Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen
|
|
- Christine Beck
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen og Lykke Pedersen 18. januar 2006 Indhold 1 Kapitel 1 - Indledning 2 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger Binomial fordeling Multinomialfordeling Normalfordeling Poisson fordeling Kapitel 3 - Eksperimentelle usikkerheder 6 4 Kapitel 4 - Parameterbestemmelser 6 5 Kapitel 5 - Prior sandsynligheder 8 6 Kapitel 6 - Termodynamik Det kanoniske ensemble Tryk-ensemble Store Kanonisk ensemble Kapitel 7 - Kvantemekanik og varmefylder 15 8 Kapitel 8 - Fermioner og Bosoner Fermioner Bosoner
2 1 KAPITEL 1 - INDLEDNING 2 1 Kapitel 1 - Indledning Regneregler : Hvis A er sand så er Ā falsk. AB = A og B A + B = A el. B AB = Ā + B P (A) er sandsynligheden for A, og der må gælde P (AB) = P (Ā + B) A givet I skrives A I, dvs P (A I) betyder sandsynligheden for A givet informationen I Sumregel : Produktregel : P (A I) + P (Ā I) = 1 } P (AB I ) = P (A I )P (B AI ) A og B afhængige P (AB I ) = P (B I )P (A BI ) P (AB I ) = P (A I )P (B I )} A og B uafhængige Gen. sumregel : Bayes formel : P (A + B I) = P (A I) + P (B I) P (AB I) P (T DI) = P (D T I) P (T I) P (D I) For eks. på brug af bayes formel se side Kontinua : P (A(x) I) = p(a(x) I) x for x 0 bliver det til et kontinua. P (x 0 < x < x 1 I) = x1 x 0 p(x I)dx
3 2 KAPITEL 2 - SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER 3 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 2.1 Binomial fordeling Se side 19 for eksempler på problemer, hvor binomialfordelingen kan bruges. Plat og Krone : Begivenhederne er uafhængige og der er kun 2 udfald med sandsynligheder P (K n I) = k og P(T n I) = p Sandsynligheden for i en serie at få M krone og (N-M) plat P (K 1, T 2,..., K N ) = P (K 1 I)P (T 2 I)...P (K N I) = k M p N M Sandsynligheden for at få M krone ud af N kast, når A M er udsagnet: Sekvensen giver netop M krone ( ) N P (A M I) = Antal(N, M)k M p N M = k M p N M N! = k M p N M M M!(N M)! } {{ } Binomial kofficient Sandsynlighederne skal være normeret N P (A M I) = 1 M=0 Middelværdi : M = M MP (A M I) Varians : σ 2 = M (M M ) 2 P (A M I) = M 2 M 2 Tilstandssummen : Z(λ) = e λm N = e λm P (A M I) M Z (n) = M n
4 2 KAPITEL 2 - SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER 4 For binomialfordelingen er tilstandssummen (for plat og krone) Z(λ) = (ke λ + p) N M = Z (0) = Nk M 2 = Z (0) = (Nk) 2 + Nk(1 k) σ 2 = Z (0) Z (0) = Nk(1 k) = Nkp Store N : Stirlings approksimation: N! 2πN ( ) N N = N ln N N 2πNe e Se s. 23 (2.7) for binomialfordelingen. For store N kan binomialfordelingen approksimeres med en normalfordeling ( ) 1 P (A M I) exp (M µ)2 2πσ 2 2σ 2 hvor µ = Nk og σ 2 = Nk(1 k) 2.2 Multinomialfordeling Der er k udfald med sandsynlighed p i for i = 1,..., k. Sandsynligheden fo at der i N udfald er n 1 1 ere,..., n k k ere er når N = n n k Tilstandsummen P (A(n 1,..., n k ) I) = N! p n 1 1 p n k k n 1! n k! } {{ } Multinomial koefficient Z(λ 1,..., λ k ) = (p 1 e λ p k e λ k ) N Z(0,..., 0) = 1 Z λ i = n i = Np i λ=0 2 Z λ i λ j = n i n j = N(N 1)p i p j + Np i δ ij λ=0 Variansen i udfaldet for type i σ 2 i = n 2 i n i 2 = Np i (1 p i )
5 2 KAPITEL 2 - SANDSYNLIGHEDSFORDELINGER Normalfordeling Også kaldet Gauss-fordeling eller klokkefordeling ) 1 (x µ)2 p(x µ, σ) = exp ( 2πσ 2σ ( 2 ) (µ + λσ 2 ) 2 µ 2 Z(λ) = exp 2σ 2 Z(0) = Poisson fordeling Z (0) = x = µ Z (0) = x 2 = σ 2 + µ 2 For eksempler se side 28. Man kan bruge poisson-fordelingen når N er meget stor og p 1 M = Np = µ ( ) N N M for M N M M! P (A M I) µm M! e µ Hvis µ 1 kan poisson fordelingen approksimeres med normalfordelingen P (A M I) 1 ) (M µ)2 exp ( 2πµ 2µ Tilstandssummen for poisson-fordelingen Z(λ) = exp(µ(e λ 1)) Z(0) = 1 Z (0) = µ Z (0) = µ(µ + 1) Det giver σ 2 = Z (0) Z (0) 2 = µ
6 Bayes formel : 3 KAPITEL 3 - EKSPERIMENTELLE USIKKERHEDER 6 3 Kapitel 3 - Eksperimentelle usikkerheder Den sande værdi for en måling er a, usikkerheden er δx. Sandsynligheden for x ) 1 (x a)2 P (x a, δx) = exp ( 2πδx 2δx 2 Usikkerheden på f afhænger af x med usikkerheden δx δf = df dx δx f er en funktion af n uafhængige størrelser x 1,..., x n med usikkerhed δx,... δx n (Ophobningsloven) ( ( ) 2 ( ) ) 2 1/2 f f δf = δx δx n x 1 x n 4 Kapitel 4 - Parameterbestemmelser P osterior { }} { P (T i DI) = P (D T i I) P (D T j I)P (T j I) j Apriori { }} { P (T i I) } {{ } Likelihood Hvor D er nye data, I er baggrundsinformation og T i er teori nr. i. Hvis der er tale om kontinuert varierende parametre, så bliver Bayes formel P (D θi) p(θ DI) = P (θ I) P (D θi)p(θ I)dθ } {{ } C Prognoser : I = der er N kugler i urnen M = der er M røde kugler i urnen D(n, m) = m røde kugler blandt de ialt n udtrukne. Sandsynligheden, for at en given kugle er rød, er f = M N Den ønskede sandsynlighed kan approksimeres med en Gaussfordeling P (M D(n, m), N) exp ( n (f f ) 0) 2 2f 0 (1 f 0 )
7 4 KAPITEL 4 - PARAMETERBESTEMMELSER 7 med middelværdi f 0 = m og varians n σ2 = f 0(1 f 0 ). n Resultatet af prognosen er M N = f = f 0 ± med relativ usikkerhed (s.39) σ f 0 = f0 (1 f 0 ) f n Gen. uafh. målinger: Den målte størrelse har en bestemt værdi µ, men målingen har en usikkerhed σ. Når der foretages N uafhængige målinger x af µ, vil disse være Gaussfordelt, så µ = x ± σ N hvis målingerne ikke har samme usikkerhed vil dvs. 1 σ 2 eff µ = N k=1 N k=1 = 1 N x k σ 2 k 1 σ 2 k N 1 σ 2 k=1 k µ = x ± σ eff. N n Jeffreys prior : p(ln σ I)d ln σ = konst d ln σ = konst dσ σ Students fordeling : Sandsynlighed for µ når σ er ukendt, men opfylder Jeffreys prior p(µ {x 1,..., x N }, σ, I) ((µ x ) 2 + x 2 ) N/2 Dette giver middelværdier og varianser x 2 = x 2 x 2 (Observeret varians) µ = x σ 2 µ = x2 N 3 µ = x ± x N?????
8 5 KAPITEL 5 - PRIOR SANDSYNLIGHEDER 8 Efter-sandsynligheden for σ p(σ {x 1,..., x N }, I) σ N exp σ = x σ 2 σ 2 = x2 2N ( ( x2 x 2 ) 2 2σ 2 N Fitning : Bedste rette linie y = Ax + B, når usikkerheden på y er σ, og der ingen usikkerhed er på x ) P (A, B (x 1, y 1 ),, (x N, y N ), I) = N x exp 2πσ 2 [ N 2σ 2 ( A A0 B B 0 ) ( x 2 x x 1 ) ( A A0 B B 0 )] A 0 = xy x y x 2 Korrelation : Korrelationskoefficient mellem A og B B 0 = x2 y x xy x 2 C(A, B) = δaδb δa2 δb 2 δa = A A 0 δb = B B 0 A og B er ukorrelerede når de er uafhængige: δaδb = δa δb = 0 Når A og B er ens bortset fra en faktor k δaδb = k δa 2 = k 1 δb 2 C(A, B) = ±1 hvilket afhænger af k s fortegn. 5 Kapitel 5 - Prior sandsynligheder Skala-faktor : a er en arbitrær skala-faktor p(am)adm = p(m)dm ap(am) = p(m) Maksimal entropi : Middelværdien for en størrelse er m. Vi kan regne os frem til entropien S(p) = i p i ln p i
9 5 KAPITEL 5 - PRIOR SANDSYNLIGHEDER 9 for at kunne maksimere denne, indføres nogle bibetingelser p i = 1 og ip i = m i for at maksimere S bruger vi lagrange-multiplikatorer ( S(p) λ 0 ( p i 1) λ 1 ( ) ip i m) = 0 p i Det giver sandsynligheden i p i = Z(λ 1 ) 1 e λ 1i og Z(λ 1 ) = i e λ 1i hvor λ 1 findes ved bibetingelsen om middelværdien. Her er det netop S(p) der er entropien og den er et mål for informationen. Entropien er en additiv størrelse S(p, q) = S(p) + S(q) MaxEnt : Et antal hypoteser H i er karakteriseret ved størrelsen x i og sandsynligheden p i f k (x i )p i = F k (en række middelværdier) (1) i k = 1,... m, hvor m er antalet af oplysniger. Vi vil finde det p i der maksimerer S(p), med betingelsen (1). Det giver løsningen p i = Z 1 e k λ kf k (x i ) og Z = i e k λ kf k (x i ) Dette er MaxEnt, og ved indsættelse fås S = ln Z + k λ k F k ln Z λ = F k 2 ln Z λ k λ l = f k f l f k f l S F l = λ l δs = k λ k (δ f k δf k ) = k λ k δq k
10 6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 10 6 Kapitel 6 - Termodynamik 6.1 Det kanoniske ensemble Volumen og partikel antal er faste, bestemte størrelser. Antag at gennemsnitsenergien er U. Vi kan så maksimere entropien S = i p i ln p i under bibetingelserne p i = 1 og E i p i = U, det giver Boltzmann/Gibbsfordeling i i p i = Z 1 e βe i, hvor Z = e βe i i Summen over alle de små celler i faserummet kan skrives som et integral Z = d 3N r d 3N pe βe(r,p) Ideal gas : Består af N ens atomer Temperatur : E(r, p) = N n=1 p 2 n 2m ) 3N/2 ( 2πm Z = V N β U = ln Z β = 3N 2 [ (2πem ) ] 3/2 S = ln Z + βu = N ln V β T = 1 β Det skal her bemærkes at Per Hedegård i disse noter bruger T i enheden [J], for at omregne til kelvin, skal vi bruge Boltzmanns konstant. 1 β T [J] T [K] = k B = 1, J K
11 6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 11 Varmefylde : C er defineret som den varme der skal tilføres et system for at få systemets temperatur til at stige en grad, dvs. δu = CδT, og det giver C = β 2 2 ln Z β 2 ved at sammenbringe to systemer (1 og 2) bliver deres fælles temperatur T = C 1 C 1 + C 2 T 1 + C 2 C 1 + C 2 T 2 Ved en ændring af β vil entropien også ændres. Ændringen er givet ved ds = ln Z U dβ + Udβ + β β β dβ T ds = CdT = dq Arbejde : Hvis energien afhænger af en parameter α, så vil en lille ændring af denne give E δw = δe = δα α Arbejdet er udført på systemets omgivelser. Gas i beholder: δw = pδv 1. hovedsætning : Energien er en bevaret størrelse δu = T δs δw Ændring af Q ændring af sandsynlighederne p i. Ændring af W ændring af energierne E i. Helmholtz : frie energi er defineret som F (T ; α) = 1 β ln Z = U T S Ideal gas df = SdT dw p = F V [ (2πem F = 3N ) ] 2 3/2 2β NT V β p = NT V Tilstandsligningen
12 6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK Tryk-ensemble En ligevægtssituation, hvor det kun er middelværdien af beholderens volumen der er kendt, og antaget er at systemet har en bestemt temperatur T = β 1. p i (V ) = Z 1 e βe i(v ) αv α = β E(V ) = pβ V Z(T, p) = dv e β(e i(v )+pv ) i 0 S = ln Z + β(u + pv ) Varmefylde : Vi ser på ændringer i p og β. Entropien er givet ved S = ln Z + βu + αv To systemer 1 og 2 kan udveksle energi og volumen δs = (β 1 β 2 )δu 1 + (β 1 p 1 β 2 p 2 )δv 1 0 Varmefylden ved fastholdt tryk er givet ved C p = U T + p V T Den varmefylde vi definerede i sidste afsnit er for fastholdt vol. dvs. C v. For en ideal gas er tilstandssummen ( ) 3N/2 2πM Z = N!(βp) (N+1) Z i (β) N β Z i (β) er tilstandssummen for et enkelt molekyle i hvile. Den beskriver indre bevægelser i molekylet. Udfra Z får vi d ln Z dp V = 1 β U = ln Z β u i = d ln Z i dβ = N βp C p = 3N 2 + N du i dt + N C V = 3N 2 + N du i dt 3N pv = 2β + Nu i(β) (middelværdi af molekylers indre energi)
13 6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 13 Ligefordelingslov : Denne lov vedrøre varmefylden for harmoniske oscillator. Z vib = 2π βω U vib = d ln Z = 1 = T dβ β V ibration C vib = 1 Z tr = V U tr = T 2 C tr = 1 2 Z rot = 2π U rot = T 2 C rot = 1 2 2πm β 2πI β T ranslation Rotation Det totale system for molekyler med mange atomer C = 1 2 N tr + N vib N rot Gibbs : Frie energi er defineret som frihedsgrader = N tr + 2N vib + N rot G(T, p) = 1 ln Z = U + pv T S β Ændringer i Gibbs frie energi er givet ved dg = SdT + V dp dw Dvs. hvis tryk og temperatur fastholdes, udtrykker dg det tilgængelige arbejde, som systemet kan udføre. Liouvilles sætning : ρ t = {H, ρ} = H r ρ p H ρ p r 6.3 Store Kanonisk ensemble Her skal vi studere et system, der er i stand til at udveksle partikler og energi med sine omgivelser. V 1 og V 2 er forbundet så V = V 1 + V 2 og det samlede antal partikler er N. Tilstandssummen for 2 systemer, der kan udveksle partikler Z(T, V, N) = N N 1 =0 N! N 1!(N N 1 )! Z 1(T, V 1, N 1 )Z 2 (T, V V 1, N N 1 )
14 6 KAPITEL 6 - TERMODYNAMIK 14 Helmholtz : frie energi bliver ) Kemisk poten. : F (T, V, N) = 1 β ln ( Z N! µ = F N Nu kan vi definere tilstandssummen for et system hvor kun partikkelantallets middelværdi er kendt. Z = N i e βe i(n) e βµn N! S = ln Z + β(u µn) System 1 bringes i kontakt med det større system 2 δs = (β 1 β 2 )δu 1 (β 1 µ 1 β 2 µ 2 )δn 1 Alt dette gør det muligt at definere en ny fri energi, kaldet det termodynamiske potentiale Ω = 1 ln Z = U T S µn β dω = SdT Ndµ + dw Ideal gas : Z = exp ( V ( ) ) 3/2 2πm e βµ β ( ) 3/2 2πm e βµ Ω = V β β N = Ω µ = βω pv = N T
15 7 KAPITEL 7 - KVANTEMEKANIK OG VARMEFYLDER 15 7 Kapitel 7 - Kvantemekanik og varmefylder Middelværdi for A : Middelværdien af en operator A A = T r[âρ] Tæthedsmatrice : ρ = i w i ψ i ψ i w i er sandsynlighedeh for at være i tilstand i. Tæthedsmatricen er hermitisk så den kan diagolaniseres ρ = j p j φ j φ j p j er reel egenværdi og φ j er egentilstand til ρ p j = 1 0 p j 1 Entropien er da j S = j p j ln p j = T r[ρ ln ρ] Max entropi : Lad middelværdier for et fysisk system være givet f k = T r[ρ ˆf k ] = F k Så er tæthedsmatricen, tilstandssummen og entropien ρ = Z 1 e k λ k ˆf k Z = T r[e k λ k ˆf k ] S = ln Z + k λ k F k ln Z λ k = F k S F k = λ k λ k findes ved opfyldelse af middelværdierne F k Kanonisk ens. : Middelværdien for energien er kendt. E i er egenværdi til Ĥ. ρ = Z 1 e βĥ p i = e βe i Z Z = i e βe i
16 7 KAPITEL 7 - KVANTEMEKANIK OG VARMEFYLDER 16 Fri partikel : En fri partikel er i en kasse med volumen V = L x L y L z, og origo er lagt i kassens hjørne. Bølgefunktionen der opfylder bibetingelserne 8 φ k (r) = V sin(k xx) sin(k y y) sin(k z z) hvor kl = nπ, for n N. Hvis L 1 så vil tilstandssummen for en partikel være Z 1 = V (2π) 3 ) d 3 k exp ( β 2 2m (k2 x + ky 2 + kz) 2 = V For N frie partikler vil tilstandssummen være ( 2πm βh 2 ) 3/2 Z N = Z N 1 Hvilket er det samme som i det klassiske tilfælde bortset fra h 3N Harm osc. : Tilstandssummen når energiniveuaerne er ɛ n = ω( n) Z = e βɛ n = n=0 e β ω/2 1 e β ω Middelenergien, Entropien og varmefylde ( 1 U = ω e β ω ) 2 S = x e x 1 ln(1 e x ) C = U T = x2 e x (e x 1) 2 x = β ω Hvis vi ser på grænsetilfældene bliver det: U = T S = ln ( ) T β ω 1, for T 1 ω C = 1 U = ω ( 1 + e β ω) 2 S = β ωe β ω β ω 1, for T 1 C = (β ω) 2 e β ω
17 8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 17 Roterende mol. : Der ses på et to-atomigt molekyle. Tilstandssummen for rotationstilstande Z = l=0 (2l + 1)e l(l+1) β2 2 2I hvor I = ms 2 0 og s 0 er minimum for potentialet V (s). For høje temperaturer er Z 2I β 2 U T C 1 For lave temperaturer se s Kapitel 8 - Fermioner og Bosoner Bossoner Fermioner Fasefaktor e iφ = 1 e iφ = 1 Ombytning ψ(r 1, r 2 ) = ψ(r 2, r 1 ) ψ(r 1, r 2 ) = ψ(r 2, r 1 ) 8.1 Fermioner Eks. He Elektroner γ, Z, W ± Kvarker Gluoner Neutrinoer. Protoner Neutron Fermi-stat : Det samlede antal partikler og energien for et system bestående af ikkevekselvirkende og identiske fermioner N = i n i E = i ɛ i n i Tilstandssummen Z = N,E e β(e µn) = i (1 + e β(ɛ 1 µ) )
18 8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 18 Energi, antal partikler og kemisk potentiale U µ N = i 1 (ɛ i µ) e β(ɛ i µ) + 1 Middelantallet af partikler i tilstanden φ i (Fermi-fordelingsfuntion) n i = n F (ɛ 1 ) = 1 e β(ɛ i µ) + 1 Fermi energien : Fermi energien, ɛ F,er givet som det kemiske potentiale ved T = 0. Kemisk pot. : For T ɛ L ɛ H er µ(t ) = ɛ L ɛ H 2 gh + T ln g L Tilstandstæthed : g erne er udartninger af hhv. LUMO og HOMO miveau. ρ(ɛ) = R (ɛ) = 3 ( ) V 2m ɛ 2 6π 2 2 R(ɛ) = V ( ) 3/2 2m ɛ 3/2 6π 2 2 tilstande med energier i intervallet ɛ ɛ + ɛ = ρ(ɛ) ɛ. tilstande med energier i intervallet < ɛ = R(ɛ). R(ɛ + ɛ) R(ɛ) = R (ɛ) ɛ = ρ(ɛ) ɛ. Det gennemsnitlige antal partikler og partikeltætheden N = R(ɛ F ) n = 1 6π 2 ( 2m 2 ) 3/2 ɛ 3/2 F Fermi gas : Degenereret Fermi gasser findes når temperaturen er meget lavere end Fermi energien, ɛ F. Sommerfelds approksimation benyttes ofte. Se s For frie partikler er N = R(µ) π2 6 ρ (µ)t 2 µ = ɛ F π2 6 ρ (ɛ F ) ρ(ɛ F ) T 2 µ = ɛ F π2 12 T 2 ɛ F
19 8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 19 Varmefylde Fermitryk C = π2 π2 ρ(µ)t = N 3 2 p = 2 5 nɛ F kan approksimeres med pv = N 2 5 ɛ F. (1 + 5π2 12 T ɛ F ) T 2 ɛ F NB!! Man skal huske på, at elektronerne har både spin op og ned, så på mange måder opfører de sig som to fermigasser. 8.2 Bosoner Bosestatistik : Ikke-vekselvirkende gas af bosoner i kontakt med partikelreservoir med kemisk potentiale µ. N = i n i E = i n i ɛ i Z = i ( n i e β(ɛi µ)ni ) = i Z i = 1 1 e β(ɛ i µ) Hver enpartikeltilstand, som bosoner kan være i, svarer til en harmonisk oscillator, og energien for egentilstanden svarer til oscillator frekvensen. Det gennemsnitlige antal bosoner i tilstanden i (Bosefunktionen) n B (ɛ i ) = n i = 1 e β(ɛ i µ) 1 Det kemiske potentiale må altid være mindre end den mindste af enpartikel enegierne ɛ i. Det gennemsnitlige antal partikler for µ 1. N 3 ( V 2mT 2 6π 2 2 Kar. temp. : Den gennemsnitlige afstand mellem partikler l = ( ) 1/3 V N ) 3/2 π 2 eβµ
20 8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 20 Typisk kvanteenergi e l = 2ml 2 Karakteristisk temperatur for Bose-gassen 2 T B = e l (2π) 4/3 For T T B vil µ(t ) = T [ ( ) ( )] 3 T 2 2 ln ln π T B Kritisk temp. : T C = g 1/2 (1) 2/3 T B = T B (2, 3152) 2/3 Brøkdel af partikler i grundtilstanden for T < T C ( T x 0 (T ) = 1 T C ) 3/2 Det mikroskopiske antal partikler i en kvantetilstand kaldes et Bosekondensat. Tryk : Varmefylde : T > T C : p = 3 2 nt ( T T C ) 3/2 g 3/2 (z)?? [ 3 g 3/2 (z) C = N 2 g 1/2 (z) 9 ] g 1/2 (z) 2 g 1/2 (z) T < T C : C = N 5 2 ( T Fotongas : Energi af foton ɛ = pc = ck = hc λ = hν Tilstandstæthed (2 tilstande per k) T C ɛ2 ρ(ɛ) = V π (hc) 3 R(ɛ) = V π 3 ɛ 3 (hc) 3 ) 3/2 g 3/2 (1) g 1/2 (1)
21 8 KAPITEL 8 - FERMIONER OG BOSONER 21 Det kemiske potentiale er nul. Trykket pv = Ω = 1 β ln Z = V π 3 Det gennemsnitlige fotontal per volumen 1 (hc) 3 π 4 15 T 4 = 0, 287nT n = N V = 2π 3 1, 2021 T (hc) 3 Energitætheden u = U V = 1 ln Z V β = σt 4
22 Indeks x 0, hovedsætning, 11 Afhængige, 2 Apriori, 6 Arbejde, 11 formel, 6 Bayes formel, 2 Bedste rette linie, 8 Binomial fordeling, 3 Middelværdi, 4 Middelværdi, 3 Store N, 4 Tilstandssum, 3 Varians, 3, 4 Binomialkoefficient, 3 Boltzmann-fordeling, 10 Bosefunktion, 19 Bosegas Tryk, 20 Varmefylde, 20 Bosekondensat, 20 Bosestatistik, 19 Kemisk potentiale, 20 Tilstandssum, 19 Degenereret Fermi gas, 18 Kemisk potentiale, 18 Varmefylde, 19 Entropi, 8, 9 Ændring, 11, 12, 14 Kvant, 15 Regneregler, 9 Fermi energien, 18 Fermi-fordelingsfuntion, 18 Fermi-statistik, 17 Kemisk potentiale, 18 Energi, 18 Tilstandssum, 17 Fermitryk, 19 Fotongas, 20 Energitæthed, 21 Partikeltæthed, 21 Tryk, 21 Fri partikel, 16 Bølgefunktion, 16 Tilstandssum, 16 Frihedsgrader, 13 Gauss-fordeling, 5 Tilstandssum, 5 Gentagne uafhængige målinger, 7 Gibbe-fordeling, 10 frie energi Ændring i, 13 Gibbs frie energi, 13 Harmonisk oscillator, 16 Entropi, 16 Middelenergi, 16 Tilstandssum, 16 Varmefylde, 16 Jeffreys prior, 7 Kanonisk ensemble, 10 Arbejde, 11 Helmholtz frie energi, 11 Ideal gas, 10, 11 Kvantemekanik, 15 Temperatur, 10 Varmefylde, 11 Karakteristisk temperatur, 19 potentiale, 14, 18 Kemisk potentiale, 18 22
23 INDEKS 23 Korrelation, 8 Kritisk temperatur, 20 Lagrange multiplikator, 9 Likelihood, 6 Liouvilles sætning, 13 Maksimal entropi, 8 Entropi, 15 Tæthedsmatrice, 15 Tilstandssum, 15 MaxEnt, 9 Kvantemekanik, 15 Middelværdi af operator, 15 Multinomialfordeling, 4 Tilstandssum, 4 Multinomialkoefficient, 4 Normalfordeling, 5 Tilstandssum, 5 Observeret varians, 7 Ophobningsloven, 6 Plat og Krone, 3 Poisson fordeling, 5 Middelværdi, 5 Tilstandssum, 5 Varians, 5 Posterior, 6 Produktregel, 2 Prognoser, 6 Regneregler, 2 Relativ usikkerhed, 7 Roterende molekyle, 17 Entropi, 17 Tilstandssum, 17 Sandsynlighedstæthed, 2 Skala-faktor, 8 Sommerfelds approksimation, 18 Stirlings approksimation, 4 Store Kanonisk ensemble, 13 Entropi, 14 Helmholtz, 14 Ideal gas, 14 Kemisk potentiale, 14 Tilsstandssum, 14 Students fordeling, 7 Middelværdi, 7 Varians, 7 Sumregel almindelig, 2 generel, 2 Tæthedsmatrice, 15 Termodynamiske potentiale, 14 Ændring i, 14 Tilstandssum, 3 Bosoner, 19 Fermioner, 17 Gauss-fordeling, 5 Ideal gas i kanonisk enseble, 10 Ideal gas i store kanonisk ensemble, 14 Ideal gas i tryk-ensemble, 12 Kanonisk enseble, 10 Kvantemekanik: Fri partikel, 16 Kvantemekanik: Harmonisk oscillator, 16 Kvantemekanik: Kanonisk ensemble, 15 Kvantemekanik: Maksimal entropi, 15 Kvantemekanik: Roterende molekyle, 17 Ligefordelingslov, 13 Maksimal Entropi, 9 MaxEnt, 9 Multinomialfordeling, 4 Normalfordeling, 5 Poisson fordeling, 5 ensemble, 13
24 INDEKS 24 Store kanonisk ensemble, 14 Tryk-ensemble, 12 Tilstandstæthed, 18 Tryk-ensemble, 12 Tilstandssum, 12 Energi, 12 Entropi, 12 Gibbs frie energi, 13 energi, 12 Ligefordelingslov, 13 Varmefylde, 12 Volumen, 12 Uafhængige, 2
Statitisk fysik Minilex
Statitisk fysik Minilex Henrik Dahl 15. januar 006 Indhold 1 Sandsynlighedsteori Fordelinger 3 Eksperimentelle usikkerheder 3 4 Parameterbestemmelse 3 5 Priors, entropi 3 6 Termodynamik 4 6.1 Kanonisk
Læs mereBenyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.
Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the
Læs mereFormelsamling og noter. Statistisk fysik
Formelsamling og noter. Statistisk fysik 19. juni 01 Dennis Hansen P A BI P B AI P B I P A I ρλ BI P B λi P B I ρλ I ρλ BI ρb λi ρb I ρλ I P AB I P A BIP B I P A + B I P A I + P B I P AB I P A I 1 P A
Læs mereTermodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system
Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereTermodynamikkens første hovedsætning
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på
Læs mereKOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK
KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK 3. UDGAVE REVIDERET: 18. APRIL 2011 UDARBEJDET AF SØREN RIIS AARHUS SCHOOL OF ENGINEERING Ö Ô Ý º Ùº DETTE VÆRK ER TRYKT MED ADOBE UTOPIA 10PT LAYOUT OG TYPOGRAFI AF FORFATTEREN
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereFørste og anden hovedsætning kombineret
Statistisk mekanik 3 Side 1 af 12 Første og anden hovedsætning kombineret I dette afsnit udledes ved kombination af I og II en række udtryk, som senere skal vise sig nyttige. Ved at kombinere udtryk (2.27)
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereSkriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den fra 9.00 til Alle hjælpemidler er tilladte. Undtaget er dog net-opkoblede computere.
Skriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den 18-01-2007 fra 900 til 1300 lle hjælpemidler er tilladte Undtaget er dog net-opkoblede computere Opgave 1: I en beholder med volumen V er der rgon-atomer i gasfasen,
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereNanotermodynamik formelsamling
Nanotermodynamik formelsamling Af Asmus Ougaard Dohn & Sune Klamer Jørgensen 2. november 2005 ndhold 1 Kombinatorik 2 2 Termodynamik 3 3 deal gasser: 5 4 Entropi og temp.: 7 5 Kemisk potential: 7 6 Gibbs
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereStatistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden. Entropien er det centrale begreb i termodynamikkens anden hovedsætning (TII):
Læs mereTilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs merePreben Blæsild og Jens Ledet Jensen
χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereStatistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi
Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden i et system. Da der er mange flere uordnede (tilfældigt ordnede) mikrotilstande
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereUskelnelige kvantepartikler
Kvantemekanik 3 Side af 4 Inden for den klassiske determinisme kan man med kendskab til de kræfter, der virker på et partikelsystem, samt begyndelsesbetingelserne for position og hastighed, vha. Newtons
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereAtomare kvantegasser. Michael Budde. Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik
Atomare kvantegasser Når ultrakoldt bliver hot Michael Budde Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik Aarhus Universitet Plan for foredraget Hvad
Læs mereKvant 2. Notesamling....Of doom!
Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereIndhold. Noter til statistisk fysik II. 3. januar 2012. Jens Egebjerg Bækhøj & Christian Kraglund Andersen
Noter til statistisk fysik II 3. januar 2012 Jens Egebjerg Bækhøj & Christian Kraglund Andersen Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Denmark Indhold Indhold i 1 Termodynamik 1 1.1 Systemet
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereIkke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereNoter til fysik 3: Statistisk fysik
Noter tl fysk 3: Statstsk fysk Martn Sparre www.logx.dk August 27 Bemærk, at log x denne note er den naturlge logartme. Denne verson er fra d. 16 November, hvor flere trykfejl er blevet rettet. 1 Entrop
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereOvenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.
Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder
Læs mereStatistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling
Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.
Læs mereStatistisk mekanik 6 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas
Statistisk ekanik 6 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereBM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47
BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 Morten Källberg (kallberg@imada.sdu.dk) 22/11-2005 1 Probabilistiske modeller Vi vil i det følgende betragte to forskellige måder at evaluerer en given model
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereFordelinger. En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave. Udvidet version. Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.
Fordelinger En oversigt over de vigtigste sandsynlighedsteoretiske fordelinger Anden udgave Udvidet version Ulrich Fahrenberg uli@math.auc.dk Da denne fordelingsoversigt's første udgave så verdens lys
Læs mere1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre.
NATURVIDENSKABELIG GRUNDUDDANNELSE Københavns Universitet, 6. april, 2011, Skriftlig prøve Fysik 3 / Termodynamik Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
Læs mereGrundlæggende statistik Lektion 2 Indhold Diskrete fordelinger Binomial fordelingen Poisson fordelingen Hypergeometrisk fordeling Data typer el. typer af tilfældige variable Diskrete variable > Kategoriseres
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereSkriftlig Eksamen i Moderne Fysik
Moderne Fysik 10 Side 1 af 7 Navn: Storgruppe: i Moderne Fysik Spørgsmål 1 Er følgende udsagn sandt eller falsk? Ifølge Einsteins specielle relativitetsteori er energi og masse udtryk for det samme grundlæggende
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereStatistisk mekanik 5 Side 1 af 11 Hastighedsfordeling for ideal gas. Enatomig ideal gas
Statistisk ekanik 5 Side 1 af 11 Enatoig ideal gas etragt en enatoig ideal gas bestående af N uskelnelige olekyler ed asse, der befinder sig i en beholder ed rufang V. For at kunne bestee tilstandssuen
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mere