Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Transkript

1 Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

2 Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten af en usikker begivenhed Ex: Sandsynligheden for regn i morgen er 0,5 Ex: Sandsynligheden for at få 7 rigtige i lotto er 0, I modsætning til deterministiske hændelser: Den 25. juni har jeg fødselsdag ;-) I morgen står solen op kl. 7.4 Forskellige statistiske retninger: Frekventistisk (jeres, fortrinsvist) Bayesiansk (bruger subjektive sandsynligheder) Den klassiske sandsynlighedsteori blev udviklet i 00 tallet inspireret af Casino spil!

3 Lidt om mængder En mængde er en samling af elementer Eksempel: A={,2,3,4} eller A={plat, krone} Den tomme mængde A=Ø, indeholder ingen elementer Den universelle mængde S, indeholder alle elementer Komplementet af en mængde A, er mængden Ā, der indeholder alle elementer i S, der ikke er i A. Eksempel: S={,2,3,4,5,} og A={,4,}. Så er Ā={2,3,5} Venn Diagram A, 4, Ā 2,3,5 S

4 Mere om mængder Fællesmængden af A og B, A B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i både A og B A={,2,3} B={3,4,5} A B={3} A A B, 2 3 4, 5 Foreningsmængden af A og B, A U B, er mængden, der indeholder de elementer, der er i A eller B eller begge S B S A={,2,3} B={3,4,5} A U B={,2,3,4,5} A, 2 3 4, 5 B A U B

5 Den tomme mængde To mængder er disjunkte, hvis fællesmængden A B=Ø A={,2,3} B={4,5} A B={Ø} A, 2, 3 4, 5 B S

6 Mere om sandsynlighed Eksperiment: Handling, der leder frem til et af flere mulige udfald Udfald: Observation eller måling Ex: Kast med en terning eller kast med en mønt Udfaldsrum: En liste af flere mulige udfald af eksperimentet, lig med den universelle mængde S={o,o2,,ok} Udfaldene skal være udtømmende Eksempler: Terningkast S={,2,3,4,5,} S={,2,3,4,5} duer ikke! Møntkast S={plat, krone} S={plat} duer ikke Udfaldene skal være disjunkte Terningkast S={,2,3,4,5,} S={-2,2-3,3-4,4-5,5-} duer ikke!

7 Hændelser En simpel hændelse er et udfald i udfaldsrummet Eksempel: Terningkast en er er en simpel hændelse En hændelse er en mængde af en eller flere simple hændelser i et udfaldsrum Eksempel: Terningkast A={2,3,4} er en hændelse Sandsynligheden for en hændelse, P(A), er summen af sandsynlighederne for de simple hændelser Eksempel: P(A)=P(2)+P(3)+P(4)=/+/+/=3/ Hvis sandsynligheden for alle udfald er ens, er sandsynligheden for en hændelse: P( A) = n( A) n( S) Eksempel:P(A)=3/ n( A) = antal elementer i A n(s) = antal elementer i S

8 Regler for sandsynlighed Givet et udfaldsrum S={o,o2,,ok} da skal sandsynlighederne opfylde: ) 0 P(o ) for alle i 2) k i= P(o i i ) = og dermed også 0 P(A), for enhver hændelse A Eksempel: Terningkast lige sandsynlighed for alle udfald: S = {,2,3,4,5,} P() = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P() = P(o ) = + i i= =

9 Flere regler Sandsynligheden for Ā: P(Ā)=-P(A) Sandsynligheden for Ø: P(Ø)=0 Sandsynligheden for S: P(S)= Fællesmængden for hændelserne A og B, A B, er hændelsen, der forekommer, når både A og B forekommer Sandsynligheden for A B, P(A B), kaldes den simultane sandsynlighed (joint probability)

10 Simultan sandsynlighed - eksempel

11 Marginal sandsynlighed Marginale sandsynligheder beregnes ved at summe over rækker og søjler i tabellen.

12 Additionsreglen Sandsynligheden for foreningen mellem to mængder A og B, A U B, er givet som: P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) Hvis A og B er disjunkte hændelser, er P(A B) = 0 og dermed: P(A U B) = P(A) + P(B) Eksempel med fælles fonde: P A U B = P A P B - PA B = ( 0, 0,29 ) (0, 0,0) -0, = 0.4

13 Betinget sandsynlighed Den betingede sandsynlighed P(A B) betyder sandsynligheden for A, givet at vi kender B: P(A IB) P(B I A) P(A B) = og P(B A) = P(B) P(A) eller ligeledes P(A IB) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Eksempel: Hvad er sandsynligheden for at en fælles fond er bedst, når vi ved at manageren kom fra en god skole? P(B A P(A IB) ) = P(A) 0. = =

14 Uafhængighed To hændelser er uafhængige hvis: P(A B) = P(A) og P(B A) = P(B) Ligeledes P(AI B) = P(A)P(B) Eksempel: Er der uafhængighed mellem om en fælles fond er god eller dårlig og om manageren kom fra en god eller dårlig skole? P(B A) = 0,275 P(B) = 0,7 De er derfor ikke uafhængige!! Lige meget hvilken kombination af hændelser vi vælger, skal uafhængigheden gælde. Hvis bare en kombinationer viser afhængighed, er hændelserne afhængige.

15 Tavle eksempel

16 Kombinatorik Hvis der er n hændelser, og hændelse i kan forekomme på N(i) mulige måder, så er antallet af mulige måder n hændelser kan forekomme på N()N(2) N(n) n fakultet: n!=n(n-)(n-2) (0!=) Permutationer: Antal mulige ordnede valg af r elementer ud af n elementer: n! n Pr = ( n r)! Kombinationer: Antal mulige uordnede valg af r elementer fra en grupper af n elementer: n = r n! r!( n r)!

17 Tavle eksempler på kombinatorik

18 Produktregel for uafhængige hændelser Reglerne for fællesmængde og foreningsmængde gælder også for flere end to hændelser Sandsynligheden for fællesmængden af flere uafhængige hændelser, er produktet af sandsynlighederne for de enkelte hændelser P(defekt korkprop)=0.75 P(4 defekte korkpropper)=0.75x0,75x0,75x0,75=0,3 Bemærk, når man udtager en stikprøve fra en STOR population, antager man uafhængighed mellem de enkelte elementer Sandsynligheden for foreningen af flere hændelser er givet ved: P(A U A 2 U...U A k ) = -P(A )P(A ) LP(A P(mindst en defekt korkprop) = - P(ingen defekte krokpropper) = - 0,25x0,25x0,25x0,25 2 k )

19 Opsamling Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Simultan sandsynlighed (fælles mængde) Marginal sandsynlighed (sum ud over anden variabel) Additionsreglen (forenings mængde) Betinget sandsynlighed Uafhængighed Produktregel for uafhængige hændelser Kombinatorik

20 Opgaver Kapitel 2: 20, 2, 23, 3, 38, 57