Skriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den fra 9.00 til Alle hjælpemidler er tilladte. Undtaget er dog net-opkoblede computere.

Transkript

1 Skriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den fra 900 til 1300 lle hjælpemidler er tilladte Undtaget er dog net-opkoblede computere

2 Opgave 1: I en beholder med volumen V er der rgon-atomer i gasfasen, der regnes for ideal Deres antal kalder vi NG og tætheden G På beholderens indre vægge vil nogle af atomerne sætte sig, adsorberes Væggenes areal kalder vi og det antal pladser, der er til rådighed for adsorptionen, kaldes N S og den tilhørende tæthed S Når et atom er adsorberet på væggen, er det i ro og har en energi, der er ε lavere end den, atomet har, når det er i ro i gasfasen ntallet af atomer, der er adsorberet kaldes N og tætheden Systemet er i termisk ligevægt ved temperaturen T og antages at følge den klassiske Maxwell-Boltzmann-statistik Spørgsmål 1: er lige store Vis, at de kemiske potentialer i de to faser, gas- og adsorbatfasen, Spørgsmål 2: Spørgsmål 3: a) ngiv et udtryk for tilstandssummen i gasfasen, q G b) Vis, at tilstandssummen for adsorbatfasen er Vis, at der gælder q N e βε S, 1 β kt B G h β βε Se 2πM Spørgsmål 4: Her betyder M rgon-atomets masse a) Find adsorbattæthedens,, afhængighed af gastrykket, p b) Find adsorbattæthedens,, afhængighed af temperaturen T

3 Opgave 2: Vi tænker os et system af N molekyler hvert med et indbygget magnetisk moment, der sidder i ro i en krystal Det magnetiske moment er knyttet til det totale bevægelsesmoment 2 Ĵ, der har egenværdien J Hvilket igen vil sige, at dipolens energi i H-feltet kan antage værdierne: ε m mμh, med m J, ( J 1),, J 1, J Dipolerne vekselvirker ikke med hverandre Vi vælger at anvende det kanoniske ensemble til beskrivelse af systemets statistiske egenskaber Spørgsmål 1: Vis, at tilstandssummen, Q, kan skrives som N Q q J, hvor q er tilstandssummen for et enkelt molekyle: q J m J βε m e m J Spørgsmål 2: a) Udregn q J b) Specialisér til tilfældet J½ NB! I resten af opgaven er J½ Spørgsmål 3: Spørgsmål 4: a) Udregn middelværdien af en enkelt dipols energi, ε b) Udregn den specifikke varmefylde, C H a) Udregn middelværdien af dipolens magnetiske moment, M b) Udregn den magnetiske susceptibilitet, χ T

4 c) Find værdien i grænsen T 0 for den relative spredning af magnetiseringen, altså Spørgsmål 5: ( ) δm 2 M a) Udregn entropien pr Dipol, s b) Forklar hvorledes afkøling ved en reversibel adiabatisk afmagnetisering er mulig

5 Opgave 3: To parallelle ledere af længden L, afsluttet i hver ende med en resistor med resistansen R, udgør et én-dimensionalt hulrum, hvor resistorerne er væggene De fluktuerende bevægelser af ladninger i resistorerne giver anledning til spændingsbølger, der løber hen ad ledningen med fasehastigheden v Som ved hulrumstrålingen kan bølgerne kvantiseres og behandles som bosoner Nedenstående figur viser et ækvivalentdiagram af systemet, idet spændingskilderne er vist separat uden for resistanserne U(x,t) skal forestille en spændingsbølge, der løber mod højre med fasehastigheden v Der vil naturligvis også være bølger, der løber mod venstre: R R + U - 0 U(x,t) v x + U - L Spørgsmål 1: Idet vi kræver, at de stående bølger, der udgør egenbølgetilstandene, har bug i enderne skal man vise, at den energi, der knytter sig til bølger med frekvens mellem ω og ω + dω beløber sig til

6 d E L π v e ω, ω+ dω β ω dω ω 1 Spørgsmål 2: a) Vis, at energistrømmen fra venstre mod højre er: 1 ω i E ( ω) dω dω β ω 2π e 1 b) Vis videre, at for β ω << 1 kan vi tilnærme således: ie dω k B dω T 2π Ovennævnte energistrøm afsættes i højre resistor som effekten P Spørgsmål 3: a) Vis, at man også kan skrive effekten, som venstre spændingskilde afsætter i højre resistor som: U P 4R 2 hvor U 2 er middelværdien af spændingskvadratet Den fluktuerende spænding lægger sig oven i en evt signalspænding og kaldes på grund af dens generende virkning for den termiske støjspænding 2 b) Find endelig spektret for middelstøjspændingskvadratet, U og tegn en skitse af spektret ( β ω 1) c) Hvorfor kaldes støjen også for hvid støj