KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK"

Transkript

1 KOMPENDIUM TIL STATISTISK FYSIK 3. UDGAVE REVIDERET: 18. APRIL 2011

2 UDARBEJDET AF SØREN RIIS AARHUS SCHOOL OF ENGINEERING Ö Ô Ý º Ùº DETTE VÆRK ER TRYKT MED ADOBE UTOPIA 10PT LAYOUT OG TYPOGRAFI AF FORFATTEREN VED HJÆLP AF LATEX FORSLAG TIL RETTELSER OG SUPPLERENDE AFSNIT MODTAGES GERNE 1. UDGAVE: OKTOBER UDGAVE: OKTOBER 2010 GODKENDT AF PROFESSOR JENS ULRIK ANDERSEN, INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI VED AARHUS UNIVERSITET. JENS ULRIK ANDERSEN HAR DESUDEN BIDRAGET MED RETTELSER OG UDDYBENDE KOMMENTARER. 3. UDGAVE: APRIL 2011 MINDRE SPROGLIGE RETTELSER. KOMPENDIET ER BASERET PÅ BOGEN Statistical Physics AF F. MANDL SAMT DE EKSAMENSSÆT, DER ER UDLEVERET I FORBINDELSE MED KURSET STATISTISK FYSIK PÅ INSTITUT FOR FYSIK OG ASTRONOMI. FORSIDEN VISER JOSIAH WILLARD GIBBS ( ), SOM LEVEREDE STORE BIDRAG TIL DEN STATISTISKE FYSIK.

3 Indhold Indhold i 1 Grundlæggende termodynamik Konstanter Generelle formler Mikrokanonisk ensemble Generelt Kombinatorik Fremgangsmetode Kanonisk ensemble Generelt Helmholtz frie energi Paramagnetisme Harmonisk oscillator Diverse Den klassiske idealgas Kontinuum beskrivelse Kinetisk molekylteori 11 6 Hulrumsstråling / Sortlegemestråling Absorption og udsendelse af stråling Varmeskjold Diverse Grand kanonisk ensemble Kvantegasser i

4 Kapitel 1 Grundlæggende termodynamik Herunder følger en oversigt over de vigtigste termodynamiske begreber. Mikroskopisk (fysik) En komplet beskrivelse på atom-niveau. Man kan aldrig, grundet det store antal partikler man behandler, opnå en komplet mikroskopisk beskrivelse af et system vha. eksperimenter. Dette vil kræve kendskab til koordinater, hvilket i praksis er en umulighed. Makroskopisk (fysik) Systemer indeholdende meget store antal atomer eller molekyler. Antallet af partikler i et sådant system er i størrelsesorden af Avogadro s konstant N 0 = I den makroskopiske verden har man ikke behov for en fuldstændig beskrivelse af systemet. Istedet baseres beregningerne på makroskopiske observable, så som tryk, volumen og temperatur. Disse bruges til at representere et gennemsnit af de mikroskopiske egenskaber. Af denne grund er de makroskopiske love af statistisk natur. Klassisk termodynamik Baseres på et mindre antal basale principper (kaldet termodynamikkens love ). Atomare koncepter er helt udeladt og man beskriver kun makroskopiske variable. Dette indskrænker selvfølgelig hvilke informationer den klassiske termodynamik kan give om et system. Statistisk mekanik Bygger på den atomare indretning af naturen og udleder derfor lovene for makroskopiske legemer ud fra de kendte atomare egenskaber og grundlæggende postulater om ligevægt og tendens imod ligevægt. 1

5 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE TERMODYNAMIK 2 Ligevægts tilstand Når et system er i dets ligevægtstilstand, simplificeres systembeskrivelsen. Vi kan beskrive systemet ud fra ganske få makroskopiske parametre. Disse parametre, som kun afhænger af systemets tilstand, kaldes for tilstandsfunktioner. Tilstanden for en homogen væske bestemmes fuldstændig af dens masse M, volumen V og trykket P. Temperaturen kan så beskrives ved dens tilstandsfunktion, som bestemmes til T = (P,V, M) (1.1) Generelt er tilstandsfunktionen for en substans meget kompliceret med den klassiske ideelle gas som en undtagelse. Der findes forskellige typer af ligevægt og de er: Ens temperatur = Termisk ligevægt (1.2) Ens tryk = Mekanisk ligevægt (1.3) Ens kemiske potentialer = Diffusionsligevægt (1.4) Isoleret system System som er isoleret fra omgivelserne. Over tid vil de makroskopiske observable for et sådant system ikke længere ændre sig og systemet vil være i en "ligevægts tilstand". Hvor lang tid det tager før denne tilstand opnås afhænger af de processer der er involveret. Isoterm En kurve, som relaterer forskellige tilstande af et system (alle ved samme temperatur). Adiabatisk Uden varmeoverførsel (Q = 0). Intern energi Den del af systemets energi, som tilhører dets frihedsgrader. Det er den kinetiske energi for molekylernes bevægelse samt energien af rotationer og vibrationer, plus den potentielle energi mellem de molekyler, der påvirker hinanden. Quasistatisk Termodynamisk proces, der udføres uendeligt langsomt. I praksis gælder det dog også, hvis processen udføres meget langsomt. Reversibel proces Processen skal kunne vendes og følge samme vej tilbage (f.eks i et (V,P)- diagram) uden tab af energi. Dette kræver (1) at den er qausistatisk og (2) at der ingen hysterese effekter er.

6 KAPITEL 1. GRUNDLÆGGENDE TERMODYNAMIK 3 Varmebad Et legeme, hvis varmekapacitet er meget stor sammenlignet med det system, som det er koblet sammen med, så der kan udveksles varme (T varmebad = konstant). 1.1 Konstanter Gaskonstanten R: Avogadro s konstant N 0 : Boltzmann s konstant k: Elektronvolt: R = 8,31Jmol 1 K 1 (1.5) N 0 = 6, molekyler/mol (1.6) k = R = 1, J/K N 0 (1.7) 1eV=1, J (1.8) 1.2 Generelle formler Tilstandsligningen for den ideelle gas indeholdende N molekyler er givet ved hvor energien kt ved stuetemperatur (20 C) er PV = N kt, (1.9) kt = J 1 ev. (1.10) 40 Hvis der udføres arbejde på et termisk isoleret system, svarer dette arbejde til ændringen i energi 1 fra den ene tilstand til den anden: W = E = E 2 E 1 (1.11) Hvis et system ikke længere er termisk isoleret, kan vi stadig beskrive ændringen fra tilstand 1 til tilstand 2. Men nu er W E. Vi definerer Q som den varme vi har tilført systemet Q = E W. (1.12) Formel (1.12) omtales ofte som termodynamikkens første lov. Hvis man taler om en (uendelig) lille størrelse kan Formel (1.12) skrives som de = dq+ dw. (1.13) For både Q og W gælder det at ingen af dem kan opstilles ved en tilstandsfunktion (dette angives i Formel (1.13) ved d), da man f.eks. ikke kan tale om en endelig varme i tilstand 1 og en endelig varme i tilstand 2, hvor Q angiver forskellen i mellem dem. Generelt kan man sige at der ikke er bevarelse af hverken arbejde eller varme, mens man derimod kan tale om bevarelse af energi. Varmekapaciteten af et system er defineret som den varme der skal tilføres for at øge temperaturen med én grad i en reversibel proces. Ved konstant volumen er den givet ved ( ) E C V =. (1.14) T For konstant tryk, P, skal der tilføres mere varme fordi systemet udfører et arbejde på omgivelserne og man får ( ) ( ) E V C P = + P. (1.15) T P T P For en idealgas er det første led det samme som C V og man finder at C P = C V + R for ét mol. 1 Energien E kaldes for systemets energi. V

7 Kapitel 2 Mikrokanonisk ensemble Statistisk ensemble En idealisering, hvor man behandler et stort antal ens kopier af et system på samme tid. Alle kopier representerer en mulig mikroskopisk tilstand, som det rigtige system kan være i. Begrebet er introduceret af J. Willard Gibbs i Mikrokanonisk ensemble Teoretisk værktøj til at beskrive de termodynamiske egenskaber af et isoleret system med konstant energi. I et sådant system har alle tænkelige mikroskopiske tilstande samme energi og sandsynligheden for at systemet er i en givet tilstand er den samme for alle. De grundlæggende postulater er at et sådant ensemble er i ligevægt, dvs. det ændrer sig ikke, og at der vil være en tendens mod denne ligevægt når systemet overlades til sig selv. Entropi Et udtryk for den samlede uorden eller tilfældighed i et system. Entropien S kan ikke aftage i et isoleret system (termodynamikkens 2. hovedsætning). 2.1 Generelt Den statistiske vægt er givet ved Ω(E,V, N,α)=antal mikrotilstande (2.1) hvor α er en evt. yderligere specifikation af makrotilstandene. Ω betegnes af nogle som den mikrokanoniske tilstandssum. Entropien for et system i makrotilstanden (E,V,N,α) er defineret som (Boltzmann) S = k ln [Ω(E,V, N,α)], (2.2) hvis systemet er isoleret og i ligevægt. Helt generelt gælder det at S= k r p r ln ( p r ) (2.3) hvor r er en mikrotilstand og p r er sandsynligheden for at systemet er i denne tilstand. Temperaturen defineres som ( ) 1 S T (2.4) E for et isoleret system ( mikrokanonisk temperatur ). V,N 4

8 KAPITEL 2. MIKROKANONISK ENSEMBLE Kombinatorik Produktregel Hvis en hændelse kan indtræffe på m måder og en anden hændelse kan indtræffe på n måder, så er der m n måder disse to hændelser kan indtræffe sammen på, hvis de to hændelser er uafhængige. Sumregel Hvis en hændelse kan indtræffe på m måder og en anden hændelse kan indtræffe på n måder, så er der der m+n måder én af disse to hændelser kan indtræffe på, såfremt de to hændelser udelukker hinanden. Ønskes det at beregne antallet af kombinationer, når der udvælges k elementer fra et sæt S med n elementer, kan dette findes ved at bestemme binomial-koefficienten. Den er givet ved ( n C(n,k)= k ) n! = k!(n k)!. (2.5) I forbindelse med den statistiske mekanik er tallet n ofte meget stort ( ) og det er ofte fordelagtigt at approksimere størrelsen vha. Stirlings formel: 2.3 Fremgangsmetode ( N ln (N!)= N ln(n ) N = N ln e ). (2.6) Beregn entropien S, hvorefter man kan anvende temperatur definitionen i Formel (2.4). Når systemet er i ligevægt med omgivelserne gælder at T = T omgivelser.

9 Kapitel 3 Kanonisk ensemble Kanonisk ensemble Statistisk ensemble (se side 4) for et system i ligevægt med et varmebad, hvor den makroskopiske tilstand af et system er representeret ved en sandsynlighedsfordeling over mikrotilstande. Antal partikler (N) og volumen (V) af hvert system i ensemblet er det samme og ensemblets temperatur er givet ved temperaturen af det varmebad, som systemet er i ligevægt med. 3.1 Generelt De kanoniske metoder gælder både for mikroskopiske og makroskopiske systemer - også med vældig god nøjagtighed for makroskopisk isoleret. Sandsynligheden for at finde vores system i mikrotilstand r med energien E r findes ved Tilstandsummen for systemet er givet ved p r = e βe r Z. (3.1) Z = r e βe r, (3.2) hvor E r er energien i tilstand r og β = 1 kt. Siden energien ikke nødvendigvist er forskellig for alle tilstande kan Formel (3.2) forkortes til Z = g (E r )e βe r. (3.3) E r Her summeres der kun over forskellige energier E r, hvor g (E r ) er antal tilstande (degenerationen) med energien E r. Hvis man har bestemt tilstandssummen for én partikel, kan tilstandssummen for N identiske og uafhængige partikler findes ved Z = (Z 1 ) N (3.4) Der må imidlertid tages hensyn til om vi kan skelne partiklerne fra hinanden. Hvis de sidder bundet i en krystal, f.eks., har de forskellige positioner og kan skelnes. Derimod kan vi ikke skelne molekyler i en gas fra hinanden. For en tynd gas (klassisk idealgas) kan vi tage hensyn til det ved at dividere med antallet af permutationer, Middelenergien E kan findes ud fra tilstandssummen ved Z = 1 N! (Z 1) N. (3.5) E = ln (Z ). (3.6) β 6

10 KAPITEL 3. KANONISK ENSEMBLE 7 Entropien S er givet ved S= k ln (Z )+ E (3.7) [ T ] = k ln (Z )+βe. (3.8) 3.2 Helmholtz frie energi Helmholtz frie energi F er givet ved F = kt ln (Z ). (3.9) Når man har bestemt F kan forskellige størrelser beregnes. Vi kan opstille den fundamentale relation df = S dt P dv + µd N, (3.10) hvoraf det ses at entropien S kan findes ved ( ) F S=, (3.11) T V,N trykket P ved og det kemiske potential µ ved ( ) F P = V T,N (3.12) ( ) F µ=. (3.13) N T,V 3.3 Paramagnetisme Tilstandsfunktion er givet ved Z 1 Z (T,B,1)=e x + e x = 2cosh (x), (3.14) hvor Middel magnetisk moment: Middelenergi: Den totale energi: x µbβ µb kt. (3.15) µ= 1 β ( ) B ln(z 1). (3.16) β ( ) E 1 = β ln (Z 1). (3.17) B E = N E 1. (3.18) Magnetiseringen (magnetisk moment pr. enhedsvolumen): M = N µ. (3.19) V 3.4 Harmonisk oscillator Den harmoniske oscillator omtales nogle gange som boson-statistik. Tilstandssummen for en oscillator er givet ved Z 1 = e βε r. (3.20) r

11 KAPITEL 3. KANONISK ENSEMBLE 8 Hvis ε r = ω E (r + 1/2) fås det fra Formel (3.20) at hvor Middelenergi per oscillator: Z 1 = e x/2 e xr (3.21) r=0 = e x/2, (3.22) 1 e x x β ω E ω E kt. (3.23) Den totale energi for 3N oscillatorer: Varmekapaciteten ved konstant volumen kan findes ved I følge Dulong-Petits lov fås det at mens vi også har at ε= β ln (Z 1) (3.24) ( 1 = ω E ) e x. (3.25) 1 ( ) E C V T på grund af udfrysning af frihedsgrader (kvantemekanisk fænomen). E = 3Nε. (3.26) V = 3N k x2 e x (e x 1) 2. (3.27) lim C V = 3N k, (3.28) T lim C V = 0 (3.29) T Diverse Pauli princippet Princip der fastslår at to identiske fermioner ikke samtidigt må være i den samme kvantetilstand.

12 Kapitel 4 Den klassiske idealgas For en tynd gas (klassisk idealgas) er tilstandssummen givet ved Z Z (T,V, N )= 1 N! [Z 1 (T,V )] N, (4.1) hvor Z 1 (T,V )= r e βε r (4.2) og hvor r er en kvantetilstand af ét molekyle. Energien ε r kan skrives som f.eks. kan være energien fra rotationer og vibrationer. Tilstandssummen for Z 1 (T,V ) kan der- hvor ε int α ved opskrives som et produkt, Her er ε r ε sα = ε tr s + εint α, (4.3) Z 1 (T,V )= Z tr 1 Z int. (4.4) Z tr 1 Z tr (T,V,1)= s e βεtr s (4.5) og Z int Z int (T )= α e βεint α. (4.6) 4.1 Kontinuum beskrivelse Appendiks B i Statistical Physics omhandler en såkaldt kontinuum beskrivelse. Herunder findes de mest centrale resultater. 3 dimensioner Volumen i faserummet er givet ved f ( p ) d p = V 4πp2 d p h 3. (4.7) Integreres der over alle p, fås det translationelle bidrag til tilstandssummen Z tr 1 = Middelenergien kan deles op i 2 bidrag 0 V 4πp2 h 3 hvor den translatoriske middelenergi er givet ved p 2 (2πmkT e β )3/2 2m d p = V h 3. (4.8) E = E tr + E int, (4.9) E tr = 3 kt, (4.10) 2 9

13 KAPITEL 4. DEN KLASSISKE IDEALGAS 10 som kan ses ud fra det klassiske 1 2 kt teorem (der er 3 translatoriske frihedsgrader). Vibrationer bidrager kun lidt til C V ved stuetemperatur: kt 1 40 ev ω 0,1eV 2 dimensioner Vi har nu givet at Vi husker at ( ) 1 2 2πk dk k dk f (k) dk = 2 (π/l) 2 = L2 2π. (4.11) k = p = h 2π (4.12) (4.13) og vi får da Dette indføres i formlen for f (k) dk og vi får dk d p = 1 dk = 1 d p. (4.14) f ( p ) d p = L 2 p d p 2π 2 = A 2πp d p h 2. (4.15) Slutteligt kan vi bestemme for 2 dimensioner. Z tr 1 = 0 A 2πp d p h 2 e β p 2 2m = A 2πmkT h 2 (4.16)

14 Kapitel 5 Kinetisk molekylteori Antallet af molekyler n, der undslipper gennem hullet A i tidsrummet t, kan bestemmes ved hvorved vi kan finde fluxen af molekylerne som I noten 1 findes også følgende størrelser for effusion: da p 2 eff = 4mkT. n= A t N ( ) kt 1/2 = A t N p V 2mπ V 4m, (5.1) Φ= n t = A N ( ) kt 1/2 = A N p V 2mπ V 4m. (5.2) p 2 E eff = = 2kT, (5.3) 2m eff 1 Maxwell Distribution af Jens Ulrik Andersen. 11

15 Kapitel 6 Hulrumsstråling / Sortlegemestråling Sort legeme Idealiseret legeme, der absorberer alt og har perfekt termisk udstråling. For udledning af Plancks lov anvendes at p = ω c. (6.1) Vi kan derved finde antallet af foton-tilstande for hvilken fotonen har en frekvens mellem ω til ω+ dω ved 1 f (ω) dω=v ω2 dω π 2 c 3 (6.2) og herudfra findes Plancks lov, som er u (ω,t ) dω= ω2 dω π 2 c 3 ω e ω/kt 1. (6.3) Den angiver energitætheden pr. vinkelfrekvensinterval og volumen inde i det sorte legeme. Integreres denne over alle vinkelfrekvenser fås u (T )= at 4, (6.4) hvor a er en proportionalitetskonstant defineret ved a π2 k c 3. (6.5) ] Maksimumsstedet kan findes ved at løse ligningen = 0. Løsningen bliver [ u(ω,t ) ω ν max = 2,822kT h T, (6.6) hvor tallet 2,822 er den positive løsning til ligningen e x = 1 1 2πc 3 x. Ved at indsætte ω = λ og dω = 2πc dλ i Formel 6.3 kan fordelingen udtrykkes som funktion af bølgelængden i stedet for frekvensen. λ 2 Efter bortkastning af minusset får man: u (λ,t ) dλ= 8πdλ hc λ 5 e hc/λkt 1. (6.7) [ ] Maksimumsstedet for denne fordeling kan findes lige som før ved at løse ligningen u(λ,t ) λ = 0. T Løsningen bliver hc λ max = 4,965kT = 2, mk, (6.8) T hvor tallet 4,965 er den positive løsning til ligningen e x = x. Denne formel kaldes ofte for Wiens forskydningslov. Normerede fordelinger kan ses på Figur 6.1 og Figur 6.2. Bemærk at λ max ν max c! 1 Formlen fremkommer ved at substituere Formel (6.1) ind i Formel (4.7) og gange med faktor 2, der kommer fra de to mulige polarisationsretninger af en foton. 12

16 KAPITEL 6. HULRUMSSTRÅLING / SORTLEGEMESTRÅLING ω kt Figur 6.1: Planck-fordelingen som funktion af ω kt λ hc Figur 6.2: Planck-fordelingen som funktion af λ 6.1 Absorption og udsendelse af stråling Strålingsintensiteten, dvs. den effekt den udståles fra overfladen af det sorte legeme pr. arealenhed, kan findes ved hvor σ er kendt som Stefan-Boltzmann konstanten. Den er givet ved 6.2 Varmeskjold I udsendt = P A = σt 4, (6.9) σ= 1 4 ac = π2 k c 2 = 5, Jm 2 s 1 K 4. (6.10) Hvis der indlægges et varmeskjold omkring jorden kan temperaturen for skjoldet findes ved at opstille ligningen σt 4 jord = 2σT 4 skjold. (6.11) Herved fås det at T skjold = T jord. (6.12) Det antages her at skjoldet absorberer al den stråling som jorden udsender og at halvdelen heraf udsendes til universet, mens den anden halvdel sendes tilbage til jorden. Et varmeskjold kan ses som analog til drivhuseffekten. 6.3 Diverse Areal for skive: Overfladeareal for kugle: Effektivitet: Netto effekt: Absorbtivitet: A= πr 2. (6.13) O= 4πr 2. (6.14) η= P ud P ind. (6.15) P net = P emit P abs. (6.16) I = aσt 4, (6.17) hvor a 1. For sort legme, a= 1.

17 Kapitel 7 Grand kanonisk ensemble Grand kanonisk ensemble (GKE) Hvis et fysisk system er representeret ved et GKE, er det i ligevægt med et eksternt system, hvor der både udveksles partikler og energi. Der er altså tale om en udviddelse af det kanoniske ensemble. I det kanoniske ensemble er det kun tilladt at udveksle energi. I et GKE indføres det kemiske potential, som beskriver fluktuationerne i antallet af partikel. Dette er analogt til det kanoniske ensemble, hvor temperaturen blev indført for at beskrive fluktuationerne i energien. Tilstandssummen er givet ved Z Z ( T,V,µ ) = { N=0 e β(µn E Nr ) r=1 }. (7.1) Middelbesættelsen N for hele systemet er givet ved 7.1 Kvantegasser Middelbesættelsen n i for den i te enkelt-partikel tilstand er givet ved ( ) N = kt ln (Z ). (7.2) µ T,V ( ) n i = kt µ ln(z i ). (7.3) T,V Tilstandsummen Z i er givet ved Z i = n i e β(µ ε i )n i, (7.4) hvor n i = 0,1,2... n i = 0,1 (for bosoner) (for fermioner) Middelbesættelsen N for hele systemet findes ved N = n i. (7.5) i=1 14

Termodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system

Termodynamik. Esben Mølgaard. 5. april N! (N t)!t! Når to systemer sættes sammen bliver fordelingsfunktionen for det samlede system Termodynamik Esben Mølgaard 5. april 2006 1 Statistik Hvis man har N elementer hvoraf t er defekte, eller N elementer i to grupper hvor forskydningen fra 50/50 (spin excess) er 2s, vil antallet af mulige

Læs mere

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de EM svingninger i en sortlegeme-kavitet som

Læs mere

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling

Statistisk mekanik 10 Side 1 af 7 Sortlegemestråling og paramagnetisme. Sortlegemestråling Statistisk mekanik 0 Side af 7 Sortlegemestråling I SM9 blev vibrationerne i et krystalgitter beskrevet som fononer. I en helt tilsvarende model beskrives de M svingninger i en sortlegeme-kavitet som fotoner.

Læs mere

Skriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den fra 9.00 til Alle hjælpemidler er tilladte. Undtaget er dog net-opkoblede computere.

Skriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den fra 9.00 til Alle hjælpemidler er tilladte. Undtaget er dog net-opkoblede computere. Skriftlig eksamen i Statistisk Mekanik den 18-01-2007 fra 900 til 1300 lle hjælpemidler er tilladte Undtaget er dog net-opkoblede computere Opgave 1: I en beholder med volumen V er der rgon-atomer i gasfasen,

Læs mere

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007. Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the

Læs mere

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5. Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g

Læs mere

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden. Entropien er det centrale begreb i termodynamikkens anden hovedsætning (TII):

Læs mere

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi

Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi, Helmholtz- og Gibbs-funktionen og enthalpi. Entropi Statistisk mekanik 2 Side 1 af 10 Entropi Entropi er en tilstandsvariabel 1, der løst formuleret udtrykker graden af uorden i et system. Da der er mange flere uordnede (tilfældigt ordnede) mikrotilstande

Læs mere

Første og anden hovedsætning kombineret

Første og anden hovedsætning kombineret Statistisk mekanik 3 Side 1 af 12 Første og anden hovedsætning kombineret I dette afsnit udledes ved kombination af I og II en række udtryk, som senere skal vise sig nyttige. Ved at kombinere udtryk (2.27)

Læs mere

Termodynamikkens første hovedsætning

Termodynamikkens første hovedsætning Statistisk mekanik 2 Side 1 af 13 Termodynamikkens første hovedsætning Inden for termodynamikken kan energi overføres på to måder: I form af varme Q: Overførsel af atomar/molekylær bevægelsesenergi på

Læs mere

1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre.

1. Beregn sandsynligheden for at samtlige 9 klatter lander i felter med lige numre. NATURVIDENSKABELIG GRUNDUDDANNELSE Københavns Universitet, 6. april, 2011, Skriftlig prøve Fysik 3 / Termodynamik Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er

Læs mere

Nanotermodynamik formelsamling

Nanotermodynamik formelsamling Nanotermodynamik formelsamling Af Asmus Ougaard Dohn & Sune Klamer Jørgensen 2. november 2005 ndhold 1 Kombinatorik 2 2 Termodynamik 3 3 deal gasser: 5 4 Entropi og temp.: 7 5 Kemisk potential: 7 6 Gibbs

Læs mere

Statitisk fysik Minilex

Statitisk fysik Minilex Statitisk fysik Minilex Henrik Dahl 15. januar 006 Indhold 1 Sandsynlighedsteori Fordelinger 3 Eksperimentelle usikkerheder 3 4 Parameterbestemmelse 3 5 Priors, entropi 3 6 Termodynamik 4 6.1 Kanonisk

Læs mere

Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?

Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:

Læs mere

Atomare kvantegasser. Michael Budde. Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik

Atomare kvantegasser. Michael Budde. Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik Atomare kvantegasser Når ultrakoldt bliver hot Michael Budde Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik Aarhus Universitet Plan for foredraget Hvad

Læs mere

Den klassiske oscillatormodel

Den klassiske oscillatormodel Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling

Læs mere

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010

Teoretiske Øvelser Mandag den 13. september 2010 Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 6. september 00 eoretiske Øvelser Mandag den 3. september 00 Computerøvelse nr. 3 Ligning (6.8) og (6.9) på side 83 i Lecture Notes angiver betingelserne for at konvektion

Læs mere

Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen

Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen og Lykke Pedersen 18. januar 2006 Indhold 1 Kapitel 1 - Indledning 2 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 3 2.1 Binomial fordeling........................

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 2. juni 2017 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 2. juni 2017 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Fredag d. 2. juni 2017 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Bølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1

Bølgeligningen. Indhold. Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Udbredelseshastighed for bølger i forskellige stoffer 1 Bølgeligningen Indhold 1. Bølgeligningen.... Udbredelseshastigheden for bølger på en elastisk streng...3 3. Udbredelseshastigheden for longitudinalbølger

Læs mere

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1 Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 8. juni 2018 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 8. juni 2018 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Fredag d. 8. juni 2018 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter. I det flg. udledes en ligning, der opfyldes af hvert enkelt felt.

Læs mere

Fysik 12. Sebastian B. Simonsen. June 13, 2004

Fysik 12. Sebastian B. Simonsen. June 13, 2004 Fysik 12 Sebastian B. Simonsen June 13, 2004 Contents 1 Vigtige formler til Fysik 12 3 1.1 Relativitets teori......................... 3 1.1.1 Einsteins postulater.................... 3 1.1.2 Fomler...........................

Læs mere

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1 Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I

Læs mere

Log - Mikro og makroskopiske tilstande, det mikrokanoniske ensemble, multiplicitet og entropi

Log - Mikro og makroskopiske tilstande, det mikrokanoniske ensemble, multiplicitet og entropi Log - Mikro og makroskopiske tilstande, det mikrokanoniske ensemble, multiplicitet og entropi Amalie Christensen 26. februar 2009 Indhold 1 Om spillet 2 2 Multipliciteten af makroskopiske tilstande 3 3

Læs mere

Klassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet

Klassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet Klassisk kaos Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS TERMODYNAMIK 2. SEMESTER NANOTEKNOLOGI

AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS TERMODYNAMIK 2. SEMESTER NANOTEKNOLOGI AALBORG UNIVERSITET DET INGENIØR-, NATUR- OG SUNDHEDSVIDENSKABELIGE BASISÅR SE - KURSUS TERMODYNAMIK 2. SEMESTER NANOTEKNOLOGI FORÅR 2008 Indholdsfortegnelse TERMODYNAMIK LEK. 1...4 VARMELÆRER...4 Hvorfor

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 8. august 2013 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 8. august 2013 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 8. august 2013 kl. 9 00 13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Forklaring. Størrelsesforhold i biologien DIFFUSION. Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8) Mindste organisme: 0.3 :m = m (mycoplasma)

Forklaring. Størrelsesforhold i biologien DIFFUSION. Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8) Mindste organisme: 0.3 :m = m (mycoplasma) Størrelsesforhold i biologien Forklaring Mindste organisme: 0.3 :m = 3 10-7 m (mycoplasma) Største organisme: 3 10 1 m (blåhval) Største Organismer : 10 Mindste = Enkelte celler: 0.3 :m - 3 :m Største

Læs mere

Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik. Georg M. Bruun Fysiklærerdag 2011

Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik. Georg M. Bruun Fysiklærerdag 2011 Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik Georg M. Bruun Fysiklærerdag Wednesday, January 6, Hovedbudskaber Bose-Einstein Kondensation = Identitetskrise for kvantepartikler BEC i atomare ultrakolde

Læs mere

Formelsamling i astronomi. Februar 2016

Formelsamling i astronomi. Februar 2016 Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske

Læs mere

Plancks Virkningskvantum Jacob Nielsen 1

Plancks Virkningskvantum Jacob Nielsen 1 Plancks Virkningskvantum Jacob Nielsen 1 Heinrich Hertz ( 1857-1894 ) viste med eksperimenter, der blev udført i årene 1883-1889, at lys er elektromagnetisk stråling. Stråling udsendt af svingende elektriske

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen

Læs mere

FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve

FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er tilladt. Der må skrives med blyant.

Læs mere

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 27. maj 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Lærebogen i laboratoriet

Lærebogen i laboratoriet Lærebogen i laboratoriet Januar, 2010 Klaus Mølmer v k e l p Sim t s y s e t n a r e em Lærebogens favoritsystemer Atomer Diskrete energier Elektromagnetiske overgange (+ spontant henfald) Sandsynligheder,

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8)

Biofysik forelæsning 8 Kapitel 1 (8) Størrelsesforhold i biologien Forklaring Mindste organisme:.3 :m = 3-7 m (mycoplasma) Største organisme: 3 m (blåhval) Største Organismer : Mindste = Enkelte celler:.3 :m - 3 :m Største Celler : Mindste

Læs mere

Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)

Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 31. maj 2016 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 31. maj 2016 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 23. august 2012 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 23. august 2012 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 23. august 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og

Læs mere

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 11. august 2015 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 11. august 2015 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

4 Oversigt over kapitel 4

4 Oversigt over kapitel 4 IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 9. juni 2011 kl

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Torsdag d. 9. juni 2011 kl Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Torsdag d. 9. juni 2011 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 Skoleår 2015/2016 Thy-Mors HF & VUC Stx Fysik,

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

VEKSELSPÆNDINGENS VÆRDIER. Frekvens Middelværdi & peak værdi (max) Effektiv værdi (RMS) Mere om effektiv værdi!

VEKSELSPÆNDINGENS VÆRDIER. Frekvens Middelværdi & peak værdi (max) Effektiv værdi (RMS) Mere om effektiv værdi! AC VEKSELSPÆNDINGENS VÆRDIER Frekvens Middelværdi & peak værdi (max) Effektiv værdi (RMS) Mere om effektiv værdi! Frekvens: Frekvensen (f) af et system er antallet af svingninger eller rotationer pr. sekund:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 24. maj 2005 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr.: 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt. "Vægtning": Besvarelsen vægtes

Læs mere

INDHOLD. 5 Lektion Opgave a b Opgave K Lynge opgave

INDHOLD. 5 Lektion Opgave a b Opgave K Lynge opgave . Indhold 1 Lektion 1 1 1.1 Opgave A............................... 1 1.1.1 A.a............................... 1 1.1. A.b.............................. 1.1.3 A.c............................... 1. Lynge

Læs mere

Entropibegrebet Jacob Nielsen 1

Entropibegrebet Jacob Nielsen 1 Entropibegrebet Jacob Nielsen 1 I 1871 introducerede Maxwell dæmonen, der ved hjælp af molekylær information tilsyneladende kan krænke termodynamikkens 2. hovedsætning. Centralt i termodynamikken står

Læs mere

Statistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas

Statistisk mekanik 12 Side 1 af 9 Van der Waals-gas Statistisk mekanik Side af 9 Ideale gasmolekyler har pr. definition ingen udstrækning og påirker ikke hinanden med kræfter. En an der Waals-gas, hor der tages højde for såel molekylær udstrækning som er-molekylære

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Youngs dobbeltspalteforsøg 1

Youngs dobbeltspalteforsøg 1 Kvantemekanik Side af Youngs dobbeltspalteforsøg Klassisk beskrivelse Inden for den klassiske fysik kan man forklare forekomsten af et interferensmønster ud fra flg. bølgemodel. x Før spalterne beskrives

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

Den levende kraft energi og varme

Den levende kraft energi og varme Den levende kraft energi og varme Hvad vil det sige, at noget har energi, og hvordan opstod begrebet? Og hvad er sammenhængen mellem energi og varme? Forståelsen af dette hang i 1800-tallet tæt sammen

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

NOTER & OPGAVER STATISTISK FYSIK

NOTER & OPGAVER STATISTISK FYSIK NOTER & OPGAVER I STATISTISK FYSIK Henrik Smith og Jens Jensen Ørsted Laboratoriet. September 1995 Indhold 1 Entropi og temperatur 1 1.1 Ligevægt og temperatur......................... 1 1.2 Entropi og

Læs mere

Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 2003.

Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 2003. Formelsamling Noter til Astronomi 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look

Læs mere

Erik Vestergaard 1. Gaslovene. Erik Vestergaard

Erik Vestergaard   1. Gaslovene. Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 1 Gaslovene Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, april 018. Billedliste Forside: istock.com/cofotoisme (Varmluftsballoner) Side

Læs mere

Fysik 12 Minilex. Henrik Dahl. 11. juni Termodynamik og statistisk mekanik

Fysik 12 Minilex. Henrik Dahl. 11. juni Termodynamik og statistisk mekanik Fysik 12 Minilex Henrik Dahl 11. juni 2003 Indhold 1 ermodynamik og statistisk mekanik 1 1.1 igtige størrelser........................... 1 1.2 arme, arbejde og energi....................... 2 1.3 ermodynamikkens

Læs mere

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen

Strålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Analyse af måledata II

Analyse af måledata II Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Forsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde

Forsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde Forsøg del 1: Beregning af lysets bølgelængde Formål Formålet med denne forsøgsrække er, at vise mange aspekter inden for emnet lys med udgangspunkt i begrænset materiale. Formålet med forsøget er at beregne

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Formelsamling til Fysik B

Formelsamling til Fysik B Formelsamling til Fysik B Af Dann Olesen og Søren Andersen Hastighed(velocity) Densitet Tryk Arbejde Definitioner og lignende Hastighed, [ ] Strækning, [ ] Volumen(rumfang), [ ] Tryk, [ ] : Pascal Kraft,

Læs mere

Formelsamling i astronomi. November 2015.

Formelsamling i astronomi. November 2015. Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske

Læs mere

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at

Læs mere

Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning

Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning 1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Rektangulær potentialbarriere

Rektangulær potentialbarriere Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2015 Institution HTX Vibenhus Københavns Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

Eksamensnoter i Meteorologi

Eksamensnoter i Meteorologi Eksamensnoter i Meteorologi Tim Jensen 27. oktober 2009 Indhold 1 Atmosfærisk termodynamik (kap 3) 3 1.1 Tilstandsligningen....................................... 3 1.1.1 Virtuel temperatur...................................

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Energitekniske grundfag 5 ECTS

Energitekniske grundfag 5 ECTS Energitekniske grundfag 5 ECTS Kursusplan 1. Jeg har valgt energistudiet. Hvad er det for noget? 2. Elektro-magnetiske grundbegreber 3. The Engineering Practice 4. Elektro-magnetiske grundbegreber 5. Termodynamiske

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Bevægelse i (lineære) magnetfelter

Bevægelse i (lineære) magnetfelter Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 4 Lineær Beam Optik - betafunktion Wille kapitel 3.7 til og med 3.13 Repetition Betafunktion og betatron bevægelse Faserum Beam størrelse og emmitans

Læs mere

1. Varme og termisk energi

1. Varme og termisk energi 1 H1 1. Varme og termisk energi Den termiske energi - eller indre energi - af et stof afhænger af hvordan stoffets enkelte molekyler holdes sammen (løst eller fast eller slet ikke), og af hvordan de bevæger

Læs mere

Protoner med magnetfelter i alle mulige retninger.

Protoner med magnetfelter i alle mulige retninger. Magnetisk resonansspektroskopi Protoners magnetfelt I 1820 lavede HC Ørsted et eksperiment, der senere skulle gå over i historiebøgerne. Han placerede en magnet i nærheden af en ledning og så, at når der

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med tilsammen 17 spørgsmål. Svarene på de stillede

Læs mere