Geoide måling med GPS. Bo Høegh Frederiksen Alexander Colliander Hansen Lea Kamille Drescher Sørensen 26. marts 2007

Geoide måling med GPS Bo Høegh Frederiksen Alexander Colliander Hansen Lea Kamille Drescher Sørensen 26. marts 2007 1

INDHOLD INDHOLD Indhold 1 Forord 3 2 Formål 3 3 Teori 3 3.1 Geoide............................... 3 3.2 Satelliter.............................. 5 3.3 Positions bestemmelse...................... 6 3.4 Keplers love............................ 7 3.5 GPS................................ 8 3.5.1 Differentiel GPS...................... 10 4 Eksperiment 10 4.1 Udstyr............................... 11 4.2 Resultater............................. 11 4.2.1 Søerne i København................... 11 4.2.2 Damhussøen........................ 12 5 Diskussion 14 5.1 Søerne i København........................ 14 5.2 Damhussøen............................ 15 6 Konklusion 16 7 Litteraturliste 17 A Appendix 18 A.1 Figurer............................... 18 A.2 Tabeller.............................. 19 2

3 TEORI 1 Forord I 1978 begyndte det amerikanske militær at sende satelliter op til deres GPS system. Meningen var at man skulle have en pålidelig metode til at bestemme sin position, ligemeget hvor på kloden man befandt sig, og hvordan vejret var. I starten af 90 erne var systemet fuldt udbygget og klar til brug. Men GPS systemet kan bruges til meget mere end bare at finde vej. Man finder på flere ting man kan bruge GPS til hele tiden, både indefor militæret, men også til civilt brug. En af de ting man kan bruge GPS til er at bestemme variationer i landskabets højde. Hen over søer og have vil disse variationer skyldes det varierende tyngdefelt, i det vand jo altid vil ligge vandret. Ved hjælp af differentiel GPS kan man bestemme positioner ned til milimeters nøjagtighed. På geoide modeller kan man se at geoiden hæver sig ca. 60 meter fra Rusland til Island i forhold til ellipsoiden, i Danmark hæver vandet sig ca. 2,5 cm pr. km. Ved at benytte differentiel GPS vil vi bestemme dennne højdeforskel på nogle af de københavnske søer. 2 Formål Vi ønsker, at gennemføre målinger på nogle søer i København der kan vise os tyngdefeltetsvariation. Ifølge Newton vil et lod altid pege mod Jordens centrum, hvis man lader det hænge stille i Jordens tyngdefelt og der ikke er andre kræfter der påvirker det, men sådan befinder det sig ikke i virkeligheden. Jorden har et varierende tyngdfelt, alt efter hvor på kloden man befnder sig. I Danmark er vi påvirket af nogle tunge masser, det ligger oppe omkring Island, så i Danmark vil et lod afvige i vest-nordvestlig retning, denne afvigelse kaldes lodafvigelsen, (Se Figur 2). Vi vil vha. GPS måle denne afvigelse, ved at måle højdeforskellen fra den ene bred til den anden i nogle søer i København. Dette vil kræve at vi sætter os ind i hvordan satellit positionering fungerer. 3 Teori 3.1 Geoide Geoiden er den overflade, som vandoverflader på Jorden ville have, hvis vandet var helt i ro og lagde sig til rette i forhold til variationerne i tyngdefeltet. 3

3.1 Geoide 3 TEORI De steder, hvor tyngdefeltet er relativt stærkt, samler vandet sig og hæver havoverfladens højde i forhold til de steder, hvor tyngdefeltet er svagere. På den måde afspejler variationerne i havets højde, variationer i Jordens tyngdefelt, som illustrerert ved Figur 7 i Appendix. Variationerne i Jordens tyngdefeltet skyldes hovedsageligt, at havdybden ændrer sig eller der er synlige bjerge. Der, hvor der er undersøiske masser, som f.eks. oppe omkring Island (Se Figur 1), er tyngdefeltet stærkere, end der hvor der er undersøiske dale. Variationer i tætheden i havbunden har også en betydning for tyngdefeltet. Vandstanden vil være højere omkring Island, pga. de tunge underjordiske masser, dette vil også påvirke vandhøjden i Danmark, derfor skulle vi gerne kunne se, at vandhøjden i den ende, der vender op mod Island, er højere end i den anden ende af søen. Figur 1: Tyngdevariationer i Nordatlanten På figuren visser de røde og gule farver, der hvor tyngdefeltet er relativt stærkt, mens grønne og blå farver markerer der hvor tyngdefeltet er relativt svagt. Geoide-modellen er sådan som vandet ville ligge, hvis det lå helt i ro, men det er ikke nemt at bestemme geoidens udseende, da der er mange faktorer der påvirker vandets bevægelse, f.eks. har Solen og Månens tiltrækning en indvirkning på store vandoverflader, det vi kender som ebbe og flod. Den højdforskel vi måler, vil dog ikke være påvirket af Solen og Månens tiltrækningskraft, da denne kraft ikke er stor nok, til at gøre en forskel på de søer vi måler på. Viden om tyngdefeltets variationer giver oplysninger om jordskælv, vulkanudbrud, jordpladernes hævning efter sidste istid, samt om Jordens indre opbygning. Det kan også bruges til, at kunne kortlægge havstrømme, havover- 4

3.2 Satelliter 3 TEORI fladens niveau og ændringer i Jordens isdække. Alt dette kan bruges så man kan holde øje med Jordens klima ændring. På Galathea 3 ekspeditionen laver de også GPS målinger på havoverfladen. For tiden benyttes GPS- og tyngde-målinger til at fastlægge tyngdefeltets variation. Selvom man benytter GPS til at måle på geoien, måler man også på geoiden for at kunne forbedre GPS udstyret. For at satellitten skal kunne give GPS udstyret de helt rigtige fysiske koordinater skal geoidens form kendes helt korekt, så man kan angive sin højde over havet, se figur 2. Figur 2: Her kan man se hvordan ellipsoiden og geoiden forholder sig til hinanden. Ellipsoiden er den matematiske tilnærmelse på Jordens form, det er de koordinater GPS modtageren vil give, hvis man ikke fastlægger geoiden. Ellipsoiden er en fladtrykt kugle, da Jordens rotation gør at Jorden ikke er kuglerund, men har form som en ellipse. 3.2 Satelliter For at kunne bestemme sin postition skal man bruge mindst 4 satelliter. Hvis der er mere end 4 tilgængelige bruges disse til at gøre positions bestemmelsen mere præcis. Med 4 satelliter kan man opskrive 4 ligninger med 4 ubekendte, som kan løses så man får X-,Y-, Z-koordinaterne samt bestemme tiden. Satelliterne bruger meget præcise atom-ure til at holde styr på tiden. GPS satelliterne befinder sig ca. 20.200 km over Jordens overflade, og har en omløbstid på 11 timer of 58 minutter. De bevæger sig altså med en hastighed på lige under 3,9 km/s. Den generelle relativitetsteori siger at urene 5

3.3 Positions bestemmelse 3 TEORI ombord på satelliterne vil gå ca. 45.900 nano sekunder hurtigere pr. dag, end et tilsvarende atom-ur på Jorden, idet Jordens tyngdefelt er svagere oppe i den højde satelliterne befinder sig i. Den specielle relativitets teori fortæller os, at urene ombord på satelliterne vil få en tidsforlængelse, givet ved: Hvor γ er: t = t γ t = 24 h dag 3600 s h γ 24 h dag 3600 s h γ = 1 1 v2 c 2 = 7200 ns dag Satelliternes ure vil altså se ud til at gå 7200 nano sekunder langsommere pr. dag end ure på jorden, på grund af den specielle relativitets teori. Samlet får vi altså en tidsforskydelse på: t = t g rel + t s rel = 45900ns 7200ns = 38700ns Urene i satelliterne vil derfor tikke 38.700 nano sekunder hurtigere pr. dag. Denne forskel kan man naturligvis ikke have, man korrigerer for det, ved at indregne fejlen i frekvensen af de signalerne som satelliterne udsender. 3.3 Positions bestemmelse Vi kan finde vores position ved at se på 3 kugler, hver kugle har en satellit som centrum. For at gøre udregningerne lidt simple sætter vi alle tre kuglers centrum til at have z-koordinaten 0, Vi sætter den første kugle til at have x-koordinaten 0, mens den anden kugle ligger langs x-aksen. Man vil altid kunne sætte et koordinatsystem på denne måde, hvis man har 3 kugler. Vi kan altså skrive 3 ligninger op: r 2 1 = x 2 + y 2 + z 3 r 2 2 = (x d) 2 + y 2 + z 2 r 2 3 = (x i) 2 + (y j) 2 + z 2 Idet vi kender r 1, r 2, r 3, d, i og j, kan (x, y, z)-koordinaterne til B bestemmes. Pga. usikkerheder vil alle 3 kugler dog ikke nødvendigvis krydse hinanden i netop samme punkt. Det er derfor man foretrækker at have så mange satelliter som muligt, i forskellige vinkler i forhold til hinanden. Idet man i praksis aldrig vil få netop ét skæringspunkt vil GPS modtageren udrenge det mest sandsynlige punkt udfra det område som ligger indenfor alle kuglerne. 6

3.4 Keplers love 3 TEORI Figur 3: Vi står i B, vi kender reference punkterne P1, P2 og P3 som repræsenterer satelliterne. Når vi kender r1 kan vi bestemme vores position til at ligge på en cirkel, når vi så kender r2 kan vi enten befinde os i A eller B, den tredje måling r3 giver os koordinaterne til B 3.4 Keplers love Til vores forsøg ville vi gerne måle på et tidspunkt, hvor der var bedst mulig chance for at have et par satelitter mere end absolut minimum. Til dette kan man hente en almanak fra satelliterne, hvor man får oplysninger om satelliternes position, deres retning og fart, dette kaldes for satelliternes Kepler elementer. Man lægger så disse elementer ind i et computer program, som bruger Keplers love til at udregne satelliternes position til et givent tidspunkt op til ca. en uge frem i tiden. Grunden til at man ikke kan regne længere frem er at satelliternes baner forskydes en smule pga. Jordens tyngdevariation. Keplers første lov siger, at en satellit bevæger sig rundt om Jorden i en elliptisk bane, med Jorden i det ene brændpunkt. Med GPS satelliter prøver man at gøre ellipsen så cirkulær som mulig, ellipsens excentricitet vil derfor ligge tæt på 1. Newtons anden lov siger at: mẍ = F Hvor ẍ er accelerationen. Denne lov bruges bl.a. når man skal lave udregninger med satellit baner, som skal tilfredsstille: m v2 r = GMm r 2 Hvor v er hastigheden, G er graviationskonstanten, M er her Jordens masse, mens m er sattelitens masse, r er afstanden til Jordens masse centrum. Ven- 7

3.5 GPS 3 TEORI stresiden her er centripetalkraften som peger væk fra Jorden, mens højresiden er gravitationskraften som Jorden trækker i satelliten med. Hvis vi ganger med r 2 /m i ovenstående ligning får vi: v 2 r = GM Idet GM er konstant, kan vi se, at hvis satelliten kommer tættere på Jorden (r bliver mindre), så kan vi se at hastigheden nødvendigvis må stige, netop hvad Keplers anden lov siger. Keplers anden lov siger at radiusvektoren dækker lige store arealer i lige store tidsrum. Det betyder at satelliten vil bevæge sig en smule hurtigere når den er tættest på Jorden, end når den er længs fra Jorden. Ved at gøre satellit banen så cirkulær som mulig får man også at satelliten vil bevæge sig med næsten samme hastighed i hele sin bane. Keplers tredje lov siger at: a 3 T 2 = konstant Hvor a er den halve storakse i en ellipse, i en cirkulær bevægelse vil det bare være radius af cirklen. T er omløbstiden. 3.5 GPS GPS (Global Positioning System) systemet er udviklet af det amerikanske forsvar i 1980. I dag bliver GPS brugt til mange formål. Det mest almindeligt kendte er nok til navigationsudstyr for både fly, skibe og biler, til landmåling og indefor byggebranchen. Positions bestemmels kan ses under afsnitet om satelliter. Fra satelliterne bliver der udsendt en grundfrekvens på ν 0 =10,23 MHz, denne frekvens bliver så divideret eller ganget med en faktor for at skabe flere signaler, der er i alt 5 typer, det er bærefrekvenserne L1 til L5. På disse 5 frekvenser bliver der lagt data ind, et GPS signal består af 3 dele: C/A (Coarse/Acquisition), D (navigations meddelelse med korrektioner af Kepler elementerne) og P (Præcision), det er disse datasæt man bruger til at bestemme position, P-koden er forbeholdt militæret dvs. de krypterer den så det kun er deres egne folk, der kender koden kan bruge den. Med P-koden kan man få en meget præsis nøjagtighed helt ned i cm. Kepler elementerne består bla. af, kvadratroden af den halve storakse, excentriciteten og inklinationen. Datasættende C/A, P og D bliver moduleret ind på bærebølgen. På L1 bliver C/A-, P- og D-koder lagt ind og på L2 bliver P- og D-koder lagt ind. 8

3.5 GPS 3 TEORI Signal: Gangefaktor: Bølgelænde: Frekvens: Grundfrekvens 1 10,230 MHz 29,0615m Bærebølge L1 154 1575,420 MHz 0,1887m Bærebølge L2 120 1227,600 MHz 0,2422m P kode 1 10,230 MHz 29,0615m C/A kode 0,1 1,023 MHz 290,6153m D kode 1/204600 5,00E-05 MHz 5,946 10 6 m Bærebølge L3 135 1381.05 MHz 0,2153m Bærebølge L4 134,89 1379.913 MHz 0,2154m Bærebølge L5 115,29 1176.45 MHz 0,2527m C/A-koden består af en 37.851 bit lang pseudo-tilfældig kode som er entydigt bestemt. Denne kode bliver opdelt i 37 stykker, og hver satellit får så en stump på 1.023 bit af koden. Hver satellit gentager sin C/A-kode med 1 ms mellemrum. Alle GPS modtagere har hele koden, så den kan regne ud hvilken satellit den del af koden den har modtaget kommer fra. P-koden minder i høj grad om C/A koden i sin opbygning, men er betydelig større og indeholder meget mere information, den består af omkring 2,35 10 14 bit, idet at P-koden indeholder så meget mere information end C/A-koden, følger også at den er bedre hvis man skal bruge en nøjagtig positionsbestemmelse. P koden deles, som C/A koden, i 37 stykker, som tildeles de enkelte satellitter. P-koden bliver nulstillet en gang om ugen kl 24.00 natten mellem lørdag og søndag (UTM tid, GPS uge). D-koden indeholder korrektioner til satelliternes bevægelse og tidsangivelse. Disse oplysninger udsendes en gang i timen. De sidste 3 bærefrekvenser L3, L4 og L5 bliver brugt til: L3: Det Amerikanske forsvar bruger den bærefrekvens til at bestemme missilaffyringer, atomvåben detonationer og høj energi infrarød stråling L4: Bruges til rettelse af ionosfæriske forstyrrelser. L5: Bliver først brugbar i 2008, skal da bruges til forbedring af GPS udstyret i flyvere. GPS konstellationen består af 30 aktive satelliter, samt nogle ekstra satelliter der kan tage over, hvis en aktiv satellit går i stykker. Deres baner har ca 55 inklination i forhold til Jordens ækvator, deres baner vender altså lige over Danmark. Pga. deres højde kan vi derfor her i Danmark også modtage data fra satelliter der vender ovre på den anden side af Nordpolen. Satelliterne var tidligere placeret i bestemte baner rundt om Jorden, med et mellemrum på 60 mellem sig, dengang var der kun 24 aktive satelliter, 9

4 EKSPERIMENT men fra februar 2007 er man gået over til en ikke-uniform model, hvor der altså er 30 aktive satelliter. Grunden til at man nu er gået over til en ikkeuniform model er, at den gamle model ikke garanterede præcise målinger hele døgnet over hele kloden, GPS systemets stigende popularitet har gjort at man mente det var nødvendigt at indføre dette nye system, som garanterer mindst 4 satelliter overalt på Jorden hele døgnet. 3.5.1 Differentiel GPS Som nævnt tidligere er de mest nøjagtige koder ikke tilgængelige for civile, og det er derfor ikke så præcise positioner man får givet på GPS udstyret, der er dog noget man kan gøre, for at få et mere præcist resultat. Denne metode kaldes for Differentiel GPS, den går ud på at man sætter en modtager op på en kendt position, og så lader den logge data mens man måler med en anden modtager i det punkt man vil kende positionen til. Det er vigtigt at de måler samtidig, da man på den måde vil få data fra de samme satelliter, og derfor får den samme fejl på de to målinger. På samme måde skal målepunktet heller ikke være mere end 50 km væk fra referencepunktet, hvis man vil have målinger udfra de samme satelliter, på denne måde får man også ca. samme fejl fra ionosfæren og troposfæren. De lagrede data indlæses i en computer. Man kan så sammenligne P-koderne fra det kendte punkt med P-koderne fra målepunktet, og derved få en godt bestemt vektor mellem det kendte og det ukendte punkt. I det fejlen er den samme for de to punkter, vil fejlen forsvinde x punkt + δx fejl (x kendt + δx fejl ) = x punkt x kendt Vi kan med denne metode bestemme en vektor med en nøjagtighed på 10 7 10 6 meter pr. kilometer vores målepunkt er fra vores referencepunkt. 4 Eksperiment For at kunne foretage målinger af vandhøjden, skal man kunne søsætte GPSantennerne. Man skal derfor bygge to identiske tømmerflåder, vi vælger at bygge dem i flamingo, da det er nemt at arbejde med og flyder godt. Der laves et hul i et hjørne på hver tømmerflåde, som der sættes en snor igennem. Der optegnes også en linial på to af sidderne, på hver flåde, så man kan se hvor meget flåderne synker. Vi valgte at måle på to søer, søerne i København (hhv. Peblinge sø og Sortedams sø) og Damhussøen. Vi har 4 målepunkter i København og 5 målepunkter på Damhussøen 10

4.1 Udstyr 4 EKSPERIMENT Inden man tager ud og måler skal man kontrollere i en satellit almanak om der er satelliter nok over det område man vil måle, der skal mindst være 4. Vi bruge et programmet, som viser satellit aktiviteten nøjagtigt på alle tidspunkter af døgnet se Figur 6 i Appendix. Man kan med fordel også sørge for at der ikke er for meget blæst, på ens måledage. Når man måler med GPS og skal bestemme sin position meget præcist, skal antennen helst ligge så stille som muligt imens man måler. Hvis der er mange satelliter kan man nøjes med at logge data i omkring 8-10 min., men hvis der kun er 4-6 skal den stå i mindst 20 min. før man har en god positions bestemmelse, jo længer tid den logger det samme sted, jo mere præcis bliver resultatet, vi har ca. logget 25-30 min. ved hver position. Når vi har logget tilstrækkeligt med data, overføres daten til en computer, på computeren benytter vi et program til at bestemme koordinaterne. 4.1 Udstyr Vores GPS udstyr er lavet af Trimble. De GPS modtagere vi brugte ude ved søerne var model 5700, den der loggede data ved referencepunktet på Rockefeller var model 4000. Antennen er en Trimble Zephyr T M Geodetic. Udstyrret er specielt lavet til at foretage geodæiske målinger, og har derfor en betydeligt bedre positionsbestemmelse end almindeligt GPS-udstyr. Det program vi benytter til at danne dagens satellit almanak hedder Planning, i dette program kan man se satelliternes bevægelse omkring Jorden. GPS programmet GPSurvey 2.35 benyttes til data behandling. 4.2 Resultater 4.2.1 Søerne i København Ved søerne i København menes nærmere bestem Peblinge og Sortedams sø. De tre første målinger blev målt ved Fredensbro og den fjerde ved Gyldenløvsgade (Figur 4). Ved hjælp af programmet GPSurvey 2.35 bestemmes punkternes possition. Med Rockefeller som vores referencepunkt får vi nu følgende værdier for højdeforskellen, afstanden og azimut. Da vi nu kender både afstanden og vinklen mellem målepunkterne og Rockefeller kan afstanden bestemmes mellem punkterne ved brug af cosinus- 11

4.2 Resultater 4 EKSPERIMENT Figur 4: Målepunkter ved søerne. Bemærk kortet er drejet Sted Koordinater Højde over elipsoide REF 55 41 52,4587 N 12 33 46,9175 E 70,813 m A 55 41 29,4868 N 12 34 10,5745 E 42,121 m B 55 41 29,4871 N 12 34 10,5687 E 42,119 m C 55 41 29,8245 N 12 34 08,6092 E 42,110 m D 55 40 54,2121 N 12 33 36.6333 E 42,136 m Tabel 1: Målepunkter ved søerne Sted Højdeforskel Afstand Azimut A -28,692±0,0052 m 882,393±0,0041 m 149 48 46,2174 B -28,694±0,0104 m 822,334±0,0059 m 149 44 06,7617 C -28,703±0,0163 m 796,450±0,0046 m 151 34 17.1971 D -28,667±0,0117 m 1810,558±0,0045 m 185 41 48,4732 Tabel 2: Resultaterne fra søerne relationen. Hældningen kan ligeledes bestemme ud fra en retvinklet trekant. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos ϕ sin α = h s 4.2.2 Damhussøen Ligeledes som ved søerne havde vi vores referencestation stående på Rockefeller og logge data medens vi var ude ved søen. Denne gang havde vi 12

4.2 Resultater 4 EKSPERIMENT Punkt Højdeforskel h Afstand s Hældning α Azimut A,D 0,025±0,013 m 1261,810±0,0051 m 4,09±2,10 240 49 55,3738 B,D 0,027±0,016 m 1260,866±0,0051 m 4,42±2,57 240 49 54,6249 C,D 0,036±0,020 m 1248,077±0,0049 m 5,95±3,32 240 31 33,3278 Tabel 3: Beregnede resultater fra søerne 2 GPS-modtagere af samme model med ude ved søen. Her lavede vi i alt seks målingere af 20-25 minutter. Dog af uforklarlige oversagere blev et af punkterne korrupt. Her makeret med en cirkel med streg over (Se Figur 5). Figur 5: Målepunkter ved Damhussøen Vi får følgende positioner for disse punkter. Sted Koordinater Højde over elipsoide REF 55 41 52,4587 N 12 33 46,9176 E 70,813 m E 55 40 35,5804 N 12 28 46,5620 E 45,103 m F 55 40 25,6127 N 12 29 00,9932 E 43,739 m G 55 40 35,6606 N 12 28 46,3811 E 44,357 m H 55 40 39,3456 N 12 29 05,3818 E 44,684 m I 55 40 36,6233 N 12 28 21,7498 E 43,922 m Tabel 4: Målepunkter ved Damhussøen De resterende punkter giver os nedenfor anførte positioner. På samme måde som for søerne kan højdeforskellen og afstanden til Rockefeller bestemmes (Figur 5) og tilsidst hældningen mellem punkterne. 13

5 DISKUSSION Sted Højdeforskel Afstand fra REF Azimat E -25,710±0,0161 m 5761,137±0,0049 m 245 39 35,0010 F -25,770±0,0132 m 5671,236±0,0050 m 241 45 10,0028 G -25,750±0,0140 m 5761,945±0,0042 m 245 41 13,4745 H -26,129±0,0280 m 5413,609±0,0097 m 245 20 37,1811 I -25,720±0,0082 m 6145,374±0,0030 m 247 35 19,3016 Tabel 5: Resultater fra Damhussøen Punkt Højdeforskel h Afstand s Hældning α Azimut F,E 0,060±0,021 m 399,939±0,0016 m 30,94 ± 10,72 315 51 39,5177 F,G 0,020±0,019 m 402,795±0,0015 m 10,24 ± 9,84 315 51 8,3588 F,I 0,050±0,016 m 765,552±0,0035 m 13,47 ± 4,19 296 24 33,4934 G,E 0,040±0,021 m 2,867±0,0018 m 2877,87 ±1536,66 308 7 0,3312 G,I 0,030±0,016 m 431,299±0,0046 m 14,35 ± 7,75 272 9 46,1756 H,E 0,419±0,032 m 348,891±0,0108 m 247,71 ± 19,08 259 12 37,7085 H,F 0,359±0,031 m 432,348±0,0064 m 189,40 ± 18,45 190 14 13,1144 H,G 0,397±0,031 m 349,941±0,0105 m 234,00 ± 18,45 259 26 29,9766 H,I 0,409±0,029 m 765,867±0,0097 m 110,15 ± 7,85 266 25 5,8942 I,E 0,010±0,019 m 433,317±0,0051 m 4,76 ± 9,03 92 18 37,2602 Tabel 6: Beregnede resultater fra Damhussøen Til sammenligning har vi fået udleveret modeldata for geoide højden, disse kan ses i Tabel 7. 5 Diskussion 5.1 Søerne i København Målepunkterne A, B, C og D er allesammen forholdsvis vellykkede (Tabel 3). Usikkerhederne er dog relativt store, dette kan skyldes at der var en smule bølger, som gjorde målingerne mere unøjagtige, vi kan nu se at vi nok skulle have laddet modtagerne logge i lidt længere tid, så vi kunne have fået en mindre fejl. Det er dog værd at bemærke at vi har fået vores resultater på omkring 2, 5 cm pr. km mod Island. Geoide modellens værdier ligger næsten indenfor usikkerhederne, det er dog desværre begrænset hvor meget vi kan bruge modellens værdier til, idet den bygger på at man har indelt et kort i firkanter på ca. 2 2 km. Men når vores målepunkter kun er 1,25 km fra hinanden, så ligner det at A, B og C bare er blevet placeret i samme firkant, mens D er placeret i en anden og at vi derfor har fået at højdeforskellen skulle 14

5.2 Damhussøen 5 DISKUSSION Punkt Højdeforskel h, målt Højdeforskel h, model A,D 0,025±0,013 m 0,011 m B,D 0,027±0,016 m 0,011 m C,D 0,036±0,020 m 0,011 m F,E 0,060±0,021 m 0,003 m F,G 0,020±0,019 m 0,003 m F,I 0,050±0,016 m 0,011 m G,E 0,040±0,021 m 0,000 m G,I 0,030±0,016 m 0,008 m H,E 0,419±0,032 m 0,007 m H,F 0,359±0,031 m 0,004 m H,G 0,397±0,031 m 0,007 m H,I 0,409±0,029 m 0,015 m I,E 0,010±0,019 m 0,008 m Tabel 7: Beregnede højdeforskelle sammenlignet med værdier fra en geoide model. være den samme mellem alle punkterne, som kan ses i Tabel 7. Alle målinger her giver os en hældning i den retning vi havde forventet. 5.2 Damhussøen På Damhussøen er det ikke alle målepunkter der er blevet lige gode, der var en del bølger da vi var ude og måle, vi skulle derfor igen nok have laddet modtagerne logge i væsentligt længere tid end vi gjorde. Punktet H har fået en usikkerhed i sin højde i forhold til referencepunktet, som er næsten dobbelt så stor som de andre punkters og så skulle det i øvrigt ligge 40 cm højere end de andre punkter, hvilket ikke var tilfældet (Tabel 5). I øvrigt lå E og G lige ved siden af hinanden og loggede samtidig, alligevel har vi fået en højdeforskel på 4, 0 ± 2, 1 cm imellem dem. Dette kan skyldes at da antennen målte i E, bankede den ind i nogle sten, på et tidspunkt blev den endda skubbet op på en sten nær ved bredden, man kan godt forestille sig at dette kan have medført en unøjagtighed i målingen af E. Hvis vi så kigger på vores højdeforskelle mellem FG, FI og GI (Tabel 5), hvilket er de 3 gode målepunkter fra Damhussøen, ser vi at FG og GI giver resultater der er nogenlunde indenfor det forventede. FI giver en højdeforskel på 5, 0 ± 1, 6 cm, hvilket er lidt mere end det forventede, men den er trods alt større end de 2 andre, hvilket passer fint med at afstanden mellem de to punkter er næsten dobbelt så stor som afstanden mellem FG og GI. En sammenligning med model data (Tabel 7) er heller ikke rigtig brugbar til denne sø, idet 15

6 KONKLUSION punkterne ikke ligger mere end 700 m fra hinanden. Vi får dog stadig at hældningen er i den forventede retning for alle punkter, bortset fra IE som med sin usikkerhed giver os mulighed for en hældningen i den modsatte retning ( h I,E = 0, 010 ± 0, 019 m). 6 Konklusion Vi har udfra vores data set at GPS positionering kan bruges til at bestemme geoide højder over vand. Vi har eftervist at geoiden i Danmark stiger i vestnord-vestlig retning. Vi har dog også indset at man skal logge i betydeligt længere tid end vi gjorde, samt sørge for at der ingen bølgegang er i vandet, hvis man vil have målinger som man skal kunne bruge til at lave en geoidemodel. Mest optimalt ville det være at lave målinger mens der er is på søerne. Hvis man har samlet data mens der er bølger, ville man måske kunne få en bedre højdemåling, ved at behandle sine data som kinematiske istedet for statiske, derved ville man få en bølge som man kunne fitte en funktion efter, og så finde en middelværdi. På grund af opgavens begrænsede omfang, har dette dog ikke været muligt for os. Men det er klart at det er svært at bestemme en vandhøjde ned til milimeters nøjagtighed, når der er bølger på et par centimeter. Vores måling på søerne var også væsentligt bedre end målingen på Damhussøen, dette kan også holdes sammen med at der var meget mindre bølger på søerne, end der var på Damhussøen. Antallet af satelliter som vores modtagere havde udsyn til var ganske højt under vores målinger, det er derfor svært at sige om endnu flere satelliter havde mindsket vores usikkerheder betydeligt, det er formentlig udelukkende et spørgsmål om at lade modtagerne få tid til at samle endnu flere data. 16

LITTERATUR 7 Litteraturliste Litteratur [1] http://ccar.colorado.edu/asen5060/lecture25.pdf. [2] http://electronics.howstuffworks.com/gps1.htm. [3] http://en.wikipedia.org/wiki/global positioning system. [4] http://en.wikipedia.org/wiki/trilateration. [5] http://gps.losangeles.af.mil/. [6] http://ralph.bucher.home.att.net/project.pdf. [7] http://www.aticourses.com/global positioning system.htm. [8] http://www.geoteam.dk/showpage.php?nid=212. [9] http://www.gmat.unsw.edu.au/snap/gps/gps survey/. [10] http://www.ipgp.jussieu.fr/ trantola/files/professional /GPS/Neil Ashby Relativity GPS.pdf. [11] http://www.kb.dk/udstillinger/astroweb/verdensbilleder /keplerlaws.html. [12] http://www.navcen.uscg.gov. [13] http://www.rummet.dk/18b000c. [14] http://www.rummet.dk/3ad0029. [15] http://www.rummet.dk/3af0029. [16] http://www.stenseng.net/publications.php. [17] http://www.trimble.com/zephyrant.shtml. [18] J. M. Knudsen og P.G. Hjorth. Elements of Newtonian Mechanics. Springer, 3rd edition, 2002. ISBN: 3-5406765-2X. [19] Wolfgang Torge. Geodesy. Walter de Gruyter, 3rd edition, 2001. ISBN: 3-11-017072-8. 17

A APPENDIX A Appendix A.1 Figurer Figur 6: GPS almanak Figur 7: Jordens geoidehøjde 18

A.2 Tabeller A APPENDIX A.2 Tabeller Målepunkt Geoidehøjde A 35.996 B 35.996 C 35.996 D 36.007 E 36.100 F 36.097 G 36.100 H 36.093 I 36.108 Tabel 8: Geoidehøjde af målepunkterne udfra geoidemodel 19