Parabel og tangent. Illustration af opgaven Givet en parabel og et punkt. Find de tangenter til parablen, som går gennem punktet.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Parabel og tangent. Illustration af opgaven Givet en parabel og et punkt. Find de tangenter til parablen, som går gennem punktet."

Transkript

1 Parabel og tangent Formål Illustration af opgaven Givet en parabel og et punkt. Find de tangenter til parablen, som går gennem punktet. Man kan flytte på punktet, dreje linjen, iagttage hvor mange løsninger, der kan være tale om, og få en idé om, hvad der karakteriserer løsningerne. Geogebra-elementer Parabel Linje Skæring Tangent Vinkelret Afstand Betinget visning 1. To punkter og en parabel Vi starter med at oprette to punkter. P er punktet nævnt i opgaven, dvs. punktet som linjen skal gå igennem. A er et punkt, som skal bruges til at tage fat i og dreje linjen om P. Vælg og klik 2 gange. Så har vi 2 punkter, A og B. B omdøbes til P: Højreklik på punktet og vælg Omdøb. Vi opretter parablen ved at skrive i inputlinjen: side 1 af 11

2 parabel:y=0.5x^2 Vælg, og klik på P og A Giv punktet A en tekst og et anderledes udseende, så man kan se at det er meningen at man skal flytte på det. side 2 af 11

3 Så har vi elementerne fra opgaveteksten på plads, og man kan dreje linjen og få den til at skæres med parablen. Linjen skal lige have et sigende navn det bliver vi glade for senere, når der kommer flere linjer på banen. side 3 af 11

4 2. Skæringspunkter og tangenter Opret skæringspunkter mellem linjen og parablen. Vælg, og klik på linjen og parablen. Opret tangenter til parablen. Vælg, og klik på P og parablen. Slå enhedsvisning på akserne fra, for at få et roligere billede. Højreklik et sted på tegnefladen, og vælg Fjern flueben i Vis enheder. side 4 af 11

5 Linjerne b og c er tangenterne vi vil gerne omdøbe dem til tangent1 og tangent2. Højreklik på linjen og vælg Omdøb. Så stiller vi også på farve og tykkelse, og slukker for visning af navn, på begge tangenter. side 5 af 11

6 3. Hvornår er linjen en tangent? Vi vil gerne markere, hvornår linjen gennem P er en tangent. Målet er, at når man sidder og rykker på linjen (trækker i punkt A), så skifter den til rød når den bliver tangent. Det kan vi lave ved at stille på synlighed af linjen og tangenten, sådan at når linjen er en tangent, bliver tangenten (som jo er rød og tykkere) synlig i stedet for linjen. Men hvornår er linjen en tangent? Hvis B = C? Hvis (linjep = tangent1) eller (linjep = tangent2)? Teoretisk set er begge dele jo korrekt. Men her støder vi desværre mod computerrealiteten. Det er ikke muligt at rykke på linjep med en sådan nøjagtighed, at den bliver præcis lig med en af tangenterne, og de to skæringspunkter dermed falder sammen. Vi er derfor nødt til at formulere en betingelse, som betyder, at når vi rykker linjep så tæt på en tangent, så vi faktisk ikke kan se forskel på dem, så bliver betingelsen også opfyldt og når den bliver opfyldt, kan vi gøre tangenten synlig i stedet for linjen. Der er flere måder, man kan gøre det på. Den løsning, vi har valgt, er Hvis afstanden mellem tangentens røringspunkt og linjen er tilstrækkelig lille, vil vi sige at linjen er lig med tangenten. Så den afstand vil vi nu konstruere. Opret tangentpunkt1 som skæringspunkt mellem tangent1 og parablen. Vælg, og klik på tangent1 og parablen. Omdøb. side 6 af 11

7 Med afstand fra et punkt til en linje mener vi den vinkelrette afstand. Opret vinkelrettangent1 som en ny linje gennem tangentpunkt1 vinkelret på linjep. Vælg Omdøb., og klik på tangentpunkt1 og linjep. Opret skæring1 som skæringspunkt mellem vinkelrettangent1 og linjep. Vælg, og klik på vinkelrettangent1 og linjep. Omdøb. l side 7 af 11

8 Opret afstand1 som afstanden mellem skæring1 og tangentpunkt1. Vælg, og klik på skæring1 og tangentpunkt1. Der oprettes automatisk en tekst. Skjul den. Omdøb (højreklik på den nye variabel i algebra-vinduet og vælg Omdøb). Nu skal afstand1ok defineres som en boolsk variabel, dvs. den kan enten være sand eller falsk. Hvis afstand1 er mindre end en grænse, som vi definerer, skal afstand1ok have værdien sand. Og hvis afstand1ok er sand, vil vi vise tangenten i stedet for linjen. Vi må først definere grænsen. Vi vælger en tilfældig værdi, vi kan altid justere senere. Så kan vi definere afstand1ok side 8 af 11

9 Altså afstand1ok er sand hvis afstand1 < grænse, og falsk hvis ikke, dvs. hvis afstand1 grænse. Visning af tangent1 kan nu gøres afhængig af afstand1ok: Nu virker det faktisk allerede nogenlunde. Man kan rykke frem og tilbage med punktet A ( drej linjen træk her ), og hver gang linjen kommer tæt nok på parablen i venstre side bliver den røde tangent1 synlig. På samme måde kan vi sørge for at tangentpunkt1 kun er synligt når tangent1 er synlig. Der skal også ryddes lidt op i visningen. Skjul - navn for tangentpunkt1, tangent1 og linjep - vinkelrettangent1 - skæring1 Og så skal vi gøre det hele igen, med den anden tangent. - Opret tangentpunkt2 som skæringspunkt mellem tangent2 og parablen - Opret vinkelrettangent2 som en ny linje gennem tangentpunkt2 vinkelret på linjep - Opret skæring2 som skæringspunkt mellem vinkelrettangent2 og linjep - Opret afstand2 som afstanden mellem skæring2 og tangentpunkt2 - Definer afstand2ok - Visning af tangent2 gøres afhængig af afstand2ok Nu har vi et problem tilbage, og det er også et nøjagtigheds-problem. side 9 af 11

10 På eksemplet nedenfor ses både tangent1 og tangentpunkt1, og samtidig ses linjep og de to skæringspunkter (B og C). Og det kan jo ske fordi linjen kun næsten er tangent, men den kommer indenfor vores fastsatte grænse. For at undgå den forvirrende situation, vedtager vi at skjule linjep og de to skæringspunkter B og C, hvis en af tangenterne (og det tilhørende skæringspunkt) er synlig. Den ene tangent er synlig, hvis afstand1ok er sand, og den anden tangent er synlig hvis afstand2ok er sand. Så hvornår er ingen af tangenterne synlige? Det er hvis hverken afstand1ok eller afstand2ok er sande (dvs. begge er falske). Det skriver man så ind i betingelse for visning for linjep og B og C. side 10 af 11

11 Symbolerne for ikke og og finder man ved at klikke på det lille for enden af indtastningsfeltet. Så er konstruktionen helt færdig. side 11 af 11

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Kompleks ligning 1. - en illustration af hvordan løsninger til ligningen z 5 + iz + 1 = 0 ser ud. 1. Oprette den frie variabel z.

Kompleks ligning 1. - en illustration af hvordan løsninger til ligningen z 5 + iz + 1 = 0 ser ud. 1. Oprette den frie variabel z. Kompleks ligning 1 - en illustration af hvordan løsninger til ligningen z 5 + iz + 1 = 0 ser ud Formål At give mulighed for at undersøge/illustrere hvordan et komplekst polynomium opfører sig, og hvordan

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.

Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Kompendium til Geogebra

Kompendium til Geogebra Kompendium til Geogebra Hardsyssel Efterskole Matematik 8. Klasse Side 1 af 12 Kompendium til Geogebra 1. Generel præsentation af Geogebra 1.1 Download af programmet Geogebra kan gratis downloades fra

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

PÅ AVU. En hjælpende hånd til matematik af NICOLAI BORNHOLM NIELSEN

PÅ AVU. En hjælpende hånd til matematik af NICOLAI BORNHOLM NIELSEN PÅ AVU En hjælpende hånd til matematik af NICOLAI BORNHOLM NIELSEN Indhold Formål... 2 Læse vejledning... 2 1. Basisviden om GeoGebra... 3 1.1 Muligheder ved tegneblokken... 3 1.2 Værktøjerne... 4 1.3

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Denne øvelsesrække bringer brugeren igennem en lang række forskellige elementer i Inventor 2016.

Denne øvelsesrække bringer brugeren igennem en lang række forskellige elementer i Inventor 2016. Inventor 2016 Koblingsled Frede Uhrskov Forord Denne øvelsesrække bringer brugeren igennem en lang række forskellige elementer i Inventor 2016. Øvelserne kræver ikke forudgående kendskab til Inventor,

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Ting man gør med Vektorfunktioner

Ting man gør med Vektorfunktioner Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver

Læs mere

Ting man gør med Vektorfunktioner

Ting man gør med Vektorfunktioner Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Tillæg til ViTal v.4.5.5. Nyheder i ViTal

Tillæg til ViTal v.4.5.5. Nyheder i ViTal Tillæg til ViTal v.4.5.5 Nyheder i ViTal Oplæseroversigten er udvidet så den indeholder: Flag og sprognavn for hver oplæser. Dialogboksen Oplæseroversigt kan justeres i størrelsen. Favoritliste som hjælper

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

Funktioner. 1. del Karsten Juul

Funktioner. 1. del Karsten Juul Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2

Læs mere

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten.

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten. Perspektiv tegning Hjælp til perspektivtegning. Illustrationerne er købt fra Perspektivtegning - Matematik i Billedkunst, billedkunst i matematik. - en kopimappe som er lavet af Jørgen Skourup og Ole Stærkjær.

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Stx matematik B maj 2009

Stx matematik B maj 2009 Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

M A T E M A T I K B A NK E NS G E O G E B R A K O M P E ND I U M

M A T E M A T I K B A NK E NS G E O G E B R A K O M P E ND I U M M A T E M A T I K B A NK E NS G E O G E B R A K O M P E ND I U M Geometri Funktioner Boksplot Konstruktioner Kommandolinjen Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen INDHOLD Indhold...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003

Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Introduktion til den afledede funktion

Introduktion til den afledede funktion Introduktion til den afledede funktion Scenarie: Rutsjebanen Tilsigtede viden Bredere kompetencemål Nødvendige matematiske forudsætninger Tid Niveau Materialer til rådighed At give en forståelse for konceptet

Læs mere

MemoAssist er en simpel billede og lyd baseret kalender designet til mennesker med særlige behov.

MemoAssist er en simpel billede og lyd baseret kalender designet til mennesker med særlige behov. MemoAssist MemoAssist er en simpel billede og lyd baseret kalender designet til mennesker med særlige behov. Funktioner Dagsplan 2 Opret ny begivenhed 3 Redigere eksisterende begivenhed 4 Ugeplan 5 Visning

Læs mere

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298

De 2D Constraints, der findes i programmet, er vist herunder (dimension er også en form for 2D Constraint). Fig. 298 Inventor 2011 - Del 1 Featuren Circular Pattern 2D Constraints Constraints er bindinger, der kan oprettes mellem de forskellige elementer i fx en Sketch. Du har allerede arbejdet med nogle af dem, programmet

Læs mere

Materiale sammenskrevet af:

Materiale sammenskrevet af: Det skrå kast med 1.b 006 Bjørn Felsager & Brian Olesen Haslev Gymnasium og HF Materiale sammenskrevet af: Brian M.V. Olesen Haslev Gymnasium og HF Juli 009 05-07-009 18:4 Indholdsfortegnelse Introduktion...

Læs mere

Oktober Dokumentpakker

Oktober Dokumentpakker Oktober 2017 Dokumentpakker Dokumentpakkerne er et værktøj til at udskrive dynamiske breve, som har en standardtekst i brevet, og hvor der automatisk sættes blandt andet patientens navn, adresse og aftaletid

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Den nye klub hjemmeside.

Den nye klub hjemmeside. Den nye klub hjemmeside. Ved login i typo3, bliver du mødt med dette billede. Det viser sidetræet. Om man skal bruge listevisning eller sidevisning, afhænger af, hvilket indholdselement man arbejder i.

Læs mere

IMK vejledning til Natura 2000 ordningerne 2016

IMK vejledning til Natura 2000 ordningerne 2016 IMK vejledning til Natura 2000 ordningerne 2016 Tilknyt markkort og tegn projektområder til din ansøgning om tilskud til Rydning og forberedelse til afgræsning, forundersøgelser og etablering af naturlige

Læs mere

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden. Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel

Læs mere

FORMLER OG FUNKTIONER I EXCEL

FORMLER OG FUNKTIONER I EXCEL 1 FORMLER OG FUNKTIONER I EXCEL 1. Indtast flg. data i et regneark: Note: de små grønne markeringer i hjørnet af cellerne i kolonne B betyder, at tallet er formateret som tekst. 2 HVIS Afstand i km fra

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det

Læs mere

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om

Læs mere

Introduktion og indholdsoversigt

Introduktion og indholdsoversigt Introduktion og indholdsoversigt Denne guide omhandler kursus oprettelse i et web-modul (KOSMO). Processen gør det muligt at oprette en mindre mængde kurser af gangen, og dermed gå til og fra kursusoprettelsen.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ MATEMATIK B-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt Kl STXB-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ MATEMATIK B-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt Kl STXB-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK B-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 2010 Kl. 09.00 13.00 STXB-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler: 1 time med autoriseret formelsamling

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Brugervejledning. Anvendelse af IsoReader ver SKIOLD Echberg A/S La Cours Vej 1 DK 7430 Ikast

Brugervejledning. Anvendelse af IsoReader ver SKIOLD Echberg A/S La Cours Vej 1 DK 7430 Ikast Brugervejledning Anvendelse af IsoReader 981002700 ver. 01 01-10-2004 SKIOLD Echberg A/S DK 7430 Ikast 2 981002700.doc Indholdsfortegnelse 1 BRUG AF ISOREADER... 4 1.1 FORBINDELSE TIL POCKET... 4 1.2 HVAD

Læs mere

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Sådan arbejder du med din forside

Sådan arbejder du med din forside Sådan arbejder du med din forside Din forside på hjemmeside består af forskellige slags indhold og med det formål at fremhæve indhold som du har på dine undersider. Hvor er min forside? Øverst i dit sidetræ

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Sådan bruger du Google Drev

Sådan bruger du Google Drev Sådan bruger du Google Drev Start med at gå ind på www.google.dk. Øverst til højre kan du logge ind hvis du ikke allerede er det. De fleste har en Google konto af en eller anden art, Gmail, Youtube, Google

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl stx141-MAT/B

Matematik B. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl stx141-MAT/B Matematik B Studentereksamen 2stx141-MAT/B-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Kapitel 8. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse 8.2

Kapitel 8. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse 8.2 Kapitel 8 Øvelse 8.2 Til Maria Pia broen bruger vi de tre punkter (0,0), (80,60) og (160,0). Disse er indtegnet i et koordinatsstem og vi har lavet andengradsregression. Og Garabit broen: Øvelse 8.8 Definitionsmængden

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Annemette Søgaard Hansen/annemetteshansen@yahoo.dk

Annemette Søgaard Hansen/annemetteshansen@yahoo.dk Windows Vista NemID og Borger.dk side 1 af9 1) Gå ind på www.borger.dk I adresselinjen Du ser nu dette skærmbillede: 2) Klik på Log på (øverst) Denne boks kommer frem: Hvis du klikker i den lille boks

Læs mere

Sådan kommer du i gang med GeomeTricks

Sådan kommer du i gang med GeomeTricks Sådan kommer du i gang med GeomeTricks Ved hjælp af programmet GeomeTricks kan du tegne figurer i geometri. Når du tegner en figur, så skal du opbygge din figur ved hjælp af geometriske objekter. Geometriske

Læs mere

Arbejde med Regioner Lister, Playlists, og Cutlists i Sound Forge Pro

Arbejde med Regioner Lister, Playlists, og Cutlists i Sound Forge Pro Arbejde med Regioner Lister, Playlists, og Cutlists i Sound Forge Pro Gary Rebholz Du har sikkert allerede ved, at Sound Forge Pro software kan bruges til en imponerende række af audio opgaver. Alt fra

Læs mere

Til at starte med vil jeg lige vis nogle små ændringer på opsætningen som jeg har lavet.

Til at starte med vil jeg lige vis nogle små ændringer på opsætningen som jeg har lavet. Microstation brugermøde 10. og 11. november 2008. Indlæg af Else-Marie Lorenzen. Vejdirektoratet Til at starte med vil jeg lige vis nogle små ændringer på opsætningen som jeg har lavet. Som det første

Læs mere

En blog med dansk brugerflade. Opret en Smartlog konto Gå til http://www.smartlog.dk/ Opret en konto ved at skrive din e-mailadresse

En blog med dansk brugerflade. Opret en Smartlog konto Gå til http://www.smartlog.dk/ Opret en konto ved at skrive din e-mailadresse Blogs Om blogs http://www.it-borger.dk/den-nye-it-verden/internet/blogs Om at oprette blogs http://www.it-borger.dk/laer-om-it/internet/nar-du-vil-pa-nettet/blogs/sadan-laver-du-en-blog Råd når du laver

Læs mere

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den

Læs mere

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

FOTO strategi Gem Udvælg Rediger Gem

FOTO strategi Gem Udvælg Rediger Gem FOTO strategi 1. Gem billederne i en mappe på skrivebordet a. Opret en mappe på skrivebordet og navngiv den evt. med årstallet. b. Kopier billederne i kameraets DCIM-mappe og sæt den ind i mappen på skrivebordet.

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Andengradsfunktionen

Andengradsfunktionen Andengradsfunktionen 1. Find først diskriminanten og efterfølgende også toppunktet for følgende andengradsfunktioner. A y = 2 x 2 + 4 x + 3 B y = 1 x 2 + 6 x + 2 C y = 1 / 2 x 2 + 2 x 2 D y = 1 x 2 + 6

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Grafisk design Skitse 1.

Grafisk design Skitse 1. Grafisk design Skitse 1. Skitse 2. Skitse 3 (på min plakat har jeg valgt at tage udgangspunkt i denne skitse). Skitse 4. Billede 1. Først åbner jeg scribus, og vælger papirformatet A3. Billede 2. Jeg vil

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere