Abstract( Indholdsfortegnelse(

Transkript

1 Abstract( The following paper examines how the use of metaphors and prototypes influencetheunderstandingoftheabstractmathematicalconceptsubtractionin children.wehaveidentifiedthetripartitionofthemetaphors:thestructural,the exploratoryandtheontologicalfromourobservationsoftwofirstgradeclasses and in the written material from the same grade level. Furthermore we have foundwhichprototypesoccurinthewrittenmaterialandtheteaching.wehave usedthetheoriesofgardnerandpiaget,todeterminewhichpreconditionsthe students have for understanding the metaphors and prototypes used by the teacherintheteachinginthelessons.fromthiswehavebeenabletoconclude that the metaphors and prototypes are used frequently. The children are on a levelofdevelopmentthat,accordingtopiaget,makesthemabletounderstand these. Finally we have chosen to put our paper in to perspective of other metaphorical theorists and other kinds of development psychology and in addition to this a justification for more research and scientific work has been found. Indholdsfortegnelse( ABSTRACT...1 INDLEDNING...4 MOTIVATION...5 PROBLEMFELT...6 PROBLEMFORMULERING...7 METODE...7 REDEGØRELSE...10 METAFORTEORI...11 Lakoff&og&Johnson&...&11 Lakoff&og&Núñez&...&19 PROTOTYPETEORI...26 Kategorisering&...&26 Den&klassiske&teori&...&28 Det&basale&niveau&...&29 Klyngeteorien&...&31 Prototypeteorien&...&33 Derfor&prototyper&i&indlæringen&...&35 JEANPIAGET...36 De&fire&stadier&...&37 Akkommodation&og&assimilation&...&40 HOWARDGARDNER...41 Definition&af&intelligens&...&41 Den&lingvistiske&intelligens&...&43 Den&musiske&intelligens&...&44 Den&logiskLmatematiske&intelligens&...&45 Den&visueltLrumlige&intelligens&...&47 Den&kropsligtLkinæstetiske&intelligens&...&48 De&sociale&intelligenser&...&49 DELKONKLUSION...50 ANALYSE...51 ONTOLOGISKEMETAFORER...52 Observationer&...&52 Undervisningsmateriale&...&63 STRUKTURELLEMETAFORER...69 Observationer&...&69 Undervisningsmateriale&...&73 ORIENTERINGSMETAFORER...74 Observationer&...&74 Undervisningsmateriale&...&78 DELKONKLUSION...80 DISKUSSION...82 HVORFORFUNGERERMETAFORERIUNDERVISNINGEN?...82 KRITIK...85 KONKLUSION...88 PERSPEKTIVERING...90 LITTERATURLISTE

2 BØGER...96 ARTIKLER...98 INTERNETKILDE...98 BILAG KATRINEDALSSKOLE...99 Observation&1&...&99 Observation&2&...&102 Observation&3&...&102 BILAG HIMMELEVSKOLE Observation&1&...&104 Observation&2&...&107 Observation&3&...&108 BILAG TRANSSKRIPTIONAFINTERVIEWMEDLÆRERMORTENCHRISTIANHANSEN ( Indledning( Hvisdunuhartiappelsiner,ogsågiverdudetretilAnders.Hvormangehardu så tilbage? seks nej,duhar;1,2,3,4,5,6,7 Neej,fordenhererrådden Denneordvekslingkendervialle.DeterNanafradenpopulærebørneserie,der siddersammenmedsinfarogskallæreatlaveminus.menhvaderdet,dergår galt?deterjoletnokatse,nårmanhartiappelsiner,ogfjernertre,atderersyv tilbage.menmåskeerdetikkeheltsånemt,hvisman,sominanastilfælde,ikke forstårsituationenheltkonkret.såerderjoligepludselig,enheltmassetingder spillerind,somf.eks.omappelsinenerråddenellerommanharlysttilatgive3 appelsinertilandersellerbeate.forandersersød,menbeatehargivetnanaet æble,såhunfortjenerdaogsåatfåetparappelsiner.menegentligharhunogså væretlidtirriterende,såmåskeskalhunikkehavenogenalligevel?deterdetvi vil belyse i den følgende rapport. Vi vil lave en gennemgang af teori om metaforer,hvaddeer,hvordandefungerertilatstrukturerevoreshverdagog hvordandekanbrugesimatematikundervisning,tilatgøreabstraktebegreber forståelige. Hvorfor forstår Nana ikke, at der er syv appelsiner tilbage? Vi vil kigge på prototypers indvirkning på metaforer. Vi vil også se på kognitionspsykologi, for at se hvordan børn forstår verden, og dermed også metaforer. Så når projektrapporten er læst, kan vi alle blive enige om at der er syv appelsiner...medmindreenafdemerrådden. 3 4

3 Motivation( Ved overvejelsen af, hvad vores projektrapport skulle omhandle, var vi alle interesserede i metaforer og den ekstensive brug af dem i daglig kommunikation.dabrugenersåudbredtogtilstedeistortsetalleområderaf sproget, fandt vi emnet relevant og derfor interessant at undersøge. Gennem diskussioner kom vi frem til at vinkle undersøgelsen på matematik i indskolingen, da det abstrakte element i matematikken øger nødvendigheden forbrugenafmetaforer.davigtighedenafmatematiskforståelsespillerenstor rolle i skolesystemet såvel som i samfundet i sin helhed, mente vi, at det var interessant at undersøge, hvorvidt brugen af metaforer og prototyper har indflydelsepåindlæringen.vifikideenatundersøge,ombestemteeleverville blivetabtiundervisningenvedbrugenafmetaforer.dennevinkelgikvivækfra igen,davigennemobservationerkunnekonstatere,atderumiddelbartikkevar mange elever, der ikke forstod metaforerne. Dette ville også være svært at observereogpåviseiløbetafsåkorttidsrum. Vivalgteatrettefokusmoddebasaleregnearter,dadettestofvarletatgåtilog analysere uden et dybere studie i matematik. For at foretage en dybere analyse, udover metaforanalysen, af vores observationer, satte vi os ind i kognitiv udviklingspsykologi, hvilket gav os mulighed for at vurdere eleverne ift. teorierne om det udviklingsstadie de befindersigpå.motivationenforprojektetbunderienundrenover,hvordanog hvorfordissemangemetaforerogprototyperbrugesiindlæringenafdebasale regnearteradditionogsubtraktion.ogikkemindsthvaddegørforforståelsenaf deabstrakteelementeridissebegreber. Problemfelt( VistiftedebekendtskabmedGeorgeLakoffogMarkJohnsonsbog Hverdagens Metaforer, som er et centralt værk inden for metaforteori. Her hævdes det indledningsvist, at metaforer spiller en dominerende rolle i al menneskelig kommunikation. Udfradenpåstanddiskuteredevimetaforersrolleibørnsindlæring.Vivaraf den opfattelse, at de såkaldt bindende metaforer var hyppigt brugte i læringssituationeniindskolingen,ogatdettegaveleverneenbedreforståelse.i lyset af Howard Gardners teori om de syv intelligenser rejste spørgsmålet sig om, hvorvidt den hyppige brug af metaforer kunne vanskeliggøre indlæringen hoselevermedsvaghederibestemteintelligenser. Med udgangspunkt i Lakoff og Johnsons metaforteori vi forskellige indgangsvinkler,ogblevhurtigtenigeomatafgrænsevoresopgavetilathave fokus på metaforgbrug i matematikundervisning i 1. klasse. Yderligere vil vi kommeindpåcarolynb.mervisogeleanorrosch teoriomkategoriseringog herunder prototyper for at undersøge metaforen og det gode eksempels vigtighed i forhold til indlæring. Vi valgte at have fokus på matematikundervisningen grundet fagets abstrakte indhold, hvilket ofte ville medføre en konkretisering i form af metaforer. Dette valgte vi at undersøge i 1. klasse, idet eleverne her første gang stifter bekendtskab med addition og subtraktion. Vi forestillede os, at nye abstrakte systemerbedstvilleblivetillærtgennemkonkretisering. Vivilanalyseretreforskelligelærebogssystemer,hvorviharfokuspåmetaforg brugen. Derudover vil vi kigge på udviklingspsykologien, bl.a. Jean Piagets udviklingsfaser,foratse,hvilkeforudsætningerbørnegentligharforatforstå 5 6

4 dissemetaforernårdeerialderen7g9år.gardnersteoriomdesyvintelligenser frabogenframes&of&mind,introduceredeennymådeatanskueforskelligeelever på.ifølgegardnerlærerbørnpåforskelligemåderaltefter,hvilkenintelligens derermestudviklet,ogdettemenervikanproblematisereindlæringen,særligt med den hyppige brug af metaforer i undervisningen. For at kunne vurdere, hvorvidtintelligenserogmetaforerpassersammenpåforskelligemåder,harvi taget udgangspunkt i en metaforteori af Lakoff og Johnson, samt yderligere metaforteori af George Lakoff og Rafael E. Núñez og udviklingspsykologi af GardnerogPiaget. Matematikeretfag,hvormangeafbegreberneermegetabstrakteogderforer metaforer og prototyper ofte tilstede her. Dette leder os frem til problemformuleringen. Problemformulering( Hvilken rolle spiller metaforer og prototyper i matematikundervisningen i indskolingenmedsærligtfokuspå1.klasse?oghvordanmedvirkermetaforerog prototyper til elevernes forståelse af regnearten subtraktion, samt hvilke kognitiveforudsætningerharelevernefordette. Metode( Vi valgte i vores projekt at observere to 1. klasser gennem tre lektioner i matematikundervisningen.dennemetodeblevvalgt,daviønskedeatse,hvilke forståelsesspørgsmål børnene stillede til eventuelle metaforer. På den måde kunneviogsåse,hvorbørnenerentudviklingspsykologiskeriforholdtilpiaget oggardnersteorier.samtidigvardetmuligtatobserverederesnaturligeadfærd og ageren i forhold til underviseren og dennes brug af metaforer. Derudover ville vi se, hvilke forskelle der er på det skrevne undervisningsmateriale i forholdtildettalteiundervisningenmedhenblikpåmetaforer.detskyldtes,at vihavdeenforventningom,atdervillefindesfleremetaforeridettalteendidet skrevne, da sidstnævnte mest af alt består af billeder. Afsammegrundfandtvidetrelevantatinterviewedenenelærerombrugenaf metaforer i henholdsvis det skrevne og det talte. Derudover for at høre hans oplevelseaf børnenes forskellige intelligenser (jf. Gardner), men også det rent udviklingspsykologiskeiforholdtilderesforståelseafmetaforer. I projektet benyttes vores observationer, som den primære empiri. Vi konstaterede,atdetvæsentligeforbesvarelsenafprojektetlåiselveanalysenaf, hvordan metaforerne bliver brugt. Ved at observere selve undervisningssituationen,kunnevise,hvordanmetaforernefungeredemellem lærerogelev. Det kan, i forhold til vores projekt, være svært udelukkende at finde svar i et interview med en lærer, da denne måske ikke engang ved, at han/hun bruger metaforerne i undervisningen. Ved at lave observationer kunne vi uden at påvirkesituationenformeget,trædeindiundervisningenogsehvilkemetaforer derforekom. Vi har valgt at benytte os af den metode, der kaldes deltagerobservation. På denne måde kunne vi observere den normale adfærd uden at manipulere situationen. Dvs. uden at ændre på undervisningen for at fremtvinge en forventetreaktion.vigåraltsåikkeindogprøverenteoriafdirektepåbørnene, mensidderpassiveogfølgersituationen.dettegørvi,daviikkeeristandtilat deltagepåsammeniveausombørnene,daviikkeharsammeerkendelsesniveau (Pedersen,Klitmøller,Nielsen,2012,s17g20). 7 8

5 Da det ved deltagerobservationer kan være svært at forholde sig objektive, valgte vi at lave videooptagelser af undervisningen. Desuden havde vi flere aspekter,viskullehavefokuspåiundervisningen.visåpåudviklingspsykologi, metaforerogprototyperiundervisningenogbørnenesforskelligeintelligenser. Ved videooptagelse kan man få en distance til situationen og give sig tid til at analyseredetordentligtiforholdtilvoresteorier. Derudover har vi lavet en fokuseret partiel transskription af videomaterialet. Det har vi gjort, fordi vi har valgt at fremhæve de citater og dele af undervisningen, som er relevant ud fra vores teorier. Vi mente ikke, det var relevantatsepåstemningsbeskrivelserogsåvidere.voresfokusharderimod væretpådeførnævnteteorierafgardner,piaget,lakoffogjohnson,lakoffog NúñezsamtMervisogRosch. Vi observerede to forskellige 1. klassers matematikundervisning af i alt tre undervisningsgangehver.klassetrinnetervalgtpåbaggrundafvoresfokuspå matematik i indskolingen. Her fandt vi, at man i første klasse lærer om subtraktion og addition. Vi mente, at der i denne læringsproces ville opstå metaforer i forklaringen af disse matematiske begreber. Netopfordivihavdeenforestillingom,atlæringsprocessen 1 medførerstorbrug afmetaforer,mentevi,atdetvilleværehensigtsmæssigtatseelevernebegynde påetnytemne.timingenmedopstartpåsubtraktionidenene1.klassekunne derforikkehaveværetmegetbedre. Grunden til at vi valgte tre undervisningsgange i hver klasse var, at vi blot ønskede at danne os et billede af undervisningssituationen. Vi fandt, at selve læringsprocessen ville være forholdsvis kort. Da vi mener, at det er i 1 Med læringsproces mener vi den periode, hvor læreren introducerer emnet for eleverne. læringsprocessenatbrugenafmetaforererstørst,villebrugenmindskesitakt med læringsprocessens afslutning. Idetvoresfokusliggerpåbrugenafmetaforerindenforsubtraktionogaddition, var muligheden for længere observationer heller ikke til stede. Klasserne rykkedevideretilnyeemneralleredeefteromkringtoundervisningsgange. Vi vil i analyseafsnittet starte med at foretage en metaforanalyse på vores empiri.dettegørvivedatinddeledefundnemetaforerefterlakoffogjohnsons metafortyper. Disse eksempler analyserer vi ved hjælp af den gennemgåede metaforteori,prototypeteori,samtgardnerogpiagetsteorier.herfravilvisepå, hvilkemønstreellergentagelserdererfordeforskelligemetafortyper,samtom derfindesenforskelpådetskrevnematerialeogdettalteiundervisningen. InterviewetmedlærerenMortenChristianHansenfraKatrinedalsSkoleharvi først transskriberet. Det har vi gjort ved hjælp af Dansk Standard 2, udvidet version (Steensig, 2005: 182). Denne metode fandt vi mest hensigtsmæssigt i forholdtilvoresbrugafinterviewet,davipådenmådekanfåfleredetaljermed fra Mortens ytringer. Det betød, at vi kunne danne os et overblik over interviewets forløb. Vi kunne se, om Morten blev afbrudt, holdt lange tøvende pauser, var ironisk eller lagde særligt tryk på bestemte ord i sine udtalelser. Dettegavetmerenuanceretbilledeafinterviewetogudtalelserneendvihavde fåetblotvedathiveenkeltecitaterudogbrugtdemivoresprojekt. Redegørelse( I det følgende vil der blive gjort rede for de ovennævnte teorier. Da vores projekttagerudgangspunktimetaforerogprototyper,vilvibegyndemedlakoff ogjohnson,derefterlakoffognunes,såmervisogroschogslutteligtfordeto udviklingspsykologisketeorierafgardnerogpiaget. 9 10

6 Metaforteori( Lakoff(og(Johnson( Umiddelbartskullemantro,atmetaforerkunernoget,derfinderstedipoetiske ogretoriskesammenhænge.detteerdogikketilfældet.metaforerernemligen stor del af vores hverdag, men som Lakoff og Johnson (1980/2002) har dokumenteret,findesdeivoreshandlingerogtankerogdeoptræderiheleden mådeviopfatterhinandenogverdenpå.mankansige,atmetaforerersprogtil atbeskrivesprog,dametaforerfungerersometredskabtilatskabeforståelse fornoget,derstårsomabstraktforos. Metaforensvæsentligsteegenskaberat den lader os forstå og opleve én slags ting ved hjælp af en anden &(Lakoff og Johnson,1980/2002:15).Dervedblivermetaforeressentielleisituationer,hvor manbliverpræsenteretfornogetnyt.detkanf.eks.væreenindlæringssituation. Her bruges metaforer ved, at man har et nyt abstrakt begreb man ønsker at forstå.manbrugerderforetkonkretbegrebsommanalleredeharkendskabtil, og laver afbildninger af det abstrakte ved hjælp af det konkrete. Derved tager manaltsåetabstraktfænomenogsætterdetindietbegrebssystem,somman harenmerekonkretforståelseaf. Metaforenes*Tredeling* LakoffogJohnsonlaverentredelingafmetaforer;strukturelle,orienteringsgog ontologiskemetaforer.devilherblivegennemgåetenforen,oghvertafsnitvil afsluttesafeteksempelviharfundeti1.klassesmatematikmateriale. Strukturelle(metaforer( Metaforernes funktion er at hjælpe os til at forstå et begreb ved hjælp af et andet. Det kendetegnene ved strukturelle metaforer er, at der dannes en struktur ud fra en allerede erfaret forståelse af en handling, hvoraf denne forståelse afleder en ny forståelse af det abstrakte begreb (Lakoff & Johnson, 1980/2002: 75). Vi drager hele tiden paralleller til hverdagen, og derfor kan man også sige, at metaforer i sin helhed spiller en stor rolle i vores sprog og tanker. I og med at vores brug af metaforer afspejler vores erfaringer fra hverdagen,spillerkulturogsåenrolleher.voresmetaforiskestruktureringafet begrebbyggerihøjgradpå,atviharnogleegenskabersomvitrækkerudafdet konkretebegrebogpåførerdetabstrakte.dissemetaforiskeafbildninger,mener vi,trækkerenfølgeslutningmedsigoverpådetabstraktedomæne.sånårviser subtraktionsomnegativt,bunderdetihøjgradisubtraktioneratfjerne. Vislutterudfravoreserfaring,atdeternegativtatfjerne,dadetopfattessomet tab.kulturenerderforaltafgørendefor,hvordan/hvorforvibegrebsliggørdisse handlinger som vi gør, da vi agerer afhængigt af dem (Lakoff & Johnson, 1980/2002:16g19).Nårvimøderenstrukturelmetafor,erdetaltsånødvendigt, atvihareterfaringsmæssigtgrundlagforatkunneforstå,hvilkeaspektervedet begreb,dererfordelagtigeatbrugeiensforståelsesproces. Nårviforstårnogetvha.enmetafor,skabesderfølgeslutninger.Detvilsigede egenskabermantrækkerfradetkonkretedomæne,ogbrugertilatbeskrivedet abstraktedomæne(lakoffogjohnson,1980/2002:19).dissefølgeslutningerog deresimplikationerformetaforervilvisenerebeskrivenærmere. Nårvibrugerenstrukturelmetafor,erdetkunetaspektafetbegrebvibruger. Det betyder, at vi kan bruge en metafor til at fremhæve et aspekt, ved det abstraktevisøgeratafdække.nårvibrugerenmetafor,vilvibliveafholdtfraat fokusere på de aspekter ved begrebet, der ikke er forenelige med metaforen. Dervedkanderogsåskjulesaspekterafbegrebetikraftaf,atdetbliverforkastet pga. metaforens begrænsninger (Lakoff og Johnson, 1980/2002: 20). Det er derfor vigtigt at forstå, at når et begreb er metaforisk konstrueret, sker dette kundelvist.hvisdetvartotalt,villebegrebetikkeblotbliveforklaretikraftafet 11 12

7 andet. Det ville være det andet. Derudoverkanmansige,atmetaforererafhængigeafengivenkontekst,ellers kandeforekommeuforståelige.mankandervedkonkludere,atdissemetaforer kunerdelviststrukturelle,daderernoglekravderskalopfyldesiformafkultur ogkontekst(lakoff&johnson,1980/2002:22g23). Eksempel: BEREGNINGER#EN#INDKØBSSITUATION Jeg$bruger$tal$som$penge,$jeg$betaler'med.% Hvor%mange%penge%har$jegtilbage? Jeg$har$X$så$mister'jeg$Y. Dette er nogle eksempel på strukturelle metaforer, da vi ser, hvorledes den strukturelleopbygningafbegrebetindkøbssituationbrugestilatstruktureredet abstraktebegrebatsubtrahere,datalernogetmankanmiste,haveogbruge. Orienteringsmetaforer( Hvorenstrukturelmetaforbrugerétbegrebtilatstrukturereetandet,bruges enorienteringsmetafortilatorganisereetsystemafbegreber,derståriforhold til hinanden. Derved giver man altså ved hjælp af orienteringsmetaforer et begreb en rumlig orientering. Orienteringsmetaforerne er på den måde afhængigeafrum.deterbegrebersom:opgned,fremgtilbage,udgindosv.disse metaforeropererermed.mankanderforsige,atdeterforholdetaferfaringer mellemrummetogdenfysiskekrop,dererdetafgørendefor,hvordanviagerer i vores omgivelser (Lakoff & Johnson, 1980/2002: 24). Metaforerne opstår ud fraetfysiskgrundlag.detervoresfysiskeogkulturelleopfattelseafverden,der bliversatienkontekst,hvormetaforenekanforstås.dettemedfører,atvif.eks. fårmetaforenmereerop;mindreerned.detkommertiludtrykved...hvis dutilsættermereafetstofelleretstørreantalfysiskegenstandetilenbeholder, såstigerniveauet,ellerbunkenbliverhøjere. (LakoffogJohnson,1980/2002: 26).Detteeretaspekt,visenerevilfremhæve,nårviskalsepå,hvordandethar effektpådenmådevifårforståelsefortalsstørrelse.derskalibrugenafdisse metaforersomsagtogsåtageshøjdeforkulturelleforskelle(lakoff&johnson, 1980/2002:27).IvoreskulturerMEREERGODT,hvordetiandrekulturerer MINDREERGODT.Dettekommerforeksempeltiludtrykiforholdtilmaterielle goder.ienvestligforbrugerkulturkanmetaforenværegældende,menienmere asketisk kultur, vil metaforen få en anden betydning (Lakoff & Johnson, 1980/2002: 34). Her kan man se, at metaforen er afhængig af konteksten. Begrebet OP har én betydning, men brugen af ordet i forskellige metaforiske sammenhænge kan give forskellige betydninger. Det vil sige, at det er vores forskellige erfaringer med vertikalitet, der styrer hvordan vi bruger OP metaforisk(lakoff&johnson,1980/2002:30).mankanderforkonkludere,at forståelsenafsådannemetaforererafhængigeafdeterfaringsgrundlagmanhar, hvilketkonkretvilsige,at: Deterfaringsmæssigegrundlagspillerenvigtigrolle iforståelsenafmangemetaforerderikkepassersammen,fordideerbaseretpå forskelligeerfaringer (Lakoff&Johnson,1980/2002:31).Detmåderforvære nødvendigt,foratenmetaforkanfungeresomenvirkendeoverførselaftanker fra en person til en anden, at der er en vis grad af erfaringsmæssig overensstemmelseellertilpasning. Metaforer bruges ofte mellem folk, og der er derfor behov for en fælles forståelseafmetaforen.dennefællesforståelsekanbl.a.kommetiludtrykved denkulturellelighedmellemmennesker. Eksempel: TALRÆKKEN$ER$ET$ENDIMENSIONELT*RUM Jeg$går$op$tildet$større&tal& 13 14

8 Jeg$tæller$baglæns& Jeg$starter$ved$nul$på$talrækken$og$hopper&op&til&tallet%fem Grundentilatdisseerorienteringsmetaforer,er,atdererenrumligorientering. Nårviforstårtalrækkensomenlinjevikanbevægeospå,medførerdetogså,at dererenforståelseaf,atnogetliggerentenienop/nedellerfrem/tilbage relation.dettelederogsåfremtil,atvivha.metaforenkanforståmereerop. Dervedforstås, atnårviharet tal, dermetaforiskerstørre,såerdetogsåen bevægelseopadtalrækken. Ontologiske(metaforer( Mens orienteringsmetaforer bygger på erfaringer med verden, bygger ontologiskemetaforerpåvoreserfaringermedfysiskeobjekteroggenstandei verden.manskalgennembrugenafdennemetaforskabeenentitet.detvilsige atmanskaberdenabstraktegenstandsomnogetkonkretsommangennemen forståelsekanhandleudfra.dervedgøresdetmuligtatreferere,kategorisere, gruppereogkvantificeredem.detbliversåledesmuligtatidentificereetenkelt aspektveddetabstraktedomænevha.denkonkreteentitet.dettebrugesbl.a.til at kunne forstå en given handling. Når vi får en mulighed for at referere, identificereogkvantificerenogetabstraktsomnogetkonkretforstået,giverdet en mulighed for at prøve at udvælge, hvilken handling eller forståelse noget abstrakt lægger op til. Metaforen skaber vores forståelse af det abstrakte og giverenmetodetilatopfattedet.eteksempelermetaforenberegningerer ENMASKINELPROCES.Denkommertiludtrykgennemfølgende:ettalkommer indienmaskineoggennemgårenproces,somgør,atderkommeretnyttalud på den anden side. Derved ses regnestykket som en række af handlinger, der skal udføres, hvor metaforen hjælper til, at man opfatter hvert aspekt som en enkeltdel i en samlebåndsrække, og dermed styres tilgangen til metaforen. De ontologiske metaforer er ofte en så integreret del af vores modeller på abstraktegenstande,atviopfatterdemsomnaturlige,selvindlysendeogdirekte beskrivelserafmentalefænomener(lakoffogjohnson,1980/2002:36g42). Enyderligereuddybelseafontologiskemetaforererpersonifikation,hvorman giverikkeglevendegenstandemenneskeligeegenskaber.herigennemfinderman altsåmeningenafenhandlingudframenneskeligeerfaringer(lakoff&johnson, 1980/2002: 45g46). Det betyder, at den genstand man bruger som erfaringsgrundlagerkroppenogdefølelsermantillæggerdenne.derved er [Personifikation]enoverordnetkategorisomdækkeretmegetbredtspektrum afmetaforerderhverudvælgerforskelligeaspektervedenpersonellermåder at se på en person (Lakoff og Johnson, 1980/2002: 46). Derfor forstår man ikkegmenneskelige entiteter vha. menneskelige motiver, kendetegn eller aktiviteter, hvorfor der kan opstå projisering af vores egne følelser over på objekter. Dette er noget vi vil berøre, når vi gennemgår Piaget og hans udviklingsstadier(lakoffogjohnson,1980/2002:45). Eksempel: ET#TAL#ER#ET#ÆBLE Jeg$deler%tallet Jeg$harto,$og$fåret Jeg$har$tre,%et%bliver'spist."Hvor"mange"harjeg$tilbage? Dette$erontologiskemetaforer,"da"der"er"tale"om,"at"vi"tager"egenskaberne"ved" en#ting#vi#kender#og#bruger#dem#til#at#forstå#en#abstrakt'ting,"vi"ikke"kender."altså" kan$æbletdeles,&det&samme&kan&tallet.& 15 16

9 Beholdermetaforer, LakoffogJohnsonpræsentererensubkategoritildeontologiskemetaforer,som de kalder beholdermetaforer. Dette er metaforer, der opstår ved at man laver afgrænsninger,someropståetpåbaggrundafvoresopfattelseafosselv,somet afgrænset individ, og dette projiceres over på den mødte verden. Beholdermetaforer har en bestemt afgrænset størrelse og kan derfor kvantificeres,daafgrænsningenbetyder,atmankanbestemmemængdeninden for afgrænsningen. En beholdermetafor kan være f.eks. KLASSEN ER EN BEHOLDER.Dettekommertiludtrykiudsagnsom dervarroi&klassen og de gik ud&af&klassen. Derved skabes en forståelse på baggrund af erfaringer med beholdere og genstande i beholdere (1980/2002: 40g44). Lakoff og Johnson deler beholdermetaforen op i beholdergenstand og beholdersubstans. Beholdergenstanden rummer beholdersubstansen, som kan kvantificeres. Det vilsigedenkandelesopientiteter. Eksempel: TAL$ER$EN$BEHOLDER Tallet&fem&indeholder)fem$enkeltdele Fem$går$op#itallet%ti Selve%tallet%femfungerer'som'BEHOLDERGENSTAND,"hvor"de"fem"enkeltdele$er$ BEHOLDERSUBSTANSEN'i'tallet'fem.Derved&opstår&også&muligheden&for,at#man# kan$se$to$beholdere$med$substansen&fem,&som&derved&gårop#i#tallet#ti.#derved# skaber'beholdermetaforen'en'mulighed'for'at'skabe'en'strategi'for,hvordan(man( dividerer. Følgeslutninger* Følgeslutningerbyggerpåetsystemafudtrykformetaforiskebegreber(Lakoff &Johnson,1980/2002:19).Følgeslutningerhartilopgaveatuddybeforståelsen af metaforen. Dette sker ved, at følgeslutninger fungerer som fællesnævner mellem to domæner det abstrakte og konkrete domæne. Det er herigennem sammensmeltningenmellemdissetoenhederfindersted.følgeslutningerligger sometimplicitelementimetaforen.deteroftenoget,derfølgervoresintuition og ofte foregår på et meget basalt niveau. Følgeslutningerne lægger sig til de metaforiskeafbildninger,somerdetvalgafaspekterveddetkonkretedomæne, som man mener er brugbare for at belyse det abstrakte. Når man udvælger afbildninger kan man ikke undgå også at overføre ladninger fra disse. Så når man bruger metaforen SUBTRAKTION ER EN INDKØBSSITUATION, vil man automatisk også overføre ladningen af, at det er negativt at miste penge, og derfor også tal. Så vores strukturering af begrebet subtraktion bliver farvet af vores strukturering af begrebet indkøbssituation, og vores valg af hvilke aspekterafdettedomæneviudvælgertilatbelysedetabstraktedomæne.når Lakoff og Johnson argumenterer for, at vores hverdag er struktureret gennem metaforer, spiller det sammen med, at Stjernfelt og Hendricks, der også har beskrevetmetaforer,påpegerat metaforen ( ) afbilder bundter af mulige logiske slutninger fra kildegtilmålområde,indebærer,atmetaforenmegetofte mereeller mindreureflekteret brugestilattænkei (StjernfeltogHendricks, 2007:206). De påpeger her vigtigheden af at analysere de slutninger, der følger med en metafor, da de er en væsentlig del af den metaforiske strukturering. Etvigtigtaspektvedfølgeslutningerer,atdevariable.Dettekommertiludtryk ved, at den ladning man tillægger de metaforiske afbildninger vil variere alt efter,hvemderpåførerdemellerihvilkenkulturdebliverytret.detsesher,at følgeslutninger er kontekstafhængige, og som vi tidligere påpegede er metaforen,mereergodt,ikkenødvendigvisdenudledningsomdannesialle 17 18

10 kulturer. Den asketiske munk mener noget andet end den forbrugende vesterlænding. Eksempelpåenmetaformedfølgeslutninger: Mekaniskproces Atstartemaskinen Maskinensinput Maskinensoutputerdårligt/godt Maskinengåristå Beregning Gåigangmedregnestykket Regnestykket Resultateterforkert/rigtigt Udregningenstagnerer Nårviopstillerdennemetafor,servi,hvordanvibrugerkonkreteafbildninger fra den mekaniske proces til at belyse aspekter ved det abstrakte beregningsbegreb. Men der er en del følgeslutninger som vi aflæser i vores struktur.nårviserdetatgåigangmedregnestykketsomatstartemaskinen, danner vi en følgeslutning der lyder, at en beregning kan være tændt eller slukket.detledervideretil,atmaskinenkangåistå,oghvilketfårennegativ følgeslutning,daberegningenskalværeigang,foratvikannåfremtilresultatet. Resultatet ses altså som maskinens output, og man kan argumentere for, hvorvidt en maskine laver et godt eller et dårligt produkt. Altså hvorvidt resultateterrigtigtellerforkert. Lakoff(og(Núñez( Følgendeafsnitgiverenindsigti,hvordanvieristandtilatforståmatematikken. Lakoff og Núñez fremlægger en fysiologisk forklaring på, hvorfor brugen af metaforerharrelevansoghvordanviagererudfradem.derudovernævnerde to kategorier, som er behjælpelige til den førnævnte kategorisering af metaforteorienstredeling. De*basale*evner* Matematik og tal er noget som alle ofte bruger i hverdagen, hvad enten det handleromatregnesammen,hvormegetviharkøbtindfornedeidenlokale dagligvarebutikellernårviskallege10,20,30medbørneneisvømmehallen.vi erklarover,atvibrugerdet,mendeterdefærreste,derkanforklarehvordan de gør det. Man ville umiddelbart sige at matematik og talkendskab indlæres, når vi præsenteres for det i børnehaven eller i skolen, men det sker faktisk langt tidligereendpådettetidspunkt.lakoffognúñeznævneriwhere&mathematics& Comes&Frometforsøg,hvordeterpåvist,atbørnheltnedtilfiretilseksdages alderen kan skelne mellem om de ser på to eller tre objekter 2. Derudover nævnesetandetforsøgderviser,atbørnifiremånedersalderenkan se atto minus en er en 3 (Lakoff og Núñez, 2000: 15). Disse forsøg viser, at den mest basale forståelse af tal og mængder ikke udelukkende er noget vi lærer, men nogetderivirkelighedenerenfastbestanddelivoreshjerne.denkundskabde små børn udviste kaldes på engelsk subitizing. Det betyder, at man ved et øjekastkanskelnemellemommanseret,toellertreobjekter.detervigtigtat understrege,atderertaleomobjekterogikketalsomsymboler.mankanaltså ikke udelukkende ved denne evne skelne mellem tallene et, to og tre som symbolerståendepåpapir.subitizingkanladesiggøre,nårdethandleromsmå 2 Ved det første eksperiment satte man børn foran en skærm og viste dem et billede med 1 objekt. Man målte den tid de var opmærksomme på objektet. Derefter viste man dem et billede, hvor der nu var to objekter. Tiden, hvor børnene var opmærksomme på billedet, blev forlænget. Dette blev gentaget med 3 objekter. Det viste, at børnene var opmærksomme på, at der var kommet flere objekter til, og dermed kunne man konkludere, at de måtte have en eller anden forståelse for eller egenskab til at skelne mellem antallet af objekter, i små mængder. Babyer er ikke i stand til at skelne mellem antallet af objekter når man når over 3. ( Lakoff og Núñez,2000,s.15) 3 Ved det andet forsøg brugte man en metode der på engelsk kaldes the violation-of-expectation paradigm. Denne bruges indenfor udviklingspsykologi. Her viste man børnene et dukketeater. Man startede med at have én dukke, herefter blev der holdt et stykke pap op foran dukken. Man viste synligt, at en anden dukke blev puttet ned til den første bag pappet, men fjernede så usynligt dukken igen. Da pappet blev løftet, aflæste man udtrykket fra babyen. Babyerne viste overraskelse. Hermed kunne man konkludere, at barnet havde forventet at der ville være to, men nu var der kun én. (Lakoff og Núñez,2000,s.16) 19 20

11 mængder. Når man kommer op i højere antal, bliver det sværere at skelne mellemf.eks.13eller14objekter.herermannødsagettilattællesammenog havelængeretidtildet.iogmedevnentilatskelnemellemantalletafet,toog tre objekter hører med til en del af hjernen, kan man sige, at egenskaben er uafhængigafmennesketskulturoguddannelsesniveau.mankankonkludere,at deterentidligttilegnetevneatkunneskelnemellemantalletafobjekter(lakoff ognúñez,2000:19). Egenskaberne*i*hjernen* Foratkunneforstå,hvadtaleroghvordandebruges,krævesenvidenom,hvad antallet er og hvordan symbolet for dette antal/tal ser ud og ikke mindst krævesdet,atmanvedhvilketordderbetegnertallet(lakoffognúñez,2000: 23). Dette foregår i den hjernedel, som på engelsk kaldes inferior parietal cortex (IPC).Detteerdenhjernedel,hvorforståelsenforsproget,matematikken og kroppen hører til. I Where& Mathematics& Comes& From& beskriver Lakoff og NúñezetforsøglavetafStanislasDehaene.Foratfindeudaf,hvaddeterder heltpræcistskeridennehjernedel,undersøgtehanenpatient,derhavdefået læsionerpåipc.patientenkunneikkelavefølgeraftal,menkunafbogstaver. Derudover kunne han gangetabeller og andet der havde med udenadslære at gøre. 4 Dehaenekunnedermedskabeetbevisfor,atevnentilatsættetalifølger ogalmenregningerplaceretiipc,mensdenbasaleudenadslæreerplaceretien andendelafhjernennemlig,påengelskkaldet basalganglia (LakoffogNúñez, 2000:23g25). 4 Manbadpatientenomatfortælle,hvilkettalderkomimellem1og3,ogdettekunnehanikkesvarepå,men hankunnegodtplacerebogstavetbindimellemaogc.hankunneogsågengivegangetabellerne,menhankunne ikkefortællehvorforellerhvordanhanskulleværekommetfremtilat3gange9er27.hansgrundlæggende hukommelseogudenadslærevaraltsåikkeblevetbeskadiget,dadetteerplaceretienandendelafhjernen. Detteeksperimentvarmedtilatunderstregeteorienom,at theinferiorparietalcortex styredeevnentilat regneogtilatindsættetalisekvenser.(lakoffognúñez,2000,s23) LakoffogNuñezforklarervidere,atIPCervigtigforforståelsenafmatematik, grundetdensplaceringihjernen,hvornerveforbindelserneforhørelsen,synet ogfølesansenersamlet.disseerallesanservibruger,nårviarbejdermedtalog regning. IPC har adgang til styringen og forståelsen af tal, højre og venstre, skrivning og ikke mindst fingrene. Lakoff og Núñez konkluderer, at dette kan haveensammenhængmeddenmådemangebørnvælgerattællepå.debruger ofte fingrene, når de skal tælle, trække fra eller lægge tal sammen (Lakoff og Núñez,2000:24).LakoffogNúñezmener,atdetteerenbetydeliggrundtil,at mangeoftevælgerfingrenesomprototyperfortal,nårdeskaludregnenoget. 5 Detvikankonkludereer,atIPCharadgangtilalmenregningogtalsekvenser(to gange tre), men har ikke noget at gøre med den algebraiske forståelse handlingen(agangeb).hellerikkedengrundlæggendematematiksomliggeri hukommelsenogudenadslærenf.eks.gangetabeller.iipcharmanaltsåevnen tilatregnemedobjekter(lakoffognúñez,2000:23). Matematikkanværeensværtingatforstå.Detkanværesværtatlæredet,men deterogsåsværtatforstå,hvorfordetoverhovedetkanladesiggøreatlæredet. Matematikkundskabliggersådybtivoreshjerne,ognårviudøvermatematik,er vi ikke bevidste om, hvad det er vi i virkeligheden foretager os. Vi laver følgeslutningerudenegentligatvide,hvordanvikommerfremtildisse. Man har nogle basale mekanismer i hjernen. Her kan nævnes vores rumforståelse som vi bruger, når vi roterer objekter, og evnen til at kunne skelne mellem antal af objekter, altså subitizing, som tidligere beskrevet. Men dissetoevnerkanikkealenehjælpeostilforståelsenafmatematik. 5Dererendnuikkelavetetbevisforatvalgetaffingresomprototyperersammenhængendemedplaceringenaf IPCihjernen.DetteerderforkunenkonklusionlavetafLakoffogNúñezogikkegruppenselv.Vimenerdet derimoderensammenhængmellemvalgetaffingresomprototyperforf.eks.tal.detkanderforogsåforklares udfraetprototypisksynspunkt

12 Hjernen*og*det*abstrakte* Deterblandtandethermetaforerkommerindibilledet.Disseerikketilfældige, menderimodsystematiskbundetnårviforstårdem.viharerfaringerfravores barndom,somvisenerehenbruger,nårviforstårmetaforer.hengivenhedses somfysiskvarmeogdetmodsattesessomkuldef.eks. Jeghavdevarmefølelser forham.ligesådankanlighedsessomfysisktæthedf.eks. resultaternelåikke langtfrahinanden (LakoffogNúñez,2000:41). Derersomtidligerebeskrevetimetaforteorienetkonkretdomæne,etabstrakt domæneogudfradissekanmanudledeenfølgeslutning. Foratkunneforståhvadderskernårviregner,kanvibrugemetaforenTALER SAMLINGEROBJEKTER. KONKRETDOMÆNE Samlingerafobjekter ABSTRAKTDOMÆNE At fjerne noget fra samlingen Subtraktion " Atlæggeensamlingafobjektertilen anden samling " Tal Addition Følgeslutningerne til denne metafor er, at addition er noget positivt i og med, man i vores kultur ser mere som noget godt. Dermed må det modsat være negativt,atsubtrahere,dadetligeledesernegativtatfåfjernetnogetafdetman alleredehar. De*grundlæggende*og*de*bindende*metaforer* Den metaforiske evne kommer os til hjælp mange gange i matematikken. MetaforernekaninddelesitoforskelligeformerbeskrevetafLakoffogNúñez. De bruger begreberne, grounding metaphors og linking metaphors. Disse metaforerharvioversattil,grundlæggendemetaforerogbindendemetaforer. Detobegrebervilvibrugeivoresanalysesenereiopgaven,ogpådenmådelave en inddeling af de forskellige metaforer i observationerne og det skrevne materiale. Degrundlæggendemetaforererdemestbasaleogoftestanvendte.Detteerbl.a. fordi, der i den form for metaforer gøres brug af vores egne erfaringer fra hverdagentilatforklaredetabstrakteimatematikken.denabstraktehandling, atsubtrahereellertrækketalfrahinanden,kanforklareskonkretved,atman tagerellerfjernertingfraenbunkeellerensamlingafobjekter.dennehandling ernogetvioftegør,ogenddanogetvihargjort,sidenvibegyndteatlegemed legetøj som små børn, og af denne grund er handlingen grundfæstet i os og dermedetgodtkonkretdomæneatbruge.metaforerafdenneslagserdermed enkle og kræver ikke en forklaring ved tilførsel af ekstra elementer i form af f.eks.prototyper.ensimpelmetaforkunnevære atlæggetalsammen forat addereellerat trækketalfrahinanden foratsubtrahere. Denandenslagsmetaforererdebindendemetaforer.Disseerrelevante,dade ermedtilatbindedeabstraktematematiskeideersammenmednogetkonkret, somvoresrumligeforståelse.herkanmansomeksempelsepåenrækketal.de dannerentalrække,somviidetmetaforiskeuniverskan hoppepå eller gå på når vi tæller (Lakoff og Núñez, 2000: 53). Netop denne ide om talrækken opstårofte,nårbørnskallæreenmådeattællepå.debrugerrækkenaftaltil f.eks.attællefremellertilbage.iogmeddeternogetdefysiskkankiggepåog ikkebareentalrækkeidereshoved,gørdetdenmatematiskehandlingbetydelig lettere at forstå. Dermed har man tilføjet et element i form af talrækken og 23 24

13 denne linker den matematiske idé sammen med selve forståelsen af det abstrakte.idetdereretelementmereendidegrundlæggendemetaforer,kan disseværeensmulemerekompliceredeatforstå. Den*metaforiske*forståelse* Talerikkeenfysiskstørrelse,menvedhjælpafvoreslogiskesansogvoresevne til at gruppere, kan vi forstå, at når vi lægger en samling af objekter sammen medenandengruppeobjekter,vilgruppenblivestørre.dettekanoverførestil, nårvilæggertalsammen.nårvilæggertosammenmedsyv,vildensamlede enhed blive større. Denne idé kan bruges ved at have metaforen TAL ER SAMLINGER AF OBJEKTER. Følgeslutningerne på denne metafor kan være, at maneristandtilatrykkerundtpådeforskelligetal,ogatmankanrykketallene tilogfradeforskelligesamlingerforpådenmådeatdannenyetal. Et forklaringsproblem man ofte vil stå med, når det kommer til børn og matematik,erforklaringenafnul.hvisvibrugerdenførstemetafordersiger,at TALERSAMLINGERAFOBJEKTER,vilmanståmedetproblemnårmanregner medtalletnul.dadeternul,måmanlogisksige,atderinteter.derforerman nødttilatlaveenenhedsskabendemetafor.detteerenudvidelseafdenførste metafor.manmåidetilfælde,hvornulopstårsigeatdensamling,hvorderintet er,erensamlingisigselv.altsåbliverdentilenenhedisigselv,påtrodsafat deningenobjekterindeholder(lakoffognúñez,2000:64). TAL ER SAMLINGER AF OBJEKTER kan også kaldes for en grundlæggende metafor.deternogetviallestøderpå.hvisvihartoobjekteroglæggerdemi sammegruppe,skaberdissetilsammenetnytobjektellerennystørresamlet enhed.detteopstår,nårviaddererellerlæggertalsammen.vibrugerf.eks.fem ogtretilatskabeotte(lakoffognúñez,2000:65). TALSOMPUNKTERPÅENLINJEerenbindendemetafor,idetdenindføreret ekstraelementiformaflinjenmedpunkterpå.denerrelevantfordetniveauaf matematikviarbejdermed.dennemetaforgiverennemmereforståelseaf,hvad nulognegativetalerfornoget.herkanmansættenulsomstartpunktetoglade linjenfortsætteibeggeender.dermedkanmanbådearbejdemedtalpådenene ogdenandensideafnul.visigerofte, Hvorlangterderfraettaltiletandet? elleratmankantællebaglænsfrati(lakoffognúñez,2000:71). Mangematematiskeregnemetoderkanværesværeatforstå.Omdethandlerom forklaringen af nul eller forklaringen af, hvordan man bruger de helt basale regnearter,såkanmetaforerbrugestilatgøredissebegrebermerekonkreteog forståelige,ikraftafathjernenharnoglefunktioner,dereristandtilatforståog bearbejdedissemetaforer. Prototypeteori( Idetteafsnitvilvibeskrive,hvadprototypereroghvilkekaraktertræk,dehar. Derudovervilviundersøgeihvilkesammenhængedeforekommeroghvordan de fungerer. Derigennem kan vi identificere brugen af dem i vores empiri og hvilkenfunktiondeharidenenkeltemetafor. Enprototypeeretgodtogcentralteksempelpåengivenkategoriafobjekter, begreberellerbegivenheder(mervisogrosch,1981:89).foratkunneredegøre for dette, må vi begynde med at redegøre for, hvordan mennesket naturligt kategoriserer verden. Dette er vigtigt for at komme frem til, hvorfor nogle eksemplerpåkategoriererbedreendandre,oghvordanviidentificererdem. Kategorisering( Mennesket kategoriserer konstant verden og vi lærer, fra vi er ganske nye i denne verden, at kategorisere. Babyer finder hurtigt ud af, hvad der er i 25 26

14 kategorien spiseligt og ikke spiseligt, og de kan skelne forskellige objekter fra hinanden i en tidlig alder. Gennem hele livet trækker vi på erfaringer med forskellige objekter og sætter dem, der har nogen af de samme egenskaber i kategori med hinanden. Objekterne skal kunne relateres til hinanden. Det kan derforsiges,atkategorierikkeertilfældigeoghellerikkedannestilfældigt,men forudsætter at mennesket har haft erfaringer med lignende objekter for at kunnesammenlignedem. IfølgeMervisogRoschgælderdetgenereltset,atmennesketsætterobjekterog begreber,derbliverbehandletellernavngivetens,indikategorier(mervisog Rosch, 1981, 89). Et objekt ses ofte som en materiel genstand så som klementiner, bord, gaffel osv., hvorimod et begreb er noget mere abstrakt, intellektueltogikkegfysisk.detkanf.eks.værerød,kærlighed,beregningmm. Detatkategoriserevoresomverdenhandlerihøjgradogsåomvoreserkendelse af verden, og hvordan det enkelte menneske forstår den. Et eksempel på en kategori kan være figurer som trekanter, firkanter, cirkler osv., der alle falder indunderkategorien,derheddergeometriskefigurer. Kategoriseringen sker på baggrund af tidligere erfaringer og forståelses grundlag.dettekanf.eks.sesikategoriental,hvoret,to,treosv.ereksemplerpå objekterindenforkategorien.iforholdtilformlerogregnereglerblivertallene behandletensogfalderdermedindunderdensammekategori.nårderskrives, at kategorien opstår på baggrund af tidligere erfaringer, forstås der således i detteeksempel,athvisduførstharlærtatbrugeettalienregneregel,kanet hvilket som helst tal erstatte dette tal i regnereglen. F.eks. ved regnereglen subtraktion, hvor en elev skal regne stykket fire minus to, kan tallene altid skiftesud,såderf.eks.istedetstårtreminuset,datallenebliverbehandletensi regnereglen.detteereteksempelpåkategoriental,dahvismanspurgteenelev om,hvaddevillesvare,hvisdeblevspurgtomatgivederesbudpå,hvadtaler, villemanhøjestsandsynligtfånoglesvar,dervistesigatværekonkretetalsom f.eks.et,tre,femosv.ettypisktalerdesudenligesåmeget5somdeter10,hvor eleventrækkerpåsinerfaringmedtalleneforatkunneudføreetregnestykke. Dermedsesderher,atkategorientalopstår. Den(klassiske(teori( Elanor Rosch er kvinden, der fandt på idéen om den klassiske teori. Denne omhandler kategorier, der bliver udgjort af objekternes egenskaber, hvor de ikke er påvirket af den menneskelige erkendelse. Den klassiske teori arbejder nemligmeddenødvendigeogtilstrækkeligebetingelser.dettebetyderiforhold til teorien, at enten er noget viden eller også er det ikke. Hvis vi f.eks. tager udgangspunkt i en trekant gælder der for denne, at en trekant er en trekant netopnårdennebeståraftrelinjer,derparvistmødesitreforskelligepunkter forendenafhverlinje.detteerdenødvendigeogtilstrækkeligebetingelserfor entrekant.imidlertidopstårderdetproblem,atenhvilkensomhelsttrekanter ligesågodsomenandenunderkategorientrekanter.dettekangørestydeligt veddennetegning: Tegning 1 er således et lige så godt eksempel på kategorien trekanter som tegning2er.dettemåtagesoptilrevision,ogderformåtegning2ansesatvære etbedreeksempelendtegning1påkategorienda,hvisenpersonblevspurgt om tegning 1 var en trekant, ville reaktionstiden være længere end, hvis 27 28

15 personenfiksammespørgsmålomtegning2.tegning1erikkeentypiskeller ægtetrekant,hvorimodtegning2er. Mankandermedsammenfatte,atenkonsekvensafdenklassisketeorier,atder ikkeerforskelpårepræsentationenafobjekterindenforkategorierne. Det(basale(niveau( De kategorier, der eksisterer på det basale niveau er prototypiske begreber, hvilket vil sige at der er nogle begreber, der er gode indenfor en kategori. De prototypiske eksempler har nogle særlige begreber knyttet til sig. Dette kan eksemplificeresudfrafølgendeeksempel: Hvis vi forestiller os, at vi har en fisk og en hund er disse to hver for sig prototypiskebegreberogkanbliveopstilletpåfølgendemåde. FiskHund GubifiskDalmatiner KlovnfiskFranskbulldog TorskGoldenRetriever Gubifisk, klovnfisk og torsk er underniveauer til begrebet fisk og dalmatiner, fransk bulldog og golden retriever er underniveauer til begrebet hund. Overniveaueterlevendevæsener.Mankandermedsige,atbegrebernefiskog hund er prototypiske begreber på kategorien levende væsener. De særlige prototypiske egenskaber, der knytter sig til disse to begreber er, at der er et hurtigt genkendeligt og mentalt billede, simple stavelser og en høj frekvens af brugafordetfiskellerhundihverdagen. Detbasaleniveaugøropmeddenklassisketeorisforståelseafkategorisering. Det har at gøre med vores dagligdagsbegreber og dagligdagsforståelse af omverden. Mervis og Rosch (1981) argumenterer for, at mennesket ikke kategoriserertilfældigt,menatdetskernaturligtudfraetsætafoverordnede egenskaber,derforekommerienspecielkombination.davikategorisererudfra egenskaber, er det ikke overraskende, at Mervis og Rosch taler om, at når vi kategorisererverden,sågørvidetpåforskelligehierarkiskeniveauer,hvordet basale niveau af kategorisering, er det niveau, der har den største kognitive effekt.dvs.detniveau,hvorviharflestinformationerometobjektsegenskaberi sammenligning med andre objekter. Kategoriernes basale niveau har specielle egenskaber. Egenskaberne har følgende karaktertræk: sammenlignelig sansemotorik, sammenlignelige overordnede geometrier, et mentalt billede, hurtig genkendelighed, spontan navngivning af objekter, brug af ord fra hverdagen og tegn for kategorierne er simple (Jørgensen, n.d.: 6). Disse karaktertræklignerihøjgradkaraktertrækkeneforprototyper,somvisenere vilredegørefor.derforkandetsiges,atbegrebernepådetbasaleniveauknytter sigtildeprototypiskefænomener(jørgensen,n.d.:5).eteksempelpådettekan være,atmanoftevilnævneensildfremforenklovnfiskikategorienfisk,dader vedsildenerethurtigtgenkendeligtogmentaltbillede,simplestavelserogen højfrekvensafbrugafordetihverdagen. Det skal også bemærkes, at det basale niveau af kategorisering er kulturelt bestemt, og er altså ikke universelt gældende, da mennesker i forskellige kulturerlæggermærketilforskelligeegenskabervedobjekterpga.deforskellige erkendelserafverden.hvisviforestillerosenpersonfraenandenkultur,der blevsatoverfordensammemængdeobjekterafartenværktøjerogfrugtersom enpersonfravesten,erdetikkesikkert,atpersonenvillekategoriseredemsom viligehargjort(iværktøjerogfrugter).personenvillemåskeistedetsætteen hammerogenkokosnødisammekategori,dadetmankunneforestillesig,at han/hunbrugerhammerensommiddeltilatfåføde

16 Enkategoriseringafetobjektkankunskevedhjælpafenforståelsefor,atder erandreobjekter,somersammenligneligemeddetgivneobjekt.derforspiller mennesketshukommelseenstorrolle.imervisogrosch artikelargumenteres derfor,atdenbasalekategoriseringerenproces.deropstillestreeksemplerpå dette: 1. Theprocessbywhichanobjectisrecognized; 2. the processes of representation underlying recall of absent objects or events; 3. theprocessofcueingorassociating. (MervisogRosch,1981:94). Idissetreeksemplerbliverdetgjortklart,atkategoriseringerenproces.Deter ikkenødvendigvisenbevidstproces,menderimodenunderbevidstproces,der sker instinktivt ud fra vores hukommelse, som kæder objekter sammen og associererdemmedandrekendteobjekterudfraderesegenskaber. Hvisenkategorierblevetetableretudfra,atflereobjekterrummerdesamme egenskaberidensammekombination,burdealleeksemplerpådennekategori værekognitivtækvivalente,ogderforrepræsenterekategorienpåligefod.dette harmervisogrosch(1981)dogempiriskebelægfor,ikkeertilfældet. Klyngeteorien( Det er altså ikke overraskende, at der findes gode og dårlige eksempler på en kategori, hvilket står i modsætning til den klassiske teori. Den tager, som tidligereskrevet,kunudgangspunktiatbeskrivekategoriervha.denødvendige og tilstrækkelige betingelser, hvorfor prototyperne slet ikke er eksisterende fænomeneridenneteori.kategoriinddelingenkanderforforklarespåenanden måde nemlig ved klyngeteorien, der tager udgangspunkt i, at der til en hver given kategori er specifikke begreber og beskrivelser, der klynger sig til (Jørgensen,n.d.:6).Klyngerafetbestemtordskaberrammenforforståelsenog dannelsen af prototyperne. Der kan f.eks. nævnes at et ord som olie, hvor der hertilogsåklyngersigandrebeskrivelserafsammesubstanssåsomolivenolie, solsikkeolie, planteolie, smøringsolie, oliemaling, massageolie, kokosolie, babyolieosv.den normale olieersåledesprototypenforkategorienolier.man kan derfor sammenfatte, at prototyperne indeholder mange af begreberne fra klyngebeskrivelsen, men de indeholder desuden ingen eller næsten ingen egenskaber fra tilstødende kategorier klyngebeskrivelser (Jørgensen, n.d.: 5). Detteskyldesdeudefinerbaregrænserforkategorierne.Hermenes,atdårlige eksempler i en kategori kan indeholde egenskaber fra andre kategorier, da de netop er dårlige eksempler på deres tilhørende kategori, hvorfor de ikke nødvendigviskunindeholderegenskabernefradenkategori,deersatindunder (MervisogRosch,1981:101). Prototypefænomener opstår altså på baggrund af klyngeteorien. Den kan benyttestilatgiveenforståelsefor,hvorfordetervigtigt,atderbenyttesden rigtige eller bedste prototype i undervisningen. Prototyperne er nemlig det centrale i en kategori (Jørgensen, n.d.: 5), hvorfor de netop også er gode at generaliserepå,nårvisomvedmetaforerskalbeskrivenogetfraetdomænetil etandetdomæne.dettehandleromgeneraliserbarhed,dernetopervigtigfor lærerenatkunneudføre,daelevernenødvendigvisharmereomgangmednoget de kender til, og de kan derfor lære at generalisere videre på et nyt domæne. F.eks.hvisenlærerbrugereteksempelomenindkøbssituation,hvoreleverne skalregneud,hvormangepenge,derertilbageeftermanharbetaltforjuicen. Elevenskalkunnegenkendesituationenatkøbeind,ogatman mister penge ved det, og dermed kan de generalisere videre og forestille sig metaforen, at KØBEINDERATSUBTRAHERE

17 Prototypeteorien( Prototypeteorien er ikke bare en teori om det bedste eksempel, men også om hvordan vores erkendelse er struktureret. Videnskaben tager udgangspunkt i det basale niveau, hvorfor vi kan forsøge at forstå en art livsverden, der så er udgangspunktfor,nårvivilforsøgeatgeneralisere/specialiserevoresbegreber. Foratdefinere,hvornåretobjekterrepræsentativtidetskategoriogdermeden prototype, har Mervis og Rosch (1981) overvejet forskellige parametre. Reaktionstid,produktionafeksempler,ordlængde,naturligtordbrug,asymmetri i sammenligning, indlæring og udvikling. Inspireret af Mervis og Rosch artikel CategorizationofNaturalObjects (1981)vilderidetfølgendebliveredegjort fordissekendetegn. Reaktionstidenerdentidpersonereromatsvarepåspørgsmålet: falder detteobjektindunderkategorienx Rækkefølgeogsandsynlighedforprototypensproduktionhandlerom,at nårenpersonskallaveeteksempelindenforenbestemtkategoriskerdet oftest via prototyper. Dette kunne f.eks. være, hvis nogen skulle lave et eksempelpåatsubtrahereogbrugtederesfingresomeksemplerpåtal. Hervillefingrenealtsåværeprototypenforkategoriental Detgodeeksempel,altsåprototypen,viloftereblivenævntsometbudpå enkategoriendethvilketsomhelstandeteksempel. I vores sprog findes der ord, som kan indikere om der bliver brugt et prototypiskeksempelellerej.dettekanværevedordenetypiskogægte. F.eks. kan man sige en hund er et typisk kæledyr, hvorimod man ikke villesige enskildpaddeerettypiskkæledyr. Ordlængdenforprototypereroftekort.Derbliversomregelbrugtsimple ordmedentiltostavelser.f.eks.hvisenpersonskulleangiveenregneart, ville personen med større sandsynlighed nævne minus fremfor differentiering. Et laverestående eksempel ligner oftest mere en prototype, end en prototypeligneretsådanteksempel.dettekunnef.eks.væreiforholdtil geometriskefigurer,hvorenrombelignermereenfirkant,endenfirkant lignerenrombe,selvomdebeggeerisammekategori. Ved at bruge en prototype som eksempel, bearbejdes det materiale, der skalindlæreshurtigere,hvorforindlæringenskermereeffektivt. Forindlæringengælderdet,atderskerenudviklingiforholdtilatkunne generalisereindlærtmaterialefraetdomænetiletandet. Der er nu blevet redegjort for, hvad en prototype er og hvordan vi kan identificeredem.derforkanvikonkludere,atkategorierneindlæresnemmere og mere præcist ved indledningsvis kun at bruge repræsenterede eksempler (Mervis og Rosch, 1981: 98). Hvis vi f.eks. tager kategorien at addere, så vil dette nemmest blive indlært ved at bruge eksempler som eleverne allerede kendertil,fordidekangeneralisereudfradet.detkunnef.eks.værefingre.at normale mennesker har ti fingre er universelt og gælder for alle kulturer. I Danmarkvillevimåskeogsåbrugeæblerogpærersomeksempler,mensdeien andenkulturmåskevillebrugekokosnødderellerpølser.dermedsagtafhænger det af, hvad der er alment kendt i kulturen. Dog skal man bemærke, hvorfor fingrenenetopersågodeprototypiskeeksemplerpåkategoriental.fingreneer mereellermindreensistørrelse,lige pinde eller streger udennogenegentlig forstyrrendeelementer.ethusderimoderetdårligteksempelpåkategoriental, idet et hus har mange ekstra elementer knyttet til sig. En elev vil måske også pludselig tænke på, hvorvidt der er en skorsten også, om der bor børn inde i huset,omdererenhaveellerandreobjekter.husetvilformentligforvirremere endgavne,hvorimodfingreneerletforståeligeeksemplerpåentiteterfortal.i 33 34

18 sammenhængmedafsnittetommetaforer,hvorvifandtudaf,atmenneskethar etbegrebomorientering,ogdermedharenforståelseaffremadogbagud,samt negativt og positivt, kunne vi også kigge på en talrække som en loppe skal springefremogtilbagepå.dennevilleværeetgodteksempel,menmåskeikke detførstevitænkerpåiforholdtiladdering,ogdermedhellerikkeenligesågod prototype,somfingrevilleer. Prototypens vigtigste egenskab er at være et eksempel, der gør det muligt at generalisereoverhelekategorien.detteerspecieltvigtigtatværeopmærksom påiundervisningssituationer,dadetsombørnenelærerihøjgradskalkunne brugesiandresammenhængeendunderklasseundervisningen. Derfor(prototyper(i(indlæringen( I forhold til indlæring mener Mervis og Rosch (1981), at repræsentative eksempler på kategorier spiller en stor rolle. Som tidligere nævnt er det ikke tilfældigt,hvorrepræsentativeeksemplerneienkategorier,ogderergennem empiriske undersøgelser fundet belæg for, at objekter der har en lav grad af fordrejning i forhold til en given prototype, er lettere at placere end objekter, der har en høj grad af fordrejning. Med fordrejning kan man f.eks. tale om farverne(mervisogrosch,1981:98),hvorgrundfarvernesåsomrød,blå,grøn oggul,ikkeerfordrejet.derimodharfarvernesomlyserød,navyblå,cyangrøn mm.,enlavtilhøjgradaffordrejningiforholdtildenormalefarver.detvilsige, ateksemplerderikkeerrepræsentativemåhaveenhøjeregradaffordrejning og dermed være sværere genkendelig og sværere at kategorisere end en prototype.prototyperneerletteregenkendelige,fordideersimple,oftebestår affåstavelser,harenlavreaktionstidosv.(jf.ovenståendekendetegn).iogmed atprototyperneerletteregenkendelige,erdetsåledesogsådem,derbliverlært førstfremfordetidligerenævnteunderniveauer. IsammenhængmedovenståendemenerMervisogRosch(1981)yderligere,at kategorierlæresbådenemmereogmerepræcistvedatenelevindledningsvis bliverudsatforprototypiskeeksemplerienlæringssituation.detbetyder,atdet villeværemereeffektivt,atbrugefingreogikkeethus,tilatbegyndemedved indlæringafsubtraktion,dafingreeretbedreeksempelpåtal,ogderforvilvære det gode eksempel og dermed en prototype. For at eksemplificere dette yderligere, kan nævnes et eksempel for kategorien subtraktion. Hvis en elev bliverspurgtom,atregne3g1billedliggjortved4klementiner,derliggerforan personen,vilklementinerneværegodeeksemplerpåsubtraktion.derimodhvis elevenbliverpræsenteretforethus,enske,etstykkepapirogetflag,vildisse fire eksempler formentlig ikke være særligt behjælpelige ved udregning af et regnestykke. YderligereerderifølgeMervisogRosch(1981)blevetlavettreundersøgelser, hvor træning med prototyper viser sig at være mere effektive end indlæring medenbredvifteafeksempler. Jean(Piaget( I følgende afsnit beskriver vi Piagets stadieteori bestående af 4 stadier. Disse stadier er relevante for at få indsigt i, hvilke forudsætninger vi forventer, børnene i 1. klasse har, for at kunne forstå metaforer. Derudover har Piaget formuleret en teori for barnets læringsproces. Herigennem beskrives hvordan barnet lærer noget nyt vha. noget allerede forstået, hvilket stemmer overens medgrundlagetforbrugafmetaforer. Sommenneskerforstårviverdengennemdeerfaringer,vitilegnerosundervejs ilivet.voresomgivelsereraltafgørendefor,hvordanvitænkerogforstår.dette er omdrejningspunktet for kognitionspsykologien, som Jean Piaget er en 35 36

19 fremtrædenderepræsentantfor.hanbeskæftigersigmeddetidligstestadieraf mennesketsforståelsesramme,somskabesibarndommen(hansen,2005). De(fire(stadier( Barnet lærer at tænke gennem erfaringer med f.eks. legetøj, samt mor/barn kontakt: ( ) børn skaber deres kognitive strukturer gennem aktivitet ( ) (Hansen, 2005, s. 135). Det kendetegnende ved Piaget er, at han går ned i børnehøjde.hantagerudgangspunkti,hvordanbørnserverden,oghvordande agereriden(hansen,2005,s.134).påbaggrundafhansobservationerharhan udviklet en teori, som indeholder fire stadier. Ved at gennemleve disse fire stadier,vilbarnet ifølgepiaget opnådenbedstmuligeudvikledekognitive struktur. Dvs. barnet vil have de bedst mulige betingelser for at kunne forstå verdenomkringsig 6. Defirestadierer: 1. Den sensomotoriske periode strækker sig fra 0g2 år. I denne periode opleverbarnetverdengennemsinesanserogbevægelser.barnetudøver generaliseringersamtdifferentieringer,hvilketbetyder,atbarnetoplever forskellesamtlighederudfranoglegentagnehandlinger.barnetharaltså etformålmedsinhandling,nemligatse,omdennehandlingudmunderi det samme resultat som den forrige. F.eks. kan barnet smide en bold og derefter bemærke, at bolden triller. Herefter vil barnet kaste med andre genstandeforatafprøve,hvorvidtdevilgøredetsamme(hansen,2005,s. 137).Barnetserogsåkunting,dererindenforbarnetssynsvinkel.Hvisen genstand forsvinder fra barnets synsvinkel, vil genstanden altså 6 Dogharfleresåettvivlomhvorvidtmangennemleverfaserneindenfordeintervaller,som Piagetharinddeltperiodernei,ogatdermuligviseksistererkulturellebias,dvs.havdehan f.eks.undersøgtasiatiskebørn,villeslutresultatetmåskehaveværetanderledes.dettehar LevS.Vygotskybeskæftigetsigmed(Hansen,2005,s.151). være ikkegeksisterende.fænomenetophørerdogislutningenafdenne periode. Her tilegner barnet sig det, der kaldes objektpermanens, som betyder,atbarnetfølgergenstandensbevægelse(bringuier2006:43g44) 2. Den præoperationelle periode strækker sig fra 2g7 år. Barnet bliver i denne periode kaldt den lille forsker (Hansen, 2005, s. 140). Her arbejderbarnetmeddenmentalerepræsentationudfrasymbolerogtegn. Symboleriformafengenstandbliverrepræsentantforenandengenstand, f.eks. kan en klods repræsentere en bil. Der er altså en relation mellem disse to elementer. Tegn derimod er blot betegnelser for en given genstand, f.eks. at dét, som barnet drikker af, hedder en kop (Hansen, 2005,s.138).Dogskaldetnævnesatpåtrodsaf,atbarnetbenyttersigaf symboler,erbarnetbevidstomdetfaktum,atklodsenerenklods.barnet kanaltsåskelnemellemdeforskelligeidentiteter(hansen,2005,s.140). Barnetsevnetilatforestillesiggenstandesomrepræsentationerforandre genstande, antager vi, er et grundlag for at kunne forstå prototyper. I denneperiodeerbarnetogsåmegetegocentreret.altiverdenbliverset ud fra barnets synsvinkel (Hansen, 2005, s. 139), og derfor overfører barnetogsåsineegnemenneskeligeegenskaberoverpådødegenstande (Hansen, 2005, s. 141). Dog har barnet i denne periode ikke kendskab til kompensation, dvs. at barnet ikke kan skelne mellem genstand og mængde (Bringuier 2006: 65), som f.eks. at et kilo fjer vejer det samme sometkilosten. 3. Denkonkreteoperationelleperiodestrækkersigfra7g11år.Heroplever barnetverdenudfraandreperspektiverendsiteget.barneteraltsåikke længere egocentreret (Hansen 2005: 143), og begynder i denne periode 37 38

20 ogsåatfåetmererationeltsynpåverden.overføringenafmenneskelige egenskabertildødetingforsvinderogbarnetfårenfornemmelseaf,atder erandrekræfterpåspilendbarnetsegne(hansen,2005,s.144).barnet besidder på dette stadium evnen til at kunne reversabilitere, som kan oversættes til bevidstheden om konservation. Dette er et af hovedelementerne i teorien om kompensation. Et eksempel på konservationkunnevære,atmanhartoligestorekuglerafmodellervoks. Denenekugleforbliverenkugle,mensdenandenformestilenlangpølse. Processen kaldes for konservation. Selve kompensationen ligger i, at barnetkangennemskue,atmængdenerdensammetiltrodsfor,atdeer udformetforskelligt(schultz,2004:15/bringuier,2006:56).foratbarnet kan forstå kompensation er det vigtigt, at konservationen udgøres af håndgribeligeting,dergørdetnemtattilegnesigforståelsenformængde, fordi: (.) stof uden vægt eller volumen kan ikke opfattes. & (Bringuier, 2006:56).Idennesammenhængkanmanhævde,atdetnetoperher,at prototyperimatematikkenkommertilsinret.talerenabstraktstørrelse, men ved at gøre tal håndgribelige i form af prototyper som f.eks. æbler, medførerdetteenbedreforståelse. 4. Denformelleoperationelleperiodestrækkersigfra11årtiltidligvoksen. Barnet bliver i denne periode kaldt den lille logiker, og vil nu kunne opstillehypoteser,samtsvarepådemudfradenvidenbarnetalleredehar ogderigennemdragekonklusioner(hansen,2005,s.144g145). Ifølge Piaget skal rækkefølgen på disse stadier følges kronologisk. Dette er grundet den sekventielle orden, hvilket betyder, at de forskellige stadier er afhængige af hinanden. Man skal have gennemført et stadie for at kunne påbegynde et nyt. Derudover mener Piaget, at udviklingen i de forskellige stadiererensforalle.uafhængigtafsamfundoghistorisktidvilallemennesker gennemlevedissestadieribegyndelsenafderesliv(bringuier,2006:49).dog kan der forekomme forsinkelser i de forskellige stadier. F.eks. kan nogle børn være analfabeter, og derfor være længere om at gennemleve de forskellige stadier end normen (Bringuier, 2006: 58). Men Piaget fastslår, at alle børn gennemleverdissestadier,dogmedforskelligehastigheder. Akkommodation(og(assimilation( I løbet af disse stadier vil barnet gennemleve, hvad der kaldes adaption (Hansen 2005: 136), hvilket betyder, at barnet tilegner sig erfaringer for at kunneforståverden.derfindestoadaptionsprocesser: 1. Akkommodation, hvor forståelsesrammen tilpasses de erfaringer, der kommer udefra. Det vil sige, at forståelsesrammen tilpasses en bestemt situation, handling eller opfattelse for at kunne give mening (Bringuier 2006:67/Vejleskov1999:94). Derfindestotilstandeafakkommodation: a) Densensomotorisketilstand,somomhandlerbevægelseeller andenkontaktmedengivengenstand. b) Denbegrebsmæssigetilstand,sommedførerenbredereviden omkringetemne(vejleskov1999:94). 2. Assimilation er derimod erfaringerne, der tilpasses forståelsesrammen. Erfaringer er f.eks. handlinger og opfattelser, som barnet genkender fra andresammenhænge(bringuier2006:66/vejleskov1999:94). Forståelsen af de to ovenstående adaptionsprocesser kan sammenfattes i følgende eksempel: Man har en kasse med klodser. Klodserne repræsenterer 39 40

21 assimilation,ogkassenerakkommodation.klodserneerformetsomfirkanter, trekanter og stjerner. Disse klodser har hver deres tilsvarende hul i kassen. Pludseligfårmanencirkelformetklodsihånden,ogkassenmåherefterændre form, så cirklen passer i hullet. Over tid vil kassen tilpasse sig flere og flere forskelligeformerafklodser.detskaldogsiges,atforatkassenkantilpassesig såmangenyeklodser,erdetmedhjælpfradeklodser,deralleredeerikassen. Kassensindholderafhængigafkassen,samtidigmed,atkassenerafhængigaf sit indhold. Det kan altså konkluderes, at disse to processer er afhængige af hinanden. Denneprocesermegetinteressant,dadeterhelegrundlagetforindlæringen. Vores teori i forhold til brugen af metaforer i undervisningen er, at det er en hjælpforeleven,tilatforstånogetabstraktvedhjælpafnogetkonkret.deter netop, hvad denne proces understøtter. Ved hjælp af metaforer og prototyper talermantilbørniøjenhøjdeved,atelementerneiundervisningenknyttestil nogleerfaringer,dehargjortsigiforvejen.defårenstørreforståelseafetemne samtidigmed,atdefårenbredereviden. Howard(Gardner( IfølgendeafsnitbliverGardnerssyvintelligenserbeskrevet.Disseintelligenser bliver i analysen benyttet på to måder: A) Vi får et indblik i, hvilke typer intelligenser der er. B) Vi kan ud fra de forskellige benyttede metaforer i empirien konstatere, hvilke intelligenser der skal spil for at forstå den givne metafor. Definition(af(intelligens( HowardGardneropstillerisinteoriflereargumenterfor,atmankansepåden menneskelige intelligens, som en bredere størrelse end bare som værende en enhedstanke. Han opstiller syv aspekter, som han mener kan opstilles, som forskelligeintelligenser,menførstsigerhan:...itbecomesnecessarytosay,onceandforall,thatthereisnot,and therecanneverbe,asingleirrefutableanduniversallyacceptedlist of human intelligences. There will never be a master list of three, seven, or three hundred intelligences which can be endorsed by all investigators &(Gardner,1993:59). Dermedgørhandetklartfrastarten,athanisinteoriblotharforsøgtatopstille nogle mulige intelligenser. For Gardner er en intelligens ikke blot, som det tidligere er blevet betragtet, en størrelse, som kommer til udtryk ved logisk problemløsning. Det er et bredere begreb, hvori der ligger, at man bruger forskellige intelligenser til forskellige problemstillinger. Et andet aspekt er, at disseintelligenser,selvomdetypiskarbejderiharmoni,fungerersomautonome størrelser.gardnergiverudtrykfor,atdetforhambliverstadigtvanskeligereat benægtetilstedeværelsenafflerintelligenser,derarbejderpåforskelligemåder gennem individer og kulturer. Gardner mener, at hans teori har fire hovedformål;førstatlaveetargumentfor,atderfindesflereintelligenser,forat se på, hvilke implikationer det vil have for muligheden for tidligt at se, hvilke intelligenser, der er mest dominerende hos det enkelte barn. For det andet at bruge det til at udvikle barnets uddannelsesmuligheder. For det tredje at inspirere folk indenfor uddannelsessystemet til at bruge hans teori. Til sidst ønsker Gardner med sin teori at påvirke de folk, der arbejder med at lave politikkeromhandlendeudviklingenafandreindivider(gardner,1993:6g10)

22 Gardnersteoriomflereintelligenserstartersomsagtmedenanerkendelseaf,at derikkekanlavesenenkeltlisteoverintelligenser,somallevilkunnebifalde. Gardner opstiller en liste på syv. Disse har han fundet ved, at opstille otte kriterier, hvoraf de fleste skal være opfyldt for, at Gardner anser det som en selvstændigautonomintelligens. NårGardneropstillerdissekriterier,erdetenmådeatafprøveomnogeteren intelligens.gardnerserdetsometafdevæsentligstekriterier,atenintelligens kanisoleresihjernenogdervedpåvisesinautonomi.etandetvigtigtkriterium er,atenintelligensskalhaveenklarudvikling;manskalkunnegåfraatvære novice til at være mester. Dette betyder også, at man kan have nogle intelligenser der er bedre udviklet end andre og derfor har en stærkere forståelseafdekerneoperationer,somgardnersættercentraltihverintelligens. Der, hvor det bliver interessant at snakke om intelligenser ift. metaforgbrug i indskolingsmatematik er, hvorvidt det er en enkelt eller flere forskellige intelligenserderbrugestilatforståenkeltemetaforer. Gardneropstillersyvintelligenser;Denlingvistiskeintelligens,denmusikalske intelligens, den logiskgmatematiske intelligens, den visueltgrumlige intelligens, denkropsligtgkinæstetiskeintelligensogdetosocialeintelligenser.dissesyvvil her blive gennemgået en efter en i samme rækkefølge som Gardner opstiller dem(gardner,1993:62g66). Den(lingvistiske(intelligens( Den lingvistiske intelligens er, ifølge Gardner, den intelligens der har med sprogetatgøre.gardnermener,atderhvordetkommermesttiludtryk,erhos poeten.detteudtrykkes,hvergangpoetenlaverenselektionaf,hvilketordhan ønskeratbruge.dettegørespåbaggrundafenmetodiskgennemgangafordets mening,bådeikontekstogsomenkeltord.gardnersiger; In discussing the meanings or connotations of words, we find ourselvesintheareaofsemantics,thatexaminationofmeaningwhich isuniversallyconsideredcentraltolanguage (Gardner,1993:75). Derudover er det centralt for poeten at forstå de fonologiske aspekter ved sproget,densyntaktiskeopbygningogdepragmatiskefunktionersomsproget kanbenytte(gardner,1993:73g77). DekernehandlingerGardneropstillerfordenlingvistiskeintelligens,dragerhan i stor grad fra denne tanke om poeten, som et eksempel på en mester udi intelligensen. Gardner skriver, at kernehandlingerne er en følsomhed overfor brugenafordene.nårdenlingvistiskeintelligensdominerer,vilderværeekstra opmærksomhedpådesmådifferenceriordene.derudovervilderforekomme enstorsprogligoggrammatiskforståelse.sidst,menikkemindst,vilderliggeen opmærksomhed på rytme og tone i det talte. Derfor vil der også være en forståelsefor,hvordanbrugenafsproget(gardner,1993:77). DervedplacererGardnerdenlingvistiskeintelligens,somdenintelligensderer essentielforsprogligforståelse.gardnersigerogså,atdeterisproget,atvifår demetaforerderernødvendigeforatforklarenyvidenskabeligudvikling.det er altså også gennem sproget, at vi forklarer nye ting og lærer ting videre (Gardner, 1993: 78). Derfor er en udviklet lingvistisk intelligens vigtig for at skabe og forstå metaforer. Hvis et barn har en bedre udviklet lingvistisk intelligens,erdetaltsånemmereatforstådetsprogligeaspektafmetaforer. Den(musiske(intelligens( Gardner mener, at den musiske intelligens kommer til udtryk i sin mest udvikledeform,nårmankiggerpåkomponister.hanmener,atkomponisteneri en konstant tilstand af at høre toner, rytmer og mønstre i sit hoved. Derved 43 44

23 kommer han til at arbejde med at sammensætte harmonier og rytmer. Det er altsåenintelligensderharrodidetlydlige.deterpitch,rytmeogtimbrederer komponenteridenmusiskeintelligens.denmusiskeintelligenstrækkerogsåpå elementer af en formforståelse, og hvordan man kan skabe en form ud fra de andre aspekter (Gardner, 1993: 104g108). Gardner forbinder den musiske intelligens med den logiskgmatematiske intelligens i kraft af, at der i matematik også er denne interesse for form og mønstre.mestendelsfungererdeformellemønstreimatematiksomenhjælpfor musikere(gardner,1993:126g127). Dette link mellem de to intelligenser taler for, at der kan laves metaforer, der bygger på et konkret musisk domæne for at forklare et abstrakt matematisk domæne.ensådanmetafor,villeværeinteressant,dadetevt.kunneskabeen lettereadgangtilmatematikfornoglebørn. Den(logiskImatematiske(intelligens( Den logiskgmatematiske intelligens er en af de mest centrale intelligenser for vores projekt. Det er samtidig også den intelligens som Gardner mener, ligger mestopaddenklassisketankeom,hvadintelligenserogdenderkantestesvha. en IQ test. IfølgeGardnerlæggerdenlogiskgmatematiskeintelligenssigopadJeanPiagets idé om intelligens. Det vil sige, at den også er blevet diskuteret meget før Gardner. Han starter med at referere til Piaget for at få en forståelse af, hvad intelligensen indeholder. Den logiskgmatematiske intelligens kommer allerede tiludtrykientidligalder.hererdetbarnetsomgangmedobjekterdererden drivendekraft.nåretbarnlegermedobjekter,omrokererdem,tællerdemog tællerdemigen.hervedfåsenheltfundamentalindsigtitallenesverden. Gardnerforklarer,hvordanderherfraudviklesenhøjerematematiskindsigtved atgåfraatforstånogetkonkrettilnogetabstrakt(gardner,1993:129). DenneudviklingermegetsigendeoggårgodtitrådmedPiagetstanke.Gardner skriver,ataltlogiskgmatematiskintelligenstagerudgangspunktienshandlinger iforholdtilomverdenen.gardnerhenviserogsåtilpiagetsforsøgderviser,at børn først får en idé om objekters permanens efter 18 måneder. Dette er et skridtmodattænkeabstrakt,dadetblivermuligtatforestillesigetobjektuden, atdetertilstede.ientidligaldererdetikkemuligtforbarnetatskelnemellem specifikkemængder,menmereenforståelseaf,atderienbunkekanværemere endienanden.førdetfemteårkanbarnetmåskegodttælle,mendetbunder mereienlingvistiskforståelseafdensyntaktiskevirkelighed.detbliversenere muligt for barnet at forstå, at talrækken kan bruges til at udlede det samlede antal. g Dog stadig gennem berøring. Gardner siger, at et vigtigt skridt mod højerematematiskforståelsekommernår:...thechildcanevolvetheunderstandingsneededforthegamutof basic numerical operations: adding, subtracting, multiplying, and dividing.andbythesametoken,heshouldbeabletocalluponthese operationsinnegotiatingthetasksofdailylife buyinggoodsatthe store; trading with friends; following cooking recipes; playing marbles,cards,orcomputergames. &(Gardner,1993:131). Detteeriførsteomganghandlingerdererfysiskudførtiverden,ogdetledertil atbasisfor,atallelogiskgmatematiskeintelligenserliggeristartenafomgangen medobjekter.detudviklersigdogtilatværeeninternaliseretproces,hvordet ikke længere er nødvendigt at berøre objekterne. Det bliver muligt for barnet at make the required comparisons, additions or deletions 'in his head'... & (Gardner, 1993: 131). Der gås altså fra en konkret interaktion til en mere abstrakthåndteringaftallene.foratgåvidereidenmatematiskeudvikling,er detnødvendigtforbarnetatbliveistandtilatlaveformellementalehandlinger

24 Detskalblivemuligtatagereikkekunmedobjekterogmentalebillederafdisse, men også med ord, symboler og strenge af symboler, der står for objekter og handlingermedobjekter(gardner,1993:131g132).detbliveraltsånødvendigt atforståmatematikpåethøjereabstraktionsniveau.enmådeatgøredetteerpå baggrundafdekonkretestrategiermanfårindlært. Gardner hylder Piaget for at have lavet den bedst udviklede kurve for udviklingen fra sensorgmotorisk funktioner til konkrete formelle operationer. Der,hvorGardnerkritisererPiaget,eridetfaktum,atderkunvisesétdomæne ogikkeertagethøjdeforandresiderafintelligens.(gardner,1993:133) Sådenlogiskgmatematiskeintelligenstagersigaltsåudsomenintelligens,der erbyggetopomkringinteragerenmedomverdenenogskridtenemodatkunne forstå de formelle operationer, som kan udledes af disse. Derved bliver det synligt,atmetaforgbrugbliverenstyrke,dadennegåenfrakonkrettilabstrakt ercentraltibrugenafmetaforer. Den(visueltIrumlige(intelligens( Detcentralefordenvisueltgrumligeintelligenser:...thecapacitiestopercievethevisualworldaccurately,toperform transformationsandmodificationsuponone'sintialperceptions,and tobeabletoregcreateaspectsofone'svisualexperience,eveninthe absenceofrelevantphysicalstimuli (Gardner,1993:173) Dettebetyder,atdenvisueltgrumligeintelligenser,evnentilatforestillesigen visuelverdenindeisithoved.deterogsåevnentilatkunnelaveetbilledeafet objektellerenformindeisithovedogforestillesigdetfraforskelligevinkler, fordervedatlaveetmentaltbilledemankanmanipulereefterbehov.gardner argumentererfor,atnårmanbliverstilletoverforetbilledligtproblem,vilden foretrukne måde at løse det på være ved at lave et internaliseret billede og manipuleredetpåenmådederlignerhverdagsageren. Dette leder Gardner til at se den visueltgrumlige intelligens som et afsæt til metaforiskforståelse(gardner,1993:173g177). Hansigerdetsåledes: A( )facetofspatialintelligencegrowsoutoftheresemblencesthat mayexistacrosstwoseeminglydisparateforms,or,forthatmatter, acrosstwoseeminglyremotedomainsofexperience.inmyview,that metaphoric abillity to discern simmilarities across diverse domains derivesinmanyinstancesfromamanifestationofspatialintelligence (Gardner,1993:176) Gardnerobserverer,atmegenforskningbyggerpåvisueltgrumligemetaforer.Da Darwin så arternes oprindelse som et for evigt udgrenene træ eller den stærkeste overlever som et kapløb mellem arterne, giver det en dybere forståelse,bådeigengivelse,menogsåforforskernestilgangtildenproblematik de undersøger. Gardner mener, at visueltgrumlig viden kan fungere på mange niveauerividenskabeligtarbejde,bådeiopfattelsenafetproblem,forklaringen pådetogenddasomløsningpådet(gardner,1993:191g192). Dermed bliver også den visueltgrumlige intelligens signifikant for at forstå, hvordanmetaforerbrugesogforstås.deterdenneintelligensderhjælpertilat forstå overførelsen fra et domæne til et andet og til at lave brugbare mentale billeder,derkanbrugestilatvisualiseremetaforernesbillederihovedet. Den(kropsligtIkinæstetiske(intelligens( Denkropsligtgkinæstetiskeintelligenser:... the abillity to use one's body in highly differentiated and skilled ways for expressive as well as goal directed purposes. ( ) 47 48

25 Characteristic as well is the capacity to work skillfully with objects, both those that involve the fine motor movements of one's fingers andhandsandthosethatexploitgrossmotormovementsofthebody & (Gardner,1993:207) Deteraltsåevnentilatbrugesinkroptilatudførehandlinger,somercentralt for den kropsligtgkinæstetiske intelligens. Både bevægelser med hele kroppen, menogsåevnentilatmanipulereobjektermedfinesseogdervedopnåetønsket resultat. Gardner mener, at den kropsligtgkinæstetiske intelligens er blevet nedprioriteretiverdenidag,menidetgamlegrækenlandvarderetstortfokus på sammenkoblingen mellem det fysiske og det mentale aspekt af mennesket. Denmådehvorpåf.eks.endanserudfører svære rutiner, i en synendesømløs kombination,kræverenstorevnetilatsammensættedekomplicerederækker afbevægelser.(gardner,1993:206g210) Detbetyderogså,atdeterevnentilatrepræsentereenhandlingudelukkende vha.enskropogbevægelser.kroppenkanbliveetobjektderkanmanipulerestil at understøtte det man vil sige. Derved kan den kropsligtgkinæstetiske intelligensbruges,bådeafenlærerforatsynliggøreenmetafor,menogsåafet barn for at forstå metaforer. Altså kan man spille på intelligensen for at forstærkemetaforen. De(sociale(intelligenser( De sociale intelligenser er ifølge Gardner todelt og de to intelligenser er henholdsvis vendt mod personen selv og mod andre mennesker i verden. Gardner benævner dem, som; den intrapersonelle intelligens og den interpersonelle intelligens. Kernekapaciteten er for den indadvendte acces to one'sownfeelinglife &(Gardner,1993:240),ogfordenudadvendte theability tonoticeandmakedistinctionsamongotherindividuals (Gardner,1993:240). Detointelligensereraltså,demåderhvorpåetindividkanskelnemellemsine egnefølelser,forståsinegenopførselgennemfølelserogatkunnedistingvere mellem andre individer, deres følelser og intentioner. Disse intelligenser er, i deresråformmedfødte.dekanudviklesogmankanlæreatforståsinegenog andres ageren i verden bedre, men også gennem denne forståelse at handle overensmeddekoderderlæses.detkanbådeværeforatpasseind,ellerforat ændredenverdenmanoptræderivha.videnomandresogensegenpersonelle tilstedeværelse. De observationer man bearbejder, er i stor udstrækning kulturelt kodede og der skabes i hver kultur forskellige udgaver af intelligenserne (Gardner, 1993: 238g244). Storedeleafudviklingenafdesocialeintelligenserkommergennembrugenaf deandrefemintelligenser.ord,numreogbillederbrugesistorgradtilatlæreat forstå verden symbolsk. Det bliver nødvendigt for et individ at forstå omverdenen,foratkunnefåstørreindsigtisinegenverden.detskalsåledetil, atmanistørregradbedømmerandreshandlingersomderes,ogikkeblotsom enprojektionafensegenfølelser.(gardner,1993:247g250) Det er vigtigt at forstå de sociale intelligenser, da det i høj grad er disse der styrer vores tilgang til verden. Under de sociale intelligenser er der ikke nødvendigvis et element af at forstå eller forstærke metaforer. Men de er styrendeforvoresinteraktionmedandreogderforkandehaveenindflydelse på,hvordanfølgeslutningerdrages. Delkonklusion( Der er nu blevet gjort rede for de fem forskellige teorier, som vi mener, er relevante i forhold til vores problemformulering. For at opsummere, er der blevet redegjort for, hvordan vi bruger metaforer i vores hverdagssprog, og hvilkeforskelligetyperafmetaforerdetdrejersigom.detkansiges,atvihar 49 50

26 fåetenbredereforståelseafmetaforer,sometredskabtilatforståogerkende verdenfremfor bare atværeetpoetiskværktøj.vedatinddragebådelakoff ogjohnsonsamtlakoffognúñez,harvifåetetmerenuanceretsynpåmetaforer iforholdtilmatematikogbørn.yderligereharviredegjortforprototypeteorien ogfundetudaf,hvadenprototypeer,oghvordanviidentificererden.ivores søgen på at finde ud af, hvilken rolle metaforer og prototyper har i undervisningenhardisseafsnitværetnødvendige.detdererspændendevedat koble de to teorier med hinanden, er forholdet mellem metaforens illustrative kraft og prototypens betydning for effektiv indlæring. I sin kraft af at gøre et abstrakt domæne konkret, er det fordelagtigt for en metafor, at indeholde en prototype, da dette altså vil lette forståelsen for modtageren af metaforen, og gøredentiletgodteksempel. For at besvare, hvordan børn forstår en metafor i forhold subtraktion, har vi valgt at inddrage Gardner og Piaget, som har kunnet give os et indblik i, hvor langt barnet er kommet i sin psykologiske udvikling i 1. klassse, samt hvilke parametre, der spiller ind på deres forståelse af undervisningen. Dette er i forholdtil,hvilkeintelligenser,dergørdetnemmestforetbarnatforstådenne. Der er altså blevet gjort rede for Gardners syv intelligenser, samt Piagets fire stadier,hvordettredjestadie(denkonkretoperationelleperiode),erdetstadie somelevernei1.klassebefindersigpå. Analyse( Analysenbestårførstogfremmestafengrundigmetaforanalyse.Derforharvi valgt at dele den ind efter Lakoff og Johnsons tredeling af metaforer: ontologiske,strukturelleogorienteringsmetaforer.herundererderførstblevet lavet en analyse af vores observationer fra henholdsvis Katrinedals Skole og Himmelev Skole. Udover metaforteorien har vi analyseret eksemplerne ved hjælp af prototypeteorien, Gardners teori om menneskers intelligenser og Piagetsstadieteori. Efterobservationsanalysen vil eksemplerne fra undervisningsmaterialet under hver metafortype blive analyseret. Her vil samme fremgangsmåde som ved analysen af observationerne blive brugt. I det skrevne materiale har vi sommetider været nødt til selv at drage selve metaforerne ud af materialet. Detteskyldes,atbøgerneermegettekstfattige,menmetaforernefremkommeri forklaringernetilbørneneviabilleder.derfindesdogogsåskrevneeksempleri lærebogen.dervilikkebliveskelnetmellemeksemplerneitekstenogdetviselv har udraget. Vi vil forsøge at fremhæve, hvilke forskelle vi kan se mellem det skrevneogdettalte.daenstordelafforståelsenformetaforerersproglig,vilvi se,hvordettekommertiludtryk,samtsehvorderopstårforvirringiforståelsen af metaforen. Dette lægger op til at analysere hvilke grundlæggende og forbindende metaforer der bruges, da de grundlæggende er mere basale, og derforpotentieltnemmereforståelige. Til sidst vil der være en opsamling af analysen, hvori metaforgbrugen i henholdsvis det skrevne materiale og observationerne vil blive stillet overfor hinanden. Ontologiske(metaforer( Observationer( For kort at opsummere de ontologiske metaforer handler de om vores erkendelse af verden som entiteter og substanser. De gør det muligt for os at forståbegivenheder,aktiviteter,følelserogideer.tilkategorienknytterdersig subkategoriernebeholdermetaforerogpersonifikation

27 I vores observationer har vi fundet flere eksempler på ontologiske metaforer. F.eks.svarerenelevpå,hvadminuser: Såkanmantagefirefrafem (Bilag1: observation1,katrinedalsskole:00:26).hersermantalletfemsomenbunke der er bestående af fem enkeltdele. Da vi ser en bunke som en afgrænset mængde,hvormankantageenkeltdelefraellerliggedemtil,kandettekaldes enbeholdergenstand.idennemetaforforstårelevendermed,atmantagerfire enkeltdelefrabeholdergenstandenogmængdenfemogfårenbeholdergenstand hvordererenenkeltdeltilbage.dermedændresnavnetpåbeholdergenstanden tilen. Det kan siges, at det metaforiske begreb er, at MÆNGDEN FEM ER EN BEHOLDER.Jf.metaforafsnittetkandetsiges,atdemetaforiskeafbildningerer, at man kan rykke objekter til og fra de forskellige samlinger og danne nye samlinger.detteskaberfølgeslutningen,atmindreblivernegativt,daderligger ennegativværdiladningiatfjerne,idetmindreivoreskonteksternegativt.det samme kan siges om eksemplet: Tag ni fingre op, så fjerner du tre. (Bilag 2: observation1,himmelevskole:08:22).herhandlerdetogsåomatafgrænseet områdeved,atviudfraetsætpåtifingrekuninddragerniogdereftertrækker treenkeltdelefra.dettemedfører,atviafgrænserområdetyderligeretilkunat omhandle seks substanser. Her er det metaforiske begreb, at MÆNGDEN NI FINGRE ER EN BEHOLDER. Fingre er gode repræsentationer af tal, de er prototyper.fingreoptrædernærosogergodeikoniskeformer.fingrefremstår somstreger,enformderernemforosatafkodesomenkeltdele,idettetilfælde tal.detliggerogsåiordetfjerne,hvorvitagerenellerfleresubstanserudafen beholder.detoeksemplererbeggegrundlæggende.detderbrugeserprimært idéen om, at man fysisk kan fjerne noget. Dette er en handling, vi forstår grundlæggende. Det at der tilføres et element i form af fingre bliver stadig forstået grundlæggende, da fingre er så god en prototype, at det stadig er let forståeligt. EksemplerneliggerigodtrådmedGardnersidéom,atdenlogiskgmatematisk intelligensførstudviklesgennemeninteraktionmedverdenogobjekteriden. Når metaforerne er under kategorien de grundlæggende metaforer og har prototypiskeelementer,erdetfordi,atvibenyttervoreserfaringmedobjekter. Metaforerne hjælper til den forøgelse af abstraktion, der ifølge Gardner er nødvendigforatudvideenslogiskgmatematiskeintelligens.sprogligterderikke de store forståelsesproblemer, det er snarere et visueltgrumligt problem der opstår.deternødvendigtatkunnegåfraatbrugetalerfingre,vedfysiskat berøreellerfjernefingrene,tilblotatlaveeninternaliseretberegning.detbliver nødvendigtatbenyttesinrumligeintelligenstildenneinternalisering.enelev der ikke kan forstå, at MÆNGDEN FEM ER EN BEHOLDER vil have problemer medatforestillesigdenbeholderdeskalfjernefraindeihovedet.herbliver fingrene et godt redskab, da det er en fysisk manifestation af, hvad det er nødvendigt at skabe mentalt. Evnen til at kunne visualisere de objekter man benyttereraltsåenevne,derernødvendigatkunnebrugeforatnåethøjere niveauafabstraktion.dervedkanontologiskemetaforerværebehjælpeligetilat støtteopomenudviklingafdenlogiskgmatematiskeintelligens. Denneslagseksemplermedgenstandeogsubstanserharvifundetmangeflere eksempler på i vores empiri, men finder det irrelevant at skrive en udførlig analyse af samtlige eksempler, da dette ville være en repetition af teoriens forholdtilmegetsvagtafvigendeeksempler. Udover eksempler på beholdermetaforer har vi også fundet eksempler på metaforer i personifikationskategorien: Lærer: Så tæller du tre tilbage. (.) Prøvligeattælletilbageengang.(.)Dustårher,ogsåtællerdutilbage:1,2,

28 ogsålandermanpåfire (enelevgiverudtrykforikkeatforstådet)lærer: Du findersyvpålinealen.deterden,derborher,ervienige? (Bilag1:observation 2, Katrinedals Skole: 01:08g02:1). Her ses det, hvordan tallet syv får menneskeligeegenskaber,idetdetharetstedatbo.pådenmådefortællerdet os, hvor syv hører til på linealen. Metaforen er derfor TAL ER PERSONER. Følgeslutningen,derknyttersigtildennemetaforer,atenpersonkanhaveen fastplads,etpunktogetstedatbo,hvorhan/hunkanopholdesig.pådenmåde forklarer metaforen det abstrakte domæne på baggrund af vores viden om at haveetstedatbo.detervigtigt,atelevenharensprogligforståelseafdetatbo. Hvis eleven har en forståelse der ligger hen mod, at boformen er en nomadetilværelse, giver det ikke den samme forståelse af metaforen. Tallet flytter sig ikke, så det er vigtigt at eleven sprogligt forstår at bo som noget stationært. Hvis man kigger på udvekslingen af replikker, ser vi at der først bruges en grundlæggende metafor, SUBTRAKTION ER TILBAGE, dette forstår eleven imidlertid ikke, derfor bliver den forbindende metafor, TAL ER PERSONER,brugttilatunderstøttedengrundlæggende.Deterogsåetspringfra atbrugeenorienteringsmetafortilatbrugeenontologiskmetafor.detkanaltså være, at eleven skal have genopfrisket det rum der tælles i, og der knyttes et merekonkretelementpåforatgøredette. Etandeteksempeler,nårlærerensiger: Femminusetgellergandet.Deterham dermr.x,deterhamdenhemmelige. (Bilag1:observation1,KatrinedalsSkole: 03.37).IdetteeksempelskalMr.Xbetydedenukendtevariabel.Foratgøredet abstrakte domæne X lettere at forstå, personificeres X til Mr. X. Eksemplet illustrereraltså,hvordannogetikkegmenneskeligt(x)blivergjortmenneskeligt vedatfåtitlenmr.,somsædvanligvisknyttestilenmand.atmanimatematiske termer kan kalde ukendte tal for X, forklarer udtalelsen ham den hemmelige. Yderligere er brugen af pronomenet ham det sidste og fældende bevis for, at detteerenpersonificering.udfradettekanviudledemetaforendenukendte VARIABEL ER EN PERSON. Det abstrakte domæne, der skal forklares gennem det konkrete domæne, er dermed den ukendte variabel. Denne konklusion kommer vi frem til gennem følgeslutningen, at Mr. X er hemmelig, og at en personkanværehemmeligogdermedukendtligesomenukendtvariabel.forat lavedennemetafor,erdensprogligeforståelsenødvendig.elevenernødttilat forstå at ukendt og hemmelig kan være synonyme, og derfra overføre det på metaforen.detskerogsåpåbaggrundafatpersonifikationenbliverbrugt. Omdisseeksemplerkandetsiges,atdejf.teoriafsnittet(LakoffogNúñez)eraf grundlæggende art. De grundlæggende metaforer er de mest basale og bliver oftest brugt som i vores eksempel, hvor tallene bliver taget eller fjernet fra hinanden.dettegivergodmening,dadeontologiskemetaforerjf.teoriafsnittet, jo lige præcis bliver opfattet som selvindlysende og direkte beskrivelser af mentale fænomener. At personificere tallene som i eksemplerne med, at tallet boretbestemtstedpålinjen,ogatmr.xerhamdenhemmelige,erforbindende metaforeriogmed,atdetagerudgangspunktikroppensomerfaringsgrundlag, mentillæggeretandetaspekttilhvordandetskalforstås. Når vi møder personifikation som metafor, er der et element af, at vi bruger voressocialeintelligenser.nårvigiverxtitlenmr.projicerervimenneskelige attributteroverpåvariablenx.dermederdetnødvendigt,atviforstårataflæse voresegenforståelseogforstå,hvordanvidistingvererdenift.x.såvibenytter vores sociale intelligenser til at forstå, hvordan vi kan overføre menneskelige egenskabertilabstraktefænomener

29 Derved er der mange intelligenser i spil, når vi skal forstå de ontologiske intelligenser,oghvordanvibrugervoreskonkreteforståelsetilatudvidevores 5. Du$står$her,$og$så$tæller&du&tilbage:"1,"2,"3og#så#lander#man#på#fire forståelseafdetmødte. (Bilag'1:"observation"2,"Katrinedals"Skole:"01:08g02:18) Når der bruges metaforer til at forstå matematik, ses det, at de bruges som 6. Så$skalman$tælle%tre$tilbage,"fordi"vi"trækkertre$fra. forklaringer. Det er vigtigt, at eleverne forstår det konkrete eksempel, både (Bilag'1:"observation"2,"Katrinedals"Skole:"01:08g02:18) sprogligtogsomentitet.eleverneerderfornødttilathaveensprogligogvisuel forståelse.vivilnuanalysere,hvilkeafdemetaforerdererblevetbrugttilskabe 7. Hvis&man&nu&har&20&fisk&i&Zoo&og&så&10&dør,"så"har"man"10tilbage bedstforståelsehoseleverne.dettevilvigørevedatse,hvilkeafmetaforerne (Bilag'1:"observation"1,"Katrinedals"Skole:"02:34) der kan bruges som gode eksempler og om nogen af dem kan anses som prototyper på at subtrahere. Som skrevet i teoriafsnittet om prototyper, er en 8.Lærer:& Jeg& har& været% sund% i% ferien(.)jeg% gik% ned,% og% så% købte% jeg% en% prototype det gode eksempel på en given kategori. For at finde det gode masse%jordbær. eksempel på de ontologiske metaforer, må vi først liste en række forskellige Jeg$ købte$ faktisk$ 3,4,5,6,7()$ jordbær$ købte$ jeg(.)$ Så$ gik$ jeg$ på$ eksemplerop,ogdernæstsættedemindienkategori.eksemplernekansesher: toilettet( )så+kunne jeg$ høre$ Josephine,$ hun$ kom$ listende(.)og$ hun$ elsker$ jordbær,$ og$ da$ 1.Lærer:" Hvis%man%har%to%lige%store%tal%og%trækkerdem$fra$hinanden hun$så$dem,$så (Bilag%1:%observation*1,"Katrinedals"Skole:"04:17) besluttede&hun&sig&for&atspisetre$af$dem. & (Bilag'1:"observation"1,"Katrinedals"Skole:"04:47) 2. Såfjernerjeg$dem.#(Læreren'fjerner'fysisk'tre'firkanter'fra'de'samlede' syvfirkanter) 9.Lærer: Vi$ har$ fået$ tallene$ igen.$ Der$ er$ ikke$ nogen$ der$ har$ taget alle$ (Bilag'1:"observation"1,"Katrinedals"Skole:"04:47) tallene,'nu'må'vibruge&alle&tal&igen. (Bilag'1:'observation'1,'Katrinedals'Skole:02:51) 3.Lærer:& Og&du&havde&ti.&Hvad&trakdu#fra?#Du#trakfire%fra. (Bilag'1:'observation'1'Katrinedals'Skole:'13:03) 10. Der% var% syv% edderkopper,% så% kom% mor% og% så% dem,% kaldte% på% far.% Far% jokkedepå#tre#og#hvor#mange#var#der#så#levende,"ik? & 4.Elev:& Tagerman$syv$fra$otte,$så$bliver$det$én. (Bilag'1:"observation"2,"Katrinedals"Skole:"00:00) (Bilag'1:"observation"1,"Katrinedals"Skole:"00:55) 57 58

30 11. Så$trækkervi#tre#fra#de#otte. (Bilag'2:'observation'1,'Katrinedals)Skole:)04:48) 12. Du$ har$ de$ fem$ bolcher.$ Så$ spiser du# først# det# ene,# det# andet# og# det# tredje,'detfjerde&og&det&femte.&hvor&mange&bolcher&har&du&så&tilbage& &?& (Bilag'2:"observation"1,"Himmelev"Skole:"06:39) 13. Tag%ni%fingre%op.%...%Så%fjernerdu#tre. (Bilag'2:'observation'1,'Himmelev'Skole:'08:22) I de ovenstående eksempler fra vores empiri, er de ord, der knytter sig til at subtrahere blevet markeret med fed. Dette er et forsøg på at lave en kategori over,hvilkeordvibrugeriforbindelsemedatsubtrahere.kategorienbeståraf følgendebegreber:subtrahere,trækkefra,fjerne,tage,tælletilbage,dø,spiseog jokkepå. Grundentil,atviideontologiskemetaforerlaverenkategoriafbegreberforat subtrahere, skyldes at de grundlæggende metaforer, som tidligere nævnt, lige præcis er de metaforer, der bliver opfattet som selvindlysende. Derfor er det ogsåinteressantatfindeudaf,hvilkeprototyperpådetselvindlysendeplan,der villeværebedstatknyttetilenmetaforienundervisningssituation.yderligere kan der drages en parallel til det kognitive basale niveau, jf. afsnittet om prototypeteori,somerdetniveau,derharatgøremedvoreshverdagsbegreber. For at identificere, hvilke af de otte oplistede begreber, der er det bedste eksempel,vilviudfralistenmedkaraktertrækkeneforenprototypeforetageen gennemgangafhvertbegreb. Atsubtrahere: Viharikkeetempiriskgrundlagforatsigenogetomreaktionstid,menvimener, atreaktionstidenpåforståelseafbetydningenafbegrebetatsubtraherevilvære forholdsvis lang, og det kan være relativt svært at kategorisere, da det er en latinskbetegnelse,sommannemtkankludrerundtiblandtdeandrelatinske betegnelserforregnearter.yderligereerrisikoenfor,atordetvilleblivebrugttil spontantatlaveeteksempelmegetlav.derudoverersubtrahereetkompliceret ordatstaveogordetharfirestavelser. Attrækkefra: Detkategorisereshurtigtsometbegrebforatsubtrahere.Begrebetforekommer hyppigt i opdigtning af eksempler og det er et kort ord med få stavelser. Endvidereerdetetbegreb,derikkekunbrugesiklasseværelset,mensomogså ernemtatudvikleforståelsenafogdermedkunnegeneralisereoverpåandre objekterendtal. Atfjerne: Det er selvindlysende og har med vores intuitive erfaring af verden som substans og entitet at gøre. Begrebet bliver brugt meget i produktionen af eksempler. Det består af få stavelser og kan nemt generaliseres til andre situationer end undervisningslokalet

31 Attage: Vihareterfaringsmæssigtgrundlagforatbrugedet,ogdetkommertitopved produktionafeksempler.yderligereerdetetkorttogstavelsesord,derogsåkan generaliseres. Attælletilbage: De fleste opfatter forholdsvis hurtigt, hvad begrebet betyder. Det bliver brugt vedproduktionafeksemplerogharovertostavelser.dogkandetværesværtat generaliseref.eks.vedindkøb.detersværtattælletilbagepåmønterogvirker umiddelbartsometbegreb,dervirkerbedstmedentaltavleihånden. Atdø: Begrebeterhurtigtforstået,deternemtatlaveeksemplermed,ogdetharkun en stavelse. Begrebet er svært at generalisere, da det ikke bruges som en grundlæggende metafor, men som en forbindende. I forhold til at subtrahere giverdetgodnokmening,atsigeatetobjekt dør,ogefterladersummenafde levende,mendetgørikkeeksemplettilenprototype,dadetikkeerendelaf voreshverdagssprog. Atspise: Atspiseeretydersthurtigtopfattetbegreb.Deternemtatlaveeksemplermed ogdetharfåstavelser.begrebetknyttersigtilensituation,derskerhverdag hele livet igennem, og det er let at generalisere på. Dog giver det en ekstra dimensiontilforståelsenogerdermedenbindendemetafor. Atjokkepå: Begrebeterletforståeligt,hvismankendertilordetatjokkesomsynonymforat træde. Det kan forholdsvis let bruges i produktion af eksempler og det er længereendtostavelser.begrebetersværtatgeneralisere,ogerikkeendelaf voresgrundlæggendebegreber,dadetaltidskalhaveenbestemtkontekstforat detgivermeningatbruge.dermederdenneikkeenprototypeforkategorien Ud fra analysen af de otte begreber hver for sig, kan det nu opsummeres, at trækkefra,atfjerne,attageogatspiseerglimrendebudpåprototyperidenne kategori, mens at subtrahere at tælle baglæns, at dø og at jokke på, er gode metaforer,mendårligeprototyper.altafhængigtaf,hvilkenlærerdeforskellige eleverhar,vilenafdefireøverstealtsåværedetbedsteeksempelatbrugeved indlæring af subtraktion. Gennem eksemplerne fra vores observationer kan vi se,attrækkefraogatfjerneerdemestbrugtebegreberidegivneklasser,men dettekanværeettilfælde.atdetnetoperdissebegreber,derskillersigudhar noget at gøre med, at de forekommer i vores hverdagssprog. Derfor har de allerede en selvindlysende betydning for os, og erfaringsgrundlaget for disse begrebererutroligtstort. Hvis vi accepterer Piagets teori om adaption, må eleverne have en akkommoderet form for forståelse af begrebet subtraktion. For at kunne overføreogforbindeandrebegreberafsammebetydningsomsubtraktion,skal elevernekunneassimilerebegreberneiforbindelsemedatsubtrahere. Visuelt kan dette beskrives som, at hver elev har et akkommoderet subtraktionsskema i hjernen. I dette skema kan begreber af samme betydning knyttestilordetatsubtrahere.såledesudvideselevernesfiktiveskemaeritakt meddereserfaringer. Eleverforstårdermedf.eks.begrebetatspise,irelationtilsubtraktion,hvisde harassimileretdetideressubtraktionsskema

32 Undervisningsmateriale( I eksemplet: Stykkerne regnes ved (...) at bygge tallene i centicubes. (Freil, Kaas og Magersholt (Bog B), 2001: 16g17), bruges centicubes som en beholdermetaforfortal.éncenticubebrugesmetaforiskfortalleten.centicubes kan reelt set ikke indeholde andet end deres egen substans (en slags plastik), men de kan tillægges beholdergkvalitet som metafor. At man opfordres til at bygge tallene i centicubes følger metaforen TAL ER EN KONSTRUKTION, da det at bygge i normal forstand er et fysisk stykke arbejde, som vi forstår ontologisk. Dette overføres til det abstrakte domæne, tal, og derved konkretiseres opgaven. Der gøres altså brug af metaforen TAL ER EN KONSTRUKTION, samt beholdermetaforen CENTICUBES ER TAL. Følgeslutningerne kan konkluderes at være MERE ER OP og MERE ER GODT, derforadditionermere.metaforenmåsigesatværeenforbindendemetafor, daderbrugesetekstrametaforiskplan,atbyggetalicenticubes,pådenallerede abstrakteogmetaforiskeopgave,atudregnedetrigtigetal.somnævntovenfor bliver en centicube brugt som metafor for tallet en. Dermed kan det siges, at centicubes hører inden for kategorien tal. Centicubes er et langt ord med fire stavelser, som ikke er let genkendeligt, hvis ikke eleven i forvejen kender til ordet.dogerencenticubeetobjekt,derernemtatskabefysiskeerfaringermed (viharivoresobservationerset,atdeikkekunkendertildenlillefirkantved hjælp af det skrevne materiale), hvilket gør det nemt at generalisere ud fra. Yderligerebrugescenticubeniforholdetentilen,hvilketstyrkerforståelsenaf, at en mængde kan blive enten større eller mindre. En centicube er f.eks. for børnenepåkatrinedalsskoleenprototype,menkanikkesigesgenereltatvære det,daprototypeteorientagerhøjdeforkulturelleforskelle. Ieksemplet: Skemaeterbyggetopsom20cirkler,hvermedtallet1skrevetpå sig (Freil, Kaas og Magersholt, 2001: 58g59 (Bog B)), følges metaforen ET SKEMAERENKONSTRUKTION,daskemaeterbygget&op&som,hvilketantyderat skemaet ikke blot er skrevet op, men konstrueret som en bygning. De enkelte entitetererillustreretved: 20cirkler,hvermedtallet1skrevetpåsig.Herer detyvecirklerbeholderefortalletet,ogsymbolet 1 erskrevetpådemforat simplificere illustrationen. At cirklerne bliver omtalt som sig antyder en personifikation, da det normalt er mennesker denne tiltaleform bruges om. Skemaet er altså en BEHOLDERGENSTAND, og cirklerne som står for tal er BEHOLDERSUBSTANS. Ved at skrive bygge& op drages følgeslutningerne MERE EROPogOPERGODT.Deternormaltatbenævneikkegfysiskeelementersom noget med en fysisk opbygning så, Skemaet er bygget op som... er en grundlæggendemetafor.menbådedetatbyggeopsom20cirkler,ogatdehver isærhar tallet1skrevetpåsig,erenforbindendemetafor.idetteeksempeler detcirklerne,dergørdetudfordetgodeillustrativeeksempel.cirklerneerlette at genkende, de opstår i vores hverdag på mange forskellige måder i mange forskelligesituationer,ogdeerligesomcenticubesgodeenhederatgeneralisere på. Blandt andet pga. en til en forholdet imellem en cirkel og talværdien 1. Yderligere kan det siges, at cirkler i forhold til undervisning af matematik, allerede har en status som værende geometriske figurer og derfor kendte i dennesammenhæng.dettebetyder,atcirklererblevetikoniskeprototyperpå tal. Brugen af cirklen som prototype anvendes også i et andet eksempel, når der skrives at: Perlerækker fungerer som en lang række, hvor man kan tælle enkeltdelene (Freil,KaasogMagersholt(BogB),2001:4g5).Perlerækkerneer BEHOLDERGENSTAND for enkelt delene der er BEHOLDERSUBSTANS og som står for enkelte entiteter, altså enkelte tal. Perlerne er cirkler og er derfor 63 64

33 ikoniskeprototypiskeeksemplerpåenkeltetalligesomcirklerneidettidligere eksempel. Perlerækken som en lang række er en rumlig metafor for talrækkensafstandmellemtallenefraettilti,hvordetattælleenkeltdelenehen adperlerækkenerenorienteringsmetafor.følgeslutningerneermereergodt ogmereerop.dennemetaforstemmeroverensmeddagligtaleogdenerikke avanceret, så den kan meget vel kaldes en grundlæggende metafor. Dette eksempel taler altså direkte til vores opfattelse af verden omkring os. I dette eksempel er enkeltdelene altså synonyme med tal, mens perlerækken er synonymmedentalrække.entalrækkeeretredskabtilatkunnelæggetilog trække fra og derfor er det et begreb, der bliver gjort fysisk tilgængeligt. I og med at dette er af grundlæggende karakter, kan det siges, at den er nem at generaliserepå.deterf.eks.ligemegetomviskalregneud,hvormangekameler eller tal, der skal trækkes fra hinanden. Derudover er den let genkendelig og nem at lave eksempler ud fra. Derfor kan den være prototype i undervisningssituationer,hvordenbliverbrugtmeget. I eksemplet: Tyven stjæler tre enkeltdele fra tallet og der spørges til, hvor mangederertilbageihverbunke (Freil,KaasogMagersholt(BogB),2001:54g 55),ermetaforenATSTJÆLEERATSUBTRAHEREogENMÆNGDETALEREN BUNKE. Tallet forstås som en afsluttet mængde eller bunke bestående af enkeltedele, da man kan tage enkelte dele (tal) derfra, dvs. at subtrahere.bunken er en BEHOLDERGENSTAND og enkeltdelene er BEHOLDERSUBSTANS.FølgeslutningerneidennemetaforerMINDREERNED, ogdårligterned,forfulgtafsubtraktionerforsvindendeobjekter. Metaforenmåsigesatværeenforbindendemetafor,datyveneretekstralagi metaforens struktur og da tyven, der stjæler tal, ikke er et normalt anvendt billedepåsubtraktion.atenmængdeentiteterbliverkaldtenbunkeerderimod engrundlæggendemetafor,dererbredtanvendtisproget.detatstjæle,ersom entalrække,etgodteksempelpåregneartenatsubtrahereogdermedbegrebet atsubtrahere.somnævnterdetetbegreb,derfindesivoreshverdagssprogog deterderfornemtatsætteirelationtilandresituationerenddetsoprindelige betydning indikerer. Det består af få stavelser og er nemt at producere eksemplerudfra.dettegørbegrebettilenmuligprototypeforatsubtrahere. Et andet eksempel på en billedlig fremstilling af begreberne subtraktion og addition,sesifølgendeeksempelmedæbler.billedetviserhhv.ethalvtæble,et heltæbleogtoæbler.hervisualiseresbegreberneadditionogsubtraktion,da dethalveæbleviser,atmansubtrahererdenenehalvdelfradenandenogdet heleæbleviser,atmanlæggerdenenehalvdeltil,ogdetoæblerviser,atman lægger et ekstra æble til. (Kristensen og Teglskov, 2011: 30). Her bruges metaforen ET ÆBLE ER ET TAL. Udgangspunktet er ét æble, og herved illustrereshenholdsvisadditionogsubtraktionvedtoæbler(éttilføjetæble)og et halvt æble (et halvt æble mindre). På denne måde afgrænses de abstrakte begreber addition og subtraktion til et let forståeligt fysisk udgangspunkt, nemlig æbler. En følgeslutning, der kan drages ved metaforen er MINDRE ER DÅRLIGT,derfor denmetaforiskeafbildningenfødevareforsvinderved SPISNING,dadethalveæble,somoftestbliversynligt,nårenpersonharspist halvdelenafsitæble,illustrererethalvttal,ogderforethelttal(æble)derer blevetsubtraheret.derforogsåsubtraktionerforsvindendeobjekter. Æbletbrugessomentitetfortalogfungerersometgodtprototypiskeksempel, daformenminderomencirkelogdervederikoniskogletgenkendelig.deter nemt at lave eksempler med, det består af få stavelser, og det er nemt at generalisere,dastortsetalledanskereved,hvadetæbleer.derudovereræbler ivoreskulturenudbredtprototypefortal(pålinjemedandrefrugter),ogde 65 66

34 bruges ofte i undervisning. Derfor må denne metafor siges at være grundlæggende. Etandeteksempelpåbilledliggørelseafsubtraktionerillustreretvedendreng, derpustertrelysudpåenlagkagemedfemtændtelys(kaas,freilogmagerholt (Bog A), 2001: 54g55). Det fremgår implicit af billederne og af konteksten, at man har med subtraktion at gøre. Vi kan konstatere, at metaforen er SUBTRAKTIONERFORSVINDENDEOBJEKTER.Deterenontologiskmetafor,da deterobjekter(detreflammer),somforsvinderfraenbeholder(defemlys). Eksempletkanforståssomatlysene,isigselv,erBEHOLDERGENSTANDEN,og at selve flammen på lysene er BEHOLDERSUBSTANSEN, da det er dem, der subtraheres (pustes ud). Følgeslutninger der drages i denne metafor må være MINDRE ER NED, og DÅRLIGT ER NED, derfor SUBTRAKTION ER FORSVINDENDEOBJEKTER.Vivurderer,atdetteerenforbindendemetafor,da drengen og lysene bidrager med et metaforisk plan, som hjælper med at forklare,hvordansubtraktionfungerer,menbilledetisigselvudenkontekstog direktionvilleikkenødvendigvisblivetolkettilatomhandlesubtraktion.netop konteksten er central for vores forståelse af eksemplet. Dette er ikke en prototype,menbareengodmetafor.lysenepålagkagenerkunletteatforstå, hvis man lever i en kultur med dette fødselsdagsritual. Eksemplet er svært at overføretilandreeksempler,ogdesudenbestårdetikkeaffåstavelser. Ser vi på disse eksempler i forhold til Piagets teori om barnets forskellige udviklingsstadier,måmankonkludere,atelevenbørkunneforståmetaforerne. Ifølge Piaget sker dette på et tidspunkt, hvor eleven på er i stand til at gennemskue ens mængder af en given substans selvom udformningen af mængderneerforskellige. Undersøger man Gardners teori om de syv intelligenser i forhold til de ontologiskemetaforer,trækkesderisærpåtointelligenser.servipåeksemplet, hvor et billede viser et halvt æble og to hele æbler, fortæller det flere ting i forhold til Gardners teori. Først og fremmest benyttes den visueltgrumlige intelligens,damanskaldanneetbilledeafetæble,sombliverhalveret,indei hovedet.derudoverbrugesdenlogiskgmatematiskeintelligensnaturligvisogså, dabarneteristandtilatrokererundtmedobjekterne.detvilsige,atbarneteri standtilatmanipuleremeddetbillede,somdetvedhjælpafdenvisueltgrumlige intelligens har dannet, og dermed gør brug af den logiskgmatematiske intelligens. Det skal understreges, at blot fordi de to ovenstående intelligenser er mest fremtrædendeveddeontologiskemetaforer,erdetikkeensbetydendemed,at deresterendeintelligensererudenforståelsefordenneslagsmetaforer. Nogetafdetvikansesomforskelpådenskrevneogdenmundtligeformidlingaf matematik vha. metaforer er at der i det talte i sproget bruges mange grundlæggendemetaforer,sombliverunderstøttetafforbindende.detmodsatte gørsiggældendeidetskrevne.dettekanhavenogetatgøremedatdebilleder derdannes,idettalteermentalebilleder,ogderkrævesatdeunderstøttesmed forklaring. Hvorimod at det skrevne bygger på konkrete billeder i bogen, og disse kræver mere en forklaring af vha. de grundlæggende metaforer, som elevenforhåbentligtforstår.dervedbliverderogsådifferentiereti,atdeterden sprogligeforståelsedererifokusidettalteogdenvisuelleforståelse,derbliver centraliafkodningenafbillederneidetskrevne

35 Strukturelle(metaforer( Observationer( Som der blev redegjort for i gennemgangen af metaforteorien, bliver strukturelle metaforer brugt ved at tage begrebssystemet fra en handling og forstå en anden handling ved hjælp af den første. Dette kommer til udtryk i vores empiri, når læreren siger: Jeg har lige været nede ved købmanden og købeenkopkaffe.jeghavde10kronermed.købmandenerrimeligvilik,vedi hvad,hvadhanskulleha forden?(.)syvkroner.ogjeghavde10kroneroggår nedogsiger, jegvilgerneha enkopkaffe,hvormangepengefårjegsåtilbage? (Bilag 1: observation 1, Katrinedals Skole: 03:01).& Dette eksempel følger metaforen SUBTRAKTION ER AT KØBE.& Metaforen er strukturel, da det at subtraherebliverforståetsomenkøbshandling.følgeslutningenmåaltsåvære, atmankanbrugepengetilatkøbeting.iforholdtilprototypeteorien,mådenne metafor falde ind under kategorien måder at bruge penge, hvor denne købshandlingmåansesatværeetgodtprototypiskeksempelpåkategorien,da detathandleogbrugemønterernogeteleverneletkanrelateretil,ogharet erfaringsmæssigtgrundlagfor,nårbørneneervanttilatderesmødreogfædre køberind.metaforenmåsessomværendeforbindende,daderblivertilførten konkrethandlingtildetatforstådetatsubtrahere. I den konkret operationelle periode som opstillet af Piaget, når barnet en forståelse for, at noget abstrakt som tal kan blive forstået som en konkret størrelse ved at overføre det til noget håndgribeligt. Konservationen i dette eksempeleraltsåpenge,hvorforlærerenviadennemetaforgørdetletterefor elevenatforståsubtraktion. IfølgeGardnereretskridtmodenmereabstraktoggenerelforståelseafbasal aritmetik,atmankanforståatbrugedetihverdagen.dettebetyderogsåatfor atkunnegåfraatforstådetkonkreteeksempel,købekaffe,skalelevenkunnegå tilatforstådengenerellesituationatkøbenoget.derforereksempletbrugbart, daeksemplettalertilelevenserfaringsgrundlag,ogdervedkendtesituationer. Dettegøratdeterlettereatfåenforståelseafdetabstraktebegrebsubtraktion somengenereloginternaliseretproces. I følgende eksempel gøres brug af metaforen BEREGNING ER AT GÅ: Man skal faktisk gå hen over, og når man rammer tallene så skal man lægge demsammen.ognårmanlæggertallenesammen,sånårmannårherforenden afopgavensåskaldetgive21 (Bilag2:observation3,HimmelevSkole:15:50). Detat gå,detat ramme ogdetat nåforenden måsessomværendedeleaf den gåtur man gør sig, når man regner på addition. Derved opstår den strukturelle metafor, da læreren bruger at gå og fører det over på et additionsstykke, hvor tallene undervejs ses som deldestinationer og resultatet 21 som målet. En af følgeslutningerne der kan drages i dette eksempel er, at additionerenbevægelsefrastarttilmål,ogdetergodtatnåmålet(måleter resultatet af regnestykket). Dermed er følgeslutningen det er godt at nå målet Dettekanledevideretil,atmankanrammeindinoget,idetmanbevægersigpå sin vej. Ud fra den metaforiske afbildning, at man kan gå fra start til et mål opstårennymetafor,atgåeratbevægesig.herkanmanse,atderskeret sammenspilmellemtometaforer. MetaforenBEREGNINGERATGÅerforbindende,damansomidetovenstående eksempel bruger et begreb til at forklare et andet. Derimod er metaforen TAL KAN LÆGGES SAMMEN en grundlæggende metafor, da der ikke indføres et ekstraelementudoverdetatlæggenogetsammen. MetaforenBEREGNINGERATGÅbyggerpåkategorien atbevægesig,hvori dette eksempel bevægelsen er at gå. Det at gå er en bevægelse, der sker 69 70

36 fremadrettetfraetpunkttiletandetogdetteerenegenskab,derliggercentralti kategorien. Vi har i vores observationer ikke mødt en udpræget brug af strukturelle metaforer.muligvisfordioverførslenafværdierfraetdomænetiletandet,ofte kanhæveabstraktionsniveauet.følgendeereteksempelpåetmislykketforsøg påatkonstruereenstrukturelmetafor:lærerenspørger hvornårbrugerman minus?, og en elev svarer: når man er dyrepasser (Bilag 1: observation 1, Katrinedals Skole: 01:58g02:09). Den forestillede metafor er MINUS ER AT VÆREDYREPASSER.Elevenforsøgeratforstådetabstraktebegrebminusvedat føre det over på den forståede handling at være dyrepasser. Dog løber eleven indiproblemer,dahanderefterikkekanfindehjælpidetkonkretebegreb,idet hanikkekanbesvare,hvordanmankanbrugeminusiarbejdetsomdyrepasser. Elevenfinderaltsåselvudaf,atdetikkeeretbrugbarteksempel,dabegrebetat væredyrepasserikkebelyseretaspektvedminusudenenyderligerekontekst. Det læreren spørger efter er i bund og grund en prototype på, hvornår man brugerminus,forderefteratbrugeeksemplettilatdanneenmetaforudfra.i forholdtilprototypeteorien,kanvikonkludereatarbejdetdyrepasserfalderind underkategorien;dårligeprototypiskeeksempler.detteselvomdetfaktiskgodt kan bruges, i den rette kontekst. Derfor støder eleven ind i problemer, sandsynligvis fordi han ikke har udviklet de sproglige færdigheder til at formulere,hvadhanmentemedsiteksempel. Dennemislykkedemetaforerforbindende,dadeneratypiskogikkeisigselver åbenlystforståelig.udfrapiagetsadaptionsteoriopstårderetproblem.eleven harenakkommoderetvidenombegrebernedyrepasserogsubtraktion,menden konkrete forbindelse mellem disse udebliver. Metaforen smuldrer, muligvis fordi eleven mangler sproglige kompetencer til at formulere eksemplet eller fordiselveerfaringsgrundlagetindenforetafelementerneståruklart. Vi kan ud fra vores analyse af disse eksempler, konkludere at de anvendte metaforer er forbindende. Dette kan argumenteres for, idet de strukturelle metaforer som udgangspunkt tilfører et begrebssystem til at forstå et andet. F.eks.nårlærerensammenlignersubtraktionmeddetatbrugepenge.Lakoffog Núñezhævder, at for at danne en forbindende metafor gælder det, at man tilføjeretekstraelementtilatforklaredetabstraktedomæneimetaforen.når strukturellemetaforersomdefinitionerattilføjeetbegrebforatforståetandet, mener vi at man kan slutte, at strukturelle metaforer vil være forbindende. UdfraPiagetkanmangenereltsigefordestrukturellemetaforer,atforateleven skal kunne forstå disse, er det nødvendigt først at have et erfaringsmæssigt grundlag,dergørdetmuligtatsættedetohandlingersammen.detvilsige,at som der blev skrevet i gennemgangen af Piaget, er det evnen til at kunne akkommodere, der bruges til at forstå strukturelle metaforer. Gardnerbeskriverintelligensersomværendeautonome.Alligevelermanistand tilatbrugeflereintelligensersamtidigogdermedfådemtilatsamarbejde. Dette samarbejde opstår for eksempel, når man arbejder med metaforer. Her skal man tit bruge elementer fra flere intelligenser til at forstå det abstrakte, som metaforen prøver at konkretisere. Når man sidder overfor et metaforisk forklaret matematik eksempel, kan man for eksempel benytte sig af både den matematiskglogiskeogdenlingvistiskeintelligenstilatforståmetaforen. Et matematisk problem vil derfor kunne forstås ved hjælp af den stærkeste intelligens hos individet i samarbejde med elementer fra andre intelligenser

37 Denstærkesteintelligensskalforståssom,denintelligensindividetharudviklet mest. Så hvis man er stærkere i én intelligens end en anden, burde det være en funktionel strategi for indlæringen at benytte strukturelle metaforer til at forbindetointelligenserogdomæner.ivoresobservationerservi,atmetoden til at formidle og forstå subtraktion, er at finde konkrete begrebssystemer og lave metaforiske afbildninger på det abstrakte. Derved anvendes et begrebssystemfraetintelligensdomæne,dererbedreudviklethoseleven.viser atmetaforenminuseratværedyrepasser,fungererdårligereforeleverne endberegningeratgå.dettekanskyldes,atderidensidsteeretelement af, at man anskuer problemstillingen ud fra mere kropsligtgkinæstetiske og visueltgrumlige intelligens aspekter, og derfor kan det skabe en udvidet forståelseafproblemstillingen.derudoverkandettænkesatelevenderforsøgte atanvendemetaforenminuseratværedyrepasser,ikkehavdeudvikletde lingvistiskekompetencertilatformuleremetaforensegentligekontekst. Undervisningsmateriale( Detharikkeværetmuligtatfindestrukturellemetaforeridetskrevnemateriale. Detkanderværeflereårsagertil.Viharblandtandetobserveret,atbilledernei det skrevne materiale, selvom de benytter kendte handlinger fra barnets hverdag, bevæger sig hen til at blive ontologiske metaforer på grund af de objekter, som bliver brugt. For eksempel det tidligere nævnte eksempel med drengen,sompusterlysudpåenlagkage.herses,hvordanenkendthandling,at pustelysud,kunnefåentilattro,atmetaforenerstrukturel.alligevelerden ontologisk, da selve metaforens regnestykke drejer sig om lysene, som er objekter fra barnets hverdag og ikke om selve handlingen at puste lys ud. Samtidigerenmuliggrundtilfraværetafstrukturellemetaforeridetskrevne materiale, at det tilføjede element, i disse metaforer, øger det sproglige abstraktionsniveauunødvendigt.mankantænkesigatformegettidvillegåved diskussionenafhvordanmetaforerneskulleforstås,ogdervedvillefokusflyttes fradetreelleområde,derskulletillæres,nemligbasalmatematik. Orienteringsmetaforer( Som nævnt i teorien bliver disse metaforer dannet på baggrund af vores rummeligeerfaringmedverden.vivilfindeudaf,hvordandeerbrugtivores observationer, for at kunne konkludere noget generelt om dem og dermed besvarespørgsmåletom,hvorvidtdisseletterelevensforståelseafdetabstrakte elementimatematikken. Observationer( Idetoførsteeksemplerkommereleverneoptilsmartgboardet,hvorenlinealer afbilledet som eksempel for talrækken. Hersesenelev,dermedlærerenshjælp,øversigpåatskabeetfiktivtrum: Elev: Jegtællertilsyv Lærer: Dugårhentilsyv(.)Hvadgørmanså? Elev: Øhm, så tæller man tre ned. (Bilag 1: observation 2, Katrinedals Skole: 01:13g01:24). Dette er en orienteringsmetafor, idet eleven danner et fiktivt rum for at konkretisere talrækken.& Elevendanneretfiktivtrumforatopnåenvisuelforståelseaftalleneiforhold til hinanden, dette ved hjælp af linealgillustrationen. Metaforen kommer til at væreattælleeratgåmellemtallene.denmetaforiskeafbildningmå dermed være, at når du går, kan du bevæge dig frem og tilbage. Denne rummelige erfaring hjælper altså eleven til at forstå det abstrakte i 73 74

38 subtraktionen. I og med at eleven ud fra den illustrerede lineal sættes overfor et fiktivt rum, men stadig tøver på svaret, tyder Piagets adaptionsteori på, at eleven har en akkommoderet forståelse af den kronologiske talrække, men endnu ikke helt harassimileretenfuldforståelsefortallenesindbyrdesforhold.dermedkandet siges, at orienteringsmetaforen i dette eksempel letter elevens forståelse. Modsatsesdetidetteeksempel,hvordanenelevpåegenhånd,skaberetfiktivt rumforatanskueliggøreregnestykket: Elev: Altså, i stedet for at gå en opad, så går man en nedad. (Bilag 1: observation 1, Katrinedals Skole: 01:08) Eleven lader til at have styr på dannelsen af det fiktive rum og bevægelsen i denne. Eleven har allerede assimileret tallenes indbyrdes forhold og kan med hjælp fra linealen bevæge sig op og ned i det fiktive rum. Metaforeneribundoggrunddensammesomidetovenståendeeksempel,men her tilføjes også et andet element. Eleven har tydeligvis forstået addition som ADDITIONEROP.Såmeddenneviden,udtænkerelevendenmodsattemetafor SUBTRAKTIONERNED.Elevenrelatereraltsåopognedtilplusogminus.Dette beviserdogikke,atelevenharenforståelseaftegneneplusogminus,menat han/hunharenforståelseafbegrebetopogned.denneforståelseudspringer fraelevensevnetilatforestillesigdetfiktiverumvialinealen.detkansigesat elevengennemsinorienteringsmæssigeogsprogligeerfaringkanskelnemellem subtraktionogaddition. I det tredje eksempel skaber læreren det fiktive rum for at konkretisere et regnestykke,somergennemgåetvedtavlen: Lærer: Hvordanerdetnumanhopperpåentallinjehvismanskaltrækkefra? Hvadvejskalmansåbevægesig? Elev: Bagud. (Bilag2:observation3,HimmelevSkole:16:54) Udfralærerensspørgsmåltyderdetpå,atelevenharbrugforhjælptilatdanne et fiktivt rum, da eleven har ikke et klart billede af talrækken. Derfor sætter lærerentalrækkenienandenkontekstiformafetfiktivtrum.detteeksempel kansigesatunderstøtteteorienom,atenmetaforkanletteelevensforståelse. Viantager,atelevernedererobserveret,eridenkonkretoperationelleperiode. VikanudfraPiagetsteoriom,atbørnidenneperiodeharbehovforattingskal værehåndgribeligeforatkunneforstås,hvordetatsebrugenafnogetvisuelt hjælperbørnenemedathåndgribeliggøreordningaftal.foratgøretalrækken merehåndgribelig kræver det som Lakoff og Núñez skriver, at metaforen skal passe sammen med elevens erfaringsgrundlag, hvilket kræver at eleverne, i første og andet eksempel, har kendskab til en lineal. På Katrinedals Skolen bruges en lineal som prototypen på talrækken. Det ville være nærliggende at antage,atbørneneogsåhargjortbrugaflinealenvedindlæringafaddition,og dermed kender til linealens funktion i en matematikundervisning. Om ikke andethardeflesteenafslagseniderespenalhus.linealen,somerbrugtideto første eksempler, er prototypisk da den bliver brugt i flere situationer og er dermed et stærkt redskab til at generalisere ud fra. Dette kan både ske ved subtraktion og addition. Linealen er for børnene på Katrinedals Skolen let genkendelig og som det tydeligt fremgår ud fra observationerne, god at lave varierendeeksempler på. Det kan yderligere siges, at linealen er prototypisk i sinform,iogmedatdenerformetsomenstreg,samtharformsometsimpelt rektangel, og dermed også kan siges at være ikonisk. DerudoverpåstårPiagetogsåisinstadieteori,atbarnetharevnentilatopfatte 75 76

39 verdenen ud fra andre perspektiver end sit eget. Dette kommer i vores observationertiludtrykidannelsenafdetfiktiverum. Disse tre eksempler brugt i undervisningen er orienteringsmetaforer, fordi de byggerpåtalrækkensomværenderummelig.ogdavikanbevægeosfremog tilbageietrum,kandettekoblespåetfiktivtrum hertalrækken.dervedkan man også bevæge sig frem og tilbage i talrækken. Ud fra de tre orienteringsmetaforseksempler kan vi komme frem til, at den overordnedemetaforertalrækkeneretendimensioneltrum,ogdette medførerogsånoglefølgeslutninger. Som vi så idetandeteksempel, dannede elevenselvenmetaforforsubtraktionudfrahansforståelseaffølgeslutningen, additionerop.elevenharforstået,atdetmodsatteafadditionersubtraktion. Samtidig er ned det modsatte af op, og han skaber altså dette på baggrund af hansfølgeslutningsubtraktionerned. AlletreeksemplertilhørergruppensomLakoffogNúñezkalderdeforbindende metaforer.dettekommertiludtryk,daderbliverinddragetelementeriformaf bevægelseogetfiktivtrumforatkonkretiseresubtraktion. Ifølge Gardner vil de primære intelligenser i orienteringsmetaforer være den visueltgrumligeogdenkropsligtgkinæstetiske.detteikraftafatdeegenskaber manbruger,knyttersigtilevnentilatforestillesigetrum,oghvordandetsåer muligt at bevæge sig idet. En måde at understøtte disse, er at benytte sig af remedier til at synliggøre de abstrakte elementer ved de konkrete. Så når en lineal står for det abstrakte rum, eller når læren/eleven bruger sin krop til at understøtte metaforen, er det et skridt på vejen til at udvikle den rumlige intelligens.sånårmanivoreseksemplerser,atelevernebenyttersigafop/ned og frem/tilbage orienteringer, er det præget af, at de har en visueltgrumlig forståelseaftalrækken.intelligensernebliverogsåmetaforiskbundetsammen, når vi ser, at det er bevægelserne i et mentalt rum, der fungerer som en metaforiskafbildningaftallenesrækkefølgeogrelationtilhinanden.strategien med at bruge orienteringsmetaforen SUBTRAKTION ER NED, kan potentielt skabe problemer hos elever, hvor der er en mindre visueltgrumlig intelligens. Elevenkanhaveproblemermedatsedetrum,hanskalbevægesigi,ogderved bliver det problematisk at forstå relationen mellem tallene i en op/ned orientering Undervisningsmateriale( Orienteringsmetaforers omdrejningspunkt er rummet. Det illustreres godt ved hjælp af eksemplerne fra undervisningsmaterialet med talrækken (Freil, Kaas, Magersholt,2001:64).Talrækkenbliveretfysiskrumvikanbevægeosrundti, ogmankan hoppe fremogtilbageitallene,altefterommanadderer(frem) eller subtraherer (tilbage). Når man hopper frem på talrækken bliver tallet større.detsvarertilatfremermere,hvilketførertilbeskrivelsenjf.lakoffog Johnson,atMEREEROP.Dermedmåfølgeslutningenvære,atfremogderforop gør tallet større og handlingen er positiv. Samtidig ses fremtiden som noget positivt,såfremmodnoget,herpåtalrækken,ergodt. Talrækkensesogsåsomenprototypefortallene.Detgørden,dadeteretgodt eksempelpåtalleneibestemtrækkefølge.derudoverkenderdeflestebørnfor eksempelhinkeruder,hvormanhopperfrataltiltal.derforertalrækkenengod mådeatforklareplusogminuspå,damankan hoppe frataltiltal.detsamme somvedeksempletmedperlerækkenunderdeontologiskeeksempler,gørsig altsåogsågældendeher. Dettesesogsåvedeksemplet,hvoreleverneskalregneplusstykkerudvedhjælp af hop påperlekæderogtallinjer

40 De to ovennævnte metaforer er, ifølge Lakoff og Núñez teori, begge bindende metaforer.deterde,dadebinderetkonkretbilledepåmetaforen.deterdog ikke alle orienteringsmetaforer, som viser sig som bindende metaforer. En metaforsom atgåtofrem,erforeksempelengrundlæggendemetafor. Kigger vi på Gardners teori med de syv intelligenser ses det, at der for ovennævnteeksemplergælder,atdenlingvistiske,denlogiskgmatematiske,den visueltgrumlige og den kropsligtgkinæstetiske intelligens alle er i brug. Den lingvistiskeintelligenserselvsagtmedpågrundafdensprogligeforståelse.den logiskgmatematiske er repræsenteret, da det gælder om at kunne agere med mentaleobjekter.derudovererdenvisueltgrumligenaturligvisogsåibrugher. Detsker,datalrækkenskalbrugessommentaltbillede,hvormankan bevæge sig rundt. Sidst, men ikke mindst, er den kropsligtgkinæstetiske metafor repræsenteret, da man bruger fysiske bevægelser til at bruge talrækken. Man går og hopper foreksempelpåden.disseintelligensersesogsåieksemplet her, hvor eleverne skal regne minusstykkerne ud ved at hoppe forlæns eller baglæns på hver tallinje. Her ses den logiskgmatematiske intelligens ved at skulle forestille sig en tallinje man kan gå på. Den visueltgrumlige ses i selve tallinjen,sometmentaltrummankanbevægesigrundti,mensdenkropsligtg kinæstetiskeertilstedeidenfysiskebevægelse,hvormanhopperforlænseller baglæns. I forhold til Piagets teori er der ikke meget at gøre rede for i forhold til det konkretoperationellestadievedeksemplerneovenfor.iteorienskriverhan,at barnet på dette stadie er i stand til at manipulere med mængder på trods af størrelser,menhannævnerendnuikke,hvorvidtbarneteristandtilatskelne mellemtal.hvisdetteikkeertilfældet,vilbarnethavesværtvedatforestillesig, atmængdenaftalstiger,nårmangårfremellerop.alligevel,hvisvigårtilbage tildettidligereeksempel,hvorvisammenlignertalrækkenmedenhinkerude, kandetske,atbarnetharassimileretsigfremtil,attreliggertofelterførfemog detteogsåpåtalrækken.deteraltsåetspørgsmålombarnetsevnetiladaption. Konkretkandetsiges,atorienteringsmetaforerhjælperelevernemedatskabe rummelige eksempler, som ikke nødvendigvis er udtryk for at eleven har forstået, hvordan den skal relatere det til andre situationer. En sproglig forståelse for begreberne op og ned er nødvendig for at kunne skelne mellem subtraktionogadditioniforholdtilatrelateredettetilandresituationer. Delkonklusion( Ud fra analysen har vi erfaret, at der dannes nogle mønstre alt afhængigt af, hvilket fokus man har pålagt analysen. I de ontologiske metaforer findes der mange prototyper. Dette skyldes, at de ontologiske metaforer opererer med fysiskegenstandeforatfåenforståelseafdetabstrakte.iogmeddeterfysiske genstandeviharmedatgøre,bliverdetterepræsenteretiformafprototyper. Detteerderforengodforklaringpå,hvorforderfindesmangeprototyperherog ikkesåmangeunderandrekategorier. Derudoverkunne vi heller ikke identificere nogen strukturelle metaforer i det skrevne undervisningsmateriale. Dette kan skyldes, at det skrevne materiale bygger på objekter og ikke illustrerede handlinger, der kan defineres som et konkret erfaret begreb. Dette udelukker dog ikke det faktum, at læreren kan omformulere disse illustrationer i det skrevne materiale, til en strukturel metafor,netopfordidetvilbliveformidletgennemdettaltesprog.strukturelle metaforererdesudenogsåmerekomplicerede.detskyldes,atdeteretbegreb, derlæggesovenpåetandet.derforskalderforeståengarantifor,atmanforstår 79 80

41 det nye begrebogdetsindhold.dettekommertiludtrykvedeleven,derikke har kendskab til hvad begrebet dyrepasser indeholder. Fordi denne type metaforerbaseretpåflerebegreber,kandetteogsåværegrundentil,atdenne metafor (ifølge vores undersøgelse) er forbeholdt det talte sprog, da det er nemmere at forklare og gribe nogle misforståelser på vejen. Typisk for de strukturellemetaforererogså,atdetilhørerkategorienbindendemetaforer.det skyldes,atdeharmedhandlingeratgøre,somindbefatterindførelsenafmange ekstra elementer. De orienterende metaforer ligner meget hinanden. Dette skyldes, at alle disse bygger på talrækken som et rum, og vi ikke har fundet andreorienterendemetaforerivoresundersøgelse. I løbet af analysen kan det ses, at to af Gardners intelligenser går meget igen, nemlig den logiskgmatematiske intelligens og visueltgrumlige intelligens. Det skyldes, at det jo selvfølgelig er matematik analysen omhandler. Derudover er detogsåfordi,denvisueltgrumligeintelligensernødvendigforvisualiseringenaf engiventing. Påbaggrundafdettekanviikkekonkludereomnoglebørnforstårmetaforeri matematikundervisningen bedre end andre. Vi kan dog sige, at ud fra ovenstående eksempler er der et par intelligenser, som er mere benyttet end andre.blandtandetsesdet,atdenlingvistiskeintelligenservæsentlig,dadeter enforudsætningforatkommefradetkonkretetildetabstrakte.indlæringenaf det abstrakte i matematik, som de basale regnearter, er lingvistisk i sit udgangspunktiogmed,deerbaseretpåmetaforerogprototyper.derforerdet essentielt at den sproglige forståelse er udviklet til at kunne forstå disse. Vikanudfraanalysense,atmetaforerneikkeskaberforståelsesproblemerhos de børn vi har stiftet bekendtskab med. Alligevel opstår der et problem, når barnetselvskaldannemetaforer.dettekanske,dadeforstårmetaforen,men ikkeharenforståelsesgellererfaringsramme,dererbrednoktilatselvkunne dannedem. Diskussion( Hvorfor(fungerer(metaforer(i(undervisningen?(( Vi# har# analyseret# brugen# af# metaforer# i# vores# observationer# og# undervisningsmateriale,/ samt/ overvejet,/ hvad/ vi/ kan/ udlede/ heraf/ i/ forhold/ til/ Gardner' og' Piagets& teorier.& Derfor& er& det& nødvendigt& at& finde& ud& af,& hvordan& metaforerne) fungerer) i) matematikundervisningen.) På) baggrund) af) dette) har) vi) udarbejdet)en)diskussion)af)vores)analyse)sat)overfor)en)undervisning)uden)brug) af#metaforer.#for#at#opnå#en#fyldestgørende'diskussion'har'vi'inddraget'piagets' stadieteori,* Gardners* intelligensteori* og* læreren* Morten* Christian* Hansens* udtalelser)fra)interviewet)(bilag)3).# Som$vi$allerede$har$udledt$af$analysen$ovenfor,$er$det$skriftlige$materiale$fyldt$ med$ metaforer.$ Især$ de$ ontologiske$ metaforer$ fylder$ meget$ i$ det$ skriftlige$ materiale,)mens)orienteringsmetaforerne)kun)består)af)én)(talrækken),)som)til) gengæld' er' nævnt' mange' gange.' De' strukturelle' metaforer' er' ikke' videre' repræsenteret,) da) de) ofte) kræver) mere) forklaring og# ikke# kan# forklares# ud# fra# billeder,(som(materialet(ofte(består(af.(den(rige(metaforbrug(bekræftes(af(lærer( Morten'Christian'Hansen'(MCH),'som'siger:' altså'der'er'jo' VOLDsomt'mange ' (Bilag' 3," 2012:" linje" 22a). Hvis% undervisningsmaterialet% ikke% indeholdt$ metaforer$ ville$ det$ består$ af$ abstrakt'tekst'og'få'billeder.'det'ville'være'regnestykker'med'tegn,'altså'+'og' fremfor& regnehistorier& og& erfaringsbaserede& eksempler

42 Ligedan(ser(det(ud(i(den(mundtlige(undervisning.(Her(er(metaforbruget(i(vores( I" en" undervisningssituation" uden" metaforer," ville" forståelsen" af" matematikken" observationer( også( rigt.( I( forhold( til( det( skrevne( materiale( er( brugen( af( de( ikke$ligge$i$de$metaforiske$eksempler,$men$derimod$i$en$generel"forståelse."hvis" strukturelle( metaforer( større.( De( ontologiske( fylder( stadigvæk( meget( og( i( eleverne&først&kan&forstå&den&generelle&metode&at&udføre&et&bestemt&regnestykke& undervisningen* bliver* de* støttet* af* fysiske* objekter,* såsom* centicubes.* på,$kan$de$overføre$den$generelle$regel$til$andre$eksempler.$modsat$ved$brugen$ Derudover(består(undervisningen(i(høj(grad$af$regnehistorier,$som$er$rettet$mod$ af#metaforer#der#er#mere#bundet#af#eksempler.# elevernes'erfaringsgrundlag.'mch'selv'er'ikke'bevidst'om'sin'brug'af'metaforer,' Piaget' er' generelt' positivt' stille# overfor# brugen# af# metaforer# i# den# konkrete# men$ erkender,$ at$ han$ bruger$ metaforer.$ I$ sin$ forberedelse$ leder$ han$ ikke$ operationelle* periode.* Han* mener,* man* i* denne* periode* i* høj* grad* forstår* ved* decideret' efter' metaforer,' men' falder' han' over' dem,' tager' han' stilling' til' dem' i' hjælp& af& konkretisering& og& berøring& af& objekter.& Dette& ses& i& undervisning& med& sin$ 12a). brug% af% metaforer,% hvor% de% ontologiske% metaforer% bliver" understøttet" af" fysiske" Havde& der& ikke& været& metaforer& i& undervisningen,& havde& det& bestået,& ligesom& i& objekter,)såsom)centicubes.)det)behov)som)piaget)her)beskriver,)understøttes)af) det$ skrevne$ materiale,$ af$ abstrakte$ forklaringer$ uden$ konkrete$ eksempler.$ På$ MCH:% Vi%kalder%dem%konkreter %Man%må%gerne%tælle%på%fingre%både%i%1.%2.%3.,% den$ måde$ ville$ undervisningen$ ikke$ på samme% måde% tage% udgangspunkt% i% hvis%det%hjælper%en %Jeg%har%altid%en%kasse%centicubes%stående,%når%jeg%har$små$ elevernes' erfaringer.' Undervisningen' ville' bygge' på' udenadslære.' Ifølge' Lakoff' klasser ((Bilag(3:"2012,"linje"83ag86). undervisning$ (Bilag$ 3," 2012:" linje" og Núñez& befinder& udenadslæren& sig& i& hjernedelen& basal& ganglia.& Sproget,& matematikken( og( kropsforståelsen( befinder( sig( derimod( i( hjernedelen( inferior$ partial'cortex.'med'andre'ord'ville'hjernen'ikke'blive'stimuleret'i'samme'omfang' i"en"undervisningssituation"kun"bestående"af"udenadslære,"da"ipc"ikke"villeblive& aktivereti"lige"så"høj"grad.& Howard'Gardner'siger'helt'overordnet,'at'vidensdeling'er'baseret'på'forklaring' af#abstrakte#ting#ved#hjælp#af#konkrete#eksempler.#som#vores#analyse#viser,#er#det# den$lingvistiske,$den$logiskgmatematiske(og(den"visueltgrumlige(intelligens(som( er# mest# i# spil# i# vores# eksempler# på# matematiske# metaforer.# # Der# findes# altså# et# samspil' mellem' intelligenserne,' der' gør' at' vi' kan' benytte' strategier,' til' Ud#fra#vores#analyse#har#vi#bl.a.#kunnet#udlede#at#elevens"forståelse"er"i"stand"til" problemløsning,. fra. forskellige. intelligenser.. Metaforer. kan. sætte. flere$ at#rumme#brugen#af#metaforer.når$eleven$selv$skal$danne$metaforer,$er$der$brug$ intelligenser) i) spil) og) skabe) et) samarbejde) mellem) dem,) for) at) hjælpe) til) for$vejledningen.$eleverne$kan$have$svært$ved$at$bruge$metaforen$på$andet$end$ forståelsen* det$ forklarede$ eksempel læreren& tidligere& har& givet." Alligevel" kan" eleverne% til% Havde& der& ikke& været& metaforer& til& stede& ville& en& vidensdeling& ifølge& Gardner& tider&skabe&en&forståelse&af&for&eksempel,&at&plus&er&op&og&dermed%er#minus#ned.# som$udgangspunkt$ikke$kunne$finde$sted.$ser$vi$på$de$syv$intelligenser,)ville)de) Det$sker,$når$eleven$har$forstået$metaforen$og$dens$følgeslutninger.$Ifølge$MCH$ manglende( metaforer( gøre,( at( der( kun( ville( blive( benyttet( én( intelligens;( den( sker% der% flere% forståelsesfejl% i% det% skrevne% materiale% end% i% den% mundtlige% logiskgmatematiske.) Derved) ville) man) ikke) ramme) ligeså) bredt,) da) de) to) undervisning,$da$eleverne$her$ikke$har$mulighed$for$at$spørge$læreren$om$hjælp intelligenser) til$ På# trods# af# en# generel kritisk& tilgang& til& Howard& Gardners& teorier,& anerkender& en$ forklaring (Bilag' 3," 2012:" linje" 35b).$ 83 af* fra) eksemplet) det* ovenfor) abstrakte* ikke) ville) problem.* blive) benyttet.) 84

43 MCH,%at%eleverne%helt%tydeligt%lærer%forskelligt.%Han%fortæller,%hvordan%han%ofte% lader&elever&gå&uden&for&klasselokalet,&høre&musik&eller&sidde&andre&steder&end& på#deres#pladser#(bilag#3,#2012:#linje"56g58a).&derudover&fortæller&han,&at&hans& egen$ oplevelse$ er,$ at$ elever$ med$ særlig$ sproglig$ forståelse$ har$ lettere$ ved$ at$ forstå'metaforerne'(bilag'3,'2012:'linje'75a).'det'betyder,'at'mch'mener,'at'den' lingvistiske*intelligens*er*den*mest*dominerende,*når"det"kommer"til"forståelsen" af#metaforer.# Kritik( Vores projekt søger at give et indblik i, hvor meget metaforer og prototyper fylderiundervisningssituationerimatematiki1.klasse,oghvilkenindflydelse disse har på indlæringen af subtraktion. Til at hjælpe os med at forstå, hvilke forudsætninger eleven overhovedet kan have for at forstå metaforerne, har vi kun taget udgangspunkt i den kognitive psykologi, herunder Jean Piaget og Howard Gardner. Vi har dermed udelukket andre teorier så som den psykodynamiske,derkunnehavegivetenandenvinkeltilanalysenafdebrugte metaforeriundervisningen.denpsykodynamiskeretninghandlerblandtandet om elevens motivation til tilegnelse af nyt stof. Hvis vi havde haft denne teori indeovervoresprojektogså,kunnedettænkes,atvimåskehavdefundetfrem til en lidt anden konklusion. Man kunne forestille sig, at nogle elever er mere indstilledeogfokuseredeiundervisningenendandre,hvorforderherogsåeren større chance for forståelsen af metaforerne. Nogle elever på både Himmelev SkoleogKatrinedalsskolekobledeheltaf,låpåbordetogandrehavdeendda dynemed.detteharviikketagethensyntilivoresprojekt. Ydermere ser vi heller ikke på den samfundsmæssige dimension. Forholdet mellemlærer elevogelev eleverogsåetaspekt,derkunnehaveværetværd atundersøge. Det kan tænkes, at eleverne inspirerer hinanden i væremåde og motivation, dette være sig positivt og negativt. Den positive påvirkning kan være, hvis to elever gennem dialog forstår en metafor fra undervisningsmaterialet. Desuden kunne man også forestille sig, at eleverne påvirkerhinandenibrugenafprototyper.nogleeleverermåskeientidligere alderendandreudeatkøbeindmedforældre,hvorfordemuligvisnaturligtselv lærer at kategorisere penge i kategorien tal. Altså kan de generalisere på baggrund af denne kategori. Man kan forestille sig, at en elev ville hjælpe en anden, f.eks. ved et regnestykke med subtraktion, ved at bruge prototypen mønter. For at færdiggøre denne tanke, kan man dernæst forstille sig, at den hjulpneelevviladapteredennyevidenafmøntersomprototyperpåtal. Iprojektetforholderviosikketillærenspædagogiskeevneellerformåentilat nå ud til eleverne i undervisningen. Det pædagogiske aspekt er ikke en del af voresanalyse,davireeltsetkunforholderostil,atderbliverbrugtmetaforerog prototyper. Den kognitive psykologi hjælper os således til at analysere udelukkendeudfraenendimensionellæringssituation. Detsamfundsmæssigeogpsykodynamiskeaspektindenforpsykologiensverden bliver ikke vurderet i vores projekt, og der er garanteret andre psykologiske tilgange,derkunnehaveværetrelevanteognyttigeathavemed. VihartagetudgangspunktienmegetspecifikteoriivalgetafPiagetsomvores teoretiker, og har brugt teorien ukritisk som en del af analysen af elevernes forudsætningforforståelsenafmaterialet.derfindesmange,derharkritiseret Piagetsteorier.KritikkenafPiagetgårkortsagtpå,athanikkeharnokbelægfor at opstille de faser som han gør. Kritikerne hævder, at nogle af børnenes færdighederforekommertidligereendhvadpiagetharopstilletisinstadieteori

44 De konservationsforsøg som Piaget mener, viser skellet fra den præoperationelle fase til den konkret operationelle fase, forholder andre teoretikere sig kritisk til. Det hævdes ligeledes, at de spørgsmål han stiller børnene,somhanbegrundersinfaseteoriudfraharensprogligbarriere,ogat hanundersøgerlogikkenfremforpsykologien(billesøogbaltzer,2007:93g115). Vi bruger Howard Gardner, fordi det er ham, der har opstillet de syv intelligenser, uden at vi har ledt videre på eventuelt senere udviklede teorier indenforsammeemne.howardgardnererdesudeninspireretafjeanpiageti denlogiskmatematiskeintelligens,hvilketogsåkanhavehaftenindflydelsepå voresanalyseogforståelseafdenne. I vores projekt tager vi desuden ikke hensyn til, at der findes andre metaforteorierendlakoffogjohnson.voresresultatforanalysenbyggerderfor udelukkendepåderesforståelseogderesinddelingafmetaforer. Chris Bills 7 foretog en repræsentativ observation af matematik undervisning. Han tog udgangspunkt i at undersøge, hvilke sproglige indikatorer der kan findes i børns sprog, samt hvordan deres klasseundervisning påvirkede deres tanker om tal og taloperationer. Med dette ville han vise deres mentale udregninger. Empirien i Bills undersøgelse blev indsamlet i en tredjeårs klasse med børn i alderen 7g8 år, gennem en periode fra september 1998 til juli Der blev foretaget elevinterview og observationer af lektioner. I elevinterviewene blev elevernestilletoverformatematiskeproblemer,somdeskulleløseihovedet,og derefter skulle de forklare, hvilke tanker der opstod i deres hoved. Dette gav eksempler fra enkelte elever på, hvordan deres mentale udregninger kom til 7 Tilknyttet Oxford Shires matematikcenter og har skrevet om indflydelsen af metafor-brug på børns matematikforståelse. udtryk i deres sprog om matematik. Elever fra to forskellige skoler blev undersøgt for at vise forskellen i undervisningsformer. Den ene var en traditionelskole,ogpådenandenskoleblevderbrugtetalternativtsystemtilat læretalfærdigheder. For at vores empiri skulle kunne fungere som en repræsentativ undersøgelse, kanvisåledesse,atviskullehaveobserveretklasserneoverenlængereperiode. Ligeledes skulle vi have haft fokus på sproget, herunder skulle vi have været mere bevidste om elevinterviews. Fremgangsmåden skulle her have været at giveenelevetregnestykke,forderefteratforklare,hvordanelevenudregnede det. På denne måde kunne vi have fået indsigt i elevens egentlige tankeprocesser,herunderbrugtemetaforer.denneundersøgelsevillekortsagt havegivetosenbredereforståelsefor,hvordanelevenforstårsigpåmetaforer oghvordandegørbrugafdem. Konklusion( Viharkunnetkonkludere,atbrugenafmetaforerogprototypererstor,bådei det skriftlige og talte materiale. Orienteringsmetaforerne og de strukturelle metaforerersvagtfremtrædendeibeggesituationer,hvorimoddeontologiske metaforererstørstrepræsenteretibådedetskrevneogdettalte.detteskyldes atdissemetaforerbrugerfysiskegenstandeideresopbygning.deterafsamme grund,atprototyperofteopståridissesammenhænge.prototypernebliverihøj gradvalgtudfragodeeksemplerpåkategorier,ogkanderforsættesirelationtil både Piaget og Gardner, da de begge argumenterer for, at en logisk viden grundlægges på baggrund af vores interaktion med objekter i vores hverdag. Kategoriseringharihøjgradnogetatgøremedvoreserkendelseafverden.Det er på baggrund af kategoriseringen, prototyperne kommer til. Den specifikke prototypeteori forklarer, hvorfor vi vælger, at noget er prototypisk frem for 87 88

45 noget andet. I prototypeteorien har vi beskrevet de variabler, der gør sig gældendeforenprototype,hvorisærgeneraliserbarhedervigtigt,dadeterdet, derharerfaringsmæssigtgrundlagtildetabstrakte.dissefaktorerervigtigeien givenundervisningssituation,hvorlærerenhartilopgaveatgørenogetabstrakt, idettetilfældesubtraktion,merekonkret. Lakoff og Nunez nævner også, at metaforforståelsen bunder i de erfaringer vi har gjort os gennem hele livet, og dermed må metaforerne også være et hjælpende element, da de referer til noget, der er lageret i vores hjerne i forvejen.forståelsenafmatematikersåkompliceretenhandlingatforstå,men ved at undersøge metaforens opbygning, kan det ses, hvilke elementer og egenskaber man bruger til at forstå det abstrakte matematiske begreb, subtraktion. Her kan følgeslutninger nævnes, da de bl.a. hjælper til at forstå værdierne ved det abstrakte. Den generelle følgeslutning for subtraktion er altså,atsubtraktionernegativtiogmed,atdetatmisteernogetnegativt. Vikanaltsåikkeleveudelukkendepådebasaleevnersomf.eks.subitizing,men harbrugforhjernensevnertilatforståogsammensættekonkreteogabstrakte elementer. Her bruges menneskets forskellige intelligenser i samspil med metaforentilatgiveensamletforståelse.nårdenkonkreteforståelseoverføres tildetabstrakte,erdenlingvistiskeintelligenssærligtnyttig.meddettemenes, at eleverne skal kunne forstå de grundlæggende sproglige begreber i konteksten. Forskellenpåmenneskersdominerendeintelligenserresultereroftei,atnogle vil have bedre forudsætninger for at forstå en bestemt slags metafor. Vi oplevedeensituationhvorenelevikkeforstodforholdetmellemtallene,hvilket manskalbrugeden matematiskglogiske intelligens til. Derimod forstod eleven forholdet mellem tallene da det blev sat i en visueltgrumlig kontekst. Dette illustrerer dominansforskellene i intelligenserne. Og dette er afgørende for hvilkestrategierelevenbenyttersigafoghvilkemetaforerdervilværelettest forståelige for eleven i henhold til subtraktion. Det ville være optimalt hvis læreren havde fokus på modtagerens stærkeste intelligenser ved brug af en givenmetafor. Teoretisk set stemmer adaptionsprocessen overens med metaforteorien der netop handler om at overføre noget fra det konkrete til det abstrakte. Følgeslutningenatsubtraktionernegativtbliverillustreretitaltyvenogandre eksempler.ogdisseeksemplereretbilledepådetalleredeerfaredesombørn bruger i adaptionsprocessen, og derved giver de en klarer forståelse af subtraktion. Teoretisksetkanvisigeatbørni1.klassesaldereneristandtilatforstå,aten klementin kan være en entitet for tal grundet deres tidligere ageren med symbolbrug.derforkonkluderervi,atmetaforerogprototypermedvirkertilen bedre forståelse af det abstrakte begreb subtraktion. Alligevel kan det forekomme, at eleverne kan have svært ved at overføre metaforeksemplet til andre situationer. En undervisning uden metaforer ville besværliggøre indlæringen,menhavdeeleverneførstlærtreglerne,villedetumiddelbartvære lettereatoverføretilandresituationer. Perspektivering( SomLakoffogNúñez(2000)nævnerkannyfødtealleredefådageefterfødslen, ifølge undersøgelser, skelne mellem objekter. Da dette er udgangspunktet for dengrundlæggendematematik,mådetsigesatværedefinerendefor,hvordan børn tidligt i deres udvikling opfatter verden. Der nævnes også en anden undersøgelse, der viste at 4gårige kan forstå det simple regnestykke 2 1 =

46 (LakoffogNúñez,2000:15).Detvilsige,entidligttilegnetvidenomsubtraktion ertilstedepåettidspunktibarnetsudvikling,hvorbarnetumiddelbartendnu ikke er indført i basale regnearter. Dette stemmer godt overens med Gardners teori om det han kalder barnets intuitivelogik,derdækkeroverdenmatematiskeviden,sometbarntilegnersig de første år af sit liv. Denne viden kunne måske mere præcist kaldes barnets tidligttilegnedeviden.teoriener,atmensbørnendnuersmåogendnuikkeer startetiskole,udviklerengrundlæggendeopfattelseaf,atnogetkanværemere ellermindretalrigt.altsåhardealleredepådettetidspunkterfaretgrundlaget for metaforen MERE ER OP etc., som de senere møder i andre forskellige sammenhænge.defårbegrebomtallinjenogkantællefralidtellerintettilet meget højt tal eller uendeligt. Barnet forstår hvad det indebærer at lægge til, trækkefraellerdeleopiligedele,hvilketermetaforerforhenholdsvisaddition, subtraktionogdivision.eleverneprøver,ifølgegardner,påbedstmuligvisatfå alverdensmatematiskeproblemerdemøderihverdagen,tilatpasseindidet simple, numeriske skema, og i de fleste tilfælde er udfaldet i det mindste tilnærmelsesvisrigtigt.gardnerargumentererdervedfor,atlærerensegentlige opgave ikke kun består i at præsentere ukendt materiale for eleverne, men nærmere at forene elevernes tidligere ideer om matematik med matematikteorien samt den normalt anvendte symbolnotation (som + for addition). Samtidig mener Gardner at det er lærerens arbejde at forsøge at reviderefejlantagelserogstereotyperhoseleverne,dvs.tidligeremisforståelser af den basale matematik. Hvis læreren kun retter elevens fejl, uden at give eleven indsigt i sammenhængen, mener Gardner, at eleven højst sandsynligt hurtigt vil vende tilbage til sine tidligere, ikkegteoribaserede fremgangsmåder (Gardner,1998:228g232). Piagets udviklingsteori bekræfter ikke direkte Lakoff og Núñez eller Gardners teorier. Men han omtaler også tidspunktet hvor barnet aktivt og bevidst begynder at bruge objekter og tillægge dem værdier. Denne periode kalder Piaget den præoperationelle periode (2g7 år), hvor Piaget mener at barnet begynder at forstå og bruge tegn og repræsentation. Dvs. at barnet lader et objektrepræsentereetandet,velvidendeomatdetoobjekterikkeeridentiske (Hansen, 2005:138g140). Dette er grundlæggende for forståelsen af især prototyper:mantaleromklementiner,mendestårireeltsetforentitetereller tal. Vi kan ud fra disse forskellige vinkler af børns tidligere matematiske viden konstatere,atderfindeseksemplerpå,atbørnkendertilmatematiskebegreber førdebegynderiskole.dogerdetførstnårbarnetsegenerfaringforenesmed den officielt anvendte teori og symbolnotation, og når læreren får rettet og revideret eventuelle fejlantagelser, at de reelt kan bruge deres matematiske videnienstørresammenhæng. Man kan sige, at metaforerne bliver brugt som et bindeled mellem den tidligt tilegnedevidenogdenvidenmantilegnersigiskolen.detkommertiludtryk vedhjælpafdenbilledsprogelevenindføreriderammer,deskalvænnesigtilat tænkematematiki.hvismanfølgergardnersidé,erdet attrækkefra ethelt naturligt udtryk for det at subtrahere g selv før barnet bliver præsenteret for subtraktionogaddition.dvs.athvisgardnerharret,kenderbørnenemetaforen forregneartenførdekenderdealment,anvendteudtrykfordegrundlæggende matematiske begreber. Dette minder om Lakoff og Johnsons teori, om at metaforernestrukturerervoresbegrebssystemogdenmådeviopleververden på(1980/2002:13).deteraltsåengennemgåendeteori,atbarnetkendertilsin egenerfaredematematiskelogik,sommåskeharmetaforiskudgangspunkt,før 91 92

47 barnet bliver introduceret til almene matematiske love og regler. Et andet fokuspunkt for en lærer vil være hvordan metaforer vises eller repræsenteres i undervisningen. Når Chris Bills skriver i artiklen Metaphor in young chrildren's mental calculation: Metaphor in young children's mental calculation:the language derived from classroom activities might thus both indicate and shape children's conceptualisation of number and number operations. In this case the pedagocic representations used by teachers (words, drawings, physical materials, real life contexts) mayprovidethe'metaphorswecalculateby (Internetkilde:Bills, 2012: 1). Bills lægger herved vægt på, at den måde matematik bliver præsenteret for elever på i klasselokalet, har stor betydning for hvordan eleverne udfører matematiskeudregninger.lærerensvalgafpædagogiskerepræsentationerfor tal og matematiske begreber danner baggrund for den måde børnenes beregningsstrategierbliverstruktureret.detkunneværeinteressantattageden viden vi nu har om metaforers strukturelle egenskaber, og undersøge hvilken betydningdetharienvidereopfattelseafmatematik:mankunneobservereen 1.klasseogsenere,f.eks.vedderes9.klassesafgangseksamen,gåindogseom deres matematikstrategier er præget af de repræsentationer, deres 1. klasses lærer har benyttet. NormaPresmeg 8 (1992)kommerogsåmedargumenterfor,atlærereigennem 8 Professor ved matematikafdelingen på Illinois State University og har skrevet om brugen metaforer i matematik. enkritiskbrugafmetaforerkanværecentralefordenforståelse,derdannesaf matematikken. Few mathematics educators are aware of the importance of differenttypesofimageryinmathematicalreasoning,andofthe metaphoricandmetonymicroleswhichtheseimagesplayingoing beyond the apperceptions of the sense to reach the logical generelizationswhichare,( )thesinequanonofmathematics (Presmeg,1992:609). PresmegunderstøtterBillsogpåpegervigtighedenafmetaforer,somredskabtil atkunnegeneraliserebegreber.dettekommerførsttiludtrykveddenkritiske brug af metaforer. Presmeg mener, at det kun er få lærer, der er klar over vigtighedenafdemesthensigtsmæssigemetaforer.etviderefokuspåbaggrund afvoresprojekt,kunneværeendybereanalyseaf,hvorvidtlærereerbevidste omderesmetaforgbrugogfåenbedreforståelseafbrugenafdem. Dette spiller også ind ift. Gardner, da man kan argumentere for, at en differentieret undervisning ville være en bedre undervisning Ud over dette, konkluderer Bills på side 8 i artiklen, at den ukritiske brug af metaforerkanværeproblematisk.denkritiskebrugogindlæringafmetaforer fungererderimodsomenoptimeringafundervisningenimatematik. Bills idé om vigtigheden af lærerens repræsentation og ordvalg hænger godt sammen med Knud Illeris teori om en tredimensionel læringssituation bestående af den kognitive, psykodynamiske og samfundsmæssige dimension. Samspillet mellem lærer og elev, samt elev og elev bør medregnes i undersøgelser af læringssituationer. Dette ville være væsentligt hvis vi skulle tilføjeyderligereaspekter,ogderveduddybevoresundersøgelser.detvillevære 93 94

48 spændendeatudvikleprojektetienretning,hvormanundersøgterelationerne ogsamspilletiklassen,specieltmedfokuspåatforstå,hvordanmetaforerhar indvirkningpådette(illeris,2004). Litteraturliste Bøger( Billesø & Baltzer. (2007). Teorier& om& læring& L& en& læringspsykologisk& antologi. Værløse:Billesø&BaltzerForlagene,s.93g115 Bringuier,) JeangClaude' (2006)' 1.' udgave.' Samtaler( majgjuni% 1969.% I:% Samtaler( med$jean$piaget.århus:'forlaget'klim,'kap.%3g5,s.#40g73. Freil,Ole,Kaas,ThomasogMagersholt,Kristian(2001)Kolorit&matematik&for&1.& klasse& Bog& A.& 2. udgave, 2. oplag. Forlag: Gyldendalske Boghandel, Nordisk ForlagA/S,Copenhagen Freil,Ole,Kaas,ThomasogMagersholt,Kristian(2001)Kolorit&matematik&for&1.& klasse& Bog& B. 2. udgave, 1. oplag. Forlag: Gyldendalske Boghandel, Nordisk ForlagA/S,Copenhagen Gardner,Howard(1993)2.udgave.Frames&of&Mind.London:FontanaPress Gardner, Howard (1998) 1. udgave. Sådan& tænker& børn& L& sådan& lærer& de. København:Gyldendal.Oversættelse:KurtStrandberg Hansen,'Kirsten'Grønbæk.'(2005)'3.'udgave.( Tænkning(og(sprog.(I:(Hauge,(Lene( &" Mogens" Brørup" (red.)." Gyldendals)Psykologihåndbog." København:* Gyldendals* Forlag.kap.%6,%s.%133g

49 Illeris, Knud (2004) LÆRING& & aktuel& læringsteori& i& spændingsfeltet& mellem& Piaget,&Freud&og&Marx.Frederiksberg:RoskildeUniversitetsforlag.Kapitel1g5 Klitmøller, Jacob og Nielsen, Klaus og Pedersen, Martin (2012) 1. udgave, Deltagerobservation,& København: Hans Reitzels Forlag.& & Kristensen, Bo Teglskov og Teglskov, Rikke (2011) 1. udgave. Multi& 2A,& København:Gyldendal Lakoff, George og Johnson, Mark (1980/2002) 1. udgave 4. oplag. Hverdagens& Metaforer.København:HansReitzelsForlag Lakoff,GeorgeogNúñez,RafaelE.(2000)Where&mathematics&comes&from,&New York,NY:Basicbooks. Schultz,)Karen.)(2004))1."udgave." Piagets)teori.I:#Når$børn$og$voksne$reflekterer."" Forlag:(Akademia.dk.(Afsnit&3.2,&s.&14g17 Steensig, Jacob: Transskription. I: Nielsen, Mie Femø og Nielsen, Søren Beck: Samtaleanalyse.Samfundslitteraturliste2005,s.175g200 Stjernfelt,FrederikogHendricks,Vincent(2007)Tal&en&Tanke&L&om&klarhed&og& nonsens& i& tænkning& og& kommunikation Frederiksberg: Forlaget Samfundslitteratur.Kap.10,s.199g213. Vejleskov,*Hans.*1999*(1.*udgave).* Udviklingen*af*tingsbegreb*&*Eksperimentet* med$ pinde." I:# Udvalgte) PiagetLtekster& Uddrag& fra& Piagets& værker& med& indledende&kommentarer."dansk"psykologisk"forlag."tekst%5g6,#s.#93g140 Artikler( Bills,Chris(2001) Metaphorsandotherlinguisticpointerstochildren smental representations i Resarch& in& Mathematics& Education. vol. 3, issue 1, 141g154. Warwick:UniversityofWarwick Jørgensen,) Klaus) Frovin) (N.D.)) Prototypeteoriens) bidrag) til) en) teori) om) erkendelse.*upubliceret Mervis,(Carolyn(B.(og(Rosch,(Eleanor((1981)( Categorization(of(Natural(Objects #I# Annual&Review&of&Psychology.Vol.%32,"s."89g115 Presmeg,NormaC.(December1992) Prototypes,metaphors,metonymiesand imaginative rationality in high school mathematics i Educational& Studies& in& Mathematics, vol. 23, issue 6, 595g610. Tallahasse, FL: Kluwer Academic Publishers ( Internetkilde( Chris Bills, Metaphor in young children s mental calculation. EUROPEAN& RESEARCH& IN& MATHEMATICS& EDUCATION& III.& lls_cerme3.pdf(lokaliseretd.10/12g2012) 97 98

50 99 Bilag(1( Katrinedals(Skole( Observation(1( Førstedel: 00:00:Lærer:Hvaderminus? 00:12:Lærer:Kanviikkekaldedetenbredstreg? 00:26:Elev:5g4.Såkanmanta firefrafem. 01:00:Lærer:Hvordangørmansådanrentpraktisk.Hvordantænkerman?Skal manha nogetmed.ja,(elevsnavn). 01:08:Elev:Altså,istedetforatgåenopad,sågårmanennedad. 01:11:Lærer:Mantællersimpelthennedad?Så Mankunneha sin hånd(..)alleharfem(lærerenrækkersinenehåndivejret).såskalvifjerne fire.allefjernerligefirefingre,ik (..)ellerlæggerdemned.alleermedpå,atder erentilbage? 01:58:Lærer:Hvornårbrugermanminus? 02:09:ElevA:Nårmanerdyrepasser. 02:15:ElevB:Nårmanskulletælledyrene. 02:34:Elev:Hvismannuhar20fiskiZooogså10dør,såharman10tilbage. 03:01:Lærer:Jegharligeværetnedevedkøbmandenogkøbeenkopkaffe.Jeg havde10kronermed.købmandenerrimeligvilik,vedihvad,hvadhanskulle 100 ha forden?(.)syvkroner.ogjeghavde10kroneroggårnedogsiger, jegvil gerneha enkopkaffe,hvormangepengefårjegsåtilbage? 03:26:Elev:Tre. 03:29:Lærer:Trekroner.Hvordanfandtduudafdet? (.) 03:52:Lærer:Jegtænker,hvorforikkebareha tifingrerogsåfjernesyvaf dem( ) (.) 04:17:Lærer:Hvismanhartoligestoretalogtrækkerdemfrahinanden( ) (Underdettestårlærerenvedsmartboardet.Dererøversttrepunkter medhenholdsvisgrønne,guleogrødefirkanter.læreren trækker fysisk medpindenrødefirkanterfrem) 04:47:Lærer:Jegharværetsundiferien(.)Jeggikned,ogsåkøbtejegen massejordbær.jegkøbtefaktisk3,4,5,6,7()jordbærkøbtejeg(.)sågikjegpå toilettet( )såkunnejeghørerjosephine,hunkomlistende(.)oghunelsker jordbær,ogdahunsådem,såbesluttedehunsigforatspisetreafdem(.)så fjernerjegdem(.)(lærerenfjernerfysisktrefirkanterfradesamledesyv firkanter)hvormangevardersåtilbagetilmig,dajegkomtilbagefratoilettet? 06:29:Lærer:Dehertostreger,demelskerallematematiklærer.Nårmanputter tostregerundernogetsåbetyderdet.deterderresultatetstår deter sandheden. (ElevAkommertiltavlen.Elven trækker fysiskderødefirkanterfrem)

51 101 07:39:Lærer:Tænkpåetstykke.Detharværetferie,onkelAnderserkommet hjemfraamerikaoghanhargivetdig(.)étjordbær( ) 07:53:ElevA:Rigtigmange( ) 07:55:Lærer:Hanharfaktiskgivetdigrigtigmange(.) 08:14:ElevA:Hanhargivetmig.ti. 08:32:Lærer:Hvadsketederså? 08:34:ElevA:Såkomminlillesøster. 08:36:Lærer:Eeeej,hvorgroftHvadgjordehun? 09:04:ElevA:(.)Huntogdemallesammen(eleven trækker fysiskalle firkantertilbage) (ElevBkommertiltavlen) 10:58:ElevB:Hvaderdetder?(elevenpegerpådegrønnefirkanter) 11:00g11:57:Lærer:Detkunnevære..øh..salat(..)Hvormangehardutaget? 11:58:ElevB:Ti. 12:00:Lærer:DuharogsåfåettiHvadsketederså? 12:02:ElevB:Sågikjegpåtoilettet(.)Ogsåkomminstorebror(.)Hanspiste fire. 13:03:Lærer:Ogduhavdeti.Hvadtrakdufra?Dutrakfirefra. Andendel: 00:55:Elev:Tagermansyvfraotte,såbliverdetén (Elevernefårnunogleregneark,hvordermanglerettal,deskalfinde. Talleneeromformulerettilting,såsomæbler,hatte,dyro.lign.) 02:49:Elev:Hardufåetalletallenetilbage? 02:51:Lærer:Viharfåettalleneigen.Dererikkenogenderhartagetalletallene, numåvibrugealletaligen :37:Lærer:femminusetgellergandet.DeterhamderMr.X,deterhamden hemmelige Observation(2( Førstedel: 00:00:Lærer:Derersyvedderkopperik?Oghererdertreedderkopper.Deter altsåsyvminustre.findudafhvormangederertilbage.(.)dervarsyv edderkopper,såkommorogsådem,kaldtepåfar.farjokkedepåtreoghvor mangevardersålevende,ik? (Lærerenogelevenståvedsmartboardet.Dererenillustrationafen lineal.) 01:13:Elev:Jegtællertilsyv 01:16g01:23:Lærer:Dugårhentilsyv(.)Hvadgørmanså? 01:24:Elev:Øhm,såtællermantrened 01:26g01:41:Lærer:Såtællerdutretilbage.(.)Prøvligeattælletilbage engang. Andendel: 01:08g02:18:(.)Manståher,ogsåtællerdutilbage:1,2,3ogsålandermanpå fire(enelevgiverudtrykfor,atelevenikkeforstårdet)dufindersyvpå linealen.deterden,derborher,ervienige?såskalmantælletretilbage,fordi vitrækkertrefra.(lærerentegnernoglehophenoverlinealen)sågårmanjo baglæns.1,2,3ogsålandervipåfire. Observation(3( Førstedel:

52 00:36g00:49:Lærer:Viskalsimpelthenundersøgenoget.Såkanvilavenogle skurer,noglesøjlerderviserpopularitetellerhvisjegnustilledejeret spørgsmåløh:kanili pizza ja?nej?ogsådannoget.såkanmansige,hvemku flestli pizzaogsådannoget.(.) Andendel: (Påsmartboardeterdernoglesøjler,somillustrerepopularitetenblandt hundeogkatte) 00:08:Elev:Dererflestkrydsvedhunde(.)endvedkatte. 00:57g01:26:Lærer:Detsom(navnpåelev)sigerer,atnårhundenharflest pølser,såerdetden,derermestpopulær.( )Mendetgælderjoikke( )deter joikkefordi(.)vikunnetagetilringstedogsåkunnevispørgeenførsteklassei Ringsted,såkunnedetværederessvarvaranderledes.Detherdetervoresbud påhvordanvisomklassekanli hundeellerkatte. ( Bilag(2( Himmelev(Skole( Observation(1( Opgavengårudpå,ateleverneskalskriveforskelligeminusstykker,dergiver hhv.tallene5,8og10. 04:48Lærer:Hvadmeddether,derstårotte.Ogsåtrækkervitrefradeotte (herbrugerlærerenenfagtpåoverheadenmedfingrene,hvorfingrene indeholderdeottehvorefterfingrenetrækkessammentilatindeholde5),hvor mangeerdersåtilbageatbruge? Hvadgiverdet,M? 04:57Elev:Fem. 05:17Lærer:Erdernogenderkankommemedetrigtiggodt..øh..regnestykke? Somgiverfemnårmantrækkerdetfrahinanden? 05:24Elev:Timinusfem. 05:35Lærer:HvisIskrivertiogsåtrækkerfemfra. 05:50Elev:Øhhhh,seksminus ja,nej.. 06:01Lærer:Hvisvinusigerseks..minusen,såtrækkervidenenefradeseks ogsågiverresultatetfem,ikkeogså.hvadsåa,harduogsåetgodtregnestykke? 06:11Elev:Femminusnul. 06:13Lærer:Ja,femminusnul,denkunneviogsågodtbruge,ikkeogså.Så trækkervinemligingentingfradefemogsåerderfemtilbage. S,hvadsiger

53 105 du? 06:27Elev:Syvminusto. 06:29Lærer:Yes..Såsigervisyvogsåtrækkervitofra,oghvormangeharviså tilbage,s? 06:33Elev:Fem. 06:34Lærer:Såharvifemtilbage..F? 06:37Elev:Femminusfem. 06:39Lærer:Femminusfem.Hvadgiverdet?Hvisdunuhar...fembolcherogdu spiserfembolcher...duhardefembolcher.såspiserduførstdetene,detandet ogdettredje,detfjerdeogdetfemte.hvormangebolcherhardusåtilbage,f? 06:55Elev:Fem. 06:56Lærer:Hvormangeerderpåminhånd?(Viserenknytnæve ingen fingre)nul.såduharspistallebolcherne.såharjegikkenogenbolchertilbage, F 07:03Elev:15minusfem. 07:06Lærer:15minusfem,sågiverdetmere,sågiverdetti.Såhvisvinusiger.. Vikunnesige..Viharaltsåtiminusfem,ikkeogså..Mendetvarellersetgodt forsøg,mendetgiverbarenul.hvadsigerdu? 07:24Elev:Otteminusti. 07:27Lærer:Mankunnegodtsige15minusti.Hvadskerdersånårvitrækker detifra15,v? 07:33Elev:Såfårvifem. 07:39Lærer:Hvadsigerdu,E? 07:40Elev:Øhhm..Tominusfem. 07:44Lærer:Tominusfem?Detgiverminustre,E.Menhvisvinusagdetoogså lagdetretil,såhavdedetgivetfem,ikkeogså.menviskaltrækkedemfra hinandennuher.e,kanduprøveatkommemedetandetregnestykke? :11Lærer:Nej,detvarellersetrigtiggodtregnestykke,hvisdethavdeværet viskullelæggetallenesammen,ikkeogså...hvadsigerdu,j? 08:19Elev:Niminustre. 08:22Lærer:Niminustre.Altså,prøvattagefingreneop(tagerfingreneop),tag nifingreop.ja,nifingre,duharkunottefingrefremmenu,ja,nifingre.så fjernerdutre.en,to,tre(elevenfjernertrefingre). 09:16Elev:Hvisjegharti,ogjegtrækker...Jegharotteogjegtrækkertrefra,så harjegfem. 09:51Lærer:Hvordetskalgiveti Hvisvisiger20ogtrækkertifra,hvor megeterdersåtilbage,f? 10:16Lærer:Detgiver20ogdetskalgiveti.Hvormegetskalvisåtrækkemere fraforat25minusetellerandetgiverti? 10:56Elev:Øhm.Femminus15. 11:00Lærer: Hvisjeglaverdetherregnestykke,såbliverdetminusti.Detvil sigedeterikkenogetiharlærtendnu,detbliverforsværtdether.såbliverdet detmankalderetnegativttal.dvs.deternogetderikkerigtigtkanladesiggøre. Detsvarertilmanhar..Detsvarertilatmanhar..Femkronerselv,ogmanvil købenogetfor15kronerogsålånermanentierafmor.deterdet,detsvarertil detherregnestykke..s? 11:54Elev:Øhm.25minus,øhm,15.

54 107 11:58Lærer:Ja,hvisvisiger25ogsåtrækker15frasågiverdetnemligogsåti. 14:09Eleverneskalideresmatematikbogtrækketalfrahinandenog derefterfarvenoglefrugterpådetudleveredeopgaveark.hverttalpå tegningenharsåledesenfarve.15errød,14erblå,13ermørkegrøn (bliverillustreretvedenmåne),12erlysegrøn,11erorange.frugterne liggerienkurv,ogbliverfarvetefterhåndensomdefårregnetstykkerne ud. 17:00Talsommønter:Eleverneskalregneud,hvormangemønterderer tilbage,hvisde fjerner en2krone,frato2kronerogen1krone.det volderlidtproblemerforenelevoglærerenhjælper. 17:54Lærer:Jegtraktofra.Hvormangehavdejegialt,S? 17:59Elev:Fem. 18:40Hereftergåreleverigangmedatarbejdeindividueltpåde udleveredeopgaveark. Observation(2( 10:25Lærer:C,erdetsåsådanatnårmannutrækkertalfrahinanden,hvad skerdersåmeddettalmanstartermed? 10:33Elev:Det... 10:42Lærer:Hvadsketedermedtalleneigårnårduhavdetrukketnogetfra det?hvadblev.. 10:47Elev:Såblevdetetandettal. 10:50Lærer:Såblevdetetandettalja,ogK,hvadsketedermeremeddet? 10:54Elev:Detblevmindre :55Lærer:DetblevmindreDeterdetderskernårvitrækkernogetfra hinanden,såblivertallenemindre.hvadsånårvilæggerdemsammen,hvad skerdersåmeddem?..a? 11:06Elev:Såtallenebliverstore. 11:07Lærer:Såbliverdestørre,ja.Sådetvilsigeatnårvitrækkertallenefra hinanden,nårvilaverminusgstykker,såblivertallenemindre.deterrigtig vigtigtihuskerdet,fordihvismankommertilatlæggetallenesammenistedet forattrækkedemfra,såbliverdethelttrælsogforkert,deterrigtigkedeligt,og såkanmanstarteforfra,ikkeogså. Så,viskaligenidag,derskalviarbejde minusgstykker,ognårmanlaverminusgstykkersåtrækkermantallenefra hinanden. 16:34Elev:Regnerdetmedtal? 16:37Lærer:Ja,jegbliverheltvådafalledetal. Observation(3( Førstedel: 10:05Lærer:Vedduhvad37minus4giver? 10:17Elev:Deter :18Lærer:Tætpå34,deterénmindre. 10:21Elev:Såerdetbare33. 10:33Lærer:Regnestykkerneherovre.Iskalskrivedetindpådesmåpladser. Ogsåskalmanregnedemud.OgsomGhanogsåviser:manskalskrive regnestykket,skriveregnearten,dvs.hvaderdetmanskalgøre,skalman trækkefraellerlæggesammen.

55 15:31Elev:Manskalplussedet..Manskalprøveatsigedethertilsammen,21 bliverdet.prøveatputtedetsammenog.. 15:43Lærer:Dvs.atman..Dvs.detalmangårhenover,demskalmanlægge sammen? 15:49Elev:Ja. 15:50Lærer:Okay,ogsåskaldetgive21nårmankommerudidenandenende, ellersharmangjortdetforkert? Deterfuldstændigtrigtigt.Deter fuldstændigtrigtigtatdenheropgavesomksåfintharskrevetop,atmanskal faktiskgåhenovertallene,ognårmanrammertallenesåskalmanlæggedem sammen.ognårmanlæggertallenesammen,sånårmannårherforendenaf opgavensåskaldetgive21. Deterrentfaktisksådanatheroppe,derersådan enlinjemedsådannogleprikkerpå.hvadkunnedetværeatmankunnebruge dentil?hvadkunnedetværemankunnebruge tallinjen,linjenmed prikkerneogtallenepåtil? 16:33Elev:Øh..Mankunnebrugedentilathoppemed. 16:36Lærer:Mankanbrugedentilathoppemed,mankanbrugedentilat hjælpesig,nårdetermanskalregnedetud.hvordanerdetnumanhopperpå entallinjehvismanskaltrækkefra?hvadvejskalmansåbevægesig? 16:54Elev:Bagud. 16:57Lærer:Manskalhoppe..bagud.Dvs.athvismannugårsådanher (skrivertallenefra1_5påtavlen)ogviharetregnestykkederheddertreog viskaltrækkeénfra,såskalvihoppe..éndenvej( hoppertilbage med kridtetfratretiltopåtavlen)ogsågiverdet(skriver 2 ).Pådenmåde.Når vilæggernogetsammen,såhoppervidenandenvej. 20:30Herefterarbejdesindividuelt,oggruppengårrundtogspørgerindtil elevernesmatematiskeforståelsemedhenblikpådetmetaforiske. Andendel: ITime2arbejdesderudelukkendemedarealogomkreds,hvorderikke umiddelbartblivergjortnævneværdigbrugafmetaforer

56 111 Bilag(3( Transskription(af(interview(med(lærer(Morten(Christian( Hansen( Danskstandard2,udvidetversion Apostrof:hovedtryk Komma:bitryk Emfase:storebogstaver //:afsluttendeintonation /:videreførendeintonation P:pause P1,2:længerepause(overetsekund) ::forlængelseafforrigelyd H:Pausemedlyd(åndedræt) Å:istedetfor og og at,hvisdetudtalessådan g:selvafbrydelse Anna:AA Anne:AE Morten:MCH 1AA:øhharduselvvalgtdetundervisningsmateriale 2aAA:altsåkolorit/Pellerhardukunnetvælgenogetandet// bmch:ja 112 3MCH:vi:gHsomudgangspunktharvi ETPfastsystem/øhmendeterfaktisk migsomharfåetkoloritudpsammenmedbo//enjeggikpåseminarietmedp vihavdenogetfaktordavistartedeherudeogdererjo:gdetfandtviikkeså fantastisk/problemetvaratdetvarsådanmegetfrakmenteret/såhavdeduto siderminussåhavdedutosidermednogetandet/herdererdetdererdet sådansamletisådannoglelængereforløbforeksempel TIsiderminusPman harnåetlidtdybereidetellermankan?(sige)?ungerneharlidtlængeretidptil atlæredetistedetforsådannogetzapperidererrigeligzapperiidereshverdag iforvejen//psåjadetharjeg 4AE:skidegodt 5MCH:barespørgløs 6AE:men:altsåenmetaforeretkonkreteksempelpånogetabstraktikke/Pet billedesomsomtagerafsætinogetkonkretforatforklarenogetabstrakt// 7MCH:ja 8AE:mmerduklaroverpåhvilkenmådedubrugermetaforeridin undervisning 9MCH:,ethundredeprocentærligtPnej 10aAE:øhmsådusortererhellerikkeidem/Paltsådeterikkenogetdu tænkeroverp bmch:mm (nejnej) 11AE:oghellerikkeiforholdtildesmåklasseriforholdtildestørreklasser 12aMCH:selvfølgelignårmansidderogforberedersigsåprøvermanjoåse hvorderkunneværefælderpøhjegtænkerikkespecifiktpaltsåmetaforerjeg tænkerjomangeandretingaltså bae: ja

57 13aMCH:nuerjegsåsåheldigjegharenknægtderhjemmesomligeeretår yngreenddemsånoglegangesåsidderjegfaktiskogsnakkermedhamom nogletingogsådannogetsånoglegange selvfølgeligkanhanikkeheltfølge medhmenderkanjegjogodtsehvorhanbliveforvirretogsådannogletingog ogdeterjo noglegangetagervijosomvoksnebaretingforgivetikkeøhm bae:ja 14MCH:sånejdeterikkespecifiktdet 15aMCH:jegjegledereftermenmenjegPkiggerfaktisktingeneigennem// bae: nejmm ja 16aMCH:indenjegligesompræsentererdem/ogdeterogsåderforjegtit springersiderover// bae: ja 17aMCH:P1,altså: bae:mendetersåfordiduopleveratde detkanværesværtatforstå 18aMCH:enten deterikkedecideretfordidetkanværesværtat forstådet kanogsåbarevirkelidtmeningsløst// bae:m 19MCH:øhlidt skørthdervarforeksempelnogetmeddavisnakkedegangei denhersåvardersådanetbilledehvormanskullefindenoglegangestykkerh ogdetvarsådanmegetsøgtpaltsådetvardetdetvarsådandetvarbaregang foratgangpdervaregentligikkenogenmeningmeddetbilledeagtigt 20MCH:såskullemangangegyngestativermedtræerP1detspillerjoikke nogetpaltsådetspillerjoingenstederfordi:indenlængebegynderviatsigetil demsådannogetmednogenlundedesammeting 21MCH:hvisdernuhavdeværetPfireforskelligegyngestativersåkunneman måskehavefundetlidtspændendeudafdetogpådenmådeikke/ 22MCH:menP1,2mennoglegangesåspringerjegbareoverhvisjegkansedet herder:sguetellerandet galtaltså// 23AE:jaPøhhvadsåmedlæringsmaterialetPsåderserduogså dererder mangemetaforerdetharduligesagt 24aMCH:jajader erjonetopmange//paltsåderderer VOLDsomtmange// bae: ja 25aMCH:ogmankanjosigehvismanheletidenskulletagehøjdefordemHså villemanbrugesindssygtlangtidaltså bae:ja 26MCH:oftesttagerjegdemjoP hvisderernoglejegikkeharopdagetgeller noglesidertagermanogsåerdernoglealligevelsåtagerjegdemjoi situationen/ 27AE:ja 28MCH:jegharjoalledagesagttilungerneher detsagdejegogsåtiljerdeter vigtigtisigerhvisderernogetiikkeforstårmeddetsamme/ 29AEogAA:ja 30MCH:fordihvisiikkesigernogetsåtrorjegjobarePatbussenkørerogså snakkerjegjobareviderehsåmanskalværeærligomkringdetforstårjegikke ogdetvedjegikkepjegkanfaktiskikkegenkaldenoglesituationerhvorvi snakkerminusogsådannogethvorungernesigeretellerandetnetophvorjeg fårsagtetellerandetogdeharetandetbilledeihovedet/h 31aMCH:mendetjosketmangegange//P1altsådetskerjonetop bae: ja 32aMCH:jeghavdeligefemtederoppehvorvistårogsnakkerogsådannoget ogsåfårmansagtnogleforskelligetingogsådannogetognoglegangesåkan manbaresedebliversådanheltblankeiøjnenesåvedmangodtokaydertabte jegjer/altså

58 baeogaa:ja 33aMCH:ogdeersåikkeligegodenoktilatsigedetforstårjegikkeligehelt velmendeterså bae: nej 34MCH:enandenting// 35aAE:men bmch:detkræverogsånogetafmitpublikumellerelever/detkræver faktiskatman tørspørgeeller sige cae: jaja daa:spørge 36aMCH:atmanikkeermed//P1ogogdet:P1deterderforjegharbrugfor jegharsgubrug bae: ja 37MCH:foratkendemineeleverikke 38MCH:ogdeernødttilå:stolepåatjegikkeskrivernedien sortbogeller nogetsomhelst// 39aAE:øhmenopleverdusåatdehardesammeproblemeridetskrevne materialesomidettaltealtsånårduunderviserogiforholdtilbøgernealtsåde sammeforståelses bmch: jamenjegvilvoveåpåstådehar ssstørre problemernårdeselvskallæse// 40AE:ja 41aMCH:Hdekanjobruge mighhvisderernogetdeikkeforstårså kan bae: ja ja 42MCH:dejonetopsigedetforstårjegikke 43aMCH:hvorimodnårdesålæsersåtrordede,forstårdet//øhdetdeterjo lidt,sværere: baaogae: ja 44MCH:deterlidtsværereatværeopmærksompåatmanikkeforstårnoget nårmantrormanforstårdet// 45AE:ja 46MCH:såerdetnemmerehvisdererenvoksenderligekansigehovhvorfor sagdedudetellersåkanvigrinelidtaf detellersigenåmendeterdetherde mener// 47AA:Sådeternemmerenårdeharmulighedenforforatfåforklareten eventuelmetafor 48aMCH: ja//p1ellerfåmetaforen,forklaretmeddetmisforståedeikk/altså deterjofordip baa: forklaretjaja 49MCH:mankanjosigehvisdesidderog,læserdetdedededeæderdet råt// P1detderstårikke// 50AE:ja 51MCH:altsåHdetkunneværebådeogelleretellerandetokaynoglebåde// detvilledejolæse 52AE:ja 53MCH:ogsåvilledejoikke aneatdehavdelæstforkertogsåerdetmankan sesåsidderdebaresådanher/ogdeterderhvorkædenrygerafsåkanmanse okaydererenderharbrugforhjælpderikke// 54AE:jaøhvildutagedennæste 55AA:jaaltsåviharjoivoresprojektogsåarbejdetmedintelligenserogbørn ogdetharjoværetrigtigmegetoppebådeindenforfolkeskolenøhmphar du

59 117 fokuspågaltsåi dinundervisningpådeforskelligeintelligenserdereri forskelligemåderatlærepå 56MCH:jegharjoselvværetigennemdenderseminariemaskineogjeg hadede johowardgardneroghansfemsyvniellevetrettenfemoghalvfjerds intelligenseroghvormegethanerudeiefterhåndenikke/p1mendererjo meningmedgalskaben// 57MCH:jegkanjoikkejegkanjoikkesiddeogsigeomjegtrordetersyvni ellerhvaddererrigtigtmen/unger,lærer,hundrede,procentpå,forskelige,måder// 58aMCH:jegharjoselvgåetienfolkeskolehvordetvar:detvarrøvtilbænk øjnetiltavle//p1detpassedemigfint//pdervarandredetikkepassede,så godtforeksempelikke/menjegkanjoseanårjeglaverundervisningnup1så tørjegjo//p1ivarfaktiskprøvekludeneikke jamenjegsendtedamangeafjer udgaltsåsendemineeleverud bae:ja 59MCH:altsåfuldstændigstolerblindtpådematdegårudogarbejder//deter dermangederikkegør// 60AA:mh 61MCH:mendererogsånogledergørfordideharbrugforatsiddederude/ derernoglederharbrugforatliggenedaltsåoglavematematikdeharbrugfor atsiddeivinduetoglavematematikeller/p2såjojegtagerhøjdefordetmen deterjoikkesådanajegsidderikkeogskriverskriverfineord//ogsådan noget/jegharbarejegharbarepjegharbarelærtmigselvatungerlærerpå forskelligvis// 62MCH:oppeifemteerdernogendersidderoghørermusik/P1nårjeger færdigmedattalevedtavlen/pelleratvibareskalregneentimeudenjeghar tavletid/såkandesiddemeddereshørertelefonerpå/jegerrygendeligeglad// 118 hvisdethjælperdem//detnytterselvfølgeligikkenogetatdesidderogsynger ogdanser/såsigermanhovdengikikkesågodtfordigvel//menhvisdet hjælperdemsåhjælperdetjoogsåmig/deterjofaktiskhjælptilselvhjælp ikk// 63AAogAE:jo 64aMCH:såsådererjoetellerandetomdet//menmenjegkanjoikkesige omdeterhowardgardnerellerhvem,fandendeterderharfatidenanden dererogsåbagdererogsåbareenlæringsstil//p1jeghavdeogsåenfantastisk kursusg baaogae:ja 65MCH:dervareddermandemeengodbuffet// EJdetvarfaktisketmeget godtkursusjegerjoikkesåmegetforkurserjegsynesjomegetafdetkanvære skørtforsåstårderenellerandenklogprofessorsomhsomikkeharværetså megetudeivirkelighedensverdenogsigerenmassegodetingmankunnegøre hvormanstårogtænkerduersåikkeligesammenmedotteogtyveungerfem hardiagnoserogsådannogletingkanjeghøreagtigt//menmanjotagedetman kanbruge/ogdererjomangeafdemdersigerdetderaltsåbarehuskdelærer påforskelligemåder/prøvatladedem// 66AE:ja 67MCH:detgårogsågaltengangimellem/mendetgørdetjoogdetskalmang manskalturde/p1atdeterokaydetgårgalt//pnårmanforeksempelsender femdrengeudogsåkommerdeindeftertotimerogharlavet nulgkommag nul// 68AE:ja 69aMCH:mensåharmannogetatholdedemoppå/såkanmansige bae: ja

60 70aMCH:næstegangdespørgeromdemågåudogarbejdefordetharde nemmerevedsåkanmansigedeterspastfordefiksletikkelavetnoget//altså deternemmereendatsige nejsomudgangspunktikkedetdetermegetrartat havenogetkonkretikke//ogsåskalmanmåskeprøvedemetpargange bae:ja 71MCH:indtilmanhængerdemoppådetdetbehøverikkeværeførstegangde baresynesdetvar fedtatværederudeandengangfårdemåskelavetlidt// 72aMCH:viertitudenfor//Poglavematematik//P1ungernedeerjolamslået bae: ja 73MCH:førstegangmansigerladosgåudoglavematematikikke//jegkan ogsåhuskejer/altsåladosgånedpåbænkene/hvaaaaaadaltså//detgørogså Hjegvedikkeomdetdeterligesåmegetforminskyldfaktiskogså// 74AAogAE:ja 75AE:men:opleverdusåogsåatnogleafdeherbørnsomlærersåforskelligt harøhforskelligforståelsegaltsåatderernogenderharbedreforståelsefor metaforerendandrehar 76MCH: ja// 77AE:deterder heltsikkert 78aMCH:hundredeprocent//,EThundredeprocent// bae:ja hvordanserdudet 79aMCH:detdetgårhdenerdet deterikkenogetderbliverførttil?(erfarte)?dethermendumågodtoptagedet//ejmendetharjonogetgdeter sværtatsigedetherikkemendetharjonogetatgøremedp1deterjoeneller andenformforintelligens//p1jegkanikkesgdeterjoforkertatsigeathvis manermegetintelligenssåkanmannemmereluredem/deterogsånogetmed hvorgoderdutilatlæse//hvormegetlæserdurentfaktisk//p1altsåfordiså erduvanttilgderernoglefældermanervanttil/foreksempelellerhvismang ensfarellermorharlæstforensåvedmangodt såharmanfåetnogleord forklaretogdetbetyderfaktiskdet/ogdeterjopissesjovtnårmansigertil ungerneførstegangiskalnoglegangeskaliligehuskeatlæsemellemlinjerne ikke//somvisnakkedeomderstårjoikkenogetpaltsådererjo luftfor fanden/ bae:nej 80aMCH:ogderervivoksnevierjohurtigetildedernoglegangeikke// bae: ja jo 81aMCH:mendererjobarenogenderkan//Pderernogleungerderlurerdet meddetsamme/ogdeteroftestdemsomderererhgodetilatlæse/danskg dygtigebørn//p1kanjegjosesommatematiklærer//altsåsprogligesprogligg intelligentebørn bae: jasprogligebørnja 82aMCH:ellerhvadmankalderdem/detkanogsåværeengelskdeerdygtige til// baa: ja ja 83MCH:mendetkanjegsesommatematiklærer 84aMCH:detbehøvesikkeværedemdererdygtigetilmatematik//P1 bae: nej 85MCH:deterdemhvormansådanligesnakkermed 86aMCH:dansklærerenogsigerjamenhunlæserogsåsomenhestellerhaner verdensklasseellersådannoget// baa:ja 87MCH:fordideharnogleløsningsstrategier//P1eller,erfaringer//P1det vedjegjoikke// baa: ja nej

61 88aAE:øhsåharvilidtomprototyperHsomerenbegrebsmæssigindordning afgenstandeøhaltsåforeksempelfingrenepåtitalssystemetikke// bmch:?(elskerdem)? 89AE:øhmogpåhvilkenmådeopleverduatprototyperbliveranvendti undervisningen 90AE:ogmaterialet 91aMCH: ikksåmegetmerehfaktiskogdeteregentliglidtsjovt/p1 bae: nej 92aMCH:øhmaltgårjoopicenticubesnuPaltså bae: mh 93aMCH:matematiklærerkalderdemkonkreter// bae: jaokay 94MCH:vikalderdemkonkreter//Paltsånogetkonkretmatematik 95aMCH:rodmeddet//P1øhdetgårjegmegetopi// bae: ja 96MCH:altsåforminskyld manmågernetællepåfingrebådei1.2.3./ 97aMCH:hvisdet,hjælperen/P1manskalikkebaregøredetforatgøre det// bae: ja nej 98MCH:manskalgøredetfordideteren hjælp// 99MCH:øhogdeterderforjegharaltidcenticubes/jegharaltidenkasse centicubesståendenårjegharsmåklasser// 100AE:ja 101aMCH:optilomkringfemtesjetteklasseogsådannoget/Pssåbegynder denatskullesiddeiskabet/ bae: ja 102MCH:mendetoplevededuogsåselv/vihavdedaenfraklassensomder noglegange enderhedkatjahunvargdervarmangeårsagertilaltmuligt ikke//menmenhunsadtitgdethjalpdahende/ 103AE:mmh 104MCH:ogfårdubareregnetlidtja fedt/mendeterfaktisknogetdererpå vejvæk// 105aAE:jasåmanervedattagedetlidtudafundervisningenigen bmch: jaogjegkanikkeforklare hvorfor// 106AE:nej 107MCH:hvisduhvismankiggerkoloritigennem/P1detenestedenævner detercenticubes// 108AE:ja 109MCH:jegvedikkeomdeerilommenpåetellerandetcenticubesgfirmaeller sådannoget/ 110aMCH:mendetersomomattællepåfingredeterligepludseligikkelegitimt/ afenellerandenårsag//ogvierudstyretmed20stksviharjoogsåtæerne baaogae:ja 111aMCH:for,pokkerikke//ellerlærdemnogetmedatnårduhartaltbegge hændersåerdettisåtælviderealtsåsåerviligepåetpositionssystem/p altsådererjomangegodetingidet//p bae: ja jaja 112aMCH:mendererjonogleforældresomalleredesigerhovhvornårskal deholdeopmedatbrugefingrene/ptilattællepå//p1 aldrigforhåbentligellernårdekan bae: aldrig 113aMCH:ladevære//P1jamenerdetikkeen

62 falliterklæringatdebrugerfingrene/ bae: ja 114aMCH:nejdeterdaen fedløsningsstrategi// bae: ja 115MCH:altsåbrugdetduhar// 116AE:ja//opleverdusånoglenogensindeatdeselvfinderpånogetatbruge 117MCH:jajajegharfaktiskoplevetnogetHjadeter megafedt detersådannogetmedmængder// 118AE:ja 119aMCH:hvordeselvopfinderting// P1altsåmængderogbrøkeroggjegelskerjoregnehistorier//P bae: ja 120MCH:jeg ELskeratregne 121aMCH:tegnehistorier//Pforderbliverjegsomlærerfaktisk udfordretengangimellemhvormantænkerhvadfghvadhardutænkt/ agtigtikk//pdeterjoikkealtidbarefordimantænkerduer matematiklærerdukanlurealt/ deterikkerigtigt bae:ja 122aMCH:Hnoglegangestårjegogsåogtænkerokayhvaderdersketder//P agtigtikk// baa: ja 123aMCH:ogsåkandejoværemedtilatforklarehvadderertænkt/ altsåjegtænktedetdajegtegnededetherogsådannogetogsåtænker manhvorvardetskarpt/altsåikke//hjegkanhuskedendermedbrøker/p1 dervarenderskulletegneenhalv/p1,2ogtegnersåen kæmpefirkant/ ogenlillefirkantogsåriverdembeggetoover// ogsåsiddermanlidtderogtænkerdeterjoegentligpivskarpt//p agtigtikke//ogsigerjamenhvorforgørdudet/altsåsigerhvor megetharduegentligforstået// bae: ja 124MCH:ogsåsigertossenså/jamenenhalverjobareenhalv//P1,2 deterjosejtsagt//phanharjoluretdetderatdeterjoikke nogetgdeterikkeeksakt//pdeterjoikkeethalvtkilo//p detkunneligesågodtværeenhalvverdenhalvtunivers 125aMCH:etellerandet//ogdetmøderjegfaktisknogle gangeoppeidestoreklasser//hhvormansigeraltsåhvadvilduhelsthave/ enhalvellerenkvartforeksempel/amendetkommeranpåafhvadeller hvorstorerpizzaen/ogsådannogletingogdeterjosådanlidtsåharde ikkeheltforståethvaddeterjo//p1 baaogae:nej 126MCH:deterjopivligemegetfordiudafdensamme 127aMCH:såvildenkvartejoaltidværemindreenddenhalve//P mendeterfordideharikkedetder// baa: mindre ja 128aMCH:ellerfolkdersådanførstegangdemøderbrøkergdet varderfaktisknogleafjerdertroedegjegkanfaktiskikkehuske omduvarenafdemanne/mendetvardetmedenottendedelden måværesejfordiotteer,fandemestørreendfireikkesåenottendedel måværestørreendenfjerdel//p1 dener ligeiskabet ikk// bae:demvarjegenafdemdertroede ja 129aMCH:dervardetsåsågikviklipbrøkbrikkerudogsnoreogsådannoget// bae: ja ja 130MCH:nåmensåhavdevijo/enforeksempelfjerdedel//P

63 sammestørrelsecirkelklipdenudfjerdedele/pklipdenudiottendedele/p hvadpassersammen/p 131aMCH:givdemforskelligefarveroglegelidt meddetikke//p1detgikdabedre// baeb:ja ja 132MCH:skalviikke sigedetsådan//pdetvaraldrigdetiblev bedsttilihvertfald// 133AE:nejdetkanman EDDERmandemeikkesige 134MCH:nejdetvardet fandemeikke//detmåmangodtsige// 135AE:jadetmåmangerne//menjegtrorfaktiskogsådetvardetvihavde 125