Statistik og sandsynlighed Statistik handler om at beskrive og analysere en stor mængde data. som I eller andre har indsamlet. Det kan fx være tal, der fortæller om, hvor mange lynnedslag der er i Danmark på et år INTRO Sandsynlighedsregning handler om at vurdere chancer eller risici. Det kan fx vurderes, hvor stor risikoen er for lynnedslag i forskellige områder af Danmark. / For at vurdere denne sandsynlighed er der brug for statistiske oplysninger Statistik og sandsynlighed hænger altså sammen. Kapitlet handler især om sammenhængen mellem statistik og sandsynlighed, men det handler også om, hvordan nogle sandsynligheder kan beregnes ved hjælp af andre redskaberend statistik.
MUNDTLIG REDSKABER TIL SANDSYNLIGHEDSREGNING D Hyppighedstabel B Pindediagram Fravær på 100 skoledage i en. klasse. Summen i 100 kast med to terninger Antal fraværende 0 1 2 3 4 eller flere Antal dage 20 25 15 12 28 Der er forskellige former for sandsynlighedsregning. Nogle sandsynligheder kan I beregne på baggrund af statistik. Eksempel 1 og 2 øverst viser to forskellige statistikker Hyppighedstabellen er lavet ud fra protokollen for en. klasse. Den viser noget om fraværet i klassen i løbet af det første halve skoleår Man kan fx se, at i 20 af de 100 skoledage varder ingen fraværende. Eksempel 2 er et pindediagram, som er lavet ved hjælp af et simuleringsprogram. Det viser resultatet af en simulering af 100 kast med to terninger I hvert kast er summen fundet. ee 1 Klassen i eksempel 1 regner med, at deres fravær vil fortsætte på samme måde i sidste halvdel af klasse. Hvad er sandsynligheden for at alle i klassen er i skole en tilfældig dag i foråret? 2 Hvad er sandsynligheden for at alle i jeres klasse er i skole en tilfældig dag i foråret? 3 Hvilke andre sandsynligheder kan I beskrive ud fra hyppighedstabellen? 4 Hvad viser simuleringen om sandsynligheden for at få a summen 8 i et kast med to terninger? b summen 4 eller 10 i et kast med to terninger? 5 Hvilke andre sandsynligheder kan I beregne ud fra pindediagrammet? 15 STATISTIK OC SANDSYNLIGHED
o Tabel Summer i kast med to terninger Tælletræ Antal af mulige udfald med to terninger -1-1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 5 8 3 4 5 8 9 4 5 8 9 10 5 8 9 10 11 8 9 10 11 12 Nogle sandsynligheder kan I beregne uden statistik. Det gælder fx sandsynligheden for at få summen 8 i et kast med to terninger Eksempel 3 og 4 viser to redskaber der kan bruges til beregningerne. Hvordan kan I beregne sandsynligheden for at få summen 8 ved at bruge a tabellen? b tælletræet? Hvilke andre sandsynligheder kan I beregne ud fra tabellen og tælletræet? 8 Beregningerne ved hjælp af statistik, tabel og tælletræ giver ikke alle samme sandsynlighed for at få summen 8. Hvilket resultat giver den bedste vurdering af sandsynligheden for at få 8? Hvorfor? hold og mål I dette kapitel skal I arbejde med at udvikle og bruge forskellige metoder til at beregne sandsynligheder Målet er at I lærer at finde sandsynligheder ved hjælp af statistik. lærer at finde sandsynligheder ved hjælp af chancetræer. får flere erfaringer med at finde sandsynligheder ved hjælp af tabeller og tælletræer får flere erfaringer med at løse problemer der handler om sandsynlighed. I får erfaringer med at simulere ekspe- I rimenter på computer STATISTIK OG SANDSYNLIGHED 15
PROBLEM TERNINGSPILLET..ELLEVE' Spillet kan spilles af to eller flere personer Hver spiller skal bruge to terninger og 30 tændstikker Vinder er den spiller der har flest tændstikker når én af modstanderne ikke har flere tændstikker tilbage. Spillet begynder med, at alle spillere lægger to tændstikker i en pulje på midten af bordet. Herefter skiftes spillerne til at kaste med to terninger og finde summen af øjentallene. Hvis en spiller får summen 2-10, lægges (11 - summen) tændstikker i puljen. Eksempel: ved summen 9 lægges (11-9 = 2) tændstikker i puljen. 11, får spilleren hele puljen, og alle skal igen lægge 2 tændstikker i puljen. 12, skal spilleren lægge lige så mange tændstikker i puljen, som der allerede ligger i puljen. 1 Spil spillet Elleve" flere gange. 2 Undersøg sandsynligheden for at få summen 11 og sandsynligheden for at få summen 12 ved hjælp af et simuleringsprogram. Hvad ser hver sandsynlighed ud til at være, hvis 1 simulerer a b c 10 kast? 100 kast? 1000 kast? 3 Undersøg sandsynligheden for at få summen 11 og sandsynligheden for at få summen 12 ved hjælp af a en tabel over summen af to terningkast. b et tælletræ. 4 Hvilke(n) af jeres undersøgelser a gør det lettest at finde sandsynlighederne? b giver den bedste vurdering af sandsynlighederne? Hvorfor? 158 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
TERNINGSPILLET..BORDTENNIS PROBLEM Spillet spilles af to personer 1 skal bruge to terninger en spilleplade (kopiark ) og en brik som bold". Vinder er den spiller der først når 11 point. 1. runde: Spiller 1 server ved at slå 8. Bolden hopper derfor over på den modsatte sides 'erfelt. Spiller 1 Reglerne er næsten som i bordtennis. Et terningkast svarer til at slå til bolden. Summen af de to terninger viser hvor langt bolden kommer og dermed, hvor den rammer bordet. Det gælder om at slå bolden" over på modstanderens halvdel og om at undgå at slå bolden" i nettet eller ud over bordet. I skiftes til at serve to gange hver NET I får 1 point, hvis modstanderen server eller slår bolden" i nettet. slår bolden" ud over bordet. rammer sin egen banehalvdel først (gælder også, når man server). 1 Spil spillet Bordtennis" flere gange. 2 Brug et simuleringsprogram, en tabel eller et tælletræ. Undersøg sandsynligheden for at Spiller 2 2. runde: Spiller 2 returnerer bolden ved at slå. Spiller 1 a serve bolden" i nettet. b ramme sin egen banehalvdel, når man server c slå bolden" ud over bordet, når bolden" er på felt 4. NET 1 Spiller 2 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED 159
PROBLEM STATISTIK, SANDSYNLIGHED OG ÆBLER Nogle æbler sælges i poser med 1 kg. Det er lidt forskelligt, hvor mange æbler der er i hver pose - og det er ikke altid, at vægten er præcis 1 kg. Oles familie køber tit æbler Når de køber ind, tager de altid en tilfældig pose med 1 kg æbler Ole har talt og vejet æblerne i de sidste 30 poser de har købt. Du kan se resultatet i hyppighedstabellerne til venstre. Antal æbler 8 Vægt i gram ] 950:95] ]95;1000] 11000:10251 11025:10501 Antal poser 8 1 Antal poser 1 2 20 1 Hvad viser Oles statistik om sandsynligheden for at en tilfældig pose æbler indeholder a æbler? b æbler? c 8 æbler? 2 Intervallet ]95;1000] betyder større end 95 og mindre end eller lig med 1000. Hvad betyder intervallet 1000:1025]? 1025:1050]? 3 Hvad viser Oles statistik om sandsynligheden for at en tilfældig pose æbler indeholder a mere end 1 kg? b mindre end 1 kg? 4 Synes du, at Ole og hans familie skal klage over poserne med æbler? Hvorfor? Hvorfor ikke? 10 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
STATISTIK, SANDSYNLIGHED OG FORSINKELSER PROBLEM Oles mor tager toget til arbejde hver morgen. Hun synes, at toget ofte er forsinket. I en periode har hun hver morgen tjekket, om hendes tog kørte til tiden. Resultatet ses i hyppighedstabellen. 1 Hvor mange togafgange var med i undersøgelsen? 2 a DSB opfatter afgange, der er mere end 2 minutter efter køreplanen, som forsinkede. Hvor stor en brøkdel af togene var forsinkede efter DSB's opfattelse? b Hvor stor en brøkdel af togene kørte mere end 1 minut efter køreplanen? c Synes du, at DSB's opfattelse af forsinkelse er rimelig? 3 Hvad er ifølge undersøgelsen, sandsynligheden for at toget en tilfældig morgen er forsinket a mere end 2 minutter? b 1 minut eller mindre? c mere end 10 minutter? Minutter efter køreplanen [0:1 [ [i;2[ [2:3 [ I3:4[ [4:5 [ [5:10[ [10;15l 15 eller mere Antal afgange 18 12 10 0 10 3 4 Hvor god er Oles mors undersøgelse til at vurdere sandsynligheder? Hvad kunne hun gøre for at vurdere mere sikkert? STATISTIK OG SANDSYNLIGHED 11
MUNDTLIG CHANCETRÆER O Træk to centicubes med lukkede øjne - en ad gangen. Se på farven. 1. trækning 2. trækning 1 eksperimentet øverst skal I lægge centicuben tilbage i glasset, når 1 har noteret farven. 1 Hvorfor er sandsynligheden for at trække en rød centicube \ i både første og anden trækning? 1 skal finde sandsynligheden for at få en rød centicube i begge trækninger Det kan I bl.a. gøre ved hjælp af et chancetræ. Chancetræer ligner tælletræer men hver gren" i et chancetræ viser en sandsynlighed. Øverst er et chancetræ, som viser sandsynlighederne i første og anden trækning. De røde grene viser at sandsynligheden for at trække en rød er ^ i første trækning og ] i anden trækning. også give en rød centicube. Sandsynligheden for en rød centicube i begge trækninger er halvdelen af en halv. Derfor kan sandsynligheden beregnes som I 4' 2 Brugchancetræet til at finde sandsynligheden for at begge centicubes i eksperimentet er grønne. 3 Hvorfor er sandsynligheden for at trække en rød og en grøn centicube i eksperimentet ^? 4 Undersøg, hvad sandsynligheden er for at trække tre røde centicubes i træk. Brug et chancetræ. I halvdelen af tilfældene vil første trækning give en rød centicube, og i halvdelen af disse tilfælde vil næste trækning 12 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
B Træk tre centicubes med lukkede øjne - en ad gangen. Se på farven. J % 1. trækning 2. trækning 3. trækning I eksperimentet øverst skal 1 ikke lægge centicuben tilbage i glasset, når I har noteret farven. 5 Hvorfor er sandsynligheden for at trække en rød centicube i første trækning? Chancetræet viser at sandsynligheden for at trække en rød centicube i anden trækning kan være eller. Hvorfor? Brugchancetræet til at finde sandsynligheden for a at trække tre røde centicubes i træk. b at trække to grønne og en rød centicube. STATISTIK OG SANDSYNLIGHED 13
SAMME KAST FLERE GANGE I TRÆK? Herunder er beskrevet to eksperimenter Eksperiment 1: Kast en terning to gange. Eksperiment 2: Kast en mønt fem gange. Du skal undersøge, om der er størst chance for af få to seksere i træk i det første eksperiment - eller om der er størst chance for at få krone fem gange i træk i det andet eksperiment. Sffi 1 Brug et simuleringsprogram til at simulere de to eksperimenter Gentag simuleringen mindst 50 gange for hvert eksperiment. Hvad viser simuleringen om sandsynlighederne? 2 Brug et chancetræ til at finde sandsynligheden for hvert eksperiment. 3 Sammenlign for hvert eksperiment sandsynligheden, du har fundet ved hjælp af simuleringsprogrammet og sandsynligheden, du har fundet ved hjælp af chancetræet. Er du overrasket over forskellen? Hvorfor? Hvorfor ikke? 14 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
UHELDIG FLERE GANGE I TRÆK? PROBLEM Familien Aagaard er i sommerhus i tre dage. Hver dag trækker familiens tre børn lod om, hvem der skal vaske op. 1 Søren, Thomas og Lise har lige stor risiko for at tabe lodtrækningen. Hvad er sandsynligheden for at Søren skal vaske op den første dag? 2 Brug et chancetræ til at beregne sandsynligheden for at Søren skal vaske op a de to første dage i træk. b alle tre dage. 3 Hvad er sandsynligheden for, at Lise a slet ikke kommer til at vaske op i sommerhuset? b kommer til at vaske op netop én gang? 4 Hvad er sandsynligheden for at de tre børn kommer til at vaske op én gang hver? STATISTIK OC SANDSYNLIGHED 15
FÆRDIGHED 1 Et eksperiment går ud på at kaste en mønt 10 gange i træk og tælle antallet af krone. 3 Et eksperiment går ud på at kaste en terning tre gange i træk og tælle antallet af seksere. a Hvor mange gange vil du forvente, at mønten viser krone i eksperimentet? Hvorfor? b Vil der altid komme det samme antal krone, hvis eksperimentet gentages? Hvorfor? Hvorfor ikke? 2 Pindediagrammet viser resultatet fra en simulering af 1000 terningkast. a Chancetræet viser at sandsynligheden for ikke at få en sekser i første kaster 1. Hvorfor er den det? b Brug lommeregner Hvad er sandsynligheden for at få tre seksere i træk? c Brug lommeregner Hvad er sandsynligheden for slet ikke at få en sekser i de tre kast? a Lav en hyppighedstabel, der viser hyppigheden af hvert udfald. Udfald 1 2 3 4 5 1 Hyppighed (ca.) Hvad viser hyppighedstabellen om sandsynligheden for hvert udfald? Cirka hvor mange af hvert udfald ville du forvente i eksperimentet? Hvordan passer dine forventninger med simuleringen? 4 Et eksperiment går ud på at kaste en terning tre gange i træk og se, om terningen viser et lige eller et ulige antal øjne. est a Hvad er sandsynligheden for at terningen viser et lige antal øjne i første kast? et ulige antal øjne i første kast? b Tegn et chancetræ, der viser eksperimentet. c Hvad er sandsynligheden for, at terningen viser et lige antal øjne tre gange i træk? Et ulige antal øjne tre gange i træk? 1 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED
STATISTIK, SANDSYNLIGHED OG PLANTEFRØ PROBLEM Hvert år planter Henry 100 solsikkefrø i sin have. Det er ikke alle 100 frø, der bliver til planter Herunder kan du se, hvor mange planter der er kommet op i hvert af de sidste 10 år 1 85 8 8 83 1 93 88 1 Henry siger at i gennemsnit bliver 80 af de 100 solsikkefrø til planter Hvordan har han regnet det ud? 2 Sandsynligheden for at et solsikkefrø bliver til en plante, er altså ^ = 0.80 = 80 %. Tegn et chancetræ, som vist til højre, og skriv sandsynligheder på hver gren. 00,8 3 Henrys barnebarn vil plante lidt solsikkefrø. Chancetræet kan bruges til at forudsige, hvor mange planter der kommer op, hvis hun planter tre frø. Beregn sandsynligheden for at de tre frø bliver til a O planter b 1 plante, c 2 planter d 3 planter STATISTIK OG SANDSYNLIGHED 1
POINTER HVAD VED DU NU OM.? Tjeklisten Udfyld din elektroniske logbog med følgende færdigheder Finde sandsynligheder ved hjælp af en hyppighedstabel Finde sandsynligheder ved hjælp af et tælletræ Finde sandsynligheder ved hjælp af en tabel Skriv om dit arbejde med kapitlet. Brug evt. din elektroniske logbog. Her er forslag tit, hvad du kan komme ind på: Lav en hyppighedstabel. Forklar hvad den viser Vis en simulering af et eksperiment på computer Forklar hvad den viser Giv et eksempel, hvor du bruger en tabel til at finde sandsynligheder Giv et eksempel på et chancetræ. Forklar hvad det viser og hvordan det bruges. Simulere et eksperiment på computer Fortæl om et spil eller en situation, hvor du har haft brug for at vurdere sandsynligheder Finde sandsynligheder ved hjælp af et chancetræ Tegne et chancetræ m H ^^i Udfald Kl K2 K3 K4 K5 K PI P2 P3 P4 P5 P Hyppighed 18 STATISTIK OG SANDSYNLIGHED