qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

Transkript

1 qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd Henrik S. Hansen, Sct. Knus Gymnasium fghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghj Noterne et supplement til Vejen til matematik B. Enkelte steder vil sætninger mm. fra AB1 bogen blive inddraget, men dette vil blive angivet med henvisning direkte til AB1 bogen. klæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæ Udgave.1 øzxcvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzx cvbnmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvb nmqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnm qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd fghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasdfghj klæøzxcvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcv

2 Indhold Polynomier... 1 Den rette linje (førstegradspolynomium)... 1 Sætning: En linjes ligning ud fra et punkt og hældning Skæring mellem linjer... Ligningssystemer... 4 Substitutionsmetoden... 4 Lige store koefficienters metode... 4 Parabel (Andengradspolynomier)... 6 Sætning: Løsning af andengradsligning Toppunkt i parablen... 9 Sætning: Toppunkt for et andengradspolynomium... 9 Sætning: Symmetri omkring toppunktet... 9 Sætning: Opløsning i faktorer Nulreglen Regel: Nulreglen Polynomier af højere grad Sætning: Antal rødder i et n te gradspolynomie Polynomiers division... 1

3 Polynomier Et polynomium er en funktion, hvis forskrift følger en bestemt "opskrift". I forskriften indgår en række parametre (tal som er "faste" eller konstante for det pågældende polynomium), som éntydigt beskriver polynomiet. Forskriften for et polynomium er en sum af såkaldte led, typisk sorteret efter faldende potens af x: ( ), og Som antydet består polynomiets forskrift af summen af n led, som alle består af et tal ganget med x opløftet til en heltallig potens bemærk at x 1 = x og x 0 = 1 medfører, at de to sidste led kan skrives lidt enklere end de øvrige i rækken. Tallene a n, a n 1, a n osv., til og med a 1 kaldes for koefficienter, mens a 0 omtales som konstantleddet. Så længe koefficienten til højestegrads-leddet (dvs. det led hvori x er opløftet til den højeste potens, i dette tilfælde a n ) er forskellig fra 0, kalder man polynomiet for et n'te-grads polynomium de andre koefficienter og konstantleddet kan være alle mulige reelle tal. Den rette linje (førstegradspolynomium) Definition Et førstegradspolynomium f er en funktion af formen ( ) (konstanter) og hvor. ( ). I noterne om sammenhænge kiggede vi på en ret linje punkter., hvor a og b c er koefficienter, som kunne bestemmes udfra to Sætning: En linjes ligning ud fra et punkt og hældning. En ret linje, der har hældningen a og går gennem et punkt ( ( )) har ligningen ( ) ( ) ( ) eller ( ) når punktet er ( ) Bevis: (video) Vi ved der gælder at ( ) ( ) når to punkter er kendt. Lad nu a være kendt og ( ( )) være et tilfældigt punkt på linjen ( ), og kald det ( ( )). Lad endvidere ( ( )) være det kendte punkt og kald det ( ( )) i stedet. Nu har vi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hermed bevist 1

4 Eksempelvis: En linje g går gennem punktet ( ) og har en hældning på 5. Bestem linjens ligning ( ) ( ) ( ) ( ) Lav øvelse 1.3 side 10, opgave 1 side 44, opgave side 44 og opgave 3 side 44 Skæring mellem linjer Placerer vi to rette linjer (som ikke er lodrette) i et almindeligt koordinatsystem, så vil de altid gøre én af følgende tre ting 1. Hvis hældningskoefficienterne er ens, men skæring med anden aksen forskellig, så er linjerne parallelle. (graf 1). Hvis hældningskoefficienterne er ens og skæring med anden aksen er ens, så er linjerne sammenfaldende (de er også parallelle). (graf ) 3. Hvis hældningskoefficienterne er forskellige, så er linjerne ikke parallelle, og der vil (uanset skæring med anden aksen) være et skæringspunkt mellem linjerne. (graf 3) y g(x)=cx+d f(x)=ax+b x y 10 f(x)=ax+b 8 6 g(x)=cx+d 4 x f(x)=ax+b y 10 g(x)=cx+d x Lav opgave 10 side 44 og opgave 9 side 44 Vi tager i det efterfølgende udgangspunkt i situation 3, altså at der er ét skæringspunkt. y f(x) For at bestemme skæringspunktet, så skal vi først have en forståelse for, at der i skæringspunktet gælder, at de to funktioner har samme værdi altså at ( ) ( ). Vi kan se på grafen til højre at der i skæringspunktet mellem de to linjer må gælde at funktionsværdierne er lige store. (video) x0 f(x0) = g(x0) x g(x)

5 I praksis kan vi gøre det på følgende måde 1. For at bestemme x-værdien til punktet løses ( ) ( ) Dette giver os nu vores første koordinat til punktet.. For at bestemme y-værdien til punktet indsættes den fundne første koordinat i en af de til forskrifter og resultatet af dette er vores anden koordinat. I Nspire kan det se således ud. Vi kan selvfølgelig også anskue det grafisk, og her benytte vores CAS-værktøj til at finde skæringspunktet direkte. (skæringspunktet kommer først efter vi har angivet nedre og øvre grænse for skæringspunktet, vi skal altså fortælle Nspire i hvilket interval at punktet er). Vi indtaster de to funktioner, og vælger at undersøge grafer. Så vælges skæringspunkt. Herefter skal vi angive den nedre og den øvre grænse for intervallet hvor i skæringspunktet er. Det er altid en god ide at benytte først den analytiske fremgangsmetode og derefter underbygge facit ved en grafisk fremstilling. Lav øvelse. side 13, opgave 5 side 44 og opgave 6 side 44 3

6 Ligningssystemer Det er forholdsvis nemt at håndtere skæringspunkter mellem to pæne lineære sammenhænge som i ovenstående, men hvad nu hvis den lineære sammenhæng ser således ud: Linjen n er givet Linjen m er givet ved Hvad er skæringen mellem disse linjer/ligninger? Hertil kan vi benytte to metoder til at løse sådanne ligningssystemer. Substitutionsmetoden Isolér den ene ubekendte i den ene ligning. Indsæt resultatet i den anden ligning. Herved har man en ligning med én ubekendt som derfor kan løses med sædvanlige metoder. Indsæt det fundne resultat i den første ligning og bestem den anden ubekendte. I vores eksempel kunne det se således ud: Linjen n er givet (1) Linjen m er givet ved () Nu fås anden koordinaten til punktet ved at indsætte () i (1): ( ) (3) Nu bestemmes første koordinaten til punktet ved at indsætte (3) i (): ( ) Samlet fås skæringen til (-3,-5) Lav øvelse.3 side 16, opgave 11 side 45 og opgave 14 side 45 Lige store koefficienters metode Forlæng den ene ligning (og evt. også den anden) med en passende faktor, så koefficienten til enten x eller y er ens i de to ligninger. Addér eller subtrahér herefter ligningerne. Herved har man en ligning med én ubekendt som derfor kan løses med sædvanlige metoder. Indsæt det fundne resultat i den første ligning og bestem den anden ubekendte. I vores eksempel kunne det se således ud: Linjen n er givet (1) Denne (1) folænges med -3: () Linjen m er givet ved (3) Denne (3) forlænges med : (4) 4

7 Nu trækkes (4) fra () Nu bestemmes hvilken x værdi der opfylder udtrykket Løsningen er Nu indsættes denne løsning i (1) eller (3) og derefter bestemmes y Dette giver ( ) Samlet fås skæringen til (-3,-5) Lav øvelse.4 side 17, opgave 1 side 45 og opgave 15 side 45 Som afrunding på ligningssystemer kan der nævnes, at der frit kan vælges om der benyttes substitution eller lige store koefficienter. I TI Nspire kan ligningssystemerne løses således ( { }) Vi kan også isolere y i begge ligninger og løse det grafisk som vist under skæringspunkter. Lav opgave 13 side 45 5

8 Parabel (Andengradspolynomier) Definition Et andengradspolynomium f er en funktion af formen ( ) koefficienter (konstanter) og hvor. ( )., hvor a, b og c er Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. Konstanten c angiver parablens skæring med y-aksen. Hvis vender grenene opad (glad) Hvis vender grenene nedad (sur) Jo større a bliver jo mere spids bliver grafen. Se side 18 i B1 bogen for eksempel. Bestem koefficienterne i opgave 17 side 45 og angiv om graferne vender opad eller nedad og hvor grafen skære andenaksen. I forbindelse med ligningsløsning kan det være praktisk at kende til løsning af andengradsligning. Generelt kan en andengradsligning skrives på formen hvor. Løsningerne til denne ligning er de eventuelle x- værdier, som indsat i andengradspolynomiet giver 0. Grafisk finder vi funktionens skæring med førsteaksen. f(x) g(x) h(x) y x Sætning: Løsning af andengradsligning. Løsning af andengradsligningen hvor. Diskriminanten udregnes Hvis Hvis Ingen løsning én løsning Hvis to løsninger 6

9 Bevis: (video) Her ganges 4a på fordi det er smart Her lægges til på begge sider ( ) Nu tager vi udgangspunkt i at. Da vi ikke kan tage kvadratroden af negative tal, når vi befinder os i de reelle tal, eller da der ikke findes noget reelt tal, som ganget med sig selv giver et negativt resultat, så er der ingen løsning. Nu tager vi udgangspunkt i Så har vi at: Nu tager vi udgangspunkt i Hermed bevist Disse løsninger kaldes også for rødder eller nulpunkter. Definition Ved en rod eller et nulpunkt for en funktion forstås en x-værdi for et skæringspunkt mellem grafen og x-aksen. 7

10 Eksempelvis: Løs Først bestemmes diskriminanten ( ) ( ) Der er altså to løsninger som er givet ved ( ) ( ) ( ) ( ) Løsningerne til ligningen er altså fundet til. Grafisk kan vi se løsningen til højre I Nspire kan det løses ved kommandoen ( ) Grafisk kan vi gøre det ved at undersøge grafen for nulpunkter og angive nedre og øvre grænse for hvert punkt. Lav i AB1: øvelse 10.1 side 45, opgave 9 side 59 og opgave 30 side 60 8

11 Toppunkt i parablen Grafen for et andengradspolynomium kaldes for en parabel, og har den klassiske facon som tidligere vist. Der er intet hårdt knæk på kurven. Definition: Lad f være et andengradspolynomium. Punktet ( ) kaldes parablens toppunkt. Andenkoordinaten k er bestemt ved, at ( ) kun har én løsning (se graf). Denne løsning kaldes h, og er førstekoordinat til y f(x) = x^-4x x y = -4-4 (h,k) = (,4) -6-8 Sætning: Toppunkt for et andengradspolynomium Toppunktet for et andengradspolynomium ( ), hvor. hvor Bevis: (video) ( ) er polynomiets diskriminant Lad os først opskrive toppunktets koordinat som ( ). Så vil der jf. definitionen gælde at ( ) Definitionen angiver, at der kun er en løsning, altså er Dermed får vi ( ) Nu har vi bevist andenkoordinaten til toppunktet er ( ) ( ) Da definitionen giver at der kun er én løsning, så må løsningen være jf. sætning ( ) ( ) Hermed bevist Når vi senere kender til differentialeregning, kan beviset gøres lettere /anderledes. Lav øvelse 3.8 side 4 og opgave 17 side 45 9

12 Sætning: Symmetri omkring toppunktet Grafen for andengradspolynomiet f er symmetrisk omkring den lodrette linje, hvor, dvs. den lodrette linie gennem toppunktet. Bevis: (video) Hvis sætningen passer, så må funktionsværdien til toppunktets førstekoordinat give den samme værdi. f(x) y Vi skal altså blot vise at ( ) ( ) (h,k) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) t t h-t x = h h+t - x ( ) ( ) Hermed bevist Lav øvelse øvelse 3.8 side 4 og kontroller med 3 selvvalgte t værdier at sætningen er sand 9

13 Sætning: Opløsning i faktorer Et andengradspolynomie hvor og med rødderne kan omskrives således ( )( ) Hvis. Polynomiet siges at have en dobbeltrod. Bevis: (video) Vi antager at generelle løsning er. Vi ved da ifølge sætningen om løsning af en andengradsligning har, at den. Dette giver os to rødder. Vi skal så blot vise at ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) Hermed bevist Lav opgave 9 side 46, opgave 8 side 46, opgave 6 side 46 og opgave 7 side 46 Nulreglen I kobling til ovenstående, så vil en andengradsligning kunne omskrives til formen ( )( ) hvor rødderne er indsat i de to faktorer. Hvis den ene faktor giver nul, så vil andengradspolynomiet give nul (det samme som at sige at andengradspolynomiet har en rod/rødder ). Mere generelt gælder der at Regel: Nulreglen Et produkt er nul, hvis og kun hvis en af faktorerne er nul. Dette er i god tråd med den måde hvorpå et andengradspolynomium kan omskrives iforhold til sine nulpunkter. Her vil der gælde at ( )( ) når rødderne indsættes enkeltvis. Lav øvelse 3. side 31, opgave 33 side 47 og opgave 34 side 47 10

14 Polynomier af højere grad Sætning: Antal rødder i et n te gradspolynomie Et polynomium af n te grad, har maksimum n reelle antal rødder. Et polynomium af ulige n te grad har minimum én rod. Bevis Beviset springes over her, men anskueliggøres ved nedenstående graf. På grafen gælder der at: f(x) er et førstegradspolynomium g(x) er et andengradspolynomium h(x) er et tredjegradspolynomium i(x) er et fjerdegradspolynomium Det ses at polynomier af lige grad har de deres yderste grene pegende samme vej (op eller ned) Det ses også at polynomier af ulige grad har deres yderste grene pegende hver sin vej (en op og en ned) g(x) f(x) y -10 i(x) h(x) x Et lommebevis kunne være: Vi lader et polynomium p(x) have graden n. Hvis p(x) samtidig har f.eks. n+1 rødder, vil det kunne skrives som et produkt af n+1 parenteser af formen (x - r). Hvis parenteserne derefter ganges ud, vil det nødvendigvis give et led indeholdende en faktor x n+1, som ville gøre p(x) til et (n+1) tegradspolynomium - dette er ikke muligt, da vi allerede har defineret p(x) som værende et n tegradspolynomium. q.e.d. 11

15 Polynomiers division Hvis et polynomium opløses i faktorer kan dette være en metode til at bestemme eventuelle rødder i polynomiet. Det kan gøres i TII, men også manuelt. Ved har vi løsningsformler, men ved begynder det at knibe. (video) Der gælder, at såfremt et tal a er rod i polynomiet kan dette opløses i faktorer, hvor ( ) vil være en af faktorerne jf. sætningen om løsning af en andengradsligning. I praksis starter man med at gætte en rod. Øvrige faktorer kan bestemmes ved polynomiers division, som følgende eksempel viser: Givet følgende 3.gradspolynomium: f(x) x 3 4x 10x 1 Ved indsættelse af x = 1 fås f(1) = 0, altså er 1 rod i polynomiet. (Vi har gættet en rod) For at opløse f(x) i faktorer foretages følgende division: ( x x x x x x 10 x 1 ) 10 x x 1x 1 1 x 1 : ( x 1) x x 1 Lidt forklaring: Vi starter med at spørge os selv, hvad skal x (fra x-1) ganges med for at få. Dette er her. Dette skrives i resultatet. Nu ganges divisoren med det fundne Dette giver. Nu trækkes ens potenser fra hinanden. Så startes der forfra. 0 Denne division giver 0 til rest så divisionen er gået op, så heraf fås: f(x) x 3 4x 10x 1 (x 1)(x x 1) Ligningen f(x) = 0 løses da ved anvendelse af nulreglen: x 1 0 eller x x 1 0 x 1 eller x eller x 3. Polynomiet f(x) har altså rødderne 1, og 3, og kan skrives som ( ) ( )( )( ), her er er sætning 3.15 også inddraget. Giver divisionen en rest, så vil være det sidste led i resultatet. x 7x Eks. vil f ( x) x. Prøv at eftervise det. x 6 x 6 1

16 Lav opgave 35 uden brug af TII. 13