מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל

אוניברסיטת תל אביב מבוא להסתברות וסטטיסטיקה לתלמידי הנדסת חשמל חוברת התרגול נערך ע''י אופיר הררי ofirhara@post.tau.ac.il

תוכן עניינים 4 1 מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות 8 מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה 1 3 קומבינטוריקה בסיסית 18 4 הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות 6 5 משתנים מקריים, התפלגויות בדידות 34 6 משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב 41 7 התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון 49 8 תוחלת ושונות 58 9 הפונקציה יוצרת המומנטים 6 10 ההתפלגות הנורמלית 68 11 התפלגויות דו מימדיות, התפלגות מותנית, אי תלות 79 1 שונות משותפת ומתאם 91 13 משפט התוחלת השלמה, סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים 97 14 אי שוויונות, חוקי מספרים גדולים ומשפט הגבול המרכזי 11 15 הסקה סטטיסטית, שערוך אופטימלי 1 16 שאלות חזרה 141 17 שאלות העשרה 1

הקדמה חוברת זו מיועדת לתלמידי הקורס ''מבוא להסתברות וסטטיסטיקה'' הניתן לתלמידי הנדסת חשמל באוניברסיטת תל אביב, אך התכנים אותם היא מכסה מתאימים ברובם לכלל תלמידי הפקולטה להנדסה. הגרסא הראשונית של חוברת זו נערכה בתקופה שקדמה לסמסטר ב' של שנת הלימודים תש''ע 010) והתבססה על תרגילים שנאספו לאורך השנים על ידי מרצים ומתרגלים שונים, וביניהם: ד''ר שלומי רובינשטיין, ד''ר רועי טפר, ד''ר יובל הלר, ד''ר גייל גלבוע פרידמן וד''ר ריקי רות גרין. מאז ועד עתה החוברת ממשיכה להתעדכן בקביעות בהתאם לשינויים בתכנית הקורס ובצרכי הסטודנטים כפי שהם משתקפים בהרצאות ובכיתות התרגול. החוברת כוללת כ 90 תרגילים רובם מרובי סעיפים) ופתרונות מלאים במגוון נושאים, המהווים את הבסיס לשיעורי התרגול הניתנים ב 14 השבועות בהם ניתן הקורס. הערות ותיקונים יתקבלו בברכה בכתובת הדואר האלקטרוני שלי המופיעה על עמוד השער. אופיר 3

פרק 1 מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות הגדרות קבוצה היא אוסף של עצמים שונים, ללא חשיבות לסדר הופעתם כאשר אין משמעות לאיבר המופיע יותר מפעם אחת). אם x הוא איבר בקבוצה A נרשום x, A אחרת הקבוצה הריקה) } { φ, {פיטר שילטון,דייגו מראדונה,סוס, 1,3,a }, A קבוצת המספרים הממשיים, R נרשום x. / A דוגמאות לקבוצות: קבוצת המספרים השלמים חיוביים ושליליים), Z { }, B {,3,4,5,6} x Z x 6, C. C[0,1] { x+iy { f : [0,1] R } x,y R, i 1 } f רציפה נאמר שקבוצה A מוכלת בקבוצה B ונסמן A B אם לכל a A מתקיים.a B.A B. B נקראת תת קבוצה של A B. B A וגם A B אם A B { x פעולות על קבוצות: }.1 החיתוך של קבוצות A ו B הוא x A וגם x B הערה 1 קבוצות A ו B תקראנה זרות אם.A B φ בהתאם, קבוצות A 1 A,..., n תקראנה זרות בזוגות אם כל זוג קבוצות A i ו A j כאשר i < j n 1 הן זרות. 4

פרק 1. מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות.A B { x }. האיחוד של קבוצות A ו B הוא x A או x B 3. נהוגלהניחאתקיומהשלקבוצה''אוניברסלית''הכוללתאתכלהאיברים. קבוצהכזו אותה מרחב המדגם ומסמנים נקראת בדרך כלל העולם ובתורת ההסתברות } מכנים.Ā {ω אותה ב Ω. המשלים של קבוצה A יהיה אם כן Ω ω / A { }.4 נגדיר הפרש של קבוצות ע''י.A\B x A x / B A B A B A A B B A B Ω Ω A A A A\B B B\A Ω Ω איור 1.1: משמאל למעלה, בכיוון השעון: דיאגרמות וון של החיתוך של A ו B, האיחוד של A ו B, ההפרש הסימטרי של A ו B והמשלים של A. תכונות סימטריות: A B B A.1 A B B A. אסוציאטיביות: 5

פרק 1. מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות A B C) A B) C.1 A B C) A B) C. דיסטריביוטיביות: A B C) A B) A C).1 A B C) A B) A C). כללי דה מורגן: A B Ā B.1 A B Ā B. דוגמאות 1. מטילים קובייה הוגנת. נסמן ב A את אוסף התוצאות הזוגיות, ב B את אוסף התוצאות שאינן עולות על 3 וב C את אוסף התוצאות האי זוגיות. א) רשמו את מרחב המדגם Ω בצורה מפורשת, A ו B. ב) רשמו את A B,A B ו B. ג) מהו?A B C האם B A, ו C זרות בזוגות? א) {1,,3,4,5,6} Ω. B {1,,3}, A {,4,6}, ב) {} A B B {4,5,6}, A B {1,,3,4,6},. ג),A B C φ אך B,A ו C אינן זרות בזוגות שכן.A B φ. הוכיחו את כלל הדיסטריביוטיביות הראשון:. A B C) A B) A C) נניח ש C),x A B אזי x A וגם,x B C כלומר: x A וגם x B או ש x A וגם,x C ומכאן ש A C),x A B) לכן C) A B. A B) A C) להיפך, נניח ש A B) A C),x אזי x A B או ש.x A C אם x A B אזי x A וגם,x B ולבטח x A וגם x B C מאחר ו,B B C ולכן C).x A B באופן זהה מראים שאם x A C אזי.A B) A C) A B C) ובכל מקרה,x A B C) הראינו הכלה דו כיוונית, ולכן הקבוצות שוות. 6

פרק 1. מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות 3. הוכיחו את הכללת כלל דה מורגן השני:. n A i n i1 i1 Ā i n n n ω A i ω / A i ω / A i i ω Āi i ω Ā i. i1 i1 i1 ולכן הקבוצות שוות. n n וגם Ā i A i i1 i1 n n הראינו ש A i Ā i i1 i1 7

פרק מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה תזכורת: יהא Ω מרחב המדגם של ניסוי כלשהו. מידת הסתברות על Ω היא פונקציה { } אוסף תתי P : R הקבוצות של Ω המקיימת את התכונות הבאות הנקראות אקסיומות ההסתברות):.A לכל מאורע PA) 0.1.PΩ) 1. ).A 1,A,... לכל סדרת מאורעות זרים בזוגות P A i P A i ).3 i1 i1 תחת הנחת האקסיומות הנ''ל ניתן להוכיח כי מידת הסתברות מקיימת גם את התכונות הבאות:.A לכל מאורע 0 PA) בפרט 1 ולכן, A B עבור PA) PB).1.Pφ) בפרט 0 ולכן, A לכל מאורע P Ā ) 1 PA). יחדיו, הזוג Ω,P) נקרא מרחב הסתברות למעשה היה עלינו להגדיר מושג נוסף שדה מאורעות, F אך זה אינו נכלל בחומר הקורס). כאשר Ω היא קבוצה סופית של תוצאות נאמר ש Ω,P ) מרחב הסתברות סופי. אם בנוסף Pω) זהה לכל ω Ω נאמר ש Ω,P ) מרחב הסתברות סימטרי. במרחב הסתברות סימטרי מתקיים A, PA) כאשר מייצג את גודל המאורע. Ω 8

פרק. מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה לכל זוג מאורעות A ו B מתקיים עקרון ההכלה וההפרדה. PA B) PA)+PB) PA B) בדומה, עבור שלושה מאורעות PA B C) PA)+PB)+PC) PA B) PA C) PB C)+PA B C), ובהכללה למספר כלשהו של מאורעות n ) P A i i1 n n PA i ) PA i A j ) i1 1 i<j n n + PA i A j A k ) + 1) n 1 PA 1... A n ). 1 i<j<k n דוגמאות: 1. מטילים קובייה פעמיים. א) מהו מרחב המדגם? ב) נסמן ב A את המאורע שתוצאות שתי ההטלות זהות וב B את המאורע שסכום ההטלות 4. רשמו את המאורעות A ו B. ג) חשבו את הסתברות כל אחד מן המאורעות. ג) { } א) {1,...,6} Ω 36 ; Ω x 1,x ) : x 1,x { } { } ב) 1,1),,),...,6,6) A. B 1,3),,),3,1),. PA) A Ω 6 36 1 6, PB) B Ω 3 36 1 1. קוף מקליד באופן אקראי 5 פעמים על מקלדת בת 100 מקשים. א) מהו מרחב המדגם של הניסוי? מהו גודלו? 9

פרק. מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה ב) יהא A המאורע שמתקבל במקום כלשהו בפלט הרצף ''גאון''. אילו תוצאות מממרחב המדגם מכיל A? ג) מהי ההסתברות ל A? מטעמי נוחיות נסמן את המקשים השונים במקלדת ב a. 1 a, a,..., 100 { } א) } 100 Ω 100 5, Ω x 1,...,x 5 ) : x 1,...,x 5 {a 1,...,a { } ב) } 100 {a 1,...,a :,ג,א,ו,ן),ג,א,ו,ן, ) A A 00, ג) 10 8 5 00/100 PA) 3. סקר שנערך באוניברסיטאות העלה: 30% מהסטודנטים לא שותים 50% מהסטודנטים לא מעשנים 35% מהסטודנטים גם שותים וגם מעשנים א) כמה סטודנטים לא שותים ולא מעשנים? ב) בנוסף העלה הסקר כי: 60% מהסטודנטים משחקים סנוקר, ורבע מאלו המשחקים סנוקר גם מעשנים ושותים. חצי מהסטודנטים שלא שותים לא משחקים סנוקר. חמישית מהסטודנטים שלא מעשנים לא משחקים סנוקר. מהו אחוז הסטודנטים שלא שותים, לא מעשנים ולא משחקים סנוקר? א) נגדיר A שותה, B מעשן, ונזכר בעקרון ההכלה והדחייה לשני מאורעות: מהנתונים כעת. PA B) PA)+PB) PA B) P A) 1 0.3 0.7, P B) 1 0.5 0.5 ו 0.35 A B) P ולכן 0.85 0.7+0.5 0.35 PA B).. P Ā B ) P A B ) 1 P A B) 1 0.85 0.15 10

פרק. מרחב הסתברות סימטרי, הכלה והפרדה ב) נסמן בנוסף C משחק סנוקר, ועל פי המידע הנוסף. P Ā C ) ו 0.15 P B C) 0.1, PC) 0.6 בהתאם PA C) PA)+PC) PA C) [ ] PA)+PC) 1 PĀ C) 0.7+0.6 1 0.15) 0.45, PB C) PB)+PC) PB C) PB)+PC) [ 1 P B C) ] 0.5+0.6 1 0.1) 0. ולסיום נפעיל את עקרון ההכלה והדחייה לשלושה מאורעות PA B C) PA)+PB)+PC) PA B) PA C) PB C) +PA B C) 0.7+0.5+0.6 0.35 0.45 0.+0.15 0.95 ולפיכך 0.05 1 0.95 C), P Ā B C ) 1 PA B כלומר: 5% מהסטודנטים לא שותים, לא מעשנים ולא משחקים סנוקר. 11

פרק 3 קומבינטוריקה בסיסית תזכורת: מספר הצירופים תת קבוצות) בגודל k מתוך n עצמים שונים הוא המקדם הבינומי ) n n!. k k!n k)! זהו מספר האפשרויות לבחור k עצמים מתוך n ללא החזרה. מספר התמורות סידורים בשורה) של n עצמים שונים הוא!n. מספר האפשרויות לבחור עם החזרה k עצמים מתוך n עצמים שונים הוא. n k עקרון החיבור: אם B m, A n ובנוסף A B φ אזי. A B m+n עקרון הכפל: אם B m, A n ונגדיר את המכפלה הקרטזית של A ו B להיות. A B n m אזי A B { a,b) a A, b B } דוגמאות: 1. בכתה 14 בנים ו 16 בנות. א) מה מספר הדרכים לבחור ועד בן 3 תלמידים כך ש i. הועד לא ימנה רק בנים?.ii ראש הועד יהיה בן?.iii ייבחרו בנפרד ראש ועד, ממלא מקום וגזבר? 1

פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית ב) בכמה אופנים נוכל לבחור ועד כתה בן 5 תלמידים, ועדת קישוט בת 3 תלמידים ושני נציגים למועצת התלמידים? ) 30 א) i. סך כל האפשרויות לבחור ועד בן 3 תלמידים הוא, כאשר מספר הועדים ) 3 ) 30 14 המונים בנים בלבד הוא, לכן מספר הועדים המבוקשים הוא 3 3 ) 14. דרך אלטרנטיבית היא לספור את מספר הועדים בהם ישנה בת אחת, 3 שתיים או שלוש, ולקבל ) ) ) ) ) 16 14 16 14 16. + + 1 1 3 אפשר לבדוק שבשני המקרים מקבלים 3696..ii כאן קודם כל עלינו ) לבחור בן אחד מתוך 14 ולאחר מכן תלמידים מתוך 9 ה 9 הנותרים, ובסה''כ 14..iii כאן נצטרך לבחור תלמיד אחד מתוך 30 להיות ראש הועד, אחד מבין 9 הנותרים להיות ממלא המקום ואחד מבין 8 הנותרים להיות הגזבר, ובסה''כ 8 9 30. דרך נוספת לראות זאת היא לבחור 3 תלמידים לועד ואז לחלק את התפקידים ב! 3 אופנים, כלומר ) 30. 3! 3 ב) נבחר 5 תלמידים לועד הכתה מתוך ה 30, מבין 5 הנותרים נבחר 3 לועדת קישוט, ובסופו של תהליך נבחר תלמידים מתוך ה הנותרים. לסיכום: ) ) ) 30 5. 5 3 דרך נוספת לבחון את הבעיה היא סידור בשורה שבה כל מקום מייצג תלמיד) של 30 כדורים, כאשר על 5 מתוכם כתוב ''ועד כתה'', על 3 אחרים כתוב ''ועדת קישוט'', על שניים נוספים ''מועצת תלמידים'' ועל היתר לא רשום כלום. סך כל הסידורים של 30 כדורים בשורה הוא!30, אך כשמקזזים את הסידורים הפנימיים של כל קבוצת כדורים מקבלים, 30! 5! 3!! 0! וכל אחד יכול לפתוח את הביטויים ולראות שהם שווים. 13

פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית. כמה פתרונות במספרים טבעיים יש למשוואה? x 1 +x + +x m n נמיר את הבעיה המקורית לבעיה שקולה: מהו מספר הדרכים לחלק n כדורים זהים ל m תאים שונים ממוספרים m 1)? נדמיין את הכדורים מסודרים בשורה כאשר m התאים מוגדרים ע''י 1 m מקלות החוצצים בין הכדורים: לפנינואםכןהבעיהשלסידורn+m 1 עצמיםמשניסוגיםבשורה, כאשרn מןהעצמים הם מסוג אחד הכדורים) ו 1 m האחרים הם מן הסוג השני. התשובה, אם כן, היא ) n+m 1)! n+m 1. n!m 1)! n 3. מגרילים באקראי מטריצה n k מתוך {m,...,1,}. א) כמה מטריצות כנ''ל קיימות? ב) בכמה מן המטריצות הנ''ל בדיוק r מן האיברים הם '1'? ג) בהנחה שהמטריצה ריבועית k n) בכמה מן המטריצות הנ''ל מופיע '1' אחד בדיוק בכל שורה ובכל עמודה? א) במטריצה nk תאים, אשר עשוייםלקבלכלאחדמאיברי {m,...,1,} באופןבלתי תלוי זה בזה, ובסה''כ m nk בחירות אפשריות למטריצה. ) nk ב) ראשית נבחר r מקומות עבור '1': לצורך כך ישנן בדיוק בחירות אפשריות. r כעת נמלא ) באופן אקראי את nk r התאים האחרים מתוך {m,...,}, ובסה''כ nk 1 m) nk r מטריצות שונות עונות על הדרישה. r ג) מס' הדרכים לבחור מקומות ל ' 1 ' כך שיהיה אחד בדיוק בכל שורה ובכל עמודה הוא כמס' הדרכים לסדר את {n,...,1} בשורה, כלומר:!n. לדוגמא, המטריצה הבאה 1 1 1 1 מתאימה לסידור 3,),1,4 המקום השני בשורה הראשונה, הראשון בשורה השניה, הרביעי בשורה השלישית והשלישי בשורה הרביעית). לאחר שסיימנו למקם את ה ' 1 ' ים, כל שנותר הוא למלא את יתר n n התאים באיברים מתוך {m,...,}, ובסה''כ nn 1) n!m 1) מטריצות שונות עונות על הדרישה. 14

פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית 4. ביטוי מתמטי תקין הכולל n סוגריים שמאליים דהיינו ')' ו n סוגריים ימניים ) '' הוא כזה שבו מס' הסוגריים הימניים בשום שלב לא עולה על מס' הסוגריים השמאליים. ) ) ) ) לדוגמא: הוא ביטוי מתמטי תקין, בעוד ש אינו ביטוי מתמטי תקין. ) ) ) ) ) א) מהו מס' הביטויים המתמטיים התקינים הכוללים n סוגריים שמאליים ו n סוגריים ימניים? ב) מהי ההסתברות שביטוי מתמטי אקראי הכולל n סוגריים שמאליים ו n סוגריים ימניים יהיה תקין? א) מס' הסידורים הכולל של n זוגות סוגריים ) כנ''ל הוא כמס' הבחירות עבור המקומות n בהם נשים את הסוגריים הימניים למשל):. n נתמקד כעת במס' הביטויים שאינם תקינים: בכל ביטוי לא תקין קיים המקום הראשון שבו מס' הסוגריים הימניים עולה לראשונה על מס' הסוגריים השמאליים. עד אותו המקום מס' הסוגריים הימניים שווה בדיוק למס' הסוגריים השמאליים. לאחר אותו מקום ועד סוף הביטוי) מס' הסוגריים השמאליים גדול ב 1 ממס' הסוגריים הימניים זאת כי בסופו של ביטוי מס' הסוגריים מכל סוג משתווה).. ) ) ) }{{} 3 מכל סוג ) שמאליים ו 1 ימני {}}{ ) בדוגמא שלנו: נשתכנע כעת כי מס' הביטויים שאינם תקינים הוא כמס' הביטויים הכוללים n סוגריים, כאשר מתוכם 1+n ימניים: כל ביטוי לא תקין ניתן להפוך לביטוי כנ''ל ע''י החלפת כל סוגר ימני החל מהמקום בו לראשונה עולה מס' הסוגריים הימניים על מס' הסוגריים השמאליים לא כולל) בסוגר שמאלי, ולהיפך. כך למשל בדוגמא שלנו יהפוך הביטוי המקורי ל. ) ) ) }{{} 3 מכל סוג ) 1 שמאלי ו ימניים {}}{ ) ) 15

פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית להיפך: בהנתן ביטוי עם 1+n סוגריים ימניים ו n 1 סוגריים שמאליים, נוכל לשחזר ממנו ביטוי לא תקין עם n סוגריים מכל סוג ע''י ביצוע הפעולה ההפכית איתור המקום הראשון בו מס' הימניים עולה על מס' השמאליים והחלפת סוגי הסוגריים לאחריו). לדוגמא: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) }{{}}{{} 3 שמאליים ו 5 ימניים 4 שמאליים ו 4 ימניים הראינו אם כן שקיימת התאמה חד חד ערכית בין מס' הביטויים הלא תקינים הכוללים n סוגריים שמאליים ו n סוגריים ימניים לבין מס' הביטויים הכוללים + n ) 1 סוגריים ימניים ו 1 n סוגריים שמאליים, ומספרם של האחרונים הוא כמובן n, ולפיכך n+1 מס' הביטויים הלא תקינים מס' הביטויים הכולל מס' הביטויים התקינים ) ) n n n)! n n+1 n!n! n)! n+1)!n 1)! n)! n!n! [ 1 n ] 1 ) n n+1 n+1 n. 3.1) סדרת המספרים 3.1 מוכרת כ ''סדרת מספרי קטאלן''.Catalan) ב) כאמור, גודל מרחב ) המדגם כלל הביטויים האפשריים עם n סוגריים ימניים ו n n סוגריים שמאליים) הוא, ולכן ההסתברות שביטוי אקראי יהיה תקין היא n ) 1 n n+1 n. ) 1 n n+1 n.5 תהיינה {a,b,c} X ו {1,,3,4} Y שתי קבוצות. א) כמה פונקציות f : X Y קיימות? ב) כזכור, פונקציה f : X Y היא חד חד ערכית אם לכל איבר בתמונה של f ). כמה פונקציות יש לכל היותר מקור אחד ב X fx 1 ) fx ) x 1 x חד חד ערכיות f : X Y קיימות? 16

פרק 3. קומבינטוריקה בסיסית ג) כזכור, פונקציה f : Y X היא על אם לכל איבר ב X קיים איבר ב Y שמועתק אליו דרך f. כמה פונקציות על f : Y X קיימות? א) כל אחד מ 3 איברי X יכול לבחור עם החזרה) להיות מועתק לכל אחד מ 4 איברי Y, ולכן מס' הפונקציות האפשריות הוא 64 3 4. ב) נבחר ) 3 איברים מ Y שיהוו את התמונה של f ונחלק אותם באקראי בין איברי X: 4 4!3 פונקציות חד חד ערכיות אפשריות. 3 ג) עלינו לחלק 4 כדורים שונים איברי Y) בין 3 תאים שונים איברי X). ''נצמיד'' מן הכדורים ביחד כך ) שיהוו יחידה אחת, ואת 3 היחידות נחלק באקראי בין 3 התאים, 4 ובסה''כ 36!3 פונקציות מ Y על X. המחשה של הרעיון ניתן לקבל באיור למטה. X a b c Y 1 3 4 17

פרק 4 הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות תזכורת: ההסתברות למאורע A בהנתן שהתרחש מאורע B בעל הסתברות חיובית) הינה. P A B ) def PA B) PB) אם בנוסף A הוא בעל הסתברות חיובית מתקיים כלל בייז Bayes). P A B ) P B A ) PA) PB) i. אזי ניתן לחשב את תהא,... A 1,A סדרת מאורעות זרים בזוגות כך ש A i Ω הסתברות מאורע כלשהו B באמצעות נוסחת ההסתברות השלמה. PB) i P B A i ) PAi ) זוג מאורעות A ו B נקראים בלתי תלויים אם PA)PB). PA B) אם A ו B הם בעלי הסתברות חיובית אזי הם בלתי תלויים. P A B ) PA) ו P B A ) PB) 18

פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות דוגמאות: 1. סער נכנס לקולנוע שבו מוקרן מותחן רומנטי קומי. סער עשוי להתאהב בכוכבת בסיכוי 1/, לחטוף התקפת פחד בסיכוי 1/3 ולחטוף התקפת צחוק בסיכוי 1/6. ידוע כי יקרה לו בדיוק אחד מהמאורעות, אך הוא עלול למות כתוצאה מכל אחד מהם: אם סער מתאהב, ההסתברות שהוא מת מאהבה היא 1/3. אם סער צוחק, קיימת הסתברות של 1/ שהוא ימות מצחוק. בסוף הסרט, כשמצא הסדרן את גופתו של סער, הוא חישב ומצא שההסתברות לכך שהוא מת דווקא מצחוק היא 1/4. מה הסיכוי לכך שכשסער פוחד הוא מת מפחד? נסמן את ההסתברות המבוקשת ב p וניעזר בעץ הסתברויות. סער הולך לסרט 1 6 צוחק 1 3 מפחד 1 מתאהב 1 מת לפי המידע מהסדרן 1 חי p מת סער 1 p חי 1 3 מת 3 חי 4.1). ) 1 סער P 4 P סער מת צחק סער ) מת צחק ) 1/6 1/ ) סער סער P P מת מת נחשב לפי נוסחאת ההסתברות השלמה) סער מת P ) פחד) P ) פחד מת P +התאהב) P ) התאהב מת P 1 3 1 צחק) P ) צחק מת +P +p 1 3 + 1 1 6 p 3 + 1 4,. 1 4 1/1 p/3+1/4 p 1 4 נציב בחזרה ב 4.1 ונקבל 19

פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות. מטילים זוג קוביות עד אשר מתקבל לראשונה סכום מספרים שהוא גבוה מ 10. א) מה ההסתברות שמספר הניסיונות יהיה קטן מ 10? ב) מה הסיכוי שהסכום 1 יתקבל לפני הסכום 11? א) נחשב את ההסתברות לקבל סכום הטלות גדול מ 10 P { 5,6),6,5),6,6) }) 3 36 1 1, P ובהתאם סכום ההטלות קטן מ 10 ) 1 1 1 11 1 וההסתברות שמס' הנסיונות יהיה גדול מ 10 היא ההסתברות שבכל 9 הנסיונות הראשונים נקבל סכום הטלות קטן מ 10, כלומר 11/1) 9. P אם כך פחות מ 10 נסיונות ) 1 P 10 נסיונות ומעלה ) 1 ) 9 11 0.543. 1 P 1 יתקבל לפני 11 1 בנסיון ה k ) P ב) נשים לב שעבור k נתון k 1 ) יתקבל 10 או 11 פחות ב 1 k 1 הנסיונות הראשונים P 1 יתקבל לפני 11 ) P k1 ונחשב באמצעות נוסחאת ההסתברות השלמה ) ) 1 יתקבל 1 בנסיון 1 בנסיון P ה k ה k לפני 11 k1 ) k 1 11 1 1 36 1 36 m0 ) m 11 1 1 36 1 1 11/1 1 3. 0

פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות נראה תוצאה כללית יותר: תהיינה A ו B שתי תוצאות ניסוי שונות המתקבלות בהסתברויות P A ו, P B בהתאמה. חוזרים על הניסוי עד שמתקבלת אחת מהשתיים. נחשב ע''י התנייה בתוצאת הניסיון הראשון: ) A מתרחש p P לפני B ) ) A מתרחש בנסיון 1 בנסיון 1 P P יצא A יצא A לפני B ) ) A מתרחש בנסיון 1 בנסיון 1 +P P יצא B יצא B לפני B A מתרחש +P לפני B ) לא A P ולא B ) לא A ולא B 1 P A +0 P B +p 1 P A P B ) p P A P A +P B. קיבלנו, אם כן, את התוצאה האינטואיטיבית, לפיה ההסתברות להתרחשות A לפני B ו A היא ההסתברות היחסית שלו מתוך מרחב מדגם הכולל את התוצאות B בלבד. נוכל כעת להגדיר A יתקבל סכום הטלות 1 ו B יתקבל סכום הטלות 11 ובהתאם לתוצאה שקיבלנו. PB מתרחש לפני A) 1/36 1/36+/36 1 3 3. סיגנל בינארי מועבר במערכת רועשת. אם הסיגנל הוא '0', ההסתברות שיועבר בטעות ערך '1' היא q 0 ואילו אם הסיגנל הוא '1' ההסתברות שיועבר בטעות '0' היא q. 1 א) נניח שהמקור משדר '0' בהסתברות p ו '1' בהסתברות p 1. מה ההסתברות שיתקבל הסיגנל הנכון? ב) מה ההסתברות לשדר 1011 ללא טעויות? ג) במאמץ לשפר את אמינות המערכת משדרים כל סיגנל שלוש פעמים, והוא מפוענח לפי הרוב אם הרוב הוא '1' אז '1' ולהיפך). מה הסיכוי ש '0' שמשודר יפוענח כראוי? 1

פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות ד) נניחשהמקורמשדר' 0 'בהסתברותp ו ' 1 'בהסתברות 1 p,ונניחשהפענוחמתבצע כמו בסעיף הקודם. התקבלו הסיגנלים 101. מה ההסתברות שהשדר היה '0'? P א) יתקבל הנכון ) P יתקבל הנכון שודר 0 ) P שודר 0 ) +P יתקבל הנכון שודר 1 ) P שודר 1 ) 1 q 0 )p+1 q 1 )1 p) ב) כאן נניח שאין תלות בין השידורים של סיגנלים שונים, ונקבל ) 1011 ללא. P 1 q 0 )1 q 1 ) 3 טעויות ג) על מנת ש 0 יפוענח כראוי יש לפענח נכונה לפחות ) פעמיים מתוך השלוש. נזכור 3 שעבור פענוח נכון של שניים מתוך שלושת השידורים יש אפשרויות, ובסה''כ ) ) 0 3 יפוענח. P 1 q 0 ) q 0 +1 q 0 ) 3 כראוי P ד) ראשית התקבל 101 ) P התקבל 101 שודר 0 ) P שודר 0 ) +P התקבל 101 שודר 1 ) P שודר 1 ) 1 q 0 )q 0p+1 q 1 ) q 1 1 p).

פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות זו ההזדמנות להזכר בנוסחאת Bayes, P A B ) P B A ) PA) PB) P ולחשב שודר 0 התקבל 101 ) P שודר ) התקבל שודר P 101 0 ) התקבל P 101 0 ) 1 q 0 )q 0p 1 q 0 )q 0p+1 q 1 ) q 1 1 p). 4. בספרייה 10 ספרי הסתברות, מהם 5 הכוללים פתרונות. סטודנט המעונין לשאול ספר מקבל את אחד הספרים באקראי עם או בלי פתרונות). נאמר שהגעתם לספריה במטרה לשאול ספר בהסתברות והספרן מיידע אתכם שאחד הספרים כבר הושאל. אתם מקבלים ספר באקראי ומחזירים אותו כעבור 3 ימים, אז מגיע אחד מחבריכם ושואל גם הוא את אחד הספרים. נסמן: A ''הספר ששאלתם כולל פתרונות'' ו B ''הספר שחברכם שאל כולל פתרונות''. האם המאורעות A ו B בלתי תלויים? ראשית, נחשב תוך התנייה על הספר שהושאל מהספרייה לפני בואנו) ) הספר ששאלנו P כולל פתרונות ) ) שאלנו עם הספר שהושאל הספר שהושאל P P עם פתרונות עם פתרונות פתרונות ) ) שאלנו עם הספר שהושאל הספר שהושאל +P P ללא פתרונות ללא פתרונות פתרונות 4 9 5 10 + 5 9 5 10 1, כלומר 1 PB) PA) זאת מפני שבהיעדר מידע על סוג הספר שהושאל לפני בואנו, החבר למעשה חוזר על הניסוי שלנו בתנאים זהים). 3

פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות כעת נוכל לתאר את השתלשלות העניינים האפשרית באמצעות עץ הסתברויות, תוך התמקדות בשני הענפים המובילים ל : A B ספר הושאל מהספריה לפני בואנו 4 9 החבר שאל...... 5 9 החבר שאל... עם פתרונות עם פתרונות... 1 בלי פתרונות 5 9 שאלנו עם פתרונות 1 עם פתרונות 4 9 שאלנו עם פתרונות מהתרשים נלמד ש, PA B) 1 ) 4 + 1 9 ) 5 41 9 16 0.53 0.5 PA)PB) ומכאן שהמאורעות תלויים! יתר על כן. P B A ) P A B) PA) 0.53 0.5 0.506 > PB) איךזהייתכן? ובכן, אםלמשלהספרששאלנוכללפתרונות, הרישהדברמעידעלסבירות גבוהה יותר לכך שכרגע יש בספריה רוב לספרי הסתברות עם פתרונות, מה שמגדיל גם את הסיכוי של חברנו לשלוף בתורו ספר עם פתרונות. 5. המערכת שבציור מכילה מס' רכיבים בלתי תלויים ופועלת בהסתברות של 0.887148. 4

פרק 4. הסתברות מותנית, כלל בייז, אי תלות חלק ב' חלק א' p p 0.9 0.9 0.9 0.8 המערכת פועלת כשורה אם שני החלקים פועלים כשורה. חלק א' פועל כשורה אם לפחות P אחד המסלולים שבו פועל כשורה. מצאו את p. המערכת פועלת אי תלות P ) P חלק ב' פועל חלק א' פועל חלק א' פועל ) P חלק ב' פועל ) ) 0.9 [ 1 P חלק א' מושבת )] 0.9 1 P הענף התחתון מושבת הענף האמצעי מושבת הענף העליון מושבת אי תלות 0.9 1 P הענף העליון מושבת P הענף האמצעי מושבת P הענף התחתון מושבת 0.9 [1 1 p ) 1 0.9) 1 0.8 0.9) ] 0.9 [1 0.08 1 p ) ]. מהנתון: 0.887148 )] 0.9 [1 0.08 1 p, מחלצים באמצעות מעט אלגברה ומקבלים 0.7 p. 5

פרק 5 משתנים מקריים, התפלגויות בדידות תזכורת: משתנה מקרי הוא גודל כמותי הנמדד בניסוי שערכו לא ידוע מראש. משתנה מקרי בדיד X מקבל מספר בן מנייה סדרה) של ערכים,... x 1,x בהסתברויות,... p 1,p בהתאמה. צירוף הערכים ש X מקבל וההסתברויות בהן הם מתקבלים נקרא התפלגות X. רשמית משתנה מקרי הוא פונקציה. X : Ω R לדוגמא, אם X הוא סכום ההטלות בהטלת זוג קוביות מתקיים 4 ) 1,3) X X 6,5) ) 11, וכו'. פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי בדיד X היא הפונקציה. P X x) PX x) P { ω Ω Xω) x }) פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי לאו דוקא בדיד) היא הפונקציה. F X x) PX x) lim ו זוהי פונקציה מונוטונית לא יורדת, רציפה מימין המקיימת 0 Xx) x F. lim x F X x) 1 ניסוי ברנולי הוא ניסוי שתוצאותיו האפשריות הן 'הצלחה' המתקבלת בהסתברות p ו 'כשלון' המתקבל בהסתברות p 1). נניח שמבצעים n ניסויי ברנולי בלתי תלויים ומסמנים ב X את מספר ההצלחות שהתקבלו. במקרה כזה נאמר ש X מתפלג בינומית עם פרמטרים n ו p, נסמן Binn,p) X ומתקיים 6

פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות. PX k) ) n p k 1 p) n k, k 0,1,,...,n k נניח שמבצעים סדרת ניסויי ברנולי בלתי תלויים ומסמנים ב X את מספר הנסיונות שנדרשו עד שהתקבלה 'הצלחה' בפעם הראשונה. במקרה כזה נאמר ש X מתפלג גיאומטרית עם פרמטר p, נסמן Geomp) X ומתקיים. PX k) 1 p) k 1 p, k 1,,... נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג פואסון עם פרמטר λ אם מתקיים PX k) e λλk k!, k 0,1,,... סימון: Poisλ). X מקובל להשתמש בהתפלגות פואסון במודלים של מניית אירועים בזמן מספר השיחות המתקבלות במרכזייה בשעה, מספר הרכבים שעוברים בצומת מסוים בשעות הבוקר וכו'). התפלגות פואסון מתקבלת כגבול של ההתפלגות הבינומית כאשר מספר הנסיונות n שואף לאינסוף וההסתברות להצלחה p שואפת לאפס ביחס ישר למספר הנסיונות. במקרה כזה פרמטר התפלגות פואסון הגבולית יהיה. λ np נניח שברשותנו אוכלוסיה בגודל N הכוללת D פרטים ''מיוחדים'' ואנו דוגמים ממנה ללא החזרה)תת קבוצה בגודל n ומסמנים ב X את מספר ה ''מיוחדים''שהוצאנו. במקרה זה נאמר ש X מתפלג היפרגיאומטרית עם פרמטרים D N, ו n, נסמן HGN,D,n) X ומתקיים PX k) ) ) D N D k n k ), N n k max{0,n N +D},1,...,min{D,n}. 7

פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות דוגמאות: 1. מטילים קובייה הוגנת 3 פעמים, ויהא X התוצאה הגבוהה ביותר שהתקבלה. א) חשבו את פונקצית ההסתברות k PX עבור 6,...,1 k ב) שרטטו את גרף ההתפלגות המצטברת t) F X t) PX א) מרחב המדגם של 3 הטלות קובייה מונה, כאמור, 16 3 6 תוצאות אפשריות. המאורע ''התוצאה הגבוהה מבין השלוש אינה עולה על k'' מורכב מכל השלשות של מספרים בין 1 ל k, ולפיכך גודלו k 3 המאורע''התוצאה הגבוהה מבין השלוש היא בדיוק k ''מונהאתתוצאותהמאורע הקודם, לאחר שננכה ממנו את תוצאות המאורע ''התוצאה הגבוהה מבין השלוש אינה עולה על 1,''k ומכאן שגודלו 1) 3 k. k 3 מצירוף אלה נסיק כי. PX k) k3 k 1) 3 16, k 1,...,6 נציב את ערכי k השונים ונרשום את התוצאות בטבלה k 1 3 4 5 6 PX k) 1/16 7/16 19/16 37/16 61/16 91/16 F X t) 0 t < 1 1/16 1 t < 8/16 t < 3 7/16 3 t < 4 64/16 4 t < 5 15/16 5 t < 6 1 t 6 ב) את הגרף המתקבל ניתן לראות באיור 5.1 8

פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות F X t) 1 15 16 64 16 0 1 3 4 5 6 t איור 5.1: גרף ההתפלגות המצטברת בבעיה 1. מחלקים באקראי 4 כדורים ל 5 תאים. נסמן ב X את מספר התאים שבהם כדורים בדיוק. רשמו את פונקצית ההסתברות של X. מרחב המדגם בבעיה זו הוא חלוקה של 4 כדורים זהים) ל 5 תאים. כל אחד מן הכדורים יכול ''לבחור'' כל אחד מן התאים 5 אפשרויות לראשון, 5 אפשרויות לשני וכו'), ולכן בדוגמא זו, 65 4 5. Ω 0 X: מצב זה מתאפשר כאשר כל אחד מן הכדורים נשלח לתא אחר, כאשר 3 מן הכדורים נשלחים לתא אחד והרביעי לאחר או ) כאשר כל הארבעה נשלחים לאותו 5 התא. עבור האפשרות הראשונה ישנם 10!4 סידורים אפשריים בוחרים 4 מיהם ) 4 התאים ) אליהם ) יחולקו הכדורים ולאחר מכן מחלקים ביניהם), ועבור השניה 5 4 4 ישנם 80 סידורים בוחרים תא שאליו יישלחו 3 כדורים, תא אחר 1 1 3 שאליו יישלח הכדור הנוסף, ו 3 כדורים מתוך הארבעה שיישלחו ביחד לאותו התא). עבור האפשרות השלישית, בוחרים תא אחד מתוך 5 5 אפשרויות) שאליו ישלחו כל הכדורים, כך שבסה''כ. PX 0) 10+80+5 65 0.38 9

פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות הכל 1 X: מצב זה מתאפשר כאשר שניים מבין הכדורים הולכים לתא אחד וכל אחד מן השניים הנותרים הולך לתא אחר. לשם כך עלינו לבחור מיהו התא אליו ילכו שני הכדורים, מיהם שני הכדורים מתוך ה 4 ) שילכו אליו, מיהם שני התאים שיקבלו כדור אחד כ''א מבין ה 4 הנותרים) וכיצד לסדר ביניהם את שני הכדורים, ובסך ) ) ) 5 4 4! 1. PX 1) 0.576 65 X: עלינו לבחור מיהם התאים מתוך ה 5 ) שיקבלו כדורים כ''א, ומיהם הכדורים שישלחו לשמאלי למשל), ובסה''כ ) ) 5 4. PX ) 65 0.096 נרשום את התוצאות שהתקבלו בטבלה x 0 1 PX x) 0.38 0.576 0.096 קל להווכח שסכום ההסתברויות הוא אכן 1. 3. שיכוריוצאמבילויליליבראשיתהציריםונעעלצירהמספריםצעדאחדימינהבהסתברות p או צעד אחד שמאלה בהסתברות p 1. אם הוא נע ימינה אז בהסתברות q הוא מחליק שני צעדים שמאלה. רשמו את פונקציית ההסתברות למיקומו של השיכור לאחר n צעדים. נסמן ב X את מיקום השיכור לאחר n צעדים וב Y את מס' הצעדים ה''מוצלחים'' ימינה ללא החלקה). נשים לב: Y Binomn,p1 q)) מתקיים 5.1) Y מס' הצעדים שמאלה+מס' הצעדים הכושלים ימינה+ n ו 5.) Y מס' הצעדים שמאלה מס' הצעדים הכושלים ימינה X ומחיבור 5.1 ו 5. נקבל ש. X Y n 30

פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות PX k) P Y k +n ) נוכל, אם כן, לרשום עבור n ) k n ) n k+n [p1 q)] n+k [1 p1 q)] n k k nmod) אחרת 0 4. מטילים זוג מטבעות שוב ושוב עד שאחד מהם מראה ''עץ'' והשני ''פלי''. המטבע הראשון מראה ''עץ'' בהסתברות p והשני בהסתברות q. כל ההטלות הן בלתי תלויות. א) זהו את התפלגות מספר ההטלות. ב) מה ההסתברות שבהטלה האחרונה המטבע הראשון הוא זה שמראה ''עץ''? א). P {פלי,עץ),עץ,פלי)} ) p1 q)+1 p)q נזכיר שמספר הניסויים עד הצלחה ראשונה בסדרת נסויי 'הצלחה' ו 'כשלון' בלתי תלויים מתפלג גיאומטרית, לכן אם נסמן ב X את מספר הניסויים המבוקש, בהכרח. X Geom p1 q)+1 p)q ) P ב) הראשון עץ אחד עץ ואחד פלי ) P אחד עץ ואחד פלי ) אחד עץ ואחד פלי הראשון עץ P ) p1 q) p1 q)+1 p)q ) הראשון עץ P והשני פלי ) אחד עץ P ואחד פלי. 31

פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות 5. בעקבות השתוללות של רוצח סידרתי בתל אביב ערכו אנשי המז''פ סדרת בדיקות בסיומם נתן ראש המז''פ לחוקר המשטרה רשימת תכונות מפורטת המתארת את הרוצח. ''מצא אדם שיש לו את התכונות הללו ומצאת את הרוצח שלך''. בתל אביבמתגוררים 10 6 בניאדם,וכלאחדמהםמקייםאתרשימתהתכונותבהסתברות 1/10 6 באופן בלתי תלוי. יהא X מספר התושבים בתל אביב שמתאימים לפרופיל הרוצח. א) כיצד X מתפלג? ב) בהינתן שחוקר המשטרה מצא אדם המתאים לפרופיל, מה ההסתברות שהוא היחיד שמתאים לפרופיל? ג) בהינתן שחוקר המשטרה מצא שני אנשים המתאימים לפרופיל, מה ההסתברות שאין נוספים כאלה? א) שכנעו את עצמכם ש ) 6 Binom10 6,10. X זהו בדיוק המצב הקלאסי n ענק, p זעיר) בו אנו משתמשים בקירוב הפואסוני עם פרמטר 1 np. λ ב) נשתמש בקירוב הפואסוני, ונחשב P X 1 X 1 ) P X 1 X 1) PX 1) PX 1) PX 1) PX 1) e 111 1 PX 0) 1! 1 e 110 0! e 1 0.58. 1 e 1 ג) בדומה P X X ) PX ) PX ) PX ) 1 PX 0) PX 1) e 11! 1 e 110 0! e 111 1! e 1 1 e 1 ) 0.7. 6. בכנסת ה 18 של מדינת ישראל 4 מתוך 10 חברי הכנסת הן נשים. אם בוחרים באקראי יושבי ראש ל 1 ועדות הכנסת הקבועות, מה ההסתברות שבדיוק 3 מתוכם הן נשים אם 3

פרק 5. משתנים מקריים, התפלגויות בדידות א) כל ח''כ יכול לכהן בועדות רבות כרצונו? ב) כל ח''כ יכול לכהן בועדה אחת בלבד? נסמן ב X את מס' חברות הכנסת המכהנות בתפקיד ראש ועדה. א) אם נחשוב על בחירת כל אחד מיושבי ראש הועדות כניסוי עם החזרה, הרי שיש 4,p ומכאן ש לנו 1 ניסויי ברנולי ב''ת שבהם הסיכוי להצלחה הוא 1 10 5 ) 1,X Binom 1, ו 5. PX 3) 1 3 ) 1 5 ) 3 ) 9 4 0.36 5 ב) בשונה מהסעיף הקודם, כאן הבחירה היא ללא החזרה שכן, ח''כ שנבחר לכהן כיו''ר ועדה לא יוכל להבחר לכהן בועדה נוספת). אם נחשוב על חברות הכנסת כ ''מיוחדות'', הרי ש X מונה את מס' המיוחדות שנבחרו בדגימה אקראית של 1 פרטים מתוך אוכלוסיה המונה 10 פרטים שמתוכם 4 מיוחדים, ומכאן ש HG10,4,1). X לפיכך ) ) 4 96. PX 3) 3 9 ) 0.489 10 1 ההסתברויות בשני המקרים די דומות, אך האם זה מפתיע? לא לגמרי, שכן כאשר האוכלוסיה הולכת וגדלה דין כל בחירה הוא כמעט כדין בחירה עם החזרה היות וההסתברות לבחור את אותו הפרט פעם נוספת הופכת לזניחה בין כה). מסיבה זו ההתפלגות הבינומית עם פרמטרים n ו p) D/N מהווה קירוב סביר להתפלגות ההיפרגיאומטרית כאשר גודל האוכלוסיה N הוא גדול במיוחד. 33

פרק 6 משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב תזכורת: A משתנה מקרי רציף הוא משתנה מקרי המקבל ערכים בכל הציר הממשי או בקטע סופי או אינסופי) ממנו זאת בשונה ממשתנה מקרי בדיד, המקבל כזכור סדרת ערכים). בעוד פונקצית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי בדיד היא רציפה מימין בלבד, פונקצית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי רציף היא רציפה. נאמר שמשתנה מקרי X הוא רציף לחלוטין אם קיימת פונקציה 0 x) f X כך שלכל A R מתקיים.P X A) f X x)dx בפרט. F X x) P X,x] ) x f X t)dt x R במקרה כזה נקרא ל ) f X הצפיפות של X ומתקיים לפי המשפט היסודי של החדו''א). f X x) d dx F Xx) תנאי מספיק והכרחי לכך ש ) f תהיה צפיפות של משתנה מקרי רציף לחלוטין הוא ש. fx)dx ו 1 x R לכל fx) 0 דוגמאות: 1. אחוז התשובות הנכונות X של סטודנט במבחן באסטרולוגיה מפולג לפי הצפיפות ct100 t) c 1 t c. f X t), c > 0 אחרת 0 34

פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב א) אילו ערכים יכולים לקבל c 1 ו c? ב) בהנתן 0 1 c 100,c חשבו את.c ג) מצאו את t). F X ד) חשבו את ההסתברות להכשל ציון נמוך מ 55). ה) חשבו את ההסתברות להכשל אם ידוע שהציון גבוה מ. 40 ו) 5 סטודנטים נגשו למבחן. מה ההסתברות שכולם יעברו? א) מתוך הדרישה ש t) f X תהיה צפיפות של מ''מ מקרי רציף, מתחייב שתהיה אי שלילית. לשם כך. f X t) 0 t100 t) 0 t [c 1,c ] 0 c 1,c 100. 1 100 f X t)dt c t100 t)dt c 106 0 6 ב) על מנת ש t) f X תהיה צפיפות נדרוש c 6 10 6. F X t) t f X τ)dτ 0 t < 0 10 6 t 150 t) 0 t 100 1 t > 100 ג) ד) 0.57475 55) X 57.5%) PX < 55) F נכשלים! באסטרולוגיה!!). הסיטואציה P X < 55 X > 40 ) P X < 55 X > 40) P X > 40) ה) מומחשת באיור 6.1. P 40 < X < 55) 1 P X 40) F X55) F X 40) 1 F X 40) 0.484. 35

פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב f X t) 0.000 0.005 0.010 0.015 PX 55) 0 5 55 75 100 t איור 6.1: השטח מתחת לגרף t) f X מייצג את ההסתברות להכשל באסטרולוגיה ו) אי תלות כל ה 5 עברו) P 5 P עבר) ה i הסטודנט [ PX 55) ] 5 i1 [1 0.57475] 5 0.014.. Ft) 0 t < 0 t 1+t t 0. נתונה הפונקציה הבאה: א) האם Ft) הינה פונקציית התפלגות מצטברת של מ''מ רציף X? ב) מצאו את t). f X ג) מהו האחוזון ה 95 של X? 36

פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב א) i. נבדוק גבול ב : lim Ft) lim 0 0 t t.ii נבדוק גבול ב : t lim Ft) lim t t 1+t 1 t): מונוטונית לא יורדת לכל > 0 Ft) נבדוק ש.iii. d dt Ft) 1 1+t) > 0.iv נבדוק רציפות ב 0 t במקרה הבדיד מספיק לבדוק רציפות מימין): t. lim t 0 +Ft) lim t 0 + t+1 0 0+1 0 lim t 0 Ft) Ft) עונה על כל הדרישות מפונקציית התפלגות מצטברת, לכן התשובה חיובית.. f X t) dft) dt 0 t < 0 1 1+t) t > 0 ב) t) f X אינה מוגדרת בנקודה 0 t, אך לא תהיינה לכך כל השלכות חישוביות. על צורת העקום ניתן ללמוד מאיור 6.. ג) נסמן את האחוזון המבוקש ב. t 0.95 זהו המספר המקיים 0.95 ) 0.95, PX t. 0.95 Ft 0.95 ) t 0.95 1+t 0.95 t 0.95 1 0.95) 0.95 t 0.95 19 ומכאן 3. מושוןיוצאמביתואלהתחנההקרובה. בהסתברות /3 מחכהלושםמונית,ואזהואעולה עליה. המונית הבאה מגיע בעוד T דקות כאשר 0,10)U T, ובכל מקרה יגיע אוטובוס בעוד 5 דקות בדיוק. מושון יעלה על מי מביניהם שיגיע קודם. מצאו את ההתפלגות המצטברת של משך ההמתנה של מושון. 37

פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב f X t) 0 5 10 t איור 6.: גרף פונקציית הצפיפות t) f X בשאלה נסמן את משך ההמתנה של מושון ב X. נשים לב שזמן ההמתנה כולל מרכיב בדיד משך ההמתנה המתקבל במידה ומחכה מונית בתחנה, 0 דקות, או במידה ועולים על האוטובוס, 5 דקות), ומרכיב רציף מונית לא מחכה אך מקדימה את האוטובוס). נגדיר A המונית מחכה בתחנה או עולים על האוטובוס. נשים לב שאם המונית לא מחכה בתחנה, בגלל התפלגות משך ההמתנה למונית הבאה ההסתברות שהאוטובוס יקדים את המונית היא, 1/ ולכן ) ) מונית מחכה מונית מחכה P בתחנה בתחנה PA) P A ) ) מונית לא מונית לא +P A P מחכה בתחנה מחכה בתחנה 1 3 + 1 1 3 5 6. נגדיר כעת את Y להיות הרכיב הבדיד של משך ההמתנה, כלומר: משך ההמתנה בהנתן 38

פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב PY 0) P X 0 A ) PX 0 A) PA) P שהתקיים A. נחשב ) מונית מחכה בתחנה PA) 3 6 5 4 5, PY 5) P X 5 A ) P PX 5 A) PA) P עלינו על האוטובוס מונית לא מחכה ואוטובוס מקדים את הבאה PA) 1/3 1/ 5/6 1 5, PA) ). PY t) 4 5 1 5 t 0 t 5 F Y t) 0 t < 0 4 5 0 t < 5 1 t 5 ולסיכום כעת, Z יהיה הרכיב הרציף של משך ההמתנה של מושון, ז''א משך ההמתנה בהנתן ש A לא התרחש, ומונית לא חיכתה בתחנה אך הקדימה את האוטובוס.. F Z t) 0 t < 0 t 5 0 t < 5 1 t 5 עפ''י הגדרה, U0,5), Z כלומר 39

פרק 6. משתנה מקרי רציף, משתנה מקרי מעורב 5 6 PA) PX Y) ו 1 6 PĀ),PX Z) ומכאן קיבלנו ש F X t) P X t X Y ) PX Y)+P X t X Z ) PX Z) 5 6 PY t)+ 1 6 PZ t) 5 6 F Y t)+ 1 6 F Z t) 0 t < 0 t+0 30 0 t < 5 1 t 5. F X t) 1 3 0 5 t איור 6.3: ההתפלגות המצטברת של משך ההמתנה של מושון בתחנה 40

פרק 7 התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון תזכורת: נאמר ש X מתפלג אחיד רציף) בקטע [a,b] אם X הוא בעל הצפיפות 1 x [a,b] b a f X x) אחרת 0. F X x) 0 x < a x a b a a x b 1 x > b ובהתאמה ההתפלגות המצטברת סימון: Ua,b). X נאמר ש X מתפלג מעריכית עם פרמטר λ אם X הוא בעל הצפיפות λe λx x 0 f X x) 0 x < 0 ובהתאמה ההתפלגות המצטברת 1 e λx x 0. F X x) 0 x < 0 41 סימון: Expλ). X

פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון f X t) F X t) 1 b a 1 0 a b t 0 a b t איור 7.1: פונקצית הצפיפות משמאל) וההתפלגות המצטברת של מ''מ אחיד. ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזכרון:. P X > t+s X > t ) P X > s) f X t) F X t) λ 1 0 t 0 t איור 7.: פונקצית הצפיפות משמאל) וההתפלגות המצטברת של מ''מ מעריכי. תהליך פואסון הוא תהליך מנייה של אירועים בזמן {0 t, X} t כאשר X t הוא מספר האירועים שנצפו עד זמן t) בעל התכונות הבאות:. X 0 0.1. מספרי האירועים שנצפו במקטעי זמן לא חופפים הם בלתי תלויים. 3. מספר האירועים הנצפים במקטע זמן באורך s מתפלג Poisλs) ללא חשיבות לרגע 4

פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון תחילת המקטע, כאשר λ נקרא פרמטר הקצב של התהליך. באופן מדויק. P X t+s X t k) P X s k) e λsλs)k k! t 0 הזמן הבינמופעי ה i, T, i בתהליך מנייה הוא הזמן שחולף בין הרגע בו נצפה האירוע ה i 1 לרגע בו נצפה האירוע ה i. ניתן להוכיח כי תהליך מנייה הוא תהליך פואסון עם פרמטר קצב λ הזמנים הבינמופעיים של התהליך הם מ''מ מעריכיים ב''ת המתפלגים Expλ). דוגמאות: 1. זמן שירות X ללקוח בודד) של פקיד בדואר מתפלג באופן מעריכי עם פרמטר 1/. בניסיון לקצר את זמן השרות בוצע מחקר שקבע כי ע''י אימון של פקידי הדואר לדיבור מהיר יותר ניתן לקבל זמן שרות חדש Y המקיים. Y 1 X + 1 10 מצאו את הצפיפות של. Y F Y t) PY t) P 1 X + 1 ) 10 t P X t 1 ) 5 0 t 1 5 < 0 { 1 exp 1 t 1 )} 5 t 1 5 0 0 t < 1 10 { 1 exp t 1 )} 10 t 1 10, 43

פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון f Y t) df Yt) dt 0 t < 1 10 { exp t 1 )} 10 ומכאן שהצפיפות ניתנת ע''י t 1 10. השוואה בין צפיפות משך השירות לפני ואחרי האימון בדיבור מהיר ניתן למצוא באיור 7.3. f X t) 0. 0.6 1.0 f Y t) 0 4 6 8 t איור 7.3: צפיפות משך השירות, לפני ואחרי אימון בדיבור מהיר. שמוליק הוא מהנדס חשמל עסוק. זמן היציאה של שמוליק מהעבודה בערב, X, מתפלג. Y מצאו את התפלגות. Y 1+ 1 X 7,9)U, ומשך הנסיעה של שמוליק הביתה הינו נזכור כי ההתפלגות המצטברת של מ''מ בעל התפלגות Ua,b) היא 0 s < a s a 7.1), Fs) a s b b a 1 s > b 44

פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון F Y t) PY t) P 1+ 1X ) t P X 1 ) t 1 ולכן ) 1 7.1 1 F X 1 t 1 0 1/t 1) 7 1 1 t 1 < 7 7 1 t 1 9 1 t 1 > 9 0 t < 10 9 9t 10 t 1) 10 9 t 8 7 1 t > 8 7.. f Y t) df Yt) dt 1 t 1) t [ 10 9, 8 ] 7 אחרת 0 קל לבדוק ש F X t) f X t) 0.0 1.0 1.10 1.1 1.14 t 0 10 0 30 1.10 1.1 1.14 t איור 7.4: ההתפלגות המצטברת משמאל) והצפיפות של משך הנסיעה הביתה 45

פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון 3. מספר הפונים לנציב תלונות הסטודנטים באוניברסיטה מתנהג בקירוב כמו תהליך פואסון. בממוצע פונים בכל יום סטודנטים. א) מה ההסתברות שביום ג' תהיה לפחות פניה אחת? ב) מה ההסתברות שהן ביום ב' והן ביום ג' תהיה פנייה אחת אם ידוע שביום א' היו 4 פניות? ג) מהי התפלגות מספר הימים בשבוע בהן היתה לפחות פניה אחת? נסמן את מס' הפניות ביום ה i ב, X i ונזכיר ש X Poisλ) PX k) e λ λk k!, k 0,1,,... א). PX 3 1) 1 PX 3 0) 1 e 0 0! 1 e ב) נזכר בתכונה חשובה של תהליך פואסון, לפיה מס' האירועים הנצפים בקטעי זמן זרים הם בלתי תלויים. לאור זאת P X 1 X 3 1 X 1 4 ) PX 1)PX 3 1) ) e 1 4e 4. 1! ג) ניתןלחשובעלהבעיהכאילומדוברבסדרהשל 7 ניסוייםבלתיתלוייםעםההסתברות להצלחה שחישבנו בסעיף הראשון, לכן, אם נסמן ב Y את מס' הימים בשבוע בהם נרשמו פניות, הרי ש ) Binom7,1 e. Y.4 מספרהתקלות, X,באינטרוולהזמן 0,t ] t ברשתתקשורתהואתהליךפואסון{ 0,t {X t 1 תקלות λ. עם קצב ממוצע של שעה 4 א) מהי ההסתברות לתקלה אחת לכל היותר ב 4 השעות הראשונות ו תקלות לכל הפחות ב 8 השעות שלאחר מכן? ב) מאז התקלה האחרונה עברו 3 שעות. מהי ההסתברות שנשלים 5 שעות רצופות ללא תקלה? 46

פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון ג) ב 1 השעות הראשונות התרחשה תקלה אחת. מהי ההסתברות שהיא התרחשה בקטע [5,9]? ד) ב 0 השעות הראשונות התרחשו 10 תקלות. מהי ההסתברות ש מתוכן התרחשו בקטע 1]?[10, א) נשתמש כאן באי התלות של מס' התקלות המתרחשות במקטעי זמן זרים ובהתפלגות פואסון של מס' התקלות עם קצב פרופורציונלי לאורך מקטע הזמן, כדי לקבל P X 4 X 0 1,X 1 X 4 ) P X 4 X 0 1)P X 1 X 4 ) P X 4 1)P X 8 ) e 0.5 4 )] 1+ )[1 e 0.5 4)1 0.5 8 1+ 0.5 8)1 1! 1! 0.736 0.594 0.437. ב) אם נסמן ב Y את משך הזמן בין התקלה האחרונה לתקלה הבאה, הרי ש Y Exp0.5). נשתמש בחוסר הזכרון של Y כדי לקבל. P Y 5 Y 3 ) PY ) 1 F Y ) e 0.5 0.607 ג) עבור Y, הזמן עד התקלה הראשונה, נקבל P 5 Y 9 X 1 1 ) P 5 Y 9,X 1 1) P X 1 1) P X 5 X 0 0,X 9 X 5 1,X 1 X 9 0) P X 1 1) P X 5 X 0 0)P X 9 X 5 1)P X 1 X 9 0) P X 1 1) e 0.5 5 e 0.5 4 0.5 4)e 0.5 3 e 0.5 1 0.5 1) 1 3. 47

פרק 7. התפלגויות רציפות המשך), תהליך פואסון באופן כללי, בהנתן שהתרחש אירוע יחיד עד זמן t הזמן הבינמופעי הראשון מתפלג אחידבקטע 0,t ], ולכןההסתברותשהואהתרחשדווקאבקטע[ a,b ] המוכלבקטע. b a היא [0,t) t ד) כל אחת מהתקלות יכולה להתרחש ב [ 1,10] באופן ב''ת באחרות. הסיכוי ''ליפול'' דווקא בקטע הזה הוא, p 0 1 10 לכן בהנתןשהיו 10 תקלות מס'התקלותשהתרחשוב [ 10,1 ]מתפלג Binom10,0.1, ולפיכך ההסתברות שבדיוק תקלות התרחשו בקטע היא. )[ ] [ ] 8 10 1 9 0.194 10 10 48

פרק 8 תוחלת ושונות תזכורת: נאמר שמ''מ בדיד X המקבל את הערכים,... x 1,x בהסתברויות,... p 1,p בהתאמה הוא בעל תוחלת אם הטור x i p i מתכנס. במקרה כזה התוחלת של X היא i. E[X] i x i p i בדומה, אם X מ''מ רציף בעל צפיפות x) f X התוחלת של X היא E[X] xf X x)dx במידה והאינטגרל מתכנס בהחלט. השונות של מ''מ X במידה וקיימת) מוגדרת ע''י, V[X] E { [X EX)] } אולם פיתוח קצר מראה כי ניתן לפשט את הביטוי ולחשבה ע''י. VX) E [ X ] {E[X]}. σ X שימו לב כי מ''מ בעל שונות הוא בהכרח בעל סטיית התקן של X הינה V[X] תוחלת. עבור מ''מ בעל שונות X וזוג קבועים ממשיים a ו b מתקיים. E[aX +b] ae[x]+b, V[aX +b] a V[X] 49

פרק 8. תוחלת ושונות לתוחלת תכונת הליניאריות: יהיו X 1 X,..., n מ''מ בעלי תוחלת ו a 1 a,..., n קבועים ממשיים, אזי [ n ] n. E a i X i a i E[X i ] i1 i1 תכונה זו אינה מתקיימת עבור השונות באופן כללי פרטים מדוייקים יותר בהמשך הקורס). תוחלת של טרנספורמציה של מ''מ: יהא X מ''מ ותהא )g פונקציה ''סבירה'' למשל רציפה למקוטעין, אך אפשר להסתפק גם בפחות מזה), אזי gx)px x) בדיד X. E [ gx) ] x gx)f X x)dx רציף X דוגמאות: 1. אתם יורים באקראי אל מטרה עגולה שרדיוסה 10 ס"מ, כאשר נקודת הפגיעה מתפלגת אחיד על פני המטרה. פגיעה במרחק שאינו עולה על 1 ס"מ ממרכז המטרה מזכה ב 10 נק', פגיעה במרחק שבין 1 ס"מ ל 3 ס"מ מזכה ב 5 נק' ואילו פגיעה במרחק של 3 ס"מ עד 5 ס"מ מזכה ב 3 נק'. מהי תוחלת מספר הנקודות שתצברו בנסיון יחיד? ב 3 נסיונות? נסמן את מספר הנקודות בסיבוב יחיד ב X, ואת מרחק הפגיעה מהמטרה ב R. נשים לב שעבור 10 r,f R r) PR r) r /100,0 ולכן PX 10) P0 R 1) F R 1) F R 0) 1 100, PX 5) P1 R 3) F R 3) F R 1) 9 100 1 100 5, PX 3) P3 R 5) F R 5) F R 3) 5 100 9 100 4 5, ולסיכום 50

פרק 8. תוחלת ושונות 0 3 5 10 איור 8.1: שאלה 1. x 0 3 5 10 PX x) 3/4 4/5 /5 1/100 אם כן, תוחלת צבירת הנקודות בסיבוב אחד היא, E[X] x xpx x) 0 3 4 +3 4 5 +5 5 +10 1 100 0.98 ואם נסמן כעת ב X i את צבירת הנקודות בסיבוב ה i, i, 1,,3 וב T את צבירת הנקודות ב 3 סיבובים, הרי ש,T X 1 +X +X 3 ומכאן ש. E[T] E[X 1 +X +X 3 ] E[X 1 ]+E[X ]+E[X 3 ] 3 0.98.94. מטילים מטבע עד שיוצא 'עץ' בפעם הראשונה. אם 'עץ' התקבל לראשונה בנסיון ה n, נקבל n n/ ש"ח אם n זוגי ונשלם n n/ ש"ח אם n אי זוגי. נסמן ב X את הרווח שלנו. P מהמשחק. מהי תוחלת X? עבור,n k הרווח שלנו יהיה /k), n /n k לכן ) X k k ) k 1, k 1,,... 51

פרק 8. תוחלת ושונות בדומה, עבור 1 k,n נשלם 1) /k, n /n k 1 ומכאן ש. P ) X k 1 k 1 ) k 1 1, k 1,,... מכאן E[X] x xpx x) k1 k1 k k ) k 1 k1 1 k 1 k 1, k1 k 1 k 1 ) k 1 1 ואף אחד משני הסכומים הנ"ל לא מתכנס, לכן תוחלת X אינה מוגדרת. זהירות! מפתה לסדר מחדש את איברי הסכומים לטור אחד באופן הבא [ 1 xpx x) + 1 4 + 1 ] 6 + 13 15 [1+ + + ] x 1 13 14 [ 1+ + ] ln 0.69, אולם טור זה אינו מתכנס בהחלט, ועל כן על פי הגדרה X אינו בעל תוחלת. 3. לקבוצת כדורגל מתוכננים שני משחקים. יש לה סיכוי 0.4 לא להפסיד את המשחק הראשון, ו 0.7 לא להפסיד את השני, באופן בלתי תלוי בראשון. עבור כל משחק, אם איננה מפסידה, יש לה סיכוי זהה לתיקו ולניצחון באופן בלתי תלוי במשחק השני). הקבוצה מקבלת נקודות לניצחון, נקודה לתיקו ואפס להפסד. מצאו התפלגות, תוחלת ושונות מספר הנקודות של הקבוצה. משחק משחק 1 0.35 0.35 0.3 0. 0. 0.6 נצחון תיקו הפסד נצחון תיקו הפסד 5

פרק 8. תוחלת ושונות נסמן את מס' הנקודות בו זוכה הקבוצה לאחר שני המשחקים ב X ונחשב, 0.18 0.6 0.3 ) {הפסד,הפסד)} P PX 0), 0.7 0.6 0.35+0. 0.3 ) {תיקו,הפסד),הפסד,תיקו)} P PX 1) ) {נצחון,הפסד),תיקו,תיקו),הפסד,נצחון)} P PX ) 0.6 0.35+0. 0.35+0. 0.3 0.34,, 0.14 0. 0.35+0. 0.35 ) {נצחון,תיקו),תיקו,נצחון)} P PX 3). 0.07 0. 0.35 ) {נצחון,נצחון)} P PX 4) נסכם את התוצאות בטבלה x 0 1 3 4 x 0 1 4 9 16 PX x) 0.18 0.7 0.34 0.14 0.07 ונחשב E[X] 0 0.18+1 0.7+ 0.34+3 0.14+4 0.07 1.65, E [ X ] 0 0.18+1 0.7+4 0.34+9 0.14+16 0.07 4.01, V[X] E [ X ] { E[X] } 4.01 1.65) 1.875. 4. בכד N כדורים ממוספרים N,...,1,. מוציאים n כדורים ללא החזרה. X המספר הגבוה ביותר מבין הכדורים שהוצאו. א) רשמו את התפלגות. X ב) חשבו את תוחלת. X ) N א) סךכלהאפשרויותלהוציאn כדוריםמתוך N הואכאמור. אםבנוסףנדרוש n שהמספרהמירבילאיעלהעל, k הרישעלינולהצטמצםלבחירהשלn כדוריםמתוך 53

) k k הכדורים הנושאים את המספרים הנמוכים, ולכך n ) k פרק 8. תוחלת ושונות אפשרויות, לכן. PX k) n ) N n ) k 1 בדומה, PX k 1) n ) N n ) k n ) k 1 n [ ] k 1)! k n!k n 1)! k n 1 ואם נשים לב ש k 1)! n!k n 1)! ) k 1 n 1, n k n k 1)! n 1)!k n)! PX k) PX k) PX k 1) נקבל שעבור k n, n+1,..., N ) ) ) k k 1 k 1 n n n 1 ) ), N N n n 8.1). ומתוך הידיעה שסכום ההסתברויות הוא 1 נקבל את הזהות המענינת N kn ) k 1 n 1 ) N n 54

פרק 8. תוחלת ושונות E[X] N ) k 1 k n 1 ) N n kn n N ) k n ) N n kn 8.1 N k 1)! k n 1)!k n)! n n ) N n kn ) N +1 n n+1 ) n N +1 N n+1 n. ב) k0 5. מצאו את התוחלת והשונות של מ''מ גיאומטרי. ראשית כל נזכור שעבור < 1 x מתקיים x k 1 1 x כאשר ההתכנסות היא במ''ש, ולכן, k1 kx k 1 d dx x k d 1 dx1 x 1 8.) 1 x) k0 וע''י הכפלת שני האגפים ב x נקבל. kx k k1 x 1 x). k1 k x k 1 d dx גזירה נוספת של שני האגפים תניב kx k d x dx1 x) 1+x 8.3) 1 x) 3 k1 כעת, עבור Geomp) X נחשב. E[X] kpx k) p k1 p) k 1 8. p 1 p 1 p k1 k1 55

פרק 8. תוחלת ושונות, E [ X ] k PX k) p k 1 p) k 1 8.3 p p p 3 k1 k1 p p בדומה. V[X] E [ X ] {E[X]} p p 1 p 1 p p ולסיום. E[X], E [ X ]. f X x) 0 x < 1 3 x 4 x 1 6. יהא X מ''מ בעל הצפיפות חשבו את התוחלת והשונות של. X ראשית נחשב את התוחלת dx xf X x)dx 3 1 x 3 3 3 x x dx f X x)dx 3 1 x 3 x. V[X] E [ X ] {E[X]} 3 x1 x1 ) 3 3 4 3 כעת ולכן השונות היא 7. מקל באורך 1, שבמרחק p מקצהו השמאלי מצויר קו, נשבר בנקודה אקראית שמיקומה X מתפלג 0,1)U. מהי תוחלת אורך חלק המקל השבור שעליו יופיע הקו? נסמן ב L p את אורך קטע המקל עליו מסומן הקו. כפי שניתן לראות באיור 8., מתקיים 1 X X < p, L p X) X X p 56

פרק 8. תוחלת ושונות X 1 X p איור :8. שאלה. 7 E[L p ] p 0 L p x)f X x)dx 1 x)dx+ 1 p ולכן מהמשפט על תוחלת של טרנס' של מ''מ) 1 0 xdx L p x) 1dx ] p [x x x0 + x 1 xp 1 +p1 p). 1 p, כלומר: כאשר מעניין להיווכח שתוחלת אורך המקל המקסימלית מתקבלת כאשר הקו מסומן בדיוק במרכז המקל. 57

פרק 9 הפונקציה יוצרת המומנטים תזכורת: המומנט מסדר k של מ''מ X אם קיים) הוא התוחלת [k. E [ X M X t) E [ e tx] הפונקציה יוצרת המומנטים של מ''מ X מוגדרת ע''י e tx k PX x k ) בדיד X k e tx f X x)dx 9.1) X רציף עבור כל t בו הטור או האינטגרל מתכנס). מקור השם נעוץ בכך שאם המומנט מסדר k של מ''מ X קיים נוכל לחשב אותו ע''י. E [ X k] dk M X t) 9.) dt k t0. M X t) k0 אם X הוא בעל מומנטים מכל סדר נוכל לפתח 0) X t k 9. E [ X k] t k 9.3) k! k! M k) k0 חשיבותה של נוסחא 9.3 היא בכך שאם אנו יודעים לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים של X לטור חזקות מהצורה M X t) c k t k אזי מיחידות פיתוח מקלורן נוכל לקבל k0 את המומנטים של X ע''י. E [ X k] k! c k 9.4) 58

פרק 9. הפונקציה יוצרת המומנטים משפט היחידות של הפונקציה יוצרת המומנטים: אם t) M X מוגדרת עבור ערכי t בקטע פתוח הכולל את 0 אזי היא מגדירה את התפלגות X באופן יחיד. במילים פשוטות: אם X ו Y בעלי אותה הפונקציה יוצרת המומנטים אזי הם שווי התפלגות. דוגמאות: 1. מצאו את הפונקציה יוצרת המומנטים של Expλ), X ותנו ביטוי למומנטים מכל M X t) 0 e tx λe λx dx λ e t λ)x dx λ 0 t λ et λ)x x0 λ λ t 1 1 t/λ, סדר. כאשר האינטגרל מתכנס רק עבור. t < λ נפתח אם כן, M X t) 1 1 t/λ t k λ k k0 ומהערה k! 9.4. E [ X k] נערוך בדיקה קצרה: λk, E[X] 1! λ 1 1 λ, E[ X ]! λ λ ולכן, V[X] E [ X ] {E[X]} λ 1 λ 1 λ ואלה אכן התוחלת והשונות של מ''מ מעריכי כפי שהכרנו.. א) תהא t) M X הפונקציה יוצרת המומנטים של מ''מ X ויהא c קבוע ממשי. בטאו את הפונקציה יוצרת המומנטים של X. c+ 59

פרק 9. הפונקציה יוצרת המומנטים. M X t) e4t חשבו את ב) יהא X מ''מ שהפונקציה יוצרת המומנטים שלו היא 6 5et. PX 5). M X+c t) E [ e tx+c)] E [ e ct e tx] e ct E [ e tx] e ct M X t) א) נחשב ב) נוכל לרשום, M X t) e4t 1/6e t 6 5e t e3t ומטבלת ההתפלגויות 1 5/6e t M Y t) pe t 1 1 p)e t היא הפונקציה יוצרת המומנטים של מ''מ ) Geomp), Y ) לכן ממשפט היחידות 1 ולפי תוצאת הסעיף הקודם) +3 Y X כאשר,Y Geom ומכאן 6. PX 5) PY ) 1 1 ) 1 6 6 5 36 3. פיצריה מציעה n סוגים שונים של פיצה, הנמכרים כולם באותה שכיחות. ביום נתון מגיעים אל הפיצריה K לקוחות בלתי תלויים זה בזה, כאשר K הינו מ''מ בעל פונקציה יוצרת מומנטים ידועה, t). M K מצאו ביטוי לתוחלת מס' סוגי הפיצה השונים הנמכרים ביום נתון. הפיצה מסוג i נמכרה 1 X i אחרת 0 נגדיר את האינדיקטורים הבאים:, i 1,...,n ונזכור שההסתברות שהפיצה ה i תמכר היא ההסתברות שלא תבחרנה תמיד 1 n האחרות, כלומר, P X i 1 K k ) ) k n 1 1 n 60

פרק 9. הפונקציה יוצרת המומנטים ומכאן E[X i ] PX i 1) P X i 1 K k ) PK k) k0 [ ) ] [ k n 1 ) ] K n 1 1 PK k) 1 E n n k0 1 E [ { exp ln n 1 ) } ] K 1 M K ln n 1 ) n n. E[X] n i1 E[X i ] n [1 M K ln n 1 )] n ו 61

פרק 10 ההתפלגות הנורמלית תזכורת: משתנה מקרי נורמלי ) X N µ,σ הוא בעל צפיפות, f X x) 1 } { σ π exp x µ), < x < σ כאשרµ הואתוחלתההתפלגותוצירהסימטריהשלהצפיפות)ו σ היאהשונותהמגדירה עד כמה מרוכז ה''פעמון'' סביב התוחלת). כל משתנה מקרי נורמלי ניתן להפוך למשתנה מקרי נורמלי סטנדרטי ע''י פעולת תקנון 10.1) X Nµ,σ ) X µ σ N0,1) באופן הבא: פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי היא. Φz) 1 π z e x / dx לצערנואיןביטויבנוסחאסגורהלחישובערכיפונקציהזועבורערכי z שוניםואנונאלצים להיעזר בחישוב נומרי באמצעות מחשב או בטבלה הנורמלית. להתפלגות המצטברת התכונה 10.). Φ z) 1 Φz) 6

פרק 10. ההתפלגות הנורמלית 10.3). z α z 1 α האחוזונים של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית מקיימים f Z z) Φz) 3 1 0 1 3 0.0 0.5 1.0 z 3 1 0 1 3 z איור 10.1: ההתפלגות המצטברת מימין) והצפיפות של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית דוגמאות: 1. יהא X מ''מ נורמלי עם תוחלת 1 ושונות. 4 א) מה הסיכוי ש X בין 0 ל 4? ב) מהו האחוזון ה 5 של X? 0 1 P0 X 4) P P 10. Φ 1 X 1 X 1 3 ) [ 3 1 Φ 4 1 ) ) ) 10.1 3 Φ Φ 1 ) )] 1 Φ ) 3 +Φ ) 1 1 א) טבלה 0.933+0.6915 1 0.647. 63

פרק 10. ההתפלגות הנורמלית ב) נראה משהו כללי יותר: נאמר ש ) X Nµ,σ ונסמן ב xאת α האחוזון ה 100α של. X מהגדרת, α P X x α ) P האחוזון X µ x ) α µ ) 10.1 x α µ Φ σ σ σ ומכאן, ע''י הפעלת הפונקציה ההפכית ל )Φ על שני האגפים נקבל 10.4), z α x α µ σ x α µ+σz α כאשר zהוא α האחוזון ה 100α של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. נשתמש בתוצאה שקיבלנו כדי לחשב. x 0.5 10.4 1+z 0.5 10.3 1 z 0.75 טבלה 1 0.675 0.35. קוטר ברגים במ''מ) בתהליך ייצור מסוים מתפלג ). Nµ,σ בורג נחשב תקין אם קוטרו סוטה מהתוחלת בפחות משתי סטיות תקן. א) מה ההסתברות שבורג כלשהו בתהליך הייצור הוא תקין? ב) מהי תוחלת ושונות מספר הברגים הפגומים ביום בו יוצרו 10,000 ברגים? ג) בביקורת איכות נבדקים כל יום 50 ברגים. אם יותר משניים מהם פגומים, הייצור נפסק. מה ההסתברות שהייצור ייפסק? ד) מה ההסתברות שהייצור ייפסק לראשונה ביום החמישי? P X µ σ ) P X µ σ ) 10.1 Φ) Φ ) א) 10. טבלה Φ) 1 0.977 1 0.9544. 64

פרק 10. ההתפלגות הנורמלית ב) נגדיר: Y מס' הברגים הפגומים, וברור ש 0.0456, Binom10 4, Y לכן, E[Y] 10 4 0.0456 456. V[Y] 10 4 0.0456 0.9544 435.1 ג) נגדיר: Z מס' הברגים הפגומים בביקורת האיכות, 50,0.0456)B Z, ונחשב ) 50, p 0 PZ 0) 0.0456 0 0.9544 50 0.0969 0, p 1 PZ 1), p PZ ) ) 50 0.0456 1 0.9544 49 0.316 1 ) 50 0.0456 0.9544 48 0.711. ייצור) P עוצרים PZ > ) 1 p 0 p 1 p 0.4 ד) נגדיר: W מס' הימים לעצירת הייצור בפעם הראשונה, ומהסעיף הקודם ברור כי. PW 5) 1 0.4) 4 0.4 0.05 Geom0.4), W לכן 3. א) מצאו את הפונקציה יוצרת המומנטים של מ''מ נורמאלי סטנדרטי ותנו ביטוי למומנטים מכל סדר. ב) השתמשו בתוצאת הסעיף הקודם כדי למצוא את הפונקציה יוצרת המומנטים של M X t) 1 π e tx e x / dx 1 π z x t e t / 1 π e z / dz e t /. מ''מ נורמלי כלשהו. א) עבור N0,1) X } exp { x t) e t / dx 65

פרק 10. ההתפלגות הנורמלית מכאן, M X t) e t / t /) k k0 k! k0 t k k k! ולכן. E [ X k] k)! k k! ; E [ X k+1] 0 ב) נרחיב את התוצאה עבור ) : X Nµ,σ נוכל לרשום X µ+σ Z כאשר N0,1), X ומכאן M X t) M µ+σz t) e µt M σz t), M σz t) E [ e tσz)] E [ e σt)z] M Z σt) תוצאה קודמת e σ t / ו. M X t) exp {µt+ 1 } σ t ולסיכום.4 מ''מU נקראלוג נורמליעםפרמטריםµ ו σ אם. lnu Nµ,σ מצאואתהתוחלת והשונות של. U מההגדרה, U e X כאשר ), X Nµ,σ לכן X]. E[U] E [ e מכאן ניעזר טבלה tx] M X t) E [ e exp {tµ+ 1 } σ t } E[U] M X 1) exp {µ+ σ, E[U ] E [ e X] M X ) exp{µ+σ }, בפונקציה יוצרת המומנטים 66

פרק 10. ההתפלגות הנורמלית ולבסוף. V[U] E [ U ] { E[U] } e µ+σ e µ+σ e µ+σ e σ 1 ) ההתפלגות הלוג נורמלית משמשת, בין היתר, לחיזוי הערך של מניה בנקודת זמן, דרך המודל הסטוכסטי הנקרא תנועה בראונית גיאומטרית. בהתאם למודל זה, המנה של מחיר המניה בזמן t+ t ומחירה בזמן t היא מ''מ לוג נורמלי עם פרמטרים µ t ו, σ t כאשר מנות המתייחסות למקטעי זמן זרים הן ב''ת. הפרמטר µ נקרא פרמטר הסחיפה.volatility) הוא מקדם התנודתיות σ ו drift) בשנת 1973 פרסמו Scholes,Black ו Merton נוסחא לתמחור אופציות call אירופאיות המבוססת על תנועה בראונית גיאומטרית, שבסופו של דבר זיכתה אותם בפרס נובל בכלכלה. באיור 10. תוכלו לראות שלושה מימושים ריאליזציות)שונים של תנועה בראונית גיאומטרית עם פרמטר סחיפה 0.1 µ ומקדם תנודתיות 0.1 σ. האם הגרפים הללו מזכירים במקצת את הגרפים מהעתונות הכלכלית...? St) 1 1.1 1. 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 t איור 10.: סימולציה של תנודות במחיר מניה בהתאם לתנועה בראונית גיאומטרית. 67

פרק 11 התפלגויות דו מימדיות, התפלגות מותנית, אי תלות תזכורת: יהיו X ו Y זוג מ''מ בדידים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות Ω,P), אזי פונקצית ההסתברות המשותפת של X ו Y היא P XY x,y) P X x,y y) לכל x ו y בטווח של X ו Y, בהתאמה. פונקצית ההסתברות השולית של X היא. P X x) y P XY x,y) בדומה נוכל לחשב את פונקצית ההסתברות השולית של Y. פונקצית ההסתברות המותנית של X בהנתן Y y היא. P X Y x y ) P XYx,y) P Y y) בדומה נוכל לחשב את פונקצית ההסתברות המותנית של Y בהנתן X. x אם X ו Y זוג מ''מ רציפים וקיימת פונקציה x,y) f XY כך שלכל A R ), P X,Y) A f XY x,y)dxdy נקרא ל x,y) f XY הצפיפות המשותפת של X ו Y. בפרט, x,y) f XY חייבת להיות אי שלילית ולקיים 1 XYx,y)dxdy. f R A 68

פרק 11. התפלגויות דו מימדיות, התפלגות מותנית, אי תלות f X x) הצפיפות השולית של X במקרה כזה תהיה f XY x,y)dy ובדומה נוכל למצוא את הצפיפות השולית של Y. נוכל להגדיר בנוסף את פונקציית ההתפלגות המצטברת של המ"מ X,Y) ע''י. F XY x,y) x. F XY x,y) P X x,y y) y במקרה הרציף יתקיים f XY u,v)dvdu ו f XY x,y) F XY x,y) x y הצפיפות המותנית של X בהנתן Y y תהיה f X Y x y) f XY x,y) f Y y) ובדומה נוכל למצוא את הצפיפות המותנית של Y בהנתן X. x. E [ X Y y ] התוחלת המותנית של מ''מ X בהנתן Y y היא ) xp X Y x y בדידים Y ו X x xf X Y x y ) dx 11.1) X ו Y רציפים נשים לב שהתוצאה המתקבלת היא פונקציה של y, ולכן אם באופן פורמלי נכתוב Y בכל מקום בו רשום y באגף ימין של 11.1 נקבל ש E [ X ] Y הוא מ''מ שהוא פונקציה של המשתנה המקרי,Y המקבל את הערכים ] y E [ X Y בהסתברויות y).p Y נאמר שזוג מ''מ X ו Y הם בלתי תלויים אם לכל זוג מאורעות A,B Ω מתקיים. P X A,Y B) P X A)P Y B) בהכללה, נאמר ש { X} k היא סדרת מ''מ בלתי תלויים אם לכל תת סדרה סופית מתוכה X k1,...,x kn ולכל אוסף מאורעות A 1,...,A n מתקיים. P X k1 A 1,...,X kn A n ) P X k1 A 1 ) P X kn A n ) מ''מ בדידים X ו Y הם ב''ת y) P XY x,y) P X x)p Y לכל x ו y ) y P X Y x לכל x ו y עבורם > 0 x) P X ו P X x), P Y X y x ) P Y y).p Y y) > 0 69