Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Transkript

1 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal. Vi skitserer linjen i GeoGebra og finder skæring med x-aksen da linjen skærer y-aksen ved 3 som kan aflæses direkte fra forskriften. 1

2 Skæring med x-aksen kan også findes ved at sætte y = 0 og skæring med y- aksen aflæses direkte af ligningen for linjen y = 3. 0 = 3 x + 3 3x = 12 x = 4 4 T = = 6 Opgave 2 (5%) En funktion f er givet ved: f (x) = 2x 3 x a) Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)). Vi skitserer funktionen og finder punktet hvor tangentligningen rører ved. f (x) = 2x 3 x Indsættes x=1 fås: f (1) = = 2 Punktet er: P(1, 2). Differentieres udtrykket og hældningen af tangenten i x =1 findes: f (x) = 6x 2x 2

3 f (1) = 6 2 = 4 som er hældningen af tangenten ved x = 1. Vi finder tangentens ligning: y y 1 = a(x x 1 ) y 2 = 4(x 1) y 2 = 4x 4 y = 4x 2 Opgave 3 (5%) To linjer l og m er givet ved: l : 4y 8x + 4 = 0 m: 3y + x = 11 a) Beregn koordinaterne til linjernes skæringspunkt. Vi skitserer de to linjer vha. GeoGebra efter vi isolerer y erne sådan at de to linjer bliver: 3

4 y = 2x 1 y = 1 3 x Skæringspunktet findes ved at sætte de to linjer lige med hinanden: 2x 1 = 1 3 x x x = x = 2 Indsættes x = 2 fås y-værdien: y = = 3 y = 3 Opgave 4 (5%) Løs ved beregning ligningen: ln(x + 3) + ln(2x) = 0 Vi skitserer funktionen: Vi finder først definitionsmængden: Dm( f ) : x + 3 > 0 x > 3 4

5 ln(x + 3) + ln(2x) = 0 ln[(x + 3)(2x)] = 0 e ln[(x+3)(2x)] = e 0 (x + 3)(2x) = 1 2x 2 + 6x = 1 2x 2 + 6x 1 = 0 solve(2x 2 + 6x 1 = 0,x) giver følgende: x 1 = 3,16 eller x 2 = 0.16 Da x > 3 ifølge definitionsmængden, vil løsningsmængden være x 2 = 0,16 Opgave 5 (5%) To funktioner f og g er givet ved: f (x) = x og g(x) = 3 x 2 a) Bestem ved beregning ligningen: f (x) = g(x) f (x) = g(x) x = 3 x 2 x(x 2) = 3 5

6 x 2 2x 3 = 0 solve(x 2 2x 3 = 0,x) giver følgende x 1 = 1 eller x 2 = 3 Man kan også skitsere for at se skæringspunkterne: Opgave 6 (15%) I trekant ABC er A = 40 0, b = 5, og C = a) Beregn siderne a og c. b) Beregn længden af højden h a på siden a. c) Beregn trekantens areal. Vi skitserer trekanten: 6

7 a) Siderne a og c kan beregnes ved hjælp af sinusrelationer: B = 180 ( ) = 25 0 sin(40 0 ) a a = 5 sin(400 ) sin(25 0 ) sin(40 0 ) 7,6 = sin(250 ) 5 = 7,6 = sin(1150 ) c c = 7,6 sin(1150 ) sin(40 0 ) = 10,72 b) Højden h a beregnes ved hjælp af trekanten ADC c) Trekantens areal: sin(25 0 ) x h a = 5 sin(650 ) sin(90 0 ) = sin(650 ) = sin(900 ) h a 5 x = 4,53 sin(250 ) sin(65 0 ) = 5 sin(65 0 ) = 4,53 T = 1 2 h a (a + x) = 2,11 T = 1 4,53 (7,6 + 2,11) = 21,99 2 7

8 Opgave 7 (20%) En funktion f er givet ved: f (x) = 6 x a) Bestem funktionens definitionsmængde. b) Bestem ved beregning funktionens monotoniintervaller. c) Beregn koordinaterne til funktionens lokale maksimumpunkt. d) Bestem en ligning for tangenten til funktionens graf i punktet ( 3; f ( 3)). e) Løs ved beregning ligningen: f (x) = 7. a) Vi skitserer funktionen: Dm( f ) :x x 2 3 b) Monotoniintervaller: f (x) = 12x x 4 6x = 0 x = 0 f (0) = 1 8

9 Punktet (0; 1) ser ud til at være lokale maksimum. Fortegnslinjen tegnes: f (x) er voksende i intervallet ] ; 3[ f (x) er voksende i intervallet ] 3;0[ f (x) er aftagende i intervallet ]0; 3[ f (x) er aftagende i intervallet ] 3; [ c) Koordinaterne til den lokale maksimum: x = 0 indsættes f (0) = = 1 dvs. (0; 1) 3 d) En ligning for tangenten i punktet ( 3; f ( 3)). f ( 3) = = = 2 og punktet bliver P( 3;2) 9 3 Vi finder hældningen ved x=-3 f ( 3) = 12 ( 3) ( 3) 4 6( 3) 2 = 1 som er hældningen

10 Vi finder nu tangentens ligning: y y 1 = a(x x 1 ) y 2 = 1(x + 3) y = x + 5 e) Vi løser ligningen f (x) = 7 6 x = 7 6 x 2 3 = 6 6 = 6x x = 0 6x 2 = 24 x 2 = 4 x = ±2 Opgave 8 (10%) En funktion f er givet ved f (x) = e 2x 3 a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (2; f (2)). b) Bestem forskriften for den omvendte (inverse) funktion f 1. a) Punktets y-koordinat findes: 10

11 f (2) = e 4 3 = e = 2,72 dvs. punktet er P(2;2,72) Vi differentierer f (x) for at finde hældningen ved x=2 f (x) = e u hvor u = 2x 3 f (x) = u e u f (x) = 2 e 2x 3 f (2) = 2 e = 5,44 som er hældningen i punktet x = 2. Tangentligningen findes: y y 1 = a(x x 1 ) y 2,72 = 5,44(x 2) y = 5,44x 10,87 + 2,72 y = 5,44x 8,15 b) den inverse funktion findes ved at indsætte x i stedet for y: x = e 2y 3 ln(x) = ln(e 2y 3 ) ln(x) = 2y 3 ln(e) ln(x) + 3 = 2y y = ln(x) Og vi finder definitions- og værdimængderne både for f og f 1 : Dm( f ) : ] ; [ og V m( f ) : ]0; [ 11

12 Dm( f 1 ) : ]0; [ og V m( f 1 ) : ] ; [ Og vi skitserer begge funktioner: Opgave 9 (10%) En funktion f er givet ved forskriften: f (x) = x 3 x 2 x + 1 2x + 3 Grafen for f har to tangenter, der er paralllele med linjen med ligningen: y = a) Bestem koordinaterne til røringspunktet for hver af disse tangenter. f (x) = x 3 x Tangenterne er parallele med linjen : y = 2x + 3 Linjens hældning aflæses til a = 2 og skæring med y-aksen y = 3. Vi differentierer og sætte denne til a 12

13 f (x) = 3x 2 2x 1 = 2 3x 2 2x-3=0 solve(3x 2 2x 1 = 0,x) giver følgende rødder: x 1 = 0,72 eller x 2 = 1,39 Indsættes disse i f (x) fås følgende koordinater: f ( 0,72) = ( 0,72) 3 ( 0,72) 2 ( 0,72) + 1 = 0,83 f (1,39) = 81,39) 3 (1,39) 2 (1,39) + 1 = 0,36 ( 0,72;0,83) og (1,39;0,36) Opgave 10 (10%) To funktioner f og g er givet ved f (x) = x og g(x) = 2x + 4 a) Skitser de to funktioners grafer og beregn arealet af det område, der afgrænses af de to grafer. Vi skitserer de to funktioner: 13

14 Areal = 3 1 (g(x) f (x)) dx = 3 1 (2x + 4 x2 1) dx Areal = 3 1 ( x2 + 2x + 3) dx = [ x x x]3 1 = 10,67 GeoGebra kan også finde arelaet vha. kommandoen IntegralBetween: Opgave 11 (10%) To funktioner f og g er givet ved: f (x) = x og g(x) = x a) Bestem regneforskriften og definitionsmængden for den sammensatte funktion f g. a) f g = x Lad os skitsere funktionerne: 14

15 Definitonsmængden findes: x 1 0 (x + 1)(x 1) 0 Uligheden løses ved hjælp af reglerne på side 91 i bog 1: a b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 (b < 0) (x + 1) 0 (x 1) 0 (x + 1) 0 (x 1) 0) x 1 x 1 x 1 x 1 Da A = 1,så vil løsningesmængden være differensmængden : 1 x 1 15