Indledning: Opdagelsen af brydningsloven

Indledning: Opdagelsen af brydningsloven Indfaldsvinkel i Indfaldslod Luft Vand b Brydningsvinkel (Kilde: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/geoopt/refr2.html) Brydningsloven har en lang historie bag sig: Optikken og herunder brydningen af lys spiller en rolle i astronomien de ældste kendte data for lysbrydningsforsøg stammer fra Ptolemaios. Arabiske videnskabsmænd gættede brydningsloven omkring år 1000, men deres gæt gik tabt, så vi skal frem til 1600- tallet, før der for alvor kom styr på sagerne. Når lyset brydes i et medium, ændres udbredelsesretningen. Der er tradition for at indføre et indfaldslod, der står vinkelret på den brydende kant (på samme måde som et lod står vinkelret på vandret). Vinklen mellem den indfaldende stråle og indfaldsloddet kaldes indfaldsvinklen i, og vinklen mellem den brudte stråle og indfaldsloddet kaldes brydningsvinklen b. Det er sammenhængen mellem disse to vinkler, vi forsøger at finde. Brydningsloven var specielt interessant i 1600-tallet på grund af opfindelsen af kikkerten, og det deraf følgende problem om hvordan linser skal slibes for at sikre den bedste lysgang gennem kikkerten. Den engelske matematiker og naturvidenskabsmand Harriot er den første, det lykkes for i 1602, men resultaterne bliver ikke offentliggjort. Den hollandske fysiker Snell gentager succesen i 1621 (samme år som Harriot døde), men resultaterne bliver stadig ikke offentliggjort. Så vi skal frem til 1637, før den franske filosof, matematiker og naturvidenskabsmand Descartes finder og endelig offentliggør brydningsloven i sit værk om optik. Det er Descartes udledning og tolkning af brydningsloven, vi skal arbejde med i dette projekt. Empiri: Geometrien bag lysbrydningen Her vil vi illustrere Descartes opdagelse ved brug af Ptolemaios data for brydning af lys i vand og glas (hvis du har dine egne data og de er rimeligt gode! kan du bruge dem i stedet for. Du kan her finde en video med eksperimentet og derved selv kontrollere Ptolemaios eksperiment): 1

Indfaldsvinklen i (målt i grader) Brydningsvinklen b for overgangen luft vand Brydningsvinklen b for overgangen luft glas Brydningsvinklen b for overgangen vand glas 0 0.0 0.0 0.0 10 8.0 7.0 9.5 20 15.5 13.5 18.5 30 22.5 19.5 27.0 40 29.0 25.0 35.0 50 35.0 30.0 42.5 60 40.5 34.5 49.5 70 45.5 38.5 56.0 80 50.0 42.0 62.0 Du kan hente tabellen her. a) Kopier tabellen ind i dit regneark, og fremstil en graf over sammenhængen mellem indfaldsvinklen i og de to brydningsvinkler b luft-vand, b luft-glas og b vand-glas. Du må gerne prøve, om du kan finde en simpel regressionsmodel, der passer med dataene. Vi skal vende tilbage til dette i B-bogen. Her vil vi i overensstemmelse med Descartes metode søge en geometrisk lovmæssighed, der kan gengive de ovennævnte data rimeligt! Vi bruger da en model for lysets brydning fra luft til vand, der går tilbage til perspektivisterne, og som var velkendt for såvel Harriot som Descartes: N P Indfaldslod i Luft C Vand b K S Q Lysstrålen kommer ind langs strålen PC og ud langs den brudte stråle CQ. Indfaldsvinklen i måles som vinklen NCP, og brydningsvinklen b måles som vinklen SCQ. Hvis strålen sendes baglæns ind, følger den den samme bane, bare baglæns. Hvis en genstand placeres i vandet ved Q, vil den derfor ses i retningen PC. Vi forlænger nu linjestykket PC til det såkaldte knækpunkt K, der repræsenterer den retning, vi ser genstanden i. Knækpunktet K kan da fx konstrueres som skæringen mellem den forlængede stråle PC og den lodrette linje gennem Q (dvs. linjen parallel med indfaldsloddet). b) Overfør dataene fra tabellen til dit dynamiske geometriprogram, og konstruer ved hjælp heraf de indfaldende stråler, de brudte stråler og knækpunkterne. Hvilken kurve synes knækpunkterne at følge? 2

c) Gentag øvelsen med de to sidste serier af brydningsdata fra Ptolemaios. d) Prøv nu, om du kan formulere brydningsloven geometrisk, dvs. om du kan skrive en konstruktionsforklaring for konstruktionen af den brudte stråle for et vilkårligt punkt P på den øverste halvbue. e) Konstruer en dynamisk model for lysets brydning, og find på basis af målinger i tabellen de forventede værdier for brydningsvinklerne. Hvordan stemmer de overens med Ptolemaios data? Teori I: Brydningsloven på traditionel form: Sinus på arbejde Descartes fulgte som sine samtidige en geometrisk sprogbrug, hvor brydningsloven alene blev formuleret ud fra et konstant forhold mellem visse linjestykker: N P P 0 Indfaldslod i Luft C r R Vand K 0 b K Q 0 S Q I Descartes version er der to cirkler med radierne R og r. f) Gør rede for, at forholdet mellem linjestykkerne PP 0 og KK 0 er konstant (hvor P 0 er projektionen af indfaldspunktet P på indfaldsloddet, og K 0 er projektionen af knækpunktet K på indfaldsloddet). g) Gør rede for, at forholdet mellem sin(i) og sin(b) er konstant, idet i er indfaldsvinklen, og b er brydningsvinklen. Sammenhold Descartes formulering af brydningsloven med den formulering, du har i din fysikbog. 3

Teori II: Descartes forklaring af brydningsloven Descartes forsøgte også at begrunde brydningsloven ud fra grundlæggende fysiske principper. Som Newton var han overbevist om, at lyset bestod af en strøm af partikler. Men i modsætning til Newton var han af den overbevisning, at lyset udbredte sig instantant, dvs. med uendelig høj udbredelseshastighed. Lyset ankommer altså samtidigt med, at det bliver udsendt. Descartes kendte ikke Rømers påvisning af lysets tøven fra 1675. Vi skal frem til Einsteins relativitetsteori, før vi bliver i stand til at rumme begge opfattelser af lysets udbredelse som værende både instantan og tøvende. I stedet forsøgte Descartes sig med en berømt analogi, hvor lyspartiklen sammenlignes med en tennisbold, som først skydes ned mod jorden for at springe op igen (ligesom lyspartiklen i et spejl) og dernæst skydes ned mod et vandret klæde, som bolden formår at gennemtrænge med tab af hastighed til følge (ligesom en lyspartikel, der brydes ved overgangen mellem vand og luft). Her følger det centrale uddrag: Andet foredrag Om Lysets Brydning... Vi kommer nu til lysets brydning. Lad os først antage, at bolden der drives frem fra A til B ikke længere rammer jorden i punktet B, men i stedet rammer et klæde CBE, som er så skrøbeligt og løst vævet, at bolden har kraft nok til at få klædet til at briste og passere gennem klædet, samtidigt med at det kun mister en brøkdel af sin fart, lad os fx sige halvdelen. Ud fra det vil vi finde den vej bolden følger og tager endnu engang i betragtning, at såvel dens bevægelse som dens tilbøjelighed til at bevæge sig i den ene retning frem for den anden er forskellige, hvoraf det følger at størrelsen af disse [to faktorer] må undersøges særskilt. Og lad os også tage i betragtning at af de to dele, som vi kan opfatte dens tilbøjelighed til at være sammensat af, er det kun den, der går i retningen fra høj til lav, der kan ændres ved mødet med klædet; og at dens tilskyndelse til at bevæge sig fra venstre mod højre må være uforandret, for klædet kan ikke yde nogen modstand mod bevægelsen i denne retning. Ved at trække cirklen AFD med centrum i B og derefter nedfælde de vinkelrette AC, HB og FE på linjen CBE på en 4

sådan måde, at der er dobbelt så stor afstand mellem FE og HB, som mellem HB og AC, ser vi at bolden må fortsætte i retningen mod punktet I. For eftersom den mister halvdelen af sin fart ved mødet med klædet CBE, må den tilbringe dobbelt så meget tid i den nederste del af bevægelsen fra B til periferien AFD, som det tog at komme fra A til B. Og eftersom den ikke mister sin tilskyndelse til at bevæge sig fra venstre mod højre, må den i det dobbelte tidsrum af hvad det tog at komme fra linjen AC til HB, bevæge sig dobbelt så langt i samme retning, og vil derfor nødvendigvis ankomme til et punkt på den rette linje FE, samtidigt med at den ankommer til et punkt på cirkelperiferien AFD. Men det er umuligt, hvis den ikke ankommer til punktet I eftersom det er det eneste punkt hvor cirklen AFD skærer den rette linje FE under klædet CBE.... h) Konstruer selv en præcis og dynamisk udgave af diagrammet i Descartes tekst. Gør rede for, at der er en maksimal/kritisk indfaldsvinkel indfaldsvinkler, der er større end denne, fører ikke længere til brydning (totalreflektion). i) Gå Descartes argument igennem i detaljer, herunder hvordan Descartes opdeler boldens skrå bevægelse i en vandret bevægelse og en lodret bevægelse: Hvordan opfører de to komponenter sig ved passagen af klædet? j) Gør rede for, at forholdet mellem AH og HF må være konstant ifølge Descartes analogi. Gør rede for, at det har som konsekvens, at forholdet mellem sin(i) og sin(b) også må være konstant. Hvordan er konstanten knyttet til tennisboldens fart før og efter mødet med klædet? k) Tilføj den cirkel, der er knyttet til knækpunkterne i Descartes diagram. Gør rede for, at Descartes diagram er ækvivalent med den dobbelt-cirkel-konstruktion, han tidligere har brugt. l) I dag benyttes typisk en model for lys, hvor lyset udbreder sig som en bølge, i stedet for den ovenfor nævnte model. Også her kan brydningsloven udledes som følge af en hastighedsændring, når lysbølgen passerer det brydende medium. Se evt. i din fysikbog for at finde ud af hvordan! Hvilken karakteristisk forskel for udbredelseshastighederne er der mellem de to modeller for lysets brydning: partikelmodellen og bølgemodellen? Bemærkning: På Descartes tid foretrak man geometriske beskrivelser frem for formler: Det samme gjaldt Descartes, fordi det geometriske diagram rummede langt større forklaringskraft end formlen! Vi finder derfor ikke brydningsloven skrevet op som en formel hos Descartes. I stedet formulerer han den således: Det er nødvendigt at sikre sig at sammenhængen findes ved måling af størrelserne for linjestykker som CB eller AH, og EB eller IG, og tilsvarende; ikke ved måling af vinkler som ABH eller GBI, og endnu værre ved vinkler som DBI, der kaldes afvigelsesvinklen. For brøken eller forholdet dannet ud fra disse vinkler vareirer med hældningerne for den indfaldende stråler; hvorimod forholdet mellem linjestykkerne AH og IG, eller tilsvarende, forbliver de samme i alle brydninger forsaget af de samme medier. m) Forklar ud fra Descartes figur, hvad meningen med denne formulering er. 5

Efterskrift: Descartes udledning af brydningsloven i 1637 blev udsat for hård kritik. Og da de data, han benyttede, heller ikke var alt for præcise, herskede der et stykke tid endnu en del usikkerhed omkring brydningsloven. Denne usikkerhed blev først fjernet, da man dels fik bedre argumenter for brydningsloven, ikke mindst med Newtons mekaniske model for lysets udbredelse (baseret på hans Principia fra 1689) og Huygens bølgemodel for lysets udbredelse (offentliggjort i 1690), og dels fik mere præcise data, Gregory (1663), hvorfra det følgende uddrag er hentet: Men sandheden af denne sætning 1 har stået klart i vores mange forsøg: ligesom den vil være indlysende fra dette ene eksempel, som vi fra vores brydningsvinkler har målt for kildevand i vores ungdom; den er troværdig i følge vores første problemstilling og præcis nok (på grund af instrumentets størrelse), for vinkler i vandet på 10, 20, 30, 40 og 45. Hvis disse meget omhyggelige målinger ikke i sandhed er tilfredsstillende, så kom an matematikere! Og bekræft denne yderst smukke forestilling om brydningen med mere subtile målinger. Indfaldsvinkel i Brydningsvinkel b 13 28' 10 26 48' 20 41 50' 30 59 12' 40 71 20' 45 Gregorys målinger 2 for brydning i kildevand. Læg mærke til, at han har byttet om på vinklernes rolle og ladet brydningsvinklen være udgangspunktet for målingen i modsætning til fx Ptolemaios, der lod indfaldsvinklen være udgangspunktet for målingen. n) Undersøg, i hvilket omfang Gregorys data giver en bedre retfærdiggørelse af brydningsloven end Ptolemaios data. 1 Sætningen er ikke brydningsloven direkte, men bygger på den. 2 Gregorys tabel giver faktisk ikke brydningsvinklen, men i stedet den såkaldte afbøjningsvinkel, som er forskellen mellem indfaldsvinkel og brydningsvinkel. 6