Ang. skriftlig matematik B på hf
|
|
- Lærke Ludvigsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Peter Sørensen: Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet skal kunne regnes. Her er de vigtigste ting, man skal kunne til skr. eksamen: INDHOLD Andengradspolynomiet... 2 Toppunkt... 2 Rødder og faktorisering... 2 Parablen for andengradspolynomiet: p(x) = ax² + bx + c... 2 Polynomier... 4 n te-gradspolynomiet... 4 Regression... 4 Logaritme... 4 Den naturlige logaritme... 4 Differentialregning... 5 Regler for differentiation... 6 CAS-værktøj... 6 Tangent... 7 Monotoniforhold... 7 Maksimum (størsteværdi)... 7 Fortegnsvariation... 7 Minimum (mindsteværdi)... 7 Grafpunkter uden hældning... 8 Stamfunktion og integral... 8 Regler for integration... 9 Det bestemte integral...10 CAS-værktøj...10 Areal og integral...11 Geometri...12 Ensvinklede trekanter...12 Retvinklede trekanter...12 Vilkårlige trekanter...12 Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 1 dato
2 Andengradspolynomiet Andengradspolynomiet er en funktion: p(x) = ax + bx + c, a 0 Toppunkt Grafen er en parabel med toppunkt: (x 0, y 0 ) = ( b d, ) 2a 4a, hvor d = b² - 4ac. Hvis toppunktet er til venstre for y-aksen, har a og b samme fortegn, ellers forskelligt. Hvis parablen skærer x-aksen 2 steder, er d positiv. Hvis parablen ligger helt over eller helt under x-aksen er d negativ Hvis toppunktet ligger på x-aksen, er d = 0. Hvis parablens grene vender opad glad graf er a positiv, ellers negativ. c er parablens skæring med y-aksen. b er parablens hældning ved y-aksen. Rødder og faktorisering Hvis d 0 gælder: Lignignen ax + bx + c = 0 har løsning(er), også kaldet polynomiets rødder, evt. dobbeltrod, og andengradspolynomiet kan skrives a(x-x 1 )(x-x 2 ) hvor x 1 og x 2 er rødderne. (Faktorisering) Øv dig på Parablen for andengradspolynomiet: a Parablens stejlhed Hvis a<0: Trist graf b Hvis b har fortegn som a: Toppunkt er til venstre for 2.aksen c Skæring med 2. aksen d Hvis c<0: Parablen skærer 2.aksens negative del Hvis d<0: Parablen har intet punkt fælles med 1.aksen p(x) = ax² + bx + c Hvis a=0: Det er ikke et 2.gradspolynomium Hvis b=0: toppunkt er på 2.aksen Hvis c=0: Parablen skærer 2.aksens i nul, koordinatsystemets begyndelsespunkt Hvis d=0: Parablen har ét punkt fælles med 1.aksen. Dvs toppunkt er på x-aksen Hvis a>0: Glad graf Hvis b har fortegn modsat a: Toppunkt er tilhøjre for 2.aksen Hvis c>0: Parablen skærer 2.aksens positive del Hvis d>0: Parablen skærer 1.aksen 2 steder Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 2 dato
3 b har samme fortegn som a b = 0 b har forskelligt fortegn fra a d<0 c < 0 a<0 d=0 c < 0 c = 0 c < 0 c = 0 d>0 c > 0 d<0 c > 0 a>0 d=0 c > 0 c = 0 c > 0 c = 0 d>0 c < 0 Bemærk: c er parablens skæring med y-aksen. b er parablens hældning ved y-aksen. Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 3 dato
4 Polynomier n te-gradspolynomiet er en funktion p(x) = a n x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0, a n 0 Regression Det mest enkle er at bruge Guide i RegneRobot. Logaritme Logaritmen til et positivt tal er den eksponent man skal give 10 for at få tallet. Det kaldes også 10-tals-logaritmen. Eksempel: Logaritmen til 1000 er 3 fordi 10 3 = Logaritmen til 1000 skrives Log(1000) Bemærk: log(10 3 ) = 3 eller mere generel: log(10 x ) = x. Logaritmefunktionen er især anvendlig til løsning af ligningenr, hvor x er eksponent, idet Log(a x ) = x Log a Eksempel: 7 x = 523 Log(7 x ) = Log(523) x Log(7) = Log(523) x = Log(523) Log(7) x = 3,217 Foruden 10-tals-logaritmen skal vi arbedje med en logaritme, der kaldes den naturlige logaritme. Den naturlige logaritme adskiller sig fra 10-tals-logaritmen ved i stedet for 10 at bygge på et særligt tal, der kaldes e og e = ca 2, Den naturlige logaritme til et positivt tal er den eksponent, man skal give e for at få tallet Eksempel: Den naturlige til e 3 er 3. Den naturlige logaritme til x skrives Ln(x). Bemærk: Ln(e 3 )= 3 eller mere generelt: Ln(e a ) = a eller a = Ln(e a ) Heraf fås: a x = (e Ln(a) ) x = e Ln(a) x Altså: a x = e Ln(a) x Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 4 dato
5 Differentialregning Et firma sælger en vare og vil gerne tjene så meget som muligt. Firmaet kan højst bruge 5 mio kr på rekalmer. Jo mere firmaet investerer i reklamer, jo mere sælges, men hvis firmaet investerer alle 5 mio i reklamer, så bliver reklameomkostningerne så store, at den samlede fortjeneste bliver negativ. Hvis firmaet slet ikke reklamerer, bliver salget så lille at fortjenesten også bliver negativ. Det handler om at finde hvilken reklameomkostning, der vil give maksimal fortjeneste. Til højre herfor ses en graf, der fortæller fortjenesten som funktion af reklameinvesteringen. Grafen svarer til funktionen f(x) = -2x² + 8x 1, Dm(f) = [0;5], både x og f(x) er kroner i mio Ved hjælp af grafen kan man aflæse at en rekaleminvestering på 2 mio kr vil være optimal. Vi skal nu se hvordan, man kan regne sig frem til den mest optimale størrelse af reklameinvesteringen. Der gælder, at funktionens mindsteværdi og størsteværdi enten er ved et grafendepunkt eller hvor, grafen er vandret og det er de steder, der skal checkes. For at kunne beregne hvornår grafen er vandret, vil vi interessere os for grafens hældning. Til enhver x-værdi i definitionsmængden vil ovenstående graf have en hældning, der betegnes f (x). Vi har således en ny funktion med samme definitionsmængde. Denne funktion betegnes f og kaldes den afledede funktion, eller med et fint ord differentialkvotienten af f. At finde differentialkvotienten kaldes at differentiere. Man kan også tale om den afledede af en regneforskrift. Fx betegnes den afledede af 8x-1 såedes: (8x-1) Vi vil ikke præcist definere ordet hældning her, men lige nævne, at hældningen 0 betyder, at grafen er vandret. Ved Positiv hældning er funktionen voksende og ved negativ hældning aftagende. Hvis man skal finde en x-værdi hvor hældningen er 0, skal man således løse lignignen f (x) = 0. Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 5 dato
6 Regler for differentiation (Se lektion 21 24): Regler Eksempler f f f f f f f f x n n 0 ax n n 0 nx n-1 x 2 2x 1 = 2x x 1 x 5 5x 4 anx n-1-2x 2-2 2x 1 = -4x 8x 8 7x 5 7 5x 4 =35x 4 ax a 5x 5 a x ½ ½x -½ 6x ½ 3x -½ = ½ 6 6 = = 3x -½ e x e x ke x ke x 5e x 5e x e nx ne nx e 3x 3e 3x ke nx k ne nx 5e 3x 15e 3x a x ln(a) a x 5 x ln(5) 5 x ba x b ln(a) a x 7 5 x 7 ln(5) 5 x ln(x), x > 0 En sum eller differens differentieres ledvis 1 / x, x > 0 7 ln x, x > 0-2x² + 8x 1 7 / x, x > 0-4x = -4x + 8 Reglerne skal kunnes til delprøven uden hjælpemidler. Øv dig på: CAS-værktøj Det mest enkle er at bruge Guide i RegneRobot. På TI-89 og Voyage 200 kan man finde differentialkvotienten til en funktion, fx f(x) = 3x², ved at taste F3 og vælge d( Derefter skrives 3x^2, x), så der kommer til at stå: d(3x^2, x) (x til sidst betyder, at den uafhængige variable er x). F6 Enter Enter F3 1 3 x ^ 2, x ) Enter I TI-interactive klikkes i d/dx og d(, hvorefter man skriver: 3x^2,x) og taster Enter. Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 6 dato
7 Tangent til et grafpunkt er en linje gennem punktet med samme hældning som grafens hældning i punktet. Ligning for tangent gennem grafpunkt (x o, y o ): (y y o ) = f (x o ) (x x o ) Til højre er tegnet funktionen f(x) = -2x² + 8x 1 og en tangent. Man kan se af tegningen, at hældningen er -4. Hældningen kan også beregnes: f (x) = -4x + 8 f (3) = = = -4 Af tegningen ses, at tangentens røringspunkt er (3, 5) Tangentens ligning bliver: (y 5) = 4(x 3) Monotoniforhold kan ses af grafen men også beregnes: f (x) = 0-4x + 8 = 0 8 = 4x 2 = x Maksimum (størsteværdi) antages for x = 2 og er f(2) = -2 2² = = 7 f (0) = -8 så x < 2 betyder at f (x) er negativ f (3) = = = -4, så x>2 betyder at f(x) er negativ Fortegnsvariation for f : f + 0 > x 2 f er monoton og voksende i [0; 2] f er monoton og aftagende i [2; 5] f har maksimum (størsteværdi) 7, som antages i 2 Minimum (mindsteværdi) antages i dette tilfælde i et af definitionsmængdens endepunkter 0 eller 5 Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 7 dato
8 f(0) = = -1 f(5) = -2 5² = = -11 f har minimum (mindsteværdi) -11, som antages i 5 Grafpunkter uden hældning Til højre ses to grafer, der ikke ikke overalt har en hældning. Den blå graf her ingen hældning i punkterne (3, 2) og (7, 2.) Den røde graf har ingen hældning i Grafounktet (2,4). De to tilsvarende funktioner er ikke differentiable i hele ders definitionsmængder. Stamfunktion og integral En funktion F kaldes stamfunktion til en funktion f hvis F = f. Fx: F(x) = x² og f(x) = 2x. Der findes uendelig mange stamfunktioner til 2x, bl.a også (x²+7) idet (x²+7) = 2x Der gælder at alle stamfunktioner til x² er (2x+k) hvor k er et tal, der med et fint ord kaldes en arbitrær konstant. Arbitrær betyder tilfældig. Ehver af disse stamfunktioner kan betegnes med den særlige skrivemåde: x² dx, som udtales integralet af x² med hensy til x. Nogen gange siger man det ubestemte integral. Der gælder således x² dx = 2x + k, hvor k er en arbitrær konstant At integrere en funktion vil sige at finde stamfunktionerne. Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 8 dato
9 Regler for integration Regler k er den arbitrære konstant Eksempler f (x) f(x) dx f (x) (fx) dx f(x) f(x ) dx x n n -1 ax n n -1 x n+1 + k x 2 x 3 + k x 5 x 6 +k x n+1 + k -2x 2 x 3 + k 17x 5 x 6 +k ax ax 2 + k 8x 4x 2 + k a ax + k 5 5x + k = x -1 x>0 = x ½ x>0, x>0 ln x + k e x e x + k a ln x + k, x>0 - ln x + k ae x ae x + k 5e x 5e x + k e nx e nx + k e 3x + k a x + k 5 x + k ba x + k 7 5 x + k En sum eller differens integreres ledvis -2x² + 8x 1 - x 3 + 4x 2 x + k Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 9 dato
10 Det bestemte integral [ F ( x)] betyder F(b) F(a) og b a Det bestemte integral af f fra a til b betyder er en stamfunktion til f. b Der gælder således: a f x) dx ( = b b [ F ( x)] a og betegnes a [ F ( x)] = F(b) F(a) b a f ( x) dx Idet F CAS-værktøj Det mest enkle er at bruge Guide i RegneRobot. På TI-89 og Voyage 200 kan man finde integralet til en funktion, fx: f(x) = 2x, ved at taste F3 og vælge ( Derefter skrives 2x, x), så der kommer til at stå: (3x^2, x) (x til sidst betyder, at den uafhængige variable er x). F6 Enter Enter F3 2 2 x, x ) Enter I TI-interactive klikkes i og, hvorefter man skriver: 2x og x, så der kommer til at stå 2x dx 3 2xdx fås på TI-89 og Voyage 200 ved at taste: 1 F6 Enter Enter F3 2 2 x, x, 1, 3 ) Enter I TI-interactive klikkes i og, hvorefter man skriver: 1, 3, 2x og x, så der kommer 3 til at stå 2xdx 1 Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 10 dato
11 Areal og integral Hvis en graf for en funktion f ligger over x-aksen på stykket fra a til b, kan man beregne arealet af det område, der ligge mellem x- aksen og grafen således: Arealet af området af fra a til b mellem 2 grafer for funktionerne f og g, hvor f(x)>g(x) kan beregnes således: Eksempel: f(x) = 2x, F(x) = x 2 g(x)= x², G(x) = Arealet mellem de to grafer er Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 11 dato
12 Geometri Ensvinklede trekanter 3 k 1,5 2 b1 = 1,5 4 = 6 12 c = 8 1,5 Retvinklede trekanter 5² = 4² + 3² Sin( v) v Sin ( ) Cos ( v) v Cos ( ) Tan( v) v Tan ( ) Vilkårlige trekanter Højden Fra B: h B Medianen fra B: m B (linjestykket fra B til midten af b) Areal: ½ hb b = ½ ab Sin C SinA = a SinB SinC = b c c 2 = a 2 + b 2 2ab Cos C For vinkel B=20, b=4 og c=5 fås: Sin20 SinC = Sin20 = SinC 4 Vinkel C er 25,3 eller (180-25,3) Peter Sørensen: Skriftlig matematik B på hf SIDE 12 dato
PeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereBetydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2
PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereDifferentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereDifferentialregning ( 16-22)
Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2012
Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereMatematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1
Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2015-2016 Institution Vestegnen HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HF: E-learning Matematik
Læs mereLøsningsforslag Mat B 10. februar 2012
Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler 2 Opgave 1: 2 2 12 0 Man kan løse andengradsligningen med diskriminantmetoden, men man kan også som her forkorte
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2018
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekant ABC er retvinklet, kan længden af hypotenusen bestemmes med Pythagoras: 2 2 2 AB AC BC 2 2
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund
Læs mereLøsningsforslag 27. januar 2011
Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereKapitel 2. Differentialregning A
Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereGL. MATEMATIK B-NIVEAU
GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2017 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf-enkeltfag Matematik B
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2017 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf-enkeltfag Matematik B
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette
Læs mereEksempler på problemløsning med differentialregning
Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3
Læs mereDifferentialregning 2
Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()
Læs meregudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1
gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ny ordning Opgave 1: r ( t) Q( 7,8) 21. maj 2019: Delprøven UDEN hjælpemidler 2t + 1 = 2 t 1 a) Funktionsværdien bestemmes ved indsættelse af t-værdien: 2
Læs mereMATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010
MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 2016 MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 Dette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereEksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.
Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2017/Januar 2018 Institution Skolenr.: 173249 VUC Lyngby Uddannelse HFE Fag og niveau Matematik B
Læs mereKapitel 8. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse 8.2
Kapitel 8 Øvelse 8.2 Til Maria Pia broen bruger vi de tre punkter (0,0), (80,60) og (160,0). Disse er indtegnet i et koordinatsstem og vi har lavet andengradsregression. Og Garabit broen: Øvelse 8.8 Definitionsmængden
Læs mere13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mere10. Differentialregning
10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Undervisningstid VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe / GSK Matematik B Kirsten
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK Matematik B Sami Hassan Al-beik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Sabrina
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder Center for Uddannelse Højvangens
Læs mereUndervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter
Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over rapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår forår 2019, eksamen S19 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf
Læs mereEksamensspørgsma l Mat B
Eksamensspørgsma l Mat B 1. Lineære funktioner og tangentligningen Gør rede for de lineære funktioner og deres grafiske billeder, herunder betydning og bestemmelse af de konstanter, som indgår i regneforskriften.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Læs mereTekst Notation og layout Redegørelse og dokumentation Figurer Konklusion
1 Indledning Dette afsnit omhandler første delprøve, den uden hjælpemidler. Dette afsnit bygger på vejledningen til lærerplanen og lærerplanen for matematik b-niveau, samt eksamensopgaverne fra 2014-2012,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Skanderborg-Odder Handelsskole Højvangens Torv
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05
Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Edel-Elise
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2018 Institution Frederiksberg HF-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik B Kasper
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2014
Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Hold Vinter 2016/17 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08
Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud
Læs mereIndhold Carstensen, Frandsen, Studsgaard, MAT B HF, Systime 2006, s , 92.
Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Vivi Carstensen VICA@kvuc.dk Christine Gråkilde CHGR@kvuc.dk (eksaminator)
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Louise Jakobsen,
Læs mereEksamensspørgsmål mabe, sommer Spørgsmål 1: Funktioner
Eksamensspørgsmål mabe, sommer 014 Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for sætninger vedrørende lineære funktioner. Du skal herunder behandle betydningen af a og b samt formlen til at beregne a ud fra to
Læs mereUNDERVISNINGSBESKRIVELSE
UNDERVISNINGSBESKRIVELSE Termin Maj-juni 2015-2016 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF2 Matematik B Ineta Sokolowski mab1 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skanderborg-Odder center for uddannelse Højvangens
Læs mere