Kære selvstuderende i matematik A Jeg hedder Pernille Postgaard og kan kontaktes på mail: pp@kvuc.dk. Herunder ser du et forslag til materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag. Eksaminationsgrundlaget for matematik C og B indgår også i eksaminationsgrundlaget for selvstuderen- de i matematik A. Der vil altså til den skriftlige og munlige eksamen forekomme spørgsmål i både C-, B- og A-niveau. Du kan enten repetere det pågældende stof ved at læse i de bøger du selv har brugt på tidligere inveauer, eller du kan læse i Matema10k B der ud over B-niveau indeholder en kort repetition af C-niveauet. Eksamensspørgsmålene til den munlige eksamen ses nedenfor (de sidste sider i dette dokument). I nogle af spørgsmålene henvises til emneopgaver eller projekter, som du skal lave. Disse kan du ligeledes se i dette dokument. Tidligere eksamenssæt til den skriftlige eksamen kan findes i bogen: Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik stx A-niveau. Ældste brugbare udgave er fra 2010. På undervisningsministeriets hjemmeside kan du ligeledes finde lærerplanen. https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id=152507#bil35 Du skal bruge en lommeregner med CAS værktøj eller et program til computeren med CAS. Jeg kan anbefale TI-nSpire da det er ret let at finde ud af, der findes også en gratis udvidelse til word der hedder wordmath der er frit valg, men der kommer opgaver til den skriftlige eksamen der ikke kan løses uden CAS-værktøj. nspire kan enten købes som en håndhol lommeregner, som app til ipad (muligvis også til android) eller som software til computeren (sidstnævnte kan lejes for et år). Kan f.eks. skaffes via denne hjemmeside: http://ef.praxis.dk/forside-ef/250080 Texas-TI-Nspire-CAS-elevsoftware.aspx Wordmat kan hentes her: http://www.eduap.com/wordmat/ Du kan finde vejledninger til begge programmer på you tube. Mvh Pernille Postgaard
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau stx Matematik A Selvstuderende eksaminator Pernille Postgaard pp@kvuc.dk Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel 3 Titel 4 Titel 5 Vektorer og analytisk geometri i 2d Vektorer og analytisk geometri i 3d Mere om differentialregning, integralregning samt trigonometriske funktioner Differentialligninger Statistik
Titel 1 Indhold Vektorer og analytisk geometri i 2d Kernestof Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007 Siderne 13-42 + 47-67 Emner: Definition, koordinater, skalarprodukt, projektion, tværvektor, parameterfremstilling og ligning for ret linie, afstandsformler, skæring og cirklens ligning Supplerende stof intet særligt men mere vægt på bevisførelse end der forventes i kernestoffet Særlige fokuspunkter Kompetencer Forståelse af begrebet herunder forskel på regning med tal og med vektorer Forståelse af den deduktive opbygning Progression God tid til bearbejdning af beviserne
Titel 2 Indhold Vektorer og analytisk geometri i 3d Kernestof Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007 Siderne 72-122 Emner: Koordinater, skalarprodukt, projektion, krydsprodukt, liniens parameterfremstilling, afstandsformler, skæring mellem figurer Supplerende stof: Planens parameterfremstilling Særlige fokuspunkter Kunne give en analytisk beskrivelse af geometriske figurer i koordinatsystemer. Matematisk bevisførelse
Titel 3 Indhold Mere om differentialregning, integralregning samt trigonometriske funktioner Kernestof Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007 Siderne 157-189 + 191-200 Supplerende stof Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007 Overgangsformler bla. s. 160, additionsformler s. 162 Materiale: Math through the Ages, Berlinghoff & Gouvêa, Oxton House Publishers, 2004 Siderne 185-190 Sinusfunktionens historie Særlige fokuspunkter forståelse af CAS's muligheder til bevisførelse ved "regnetunge" beviser ræsonnement og bevisførelse inden for infinitesimalregning forståelse af matematikken i samspil med historisk, videnskabelig og kulturel udvikling læsning af matematisk stof på engelsk
Titel 4 Indhold Differentialligninger Kernestof Emner: Opstilling af differentialligning Løsning vha. cas Eksakt løsning Materialer Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007 s. 203-211 nederst, 236-248 Projekt om HIV epedimien i Vancover LE Projektbeskrivelse sendes til censor Særlige fokuspunkter forståelse af begrebet opstilling af model bevisførelse
Titel 5 Indhold Statistik - repetition Kernestof Deskriptiv statistik og statistiske modeller (grupperede og ikke-grupperede observationer, deskriptorer, boksplot) Chi i anden Materiale Gyldendals gymnasiematematik grundbog C,Clausen m.fl., Gyldendal, 2005 s. 97-113 Vejen til Matematik B2, Nielsen og Fogh, HAX, 2. udgave, 2011 s. 158-163+165, 167-174 (chi i anden) Supplerende stof En anden statistisk model formodes gennemgået på B-niveau da dette er et suppleringskursus fra B-A og alle derfor har bestået mat B. Særlige fokuspunkter Opgaveregning med chi i anden
Geometriprojekt A. Den retvinklede trekant I skal redegøre for definition af cosinus, sinus og tangens (enhedscirklen) B. Beviser for cosinus og sinus relationerne I skal finde beviser for både cosinus- og sinusrelationerne og redegøre for disse beviser. (Hvis man har brug for ekstra udfordring: Der findes f.eks. nogle beviser hvor man bruger vektorer se evt. i A-bogen) C. Bevis for Pythagoras sætning Der findes mange beviser for Pythagoras sætning, I skal finde et bevis og redegøre for det. I kan lede på nettet (f.eks. på www.matematiksider.dk eller via Google ). Eller i andre matematikbøger.
DIFFERENTIALREGNING 1. Definition af differentialkvotient Forklar hvad det vil sige at en funktion er differentiabel i et punkt x0 med differentialkvotienten f ( x 0 ). Forklaringen skal indeholde en grafskitse med sekanter og tangent. Tegn den meget gerne i hånden. Det er en sund øvelse. Giv også et (grafisk) eksempel på en funktion der ikke er differentiabel i et punkt. Og forklar hvorfor den ikke er differentiabel. 2. Tretrinsreglen. Gør rede for tretrinsreglen og vis et eksempel på brug af tretrinsreglen. I kan f.eks. vælge at finde 2 1 differentialkvotienten for f ( x) = x eller f ( x) = x eller f ( x) =. x 3. Monotoniforhold. Forklar hvordan man kan finde monotoniforholdene for en funktion f (x) ved hjælp af dens afledede funktion f (x). Find desuden monotoniforholdene og de lokale ekstrema for funktionerne 3 2 3 2 3 2 f ( x) = x 6x + 9x + 2 og g ( x) = x 6x + 12x 5 og h ( x) = 0,5x + 3x 8x + 4 Illustrér grafisk. Hvor mange vandrette tangenter kan et tredjegradspolynomium have?
HIV epidemien i Vancouver s Lower East side Frit oversat efter University of British Columbia UBC Calculus Online Course Notes (kilde http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/mordifeqs/hiv.html) Aviscitat fra 8 okt 97 Der er god grund til den fortvivlelse der hænger over Vancouver s Downtown Eastside... Forskere har konstateret at de 6000 til 10000 heroin misbrugere, som bor i dette slum kvarter har udviklet den vestlige verdens højeste hiv smitte transmission 18,6 %! Oversat: Hvis 1000 narkomaner er Hiv negative vil 186 af dem efter et år være smittet. Avisen beskrev gennem en serie artikler den alvorlige Hiv epidemi der raserede i kvateret (VLE) og truede med at sprede sig til de omliggende områder. De smitteramte var mest stiknarkomaner,som levede under kummerlige forhold i slumlejligheder. Smitten blev hovedsagelig overført ved brug af fælles nåle, selvom ubeskyttet sex sandsynligvis også var medvirkende årsag. Smitten ud af området foregik selvfølgelig primært ved ubeskyttet sex. I det følgende vil vi prøve at opstille en differentialligningsmodel på baggrund af denne epidemi for at se, hvordan de matematiske metoder kan indgå i diskussionen af sygdommens udbredelse og evt forebyggende foranstaltninger. Formålet er ikke at producere en fuldstændig beskrivelse af dette komplicerede social-medicinske problem, men blot at bruge forenklede antagelser til at opstille en matematisk model. Ved at løse de opstillede ligninger kan vi så få en fornemmelse af, hvorledes sygdommen spreder sig. Altså Formål a) Få indsigt i dynamikken i HIV epidimien b) Foreslå forebyggende midler c) Træne opstilling af modeller og løsning af differentialligninger Kendsgerninger: antal stiknarkomaner i VLE : 6000-10000
heraf allerede Hiv positive : 1500 og tallet er voksende en sprøjte kokain misbruger tager 15-20 fix om dagen 40% af stiknarkomanerne deles om sprøjter fattigdommen og de hygieniske tilstande giver væsentlig forøget dødelighed for de Hiv/Aids ramte. Dødeligheden per år er ca 15% dvs ud af 100 inficerede dør ca 15 i løbet af et år. I VLE ville 186 ud af 1000 hiv negative blive smittet af de allerede Hiv /Aids ramte på et år. Modelering: Vi vil starte med at indføre nogle variable, som vil være velegnede til at beskrive udvikling. epidemiens I(t) = antal stiknarkomaner som er Hiv/Aids inficeret til tiden t U(t) = antal stiknarkomaner som er uinficeret til tiden t N(t) = antal stiknarkomaner ialt i kvarteret til tiden t = I(t) +U(t) For at forenkle situationen gør vi følgende antagelse Antagelse 1: N(t) er en konstant N altså I(t) + U(t) = N Dette er rimeligt,da boligsituationen i kvateret er sådan at når en misbruger dør eller flytter, flytter en anden ind i lejligheden. Antagelse 2 : Beboerne er homogene Det betyder vi antager alle har samme vaner, lever under samme vilkår og har samme egenskaber. ( Dette er langtfra realistisk, men tillader os at nøjes med at arbejde med en gennemsnitsperson ) Antagelse 3 : Beboerne er fuldstændigt mixet sammen Med dette menes, at enhver smittet person har lige tæt kontakt med alle de andre beboere. (Også denne antagelse er urealistisk, idet det sociale netværk helt sikkert har betydning, for om man deler nåle ) Opstilling af en differentialligning Vi ønsker at finde ud af hvordan I (t) antallet af Hiv inficerede udvikler sig.
Betragter vi /, dvs tilvæksten per år i antallet af Hiv inficerede, må den afhænge af hvormange nye der smittes per år samt hvormange allerede smittede, der forsvinder pga dødsfald eller andet. Vi har altså en differentialligning af formen = nysmittede per år - forsvundne smittede per år så mangler vi blot at finde uryk for, hvormange nysmittede og forsvundne der er per år. Det er her antagelse 2 og 3 kommer ind i billedet. Nysmittede per år: Vi indfører en parameter a defineret ved a = gennemsnitssandsynligheden for at en smittet person overfører Hiv til en uinficeret blan beboerne per år så bliver au = gennemsnits antal uinficerede der bliver smittet af kontakt med en given smittet og da der ialt er I smittede, som hver i gennemsnit smitter au, fås ialt aui = nysmittede per år Eller sagt på anden vis så er antallet af nysmittede per år proportionalt med både antallet af smittebærere og antallet af folk, der kan moage smitten. Forsvundne smittede per år: Her antager vi proportionalitet mellem antallet der dør og antallet af smittede, proportionalitetskonstanten kaldes b b = gennemsnitssandsynlighed for at en smittet dør i løbet af et år bi = gennemsnitsantal smittede der dør om året Dette er også en forenkling, idet vi ved,det tager lang tid før Hiv udvikler sig til sygdommen Aids. Der er altså en betydelig forsinkelse fra smittetidspunktet til død, og i en forbedret model ville man skulle tage hensyn til fordelingen mellem Hiv og Aids patienter blan de inficerede. Differentialligningen er da = aui - bi Denne differentialligning indeholder to ukene funktioner af tiden U og I, så der skal arbejdes li med den, før den kommer på en form, vi kan løse: Øvelse 1 Udnyt antagelse 1 og vis at = = a I ( M-I ) aui bi kan omskrives til en differentialligning af typen
hvis vi indfører en ny konstant M, der er lig med N-b/a Hvilken type vækst beskrives ved en sådan differentialligning? Er konstanten M positiv eller negativ eller kan den være begge dele? Under hvilke betingelser er M positiv? Forklar hvordan fortegnet afhænger af antallet af stiknarkomaner? For hvilke værdier af I fås en stabil tilstand dvs I konstant (ingen ændring i antallet af inficerede ) Giv en fortolkning af de to mulige tilstande? (facit til øv 1 findes i appendiks) Løsning af den opstillede ligning Vi har nu lavet en matematisk model. På baggrund af denne, kan vi bestemme I(t) antallet af Hiv smittede til tiden t, som løsning til differentialligningen: dvs = a I ( M-I ) M I( t) = 1+ ce amt For at finde de forskellige konstanter der indgår, må vi vende tilbage til kendsgerningerne på side 2 Øvelse 2. Bestem a, M og c Opskriv løsningen I(t) Undersøg hvad der sker når t går mod uendelig Skitser grafen for I(t) Dynamikken i modellen: Vi vil undersøge hvorledes løsningen til = a I ( M-I ) afhænger af parameterne M Hvis M 0 var løsningen 1 I( t) = og hvis M = 0 fås løsningen I(t) = 1+ amt ce at + c M = N- b/a vi ser der er 2 muligheder: M 0 så vil I(t) gå mod 0 for t dvs sygdommen vil dø ud Dette sker når N b/a an b M > 0 så vil I(t) gå mod M for t
Dette sker når an > b Øvelse 3. Overvej hvordan uligheden an b kan fortolkes
Konsekvenser af forskellige indgreb Hvis målet er at få færrest mulige smittede på langt sigt, gælder det ifølge ovenstående om at gøre M = N-b/a så lille som muligt helst negativ. Øvelse 4 A. Diskuter de mulige konsekvenser af følgende ændringer i stiknarkoman samfundet 1) Lade flere narkomaner flytte ind i området så det bliver mere overfyl end det allerede er. 2) Sørge for en stor gratis forsyning af sterile nåle, så narkomanerne ikke deler nåle så ofte. Hvilken parameter vil dette påvirke? Hvordan påvirkes parameteren? Hvad ville virkningen være? 3) Sørge for bedre pleje og tilbyde den nye generation af medicin, der holder Aids patienter i live længere. Hvilken parameter vil dette påvirke? Hvordan påvirkes parameteren? Hvad ville virkningen være? Diskuter derefter indgrebet udfra et etisk synspunkt. B Kom med forslag til bekæmpelse af epidemien. C Modellen vi har diskuteret er ret forenklet (tænk på de antagelser vi har gjort undervejs). Hvilken konsekvens har det for vores konklusioner?
Appendiks: Facit Øvelse 1. I det følgende skrives blot U og I i stedet for U(t) og I (t) Antagelse 1 (si 2) giver U+ I = N U = N-I dette indsættes i = aui bi = a(n-i) I bi Der er forskellige måder at foretage omskrivningerne på. En mulighed er = a (N-I)I bi sæt I udenfor parentes = I( a(n-i) b ) sæt a udenfor parentes b = a I ( N - I - ) byt om på ledene a b = a I ( N- - I ) Husk I står for den funktion I(t) vi ønsker at finde, a mens N, a, b er konstanter. b N- er derfor også en konstant,kalder vi den M fås = a I ( M - I ) den a ønskede differentialligning. Denne type differentialligning beskriver en logistisk vækst. b M = N- a, b, N er positive konstanter. M kan være både positiv og negativ M > a b b 0 N > og M < 0 N < M er positiv (hhv.negativ) a, hvis antallet af stiknarkoman er større (hhv.mindre) a end sandsynligheden for at en smittet dør divideret med sandsynligheden for at en smittet smitter en rask Et tilpas stort antal stiknarkomaner vil altså resulterer i positiv M, mens et tilpas lille antal gør M negativ. I konstant når = 0 de to muligheder er : I = 0 ingen smittede, ingen udvikling I = M hvilket, hvis vi vender tilbage til den oprindelige ligning på si 3 betyder Antal nysmittede per år = antal smittede der dør per år Kort sagt der kommer præcis lige så mange nye til, som der dør, og det totale. antal er derfor konstant (dynamisk ligevægt)
facit øvelse 2: a = gennemsnitssandsynligheden for at en inficeret person overfører Hiv til en uinficeret blan beboerne per år Vi ved at de 1500 inficerede ialt per år smitter 186 ud af 1000 uinficerede dvs i gennemsnit er sandsynligheden 186 a = 1000 1500 M = N-b/a. hvor = 0,000124 Hiv inficerede i Vancouver Lower East antal personer 5000 N = stiknarkomaner ialt = 6000 (hvis vi bruger det lave skøn) b 4000 = gennemsnitssandsynligheden for at en smittet dør i løbet af et år = 15 % = 0,15 M = 6000-0,15/0,000124 4800 3000 c bestemmes udfra startværdien af I, der gjal I(0) = 1500 2000 1500 = 1000 4800 1+ c så løsningen er 0 c = 2.2 4800 = som vil gå mod 4800 for for t 1+ 2.2e I( t) 0. 5952t 0 5 10 15 20 år efter 1997 Fortolkning: Hvis der ikke sker indgreb vil antallet af inficerede med Hiv/Aids blive ved med at vokse inil det efter ca 10 år stabiliserer sig på 4800. Facit øvelse 3: Svar: N var befolkningens størrelse, a smittesandsynligheden per person per år og b dødeligheden per år for en smittet. au =a(n-i) er gennemsnits antal raske som en given inficeret smitter per år. Nu gælder a(n-i) < an b dvs sandsynligheden for at en Hiv/Aids smittet dør er større end sandsynligheden for at vedkommende smitter en rask og så er det jo meget naturligt at sygdommen efterhånden dør ud. Man kan også urykke det som : at antallet af smittede der forsvinder (dør) er større end antallet af nysmittede. Hvis I har lyst til nærmere at se på hvorledes løsningskurverne afhænger af M ligger der en interaktiv graf på hjemmesiden nævnt i starten (blot er M her kal K).
Ændringer kan forekomme da spørgsmålene skal godkendes af censor. 1. Trigonometri Du skal specielt gøre rede for sinusrelationerne for en vilkårlig trekant. Du kan inddrage dit projekt i geometri. 2. Trigonometri Du skal specielt gøre rede for cosinusrelationerne for en vilkårlig trekant. Du kan inddrage dit projekt i geometri. 3. Trigonometri Du skal specielt gøre rede for følgende trigonometriske funktioner og differentiation af mindst en af disse.,,, 4. differentialregning Du skal specielt gøre rede for regneregler for differentiable funktioner. Herunder skal du bevise produktreglen. 5. Differentialregning Du skal specielt gøre rede for tretrinsreglen samt give eksempler på hvordan den kan bruges til differentiation af en eller flere valgfrie funktioner. Du kan inddrage dit projekt i differentialregning. 6. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2D samt vinklen mellem to egentlige vektorer. 7. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2D samt projektion af vektor på vektor. 8. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for parameterfremstilling og ligningen for en ret linje i 2D, herunder skæring og vinklen mellem to linjer. 9. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for cirklens ligning, herunder afstandsformlen i 2D og tangent til en cirkel. 10. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 3D, vinklen mellem to egentlige vektorer samt projektion af vektor på vektor.
11. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for krydsproduktet mellem to vektorer i 3D, samt hvad krydsproduktet kan anvendes til. 12. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for linjer i 2D og i 3D. Herunder skal du komme ind på afstanden fra et punkt til en linje i 2D. 13. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt redegøre for planer i 3D. Herunder skal du komme ind på afstanden fra et punkt til en plan. 14. Vækstmodeller Du skal gøre rede for eksponentiel vækst. Herunder skal du komme ind på differentiation af eksponentialfunktioner. Hvis det er muligt kan du inddrage dit projekt om differentialregning. 15. Integralregning Du skal redegøre for arealbestemmelse ved hjælp af integraler. Herunder skal du komme ind på sætningen om arealfunktionen. 16. Integralregning Du skal specielt gøre rede for integral som grænseværdi for summer, herunder skal du komme ind på rumfang af omdrejningslegeme. 17. Differentialligninger Du skal specielt gøre rede for den lineære differentialligning: 18. Differentialligninger Du skal specielt gøre rede for den logistiske differentialligning: Du kan inddrage dit projekt i differentialligninger. 19. Statistik Du skal redegøre for chi i anden tests, gerne ved hjælp af et eller flere eksempler.