande s. 234 258. - Afstandsformlen - Rette linjer, linjer i planen beskrevet ved en normalvektor, ortogonale linjer - Vektorer i planen, vektor mellem 2 punkter, længde af vektor, retningsvektorer, tværvektorer, normalvektorer - Cirklens ligning, cirkeltangent - Linjers skæring - Skalarprodukt og determinant - Vinkel mellem vektorer - Projektion af vektor på vektor - Afstand fra punkt til linje - Skæring mellem cirkel og linje Introduktion til vektorbegrebet og forståelse af dette Benyttelse af de forskellige formler og sætninger inden for plangeometri Forståelse af den bagvedliggende teori. Bevisførelse. Vinkel mellem 2 vektorer (Kap. 6 sætning 3 s. 220-221). Afstand fra punkt til linje (Kap. 7 sætning 2 s. 238-239). Lærerstyret klasseundervisning med eksempelbrug Arbejde parvis og enkeltvis Side 4 af 13
Titel 4 Funktioner Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A1 stx. Systime 2005-2010: Omfang Ca. 13 % Kap 8 Funktioner s. 262-284. Kap. 9 Vigtige funktioner s. 288-332. Kap. 10 Eksponentialfunktioner s. 338-353. Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A2 stx. Systime 2006-2008: Kap. 1 Logaritmefunktioner s. 14-29. - Funktionsbegrebet, definitions- og værdimængde, graf. - Monotoniforhold, maksimum og minimum, ekstremumpunkter. - Regning med funktioner, sammensatte og omvendte funktioner. - Andengradspolynomier - Lineære funktioner, ligefrem og omvendt proportionalitet - Kvadratrodsfunktionen. - Potensfunktioner. - Eksponentialfunktioner, den naturlige eksponentialfunktion og renteformlen - Ti-talslogaritmen, den naturlige logaritmefunktion. Regning med funktioner. Grafiske og algebraiske løsninger. Forståelse af sætninger og den bagvedliggende teori. Bevisførelse. Tegne forskellige funktioner på CAS (TI-89) og brug af solve-funktionen. Formel for fordoblingskonstanten (A2 - Kap. 1 sætning. 2 s. 25-26). Faktoropløsning af andengradspolynomiet (A1 Kap. 9 s. 311). Toppunkt for andengradspolynomiet (A1 Kap. 9 s. 305-307). Klasseundervisning og brug af Geogebra til illustration af begreber Arbejde i par og i grupper.. Side 5 af 13
Titel 5 Differentialregning Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A2 stx. Systime 2006-2008: Omfang Ca. 14 % Kap 3 Differentialkvotient s. 86-107. Kap. 4 Regneregler for differentilkvotienter s. 110-132. Kap. 6 Monotoniforhold s. 180-192. - Kontinuitet- og grænseværdibegreberne (kun intuitivt). - Funktionstilvækst y, differenskvotient (sekantens hældning), differentialkvotient, differentiabilitet, tangenter og sekanter, 3-trinsreglen. - 3-trinsreglen benyttet på: lineære funktioner, andengradspolynomier og kvadratrodsfunktionen. - Ligning for tangent. - Regneregler for differentialkvotienter: Sum, differens, produkt (med bevis), brøkreglen (uden bevis), sammensat funktion (uden bevis). - Afledet funktion og væksthastighed. - Monotoniforhold, monotonilinje, ekstremumspunkter - Optimeringsproblemer. Differentiation både uden hjælpemidler og på CAS. Grafisk forståelse af differentialkvotienter og 3-trinsreglen. Praktisk benyttelse af differentialregning til bestemmelse af monotoniforhold og til optimeringsproblemer. Bevisførelse. Bestemmelse af differentialkvotient til kvadratrodsfunktionen vha. 3- trinsreglen (A2 Kap. 3 s. 103-104). Bestemmelse af differentialkvotient til andengradspolynomiet vha. 3- trinsreglen (A2 Kap. 3 s. 102-103). Produktreglen (A2 Kap. 4 s. 114-116 Klasseundervisning og forståelse via Geogebra Arbejde i grupper, parvis og enkeltvis Temaopgave (repetitionsopgaver i differentialregning) og skriftlige opgavesæt. Side 6 af 13
Titel 6 Trigonometriske funktioner Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A2 stx. Systime 2006-2008: Omfang Ca. 3 % Kap 7 Trigonometriske funktioner s. 210-222. - Radiantal (omregning mellem grader og radianer) - Omløbsretning - Grafer for sinus og cosinus - Ligninger indeholdende sinus- og cosinusfunktionerne. Differentiation af sinus (bevis), cosinus (uden bevis) og tangens (uden bevis). Forståelse af radianer og sammenhæng med gradtallet. Graferne for sinus og cosinus. Bevisførelse. Differentiation af sin(x) vha. 3-trinsreglen (A2 Kap. 7 s. 217-218). Lærerstyret tavleundervisning med dialog Arbejde enkeltvis og i par Side 7 af 13
Titel 7 Vækstmodeller - regression. Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A2 stx. Systime 2006-2008: Kap 5 Regression og vækst s. 140-156. - De tre typer vækst og deres egenskaber: Lineær, eksponentiel og potens. - Korrelation - Regression på CAS (TI-89). - Absolut og relativ (%) tilvækst. Omfang Ca. 3 % At kunne foretage regression på CAS (TI-89). Egenskaberne for de 3 typer sammenhæng og kunne identificere de 3 typer. Klasseundervisning Arbejde enkeltvis og i par Side 8 af 13
Titel 8 Integralregning Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A3 stx. Systime 2007-2008: Omfang Ca. 10 % Kap. 1 Stamfunktion og integral s. 14-24. Kap. 2 Areal og bestemt integral s. 32-52, 54-56. - Definition af stamfunktion og ubestemt integral. - Regneregler for ubestemte integraler (uden bevis). - Integration ved substitution. - Definition af arealfunktionen, sammenhængen mellem arealfunktion og stamfunktion. - Det bestemte integral, regneregler for bestemte integraler (bevis) - Bestemmelse af arealer vha. bestemte integraler. - Rumfang af omdrejningslegemer. Forståelse af stamfunktionsbegrebet Integration uden hjælpemidler og vha. CAS (TI-89) Grafisk forståelse af sammenhængen mellem areal og integraler Bevisførelse Regneregler for bestemte integraler (A3 Kap. 2 sætning. 3 s. 44-45). Klasseundervisning, brug af Geogebra til illustration Arbejde parvis og enkeltvis Side 9 af 13
Titel 9 Rumgeometri Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A3 stx. Systime 2007-2008: Omfang Ca. 10 % Kap. 4 Rumgeometri 1 s. 98-123. Kap. 5 Rumgeometri 2 s. 126-151. - Punkter i rummet, regning med vektorer i rummet - Midtpunkt af linjestykke - Skalarprodukt definition, regneregler - Længde af vektor - Afstandsformlerne (mellem to punkter og mellem punkt og plan) - Vinkel mellem vektorer i rummet, vinkel mellem planer og vinkel mellem linje og plan. - Parameterfremstilling af linje i rummet - Skæring mellem linjer, skæring mellem linje og plan og mellem planer - Planer i rummet - Projektion af punkt på plan, afstand mellem punkt og plan - Vektorprodukt (krydsprodukt) og egenskaber ved vektorproduktet - Kuglens ligning, tangentplan til kugle, skæring mellem kugle og linje. Grafisk forståelse for rumgeometri og de forskellige begreber. At kunne forstå og benytte de forskellige sætninger og formler og bruge dem i de rigtige sammenhæng. Forståelse af den bagvedliggende teori. Bevisførelse. Længden af vektorproduktet er lig arealet af parallelogrammet udspændt af de 2 vektorer (A3 Kap. 5 sætning 1 s. 132-133). Formlen for afstanden mellem et punkt og en plan (A3 Kap. 5 s.138-139). Klasseundervisning Arbejde enkeltvis og i par Side 10 af 13
Titel 10 Differentialligninger Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A3 stx. Systime 2007-2008: Kap. 3 Differentialligninger s. 76-96. - Differentialligningsbegrebet, løsningskurve og linjeelement. - Løsning af differentialligninger af typerne: y = ky y + ay = b y + ay = h(x) y + g(x) y = h(x) y = y (b ay) y = k y (m y). - Tangentbestemmelse vha. differentialligninger - Opstilling af differentialligninger ud fra sproglig formulering. - Logistisk vækst Omfang Ca. 7 % Forståelse af differentialligninger og deres løsningskurver (grafisk). Brug af CAS (TI-89) til løsning af differentialligninger. Identificering og løsning af simple differentialligninger. Fuldstændige løsning til differentialligningen dy/dx = k y (A3 Kap. 3 sætning 1 s. 82). Klasseundervisning, eksempelbrug. Arbejde parvis og enkeltvis Side 11 af 13
Titel 11 Statistik Indhold Carstensen, Frandsen og Studsgaard: MAT A2 stx. Systime 2006-2008: Omfang Ca. 8 % Kap. 2 Statistik s. 44-57, 60-76. Grøn, Felsager, Bruun og Lyndrup: Hvad er matematik? L&R Uddannelse, København 2011. Kap. 9 S. 292-297, 301-319, 322-324 (Udleveret som note). - Ugrupperede og grupperede observationssæt - Frekvens, kumuleret frekvens, stolpediagram, kvartilsæt, middeltal. - Histogram uden y-akse, sumkurve, kvartilsæt, fraktiler, middelværdi, varians og spredning. - Frekvensfunktion og fordelingsfunktion. - Normalfordelingen - χ 2 -test for uafhængighed - Goodness of fit. - Centrale begreber: Nulhypotese, alternativ hypotese, observerede værdier, forventede værdier, teststørrelse, teoretisk p-værdi vha. χ 2 - fordelingen med n frihedsgrader, kritisk værdi, antal frihedsgrader. - Brug af TI-89 ved både GOF og uafhængighedstest. - Eksperimenter: Farvefordeling af M&M S - GOF. - Blindtest af cola binomialtest. - Stikprøver og fejlkilder Arbejde med faktuelt datamateriale, relation til virkelighed Forståelse af de forskellige statistiske deskriptorer. Brug af TI-89 til hypotesetest Klasseundervisning, gennemgang af eksempler fra virkeligheden. Eksperimenter og indsamling af egne data til behandling. Arbejde gruppevis og enkeltvis og temaopgave (Titanic og M&M s) Side 12 af 13
Titel 12 Historisk matematik Indhold Simon Singh og John Lynch: Fermat s Last Theorem (BBC dokumentar fra 1996). Omfang Ca. 1 % Nick Murphy: 1-tallets historie (BBC dokumentar fra 2005). - Pierre de Fermat, Fermats sidste sætning - Andrew Wiles bevis, formodning vs. Sætning - Vores talsystems historie 1-tallets særlige betydning. Matematikkens væsen, indblik i hvordan matematikere arbejder med matematik. Indblik i tallenes historie, hvordan opstod tallene. Film Klassediskussion Side 13 af 13