Formativ evaluering af elevers matematiske modelleringskompetence. Formative assessment of students mathematical modelling competence

Transkript

1 Formativ evaluering af elevers matematiske modelleringskompetence - med særligt fokus på den kritisk-undersøgende side Formative assessment of students mathematical modelling competence - focusing on the ability to critically analyse mathematical models Kirstine Moser Bøhme Årskortnummer: Didaktik - Matematik, vinter 2016 Speciale med mundtligt forsvar Vejleder: Tomas Højgaard DPU, Aarhus Universitet Maksimalt omfang: tegn. Dette speciales omfang: tegn.

2

3 Abstract The purpose of this thesis is to answer the question: Which meaningful connections can be argued, is existing between understandings of the concepts formative assessment and mathematical modelling competence, focusing on students ability to critically analyse mathematical models, based on a systematic review?. The concept mathematical modelling competence denotes the ability to analyse and build mathematical models as defined by the Danish KOM project (KOM: Competencies and the Learning of Mathematics). This thesis focuses primarily on the part of the competence concerning students ability to critically analyse existing models. The thesis is a systematic review as hinted in the final part of the research question. Searches in four Danish and international databases resulted in 14 peer reviewed papers with relevant findings. Based on a synthesis of the findings from the papers, I conclude the following: There are five arguments for including modelling in mathematics instruction. Only one of them emphasize the need for students to be able to analyse and assess actual uses of mathematics in extra-mathematical settings. Traditionally it is demanded that assessments have a high reliability. This requirement results in low validity when assessing mathematical modelling competence because such modes of assessment does not capture the essential aspects of mathematical modelling. This means there is a need for developing new modes of assessment and abandon certain of the traditional requirements. When assessing students it is generally emphasized that they have the following abilities: Given a mathematical model, students should be able to identify and assess the assumptions the model is based on, verify mathematical analyses, interpret results derived from the model in the context of the situation and articulate the strengths and limitations of the model. Written tests are not appropriate modes of assesment but are most widely used. Known alternative assessment modes include comprehension tests, critical reviews and modelling projects. The review documents the currently existing findings on assessment of students ability to critically analyse a given model. It is worth noticing that none of the papers have this challenge as their primary focus. Thus the review also shows that there is a need for more research in the field, especially research which focuses directly on assessment of students ability to critically analyse given models. The final chapter is a discussion on how other research methods could complement the review in trying to answer the more general question: Which meaningful connections can be argued, is existing between understandings of the concepts formative assessment and mathematical modelling competence, focusing on students ability to critically analyse mathematical models? i

4 Indhold 1 Indledning Læsevejledning Metode Metode som videnskabsteori: epistemologi og ontologi Metode som undersøgelseslogik og som teknik til at generere og behandle data Evaluering Evalueringsbegrebet Formålet med evaluering Evalueringsprocessen Kvalitetskriterier Matematisk modelleringskompetence De otte matematiske kompetencer Modelleringskompetence Den produktive side af modelleringskompetencen Den kritisk-undersøgende side af modelleringskompetencen Afgrænsning i forhold til overblik og dømmekraft vedrørende matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisområder Kritisk matematikundervisning Reviewprocessen Review-spørgsmål Valg af bibliografiske databaser Søgning nr. 1: Modelling Competence Valg af søgeord Litteratursøgning Praktisk og faglig screening Analyse: vurdering og udvælgelse Erfaringer fra søgeprocessen Søgning nr. 2: Critical Modelling Valg af søgeord Litteratursøgning Praktisk og faglig screening Analyse: vurdering og udvælgelse Erfaringer fra søgeprocessen Søgning nr. 3: Socio-critical modelling Valg af søgeord Litteratursøgning Praktisk og faglig screening Analyse: vurdering og udvælgelse Erfaringer fra søgeprocessen Gennemgang af udgivelser med modelleringstema Opsummering ii

5 6 Udformning af review Karakteristik af litteraturen Overblikstekster Teoretiske tekster Filosofiske tekster Empiriske studier Deskriptive tekster Anvendte begreber Opsummering Begrundelser for at undervise i modellering Opsummering Evaluering og kvalitet Opsummering Evalueringens orientering: Hvad er det, der skal evalueres? Dækningsgrad Målbeskrivelse Målbeskrivelse Målbeskrivelse 3 og Sammenligning af målbeskrivelser Niveaubeskrivelser Opsummering Evalueringens karakter: Hvordan kan det, vi ønsker at evaluere, komme til udtryk? Forståelsestests Kritisk gennemgang Skriftlig test Projektarbejde Øvrige evalueringsaktiviteter Opsummering Konklusion 51 8 Diskussion og perspektivering Forskningsmiljøer The International Community of Teachers of Mathematical Modelling and Applications (ICTMA) Mathematics Education and Society (MES) To diskurser Litteraturreviewet som metode Supplerende metoder Delreview Empiriske undersøgelser Kritisk forskning At tænke i alternativer Afsluttende bemærkninger Litteratur 62 iii

6

7 Kapitel 1. Indledning 1 Indledning Så langt tilbage jeg kan huske, har jeg været fascineret af matematik. Gentagne gange i løbet af årene har jeg forsøgt at dele denne fascination med venner og familie, der slet ikke kan se det interessante i primtal, trigonometri eller differentialregning. Jeg fandt hurtigt ud af, at det for mange giver mere mening - og måske endda virker lidt interessant - når matematikken bliver anvendt i bearbejdningen af reelle problemstillinger som fx brugen af differentialregning i optimeringsproblemer. På baggrund af mine forsøg på at dele matematikkens forunderlighed med andre, oplevede jeg med tiden selv en øget interesse for grænselandet mellem matematikkens verden og den virkelige verden. Dette er i høj grad relateret til matematisk modellering, der overordnet set handler om at udføre eller analysere afgrænsninger af ekstra-matematiske problemstillinger og bearbejdninger heraf ved brug af matematik. Derfor var det naturligt for mig at tage udgangspunkt i matematisk modellering i mit speciale. Matematisk modellering optræder i bekendtgørelser på flere niveauer i uddannelsessystemet, bl.a. som en del af de faglige mål i bekendtgørelserne for matematik A på både STX, HTX og HHX (Undervisningsministeriet, 2013a,b,c). I folkeskolen indgår matematisk modellering som et mål i form af modelleringskompetencen, der sammen med de andre matematiske kompetencer er ét af fire kompetence- og stofområder i Forenklede Fælles Mål (Ministeriet for børn, undervisning og ligestilling, 2015). Traditionelt set har matematisk faglighed været domineret af pensumtænkningen, hvor målene for matematikundervisningen var de matematiske emner, teorier, begreber og lignende, som eleverne skulle lære (Niss og Jensen, 2002). Udgivelsen af rapporten Kompetencer og matematiklæring: Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark af Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen (2002) er en af de faktorer, der har været medvirkende til at udvikle beskrivelsen af matematisk faglighed fra den traditionelle pensumtænkning over mod kompetencetænkningen (Ministeriet for børn, undervisning og ligestilling, 2015). Rapporten går i daglig tale under navnet KOM-rapporten og er resultatet af et 2-årigt projekt, der blev iværksat på initiativ af Naturvidenskabeligt Uddannelsesråd og Undervisningsministeriet. Formålet med projektet var at belyse en række spørgsmål vedrørende fremtidig matematikundervisningen (Niss og Jensen, 2002). Én ting er imidlertid, at undervisningen er rettet mod kompetencemål, ét andet er, at hvad eleverne lærer. Dette kan undersøges gennem evalueringer. Lærerne står derfor over for den udfordring, det er, at finde egnede måder hvorpå man kan evaluere udviklingen i elevernes kompetencer, således at den fremtidige undervisning kan tilrettelægges på baggrund af, hvad eleverne allerede har lært. Denne form for evaluering kaldes ofte formativ evaluering. Udfordringen ved at finde egnede evalueringsformer beskrives således i KOMrapporten: At finde eller konstruere typer af matematiske aktiviteter, der egner sig til på gyldig, pålidelig og klar måde at demonstrere tilstedeværelsen af en given matematisk kompetence hos en person involveret i aktiviteten. Dette forudsætter, at der forefindes eller skabes instrumenter, der gør det muligt at detektere, karakterisere og bedømme omfanget og dybden af 1

8 kompetencebesiddelsen, sådan som den kommer til udtryk i den enkelte aktivitet. At finde eller konstruere - sæt af matematiske aktiviteter, der tilsammen egner sig til på gyldig, pålidelig og klar måde at tegne en persons samlede matematiske kompetenceprofil, dvs. personens besiddelse af det samlede kompetencespektrum. På baggrund heraf at finde veje til at identificere, karakterisere og bedømme progression i en persons besiddelse af en eller flere matematiske kompetencer (Niss og Jensen, 2002, s. 126). Jeg har valgt at se på en afgrænset del af denne udfordring. Motivationen bag specialet har således været at finde ud af, hvordan man som en del af undervisningen kan evaluere modelleringskompetencen, og derved opnå en viden om elevernes læring, der kan danne baggrund for videre undervisning. Jeg har valgt at lægge vægt på den kritisk-undersøgende side af modelleringskompetencen, som handler om at kunne analysere og vurdere modeller. Matematiske modeller optræder i rigtig mange sammenhænge, og de fleste mennesker møder dem ofte (direkte eller indirekte) i deres hverdag, i arbejdslivet eller som borger i samfundet. Modellerne bygger på antagelser og idealiseringer og er ikke nødvendigvis den (eneste) rigtige måde at beskrive eller definere noget på. Derfor mener jeg, at det er vigtigt, at man lærer at forholde sig kritisk til brugen af matematik i ekstra-matematiske sammenhænge, således at man ikke hopper på hvad som helst, man læser eller hører. Nogle gange kan det være svært at gennemskue, hvilken rolle matematik spiller i et argument, mens det andre gange er helt eksplicit, som i følgende udsnit fra et læserbrev fra Jydske Vestkysten d. 9. februar 2016, side 16: Jeg har medlidenhed med de mennesker, der støttede indsamlingen i lørdags, for når 12 hjælpeorganisationer skal fordele 98 millioner kroner, og de hver bruger 10 procent af indtægterne til administration, så er jo regnestykket nemt: nemlig 10 procent gange 12 = 120 millioner og indsamlet kun ca. 98 mio. hvor er logikken i det? Ja, hvor er logikken i det? Der er heldigvis mange mennesker, der godt kan gennemskue, at der er noget galt i ovenstående argument, men det er ikke altid så ligetil at forholde sig til brugen af matematik i ekstra-matematiske sammenhænge. Derfor er der behov for undervisning og evaluering med fokus på den kritisk-undersøgende side af modelleringskompetencen. Specialets overordnede fokus er derfor, hvordan formativ evaluering kan planlægges og gennemføres, således at evalueringen bidrager med information om udviklingen af den kritisk-undersøgende side af elevernes modelleringskompetence. At nærme sig et svar på den problemstilling er et stort projekt, der kan angribes fra forskellige vinkler, fx gennem udviklingsarbejde, forsøgsundervisning, begrebsanalyser og litteraturstudier. Jeg har valgt at afgrænse dette speciale til at skabe et overblik over den aktuelle viden på området gennem systematiske litteraturstudier, og i specialet fokuserer jeg derfor på, hvilke forbindelser der på nuværende tidspunkt eksisterer i den tilgængelige litteratur. Det styrende spørgsmål i dette speciale er derfor: Hvilke meningsfulde forbindelser 2

9 Kapitel 1. Indledning kan man argumentere for at der findes mellem forståelser af begreberne formativ evaluering og matematisk modelleringskompetence, med særligt fokus på den kritiskundersøgende side af kompetencen, baseret på systematiske litteraturstudier? Spørgsmålet fokuserer dermed på en afgrænset del af den mere overordnede problemstilling: Hvordan kan vi formativt evaluere den kritisk-undersøgende side af elevernes modelleringskompetence? Hvilket bidrag et litteraturreview kan give, og hvilke metoder der kan supplere, vender jeg tilbage til i det afsluttende kapitel efter selve reviewet. 1.1 Læsevejledning Specialet er opbygget omkring et litteraturreview, hvilket har haft afgørende betydning for opbygningen. Efter denne indledning og læsevejledning følger kapitel 2, som indeholder de overordnede metodiske overvejelser. Kapitlet bygger på en tredelt forståelse af metode-begrebet som beskrevet af Peter Dahler-Larsen (2008) og hver af disse diskuteres i forhold til specialet, herunder den videnskabsteoretiske tilgang og litteraturreviewet som omdrejningspunkt for specialet. Kapitel 3 handler om evaluering. Indledningsvist er en afklaring af, hvad jeg lægger i begrebet evaluering, og med hvilke formål man kan evaluere. Desuden introduceres en række spørgsmål, der kan anvendes til at styre evalueringsprocessen, baseret på Kristensen (2007) og en beskrivelse af evalueringsprocessen i form af delprocesser af Tomas Højgaard (2008). Afslutningsvist omtales kvalitetskriterier for evalueringer. Det fjerde kapitel er en begrebsafklaring, der fokuserer på specialets andet nøglebegreb: matematisk modelleringskompetence. Indledningsvist introduceres de 8 matematiske kompetencer som præsenteret i KOM-rapporten, hvorefter de to sider af modelleringskompetencen beskrives og eksemplificeres. Kapitlet afrundes med en introduktion til kritisk matematikundervisning og relationen mellem denne diskurs og den kritisk-undersøgende side af modelleringskompetencen. Hvor kapitel 2 beskriver de overordnede metodiske valg går kapitel 5 i dybden med fremgangsmåden anvendt i litteraturreviewet. I de første afsnit beskrives reviewspørgsmålet og de databaser, der er anvendt, idet begge dele går igen i alle søgninger. Herefter beskrives søgeprocesserne, herunder hvilke søgeord der er anvendt, screeningen af søgeresultaterne og den indledende analyse af teksterne, hvor irrelevante tekster er sorteret fra. I reviewprocessen indgik også en gennemgang af en række udgivelser med fokus på modellering, og denne gennemgang er ligeledes beskrevet. Kapitlet afsluttes med en opsummering af reviewprocessen. Forbindelserne mellem formativ evaluering og modelleringskompetencens kritiskundersøgende side identificeret i reviewteksterne er beskrevet i kapitel 6. Foruden en oversigt over de fundne tekster og en introduktion til hver tekst, er kapitlet opdelt i fire perspektiver: Begrundelser for at undervise i modellering, overvejelser vedrørende kvalitet af evalueringer samt en diskussion af henholdsvis hvad der søges i evalueringssituationen og hvordan dette kan komme til udtryk. Det første perspektiv er opstået på baggrund af arbejde med teksterne, mens de tre andre er inspireret af begreberne fra kapitel 3. Konklusionen i kapitel 7 er en opsamling på specialet, hvor det styrende spørgsmål besvares. I et speciale, der omhandler det at være kritisk, må der nødvendigvis også indgå 3

10 overvejelser, hvor jeg forholder mig kritisk til det arbejde, jeg har lavet. Kapitel 8 er en diskussion og perspektivering, der indeholder overvejelser vedrørende udfordringer og begrænsninger ved litteraturreviewet som metode. Afslutningsvist indeholder kapitlet nogle indledende tanker om, hvordan eventuelt videre arbejde med formativ evaluering af modelleringskompetencens kritisk-undersøgende side kunne foregå. 4

11 Kapitel 2. Metode 2 Metode Begrebet metode har flere forskellige betydninger og dækker, ifølge Peter Dahler- Larsen (2008), over i hvert fald tre betydninger: metode som videnskabsteori, metode som undersøgelseslogik og metode som teknik til at generere og behandle data (se Figur 1). Metode som videnskabsteori dækker over det overordnede ståsted, som Figur 1: Illustration af Dahler-Larsens tre niveauer af metode. undersøgelsen bygger på (Dahler-Larsen, 2008). Det er den videnskabsteoretiske forståelse, der danner rammen for hele undersøgelsen. På baggrund af denne forståelse vælges en fremgangsmåde, som hele undersøgelsen bygges op omkring. Dette er undersøgelseslogikken, altså metode på niveau 2 (Dahler- Larsen, 2008). Dahler-Larsen (2008) kalder det tredje niveau for metode som teknik til at generere og behandle data. Dette niveau dækker over den dataindsamlingsteknik der anvendes i undersøgelsen. I det følgende vil jeg beskrive den metode, jeg har anvendt i min undersøgelse, på alle tre niveauer. 2.1 Metode som videnskabsteori: epistemologi og ontologi Dette afsnit bygger på en gennem- og videreskrivning af kapitel 5 i Andersen, Bøhme og Nielsen (2015, s. 6). Kort fortalt handler ontologi om, hvordan verden er, mens epistemologi handler om hvordan viden dannes. Metode som videnskabsteori indebærer derfor overvejelser om det videnskabsteoretiske ståsted, hvorfra man anskuer verden, og om hvilken form for viden man kan få gennem sin undersøgelse. Videnskabsteori handler om, hvordan vi kan afgrænse, undersøge, dokumentere og frembringe pålidelig viden om verden (Jørnø, 2014), altså hvordan viden frembringes gennem videnskab, og hvilken slags viden det er, vi får (Juul og Bransholm Pedersen, 2012). Videnskabsteoriens genstandsfelt er således videnskaben selv (Juul og Bransholm Pedersen, 2012). Videnskabelige teorier og forskningsmetoder er dannet under særlige historiske og samfundsmæssige omstændigheder, og de bygger på forskellige grundantagelser. Nogle af de mest udbredte videnskabsteoretiske retninger er positivismen, fænomenologien og hermeneutikken. Her vil jeg nøjes med at beskrive 5

12 den hermeneutiske retning, som dette speciale bygger på. Ordet hermeneutik betyder fortolkningslære eller -kunst og blev oprindeligt grundlagt som en disciplin, hvor det handlede om at udlægge og fortolke religiøse tekster (Guldager, 2015). Hermeneutikken bruges i dag i flere sammenhænge end blot religiøse tekster, men handler stadig om fortolkning. Guldager beskriver det således: Bredere kan man sige, at man i hermeneutikken ser mennesket i dets historiske kontekst med bestemte traditioner og fordomme, formet af det liv, det har levet under de givne betingelser. Og vil man studere og forstå menneskers gøren og laden, må det være udgangspunktet, at man kender til de historiske betingelser, traditioner og til fordommene (Guldager, 2015, s. 119). Det er en vigtig antagelse inden for hermeneutikken, at der i forskning altid er en forforståelse, som påvirker hvad der forskes i og hvordan det gøres. Det er derfor vigtigt, at forskeren så vidt muligt beskriver sine forforståelser, så det er muligt for andre at vurdere, hvordan det har påvirket forskningen (Guldager, 2015). Dette er en af de medvirkende årsager til, at jeg i kapitel 3 og 4 beskriver kernebegreberne i min undersøgelse, og forklarer hvilken betydning jeg tillægger dem. Litteraturreviewet som metode bygger på fortolkning af tekster. Når man reviewer litteratur laver man ikke en slavisk gennemgang af hver enkelt tekst og dens konklusioner, men fortolker den i forhold til den problemstilling, man vil undersøge. Hermeneutik som videnskabsteoretisk udgangspunkt er derfor med til at skabe sammenhæng i undersøgelsens metode på alle Dahler-Larsens niveauer. I reviewarbejdet fortolkes individuelle tekster i forhold til den samlede viden og forståelse, der allerede er, mens denne løbende justeres som konsekvens af fortolkninger af de enkelte tekster. Det er således en pendling fra forståelsen af en del til forståelsen af helheden og omvendt som Guldager (2015, s. 120) skriver. Denne vekselvirkning mellem at forstå dele ud fra helheden og helheden ud fra delene kaldes den hermeneutiske cirkel (Juul og Bransholm Pedersen, 2012). 2.2 Metode som undersøgelseslogik og som teknik til at generere og behandle data I dette speciale anvender jeg litteraturreview som metode til at generere og behandle data. Metoden spiller imidlertid så stor en rolle i min undersøgelseslogik, der er bygget op om litteraturreviewet, at jeg har samlet beskrivelsen af metoden på niveau 2 og 3 i ét afsnit. Som det er illustreret på Figur 1, indgår metode som teknik til at generere og behandle data, som en del af undersøgelseslogikken. Hvor stor en rolle dataindsamling og -behandling fylder i den samlede undersøgelseslogik varierer fra undersøgelse til undersøgelse. Hvilken form for data, der indgår i undersøgelsen varierer også. Data kan fx være interview, spørgeskemaer eller observationer, men det kan også være litteratur. Formålet med et litteraturstudie er at skabe et overblik over den samlede viden på området og på baggrund heraf at kunne pege på dele af området, hvor der er behov for mere viden (Rowley og Slack, 2004). 6

13 Kapitel 2. Metode Reproducerbarhed og validitet er to vigtige kvalitetskriterier for litteraturreview (Frandsen, Dyrvig, Christensen, Fasterholdt, og Oelholm, 2014). Reproducerbarhed bygger på gennemsigtighed i reviewprocessen, så det er tydeligt, hvilke valg der er truffet, og på hvilken baggrund de er truffet, således at det er muligt for læseren eventuelt at gennemføre samme undersøgelse. Min fremgangsmåde, der er illustreret på Figur 2, er inspireret af Fink (2005). En undersøgelses validitet beskriver undersøgelsens gyldighed; Hvorvidt der undersøges dét, der var meningen med undersøgelsen. En indledende begrebsafklaring er som udgangspunkt med til at øge en undersøgelses validitet, idet den klarlægger hvad der menes med kernebegreberne, således at der ikke er tvivl om, hvad der bliver undersøgt. I min undersøgelseslogik, som er beskrevet herunder, indgår der derfor begrebsafklarende afsnit. Derudover spiller gennemsigtighed i processen også en rolle i forhold til validitet, idet læseren har mulighed for at følge undersøgelsens argumentation, hvilket giver mulighed for at vurdere, hvor gyldige undersøgelsens konklusioner er. Figur 2: Grafisk overblik over processen. Inspireret af Fink (2005, s. 4). De enkelte trin i Figur 2 danner baggrund for dele af specialets opbygning, og derfor er flere af trinene anvendt som overskrifter. Litteraturreviewet består, foruden begrebsafklaringen, overordnet set af de indledende metodiske valg (formulering af review-spørgsmål samt valg af databaser og søgeord), selve søgningen, de efterfølgende screeninger samt en analyseproces, hvor de tekster, der klarede screeningsprocessen, vurderes og udvælges på baggrund af relevans samt afslutningsvist en tematisk syntese. Alle de metodiske overvejelser i 7

14 forhold til valg af review-spørgsmål, databaser, søgeord og screeningskriterier samt analysen spiller en afgørende rolle for udfaldet af reviewet og er derfor beskrevet detaljeret i kapitel 5. Kapitel 6 er den del af reviewet, hvor teksternes indhold og konklusioner belyses (syntesen). Kapitlet er opdelt i afsnit, der hver især repræsenterer et tema, og består af beskrivelser og opsummeringer af, hvad der kan uddrages fra litteraturen om temaet. Undersøgelseslogikken i dette speciale er bygget op om ovenstående beskrivelse af litteraturreview-processen. De indledende kapitler har karakter af at være begrebsafklarende i forhold til de kernebegreber, som indgår i specialet. På baggrund af begrebsafklaringen følger reviewprocessen som beskrevet ovenfor, og denne rundes af med en konklusion, hvori specialets problemformulering besvares. Den efterfølgende diskussion og perspektivering er et kapitel, der både kigger bagud ved at kaste et kritisk blik på hele undersøgelseslogikken og valget af litteraturreview som metode til at generere og behandle data, men som også ser fremad i forhold til, hvordan det kunne være interessant at bygge videre på litteraturreviewet. 8

15 Kapitel 3. Evaluering 3 Evaluering Dette kapitel sætter fokus på begrebet evaluering. De følgende afsnit beskriver hvad begrebet evaluering dækker over, hvad formålet med evaluering er, hvordan evalueringsprocessen kan beskrives, samt hvilke kvalitetskriterier man anvender i forhold til evalueringer. 3.1 Evalueringsbegrebet I Kristensen (2007) beskrives evaluering som den faglige betegnelse for det vi i hverdagssammenhænge kalder vurdering. En vurdering består i, at man tænker på noget nogen har sagt eller gjort og forsøger at finde ud af, hvad man mener om dette; Man beslutter sig altså for en dom (Kristensen, 2007). I hverdagsvurderinger er der som regel ikke ret meget fokus på, hvad der vurderes i forhold til (Kristensen, 2007). Et eksempel kan være, at man hører en sang i radioen og tænker, at det er en dårlig sang, uden at tænke over på hvilket grundlag man vurderer sangen. Opsummerende kan hverdagsvurderinger beskrives således: Noget karakteristisk for hverdagsvurderinger er, at vi sjældent går særligt systematisk til værks, at vi genoplever de vurderede fænomener i glimt, at vi ikke fokuserer særlig præcist, og at vi ret hurtigt når frem til en dom (Kristensen, 2007, s. 154). Grundlæggende handler evalueringer også om at reflektere over noget gjort eller sagt og bedømme dette. De adskiller sig fra vurderinger ved at være systematiske, og at der er klare kriterier eller mål som empirien (handlinger og udtalelser) kan holdes op imod (Kristensen, 2007). I det engelske sprog er der to mulige oversættelser af ordet evaluering : assessment og evaluation. Mogens Niss (1993b) foreslår en skelnen mellem de to ord, således at assessment er rettet mod elevniveau og evaluation mod systemniveau: Assessment in mathematics education is taken to concern the judging of the mathematical capability, performance, and achievement - all three notions to be taken in their broadest sense - of students whether as individuals or in groups, with the notion of student ranging from Kindergarten pupils to Ph.D. students. Assessment thus addresses the outcome of mathematics teaching at the student level. Evaluation in mathematics education is taken to be the judging of educational or instructional systems, in its entirety or in parts, as far as mathematics teaching is concerned. Evaluation may concern system components such as curricula, programs, teachers, teacher training and specific segments of the educational system such as schools or school districts etc. So, evaluation addresses mathematics education at the systems level (Niss, 1993b, s. 3). Anvendes ordene således vil en given evalueringssituation blive omtalt som evaluation eller assessment afhængigt af, hvem der er i fokus i evalueringen. Fx vil nationale 9

16 prøver, der anvendes til at evaluere elevernes læring, høre under assessment, mens samme prøve vil høre under evaluation hvis den anvendes til at vurdere en lærer, en skole eller et skoledistrikt. I Weng og Andersen (2002) foreslås en lignende skelnen på dansk ved at bruge vurdering i betydningen assessment og evaluering for evaluation. Definitionerne af assessment og evaluation i Weng og Andersen (2002) kommer fra NCTM 1. Ole Freil og Thomas Kaas (2011) påpeger i deres speciale, at NCTMs beskrivelse af begreberne adskiller sig fra beskrivelsen i Niss (1993b), idet der ikke er samme skelnen mellem elev- og systemniveau, og at det derfor ikke er hensigtsmæssigt at indføre en skelnen mellem begreberne på dansk. Dels fordi der, som ovenstående viser, ikke er enighed om hvordan begreberne defineres på engelsk, dels fordi evaluering generelt har dækket over begge betydninger på dansk, hvilket blandt andet fremgår af definitionen i Kristensen (2007). I dette speciale, hvor der er fokus på evaluering på elevniveau, anvender jeg evaluering i betydningen assessment, som beskrevet af Mogens Niss (1993b). 3.2 Formålet med evaluering Mogens Niss (1993b) peger på, at der kan være tre formål med at evaluere: at levere viden relateret til matematikundervisningen, at danne baggrund for beslutninger og valg samt at forme den sociale virkelighed. De tre former for evaluering er ikke uafhængige (Niss, 1993b). Information om undervisningen dækker over information til den enkelte elev om vedkommendes egen læring, til underviseren om den enkelte elevs læring, til underviseren om vedkommendes egen undervisning i forhold til en gruppe af elever og til systemet både i form af information om eleverne og om lærere, læseplaner, skoler og skoledistrikter (Niss, 1993b). Når der i samfundet er behov for at udvælge individer, der får særlige muligheder, jobtilbud eller privilegier kan disse beslutninger tages på baggrund af evalueringer. Det andet formål med evaluering er disse former for beslutninger, der tages i forhold til uddannelsessystemet generelt, enkelte skoler eller lærere og deres undervisning (Niss, 1993b). Når evalueringer benyttes som baggrund for beslutninger om uddannelsessystemet, skoler og lærere, så påvirker det samfundet. I nogle situationer er hensigten med evalueringen at påvirke samfundet, idet evalueringer fx kan benyttes til at motivere ved at vise at hårdt arbejde belønnes, mens det i andre sammenhænge er en sideeffekt (Niss, 1993b). Blandt evalueringsformer, der har til formål at levere viden om elevernes læring (uanset om informationen er til eleverne selv, lærere og samfundet), skelnes der ofte mellem to kategorier defineret af Michael Scriven: summativ evaluering og formativ evaluering (Andersen, 2007). I dette speciale har jeg lagt fokus på den formative evalueringsform, men jeg vil alligevel beskrive begge evalueringsformer, for at gøre det klart hvad jeg har valgt at fokusere på, og hvad jeg dermed har fravalgt. (Scriven, 1996) omtaler evaluering generelt (og ikke blot i forhold til undervisning), og derfor har jeg valgt at tage udgangspunkt i beskrivelserne i Andersen (2007), suppleret med pointer fremført af Scriven selv. 1 National Council of Teachers of Mathematics 10

17 Kapitel 3. Evaluering Summativ evaluering har til formål at undersøge elevens udbytte af et undervisningsforløb ved afslutningen af forløbet, og det primære mål med summative evalueringer er derfor kontrol: Hvad har eleverne lært i undervisningsforløbet? (Andersen, 2007). I summative evalueringer holdes elevens resultat op mod de mål, der er for undervisningsforløbet, og ofte resulterer summative evalueringer i karaktergivning (Andersen, 2007). De afsluttende prøver i matematik i folkeskolen er et eksempel på summative evalueringer, idet elevernes resultater holdes op mod de mål, der er for matematikundervisningen. Formålet med formativ evaluering er, at elev og lærer får indsigt i elevens læring som et grundlag for at ændre og tilpasse den videre undervisning (Allerup, Jansen og Weng, 2011). Det centrale fokus i formative evalueringer er et udviklingsaspekt (Andersen, 2007), idet denne type af evaluering både er bagud- og fremadrettet: Hvad har eleven lært, og hvad bør der arbejdes med fremover? I modsætning hertil har summative evalueringer kun et bagudrettet fokus. Det sker at summativ evaluering omtales som produkt-evaluering og formativ evaluering som proces-evaluering, hvilket ifølge Scriven (1996) er en misforståelse af begreberne. Afsluttende prøver og eksamener bruges ofte som eksempler på summative evalueringer, og disse er netop produktevalueringer, men summative evalueringer kan også i mere eller mindre grad være proces-evalueringer. Et eksempel på en summativ evaluering med fokus på både produkt og proces kunne være, hvis en elevs udbytte af et forløb om brøker både vurderes på baggrund af lærerens samtaler med eleven igennem forløbet og en afsluttende test. Formative evalueringer indgår i undervisningen, og det ekspliciteres ikke nødvendigvis, at der er tale om en evalueringssituation. I andre sammenhænge er det mere tydeligt, at der er tale om evaluering, fx ved folkeskolens afgangsprøver. I sådanne situationer bliver det også mere tydeligt, hvad det er, det forventes at man kan. Niss påpeger i den forbindelse en af bagsiderne ved evalueringer: That which is not represented in assessment tends to be perceived by those involved as less important. This might lead to an eventual withering of these components. [...] In that way, assessment tasks filter and mould the perception of mathematics as a subject. This is just a special instance of the well-known general backwash effect of assessment modes on mathematics education as a whole (Niss, 1993b, s. 20). Fokus på fx bestemte færdigheder og kompetencer i en given evalueringssituation sender et signal om, hvad der er vigtigt, og det, der ikke er en del af evalueringen, bliver anset for mindre vigtigt. Anvendes denne viden bevidst kan man påvirke undervisningen gennem valg af evalueringer. Er man omvendt ikke opmærksom på denne effekt, så kan man ubevidst give et skævt billede af, hvad der forventes af eleverne. 3.3 Evalueringsprocessen Planlægning af evalueringer indebærer blandt andet, at man gør det klart, hvad man vil fokusere på i evalueringsprocessen. I Kristensen (2007) og Niss (1993b) er en 11

18 række spørgsmål, der kan danne baggrund for planlægningen af en evalueringsproces. Herunder ses en gengivelse af den ene af listerne med spørgsmål: 1. Hvad skal evalueres? Hos hvem? 2. Hvad er hensigten med evalueringen? 3. Hvem skal foretage evalueringen? 4. Hvilke konkrete spørgsmål skal evalueringen tage udgangspunkt i? 5. Hvilke mål eller kriterier skal lægges til grund for evalueringen? 6. Hvornår skal evalueringen foretages? 7. Hvilke evalueringsmetoder eller fremgangsmåder skal anvendes? 8. Hvordan skal resultaterne udtrykkes? 9. Hvem skal have adgang til resultaterne og hvorfor? 10. Hvad skal de pågældende bruge eller kunne bruge evalueringsresultaterne til? (Kristensen, 2007, s. 156, min nummerering) Spørgsmålene afhænger på forskellig vis af hinanden. Fx vil de valgte evalueringsmetoder eller fremgangsmåder både afhænge af, hvad der skal evalueres, hvem der skal evalueres, og hvad hensigten er med evalueringen. Overordnet set kan spørgsmålene deles op i tre aspekter: Hvad er det, der skal evalueres? (Punkt 1, 4, 5) Hvorfor skal det evalueres? (Punkt 2, 3, 9, 10) Og hvordan kan det, man ønsker at evaluere, komme til udtryk? (Punkt 6, 7, 8). En anden måde at beskrive evalueringsprocessen er ifølge Tomas Højgaard (2008) at opdele den i tre delprocesser: Karakteristik af hvad man er på udkig efter. Identifikation af i hvilket omfang det man er på udkig efter, er til stede i evalueringssituationen. Bedømmelse af det identificerede (Højgaard, 2008, s. 44). Det Tomas Højgaard (2008) påpeger med denne opdeling er, at man som udgangspunkt må karakterisere, hvad det er man ønsker at se i en evalueringssituation, før man kan undersøge i hvilken grad det er muligt at se dette og på baggrund deraf foretage en bedømmelse. Hvad, hvorfor, hvordan -beskrivelsen, der bygger på spørgsmålene i Kristensen (2007) er en meget overordnet beskrivelse af evalueringsprocessen, der har karakter af at beskrive omstændighederne omkring en evalueringssituation: Hvad skal evalueres, hvorfor skal evalueringen gennemføres og hvordan? En beskrivelse af en evalueringssituation kunne således være, at man ønsker at evaluere elevernes modelleringskompetence, fordi man er interesseret i at vide, hvilke dele af kompetencen eleverne har sværest ved, så man kan fokusere på de dele i den kommende undervisning samt at evalueringen skal foregå som et projektarbejde. En sådan beskrivelse sætter de omgivende rammer for, hvad det er man vil, hvorfor man vil det og hvordan eleverne skal arbejde, men selve vurdering og bedømmelses-aspektet af evaluering (i 12

19 Kapitel 3. Evaluering hvor høj grad kan vi se det, vi ønsker at se?) er ikke ekspliciteret i denne beskrivelse. Delprocesserne beskrevet i Højgaard (2008) kan supplere hvad, hvorfor, hvordan - beskrivelsen, idet delprocesserne har mere fokus på selve vurderingen. Karakteristik af det man leder efter, handler om at gøre det klart, hvad det præcist er, der skal evalueres. Processerne identifikation og bedømmelse, hvor man vurderer, i hvor stort omfang man kan se det, man har fokus på, og hvor man bedømmer dette, er relateret til hvordan -aspektet. Indtænkning af delprocesserne karakteristik, identifikation og bedømmelse kan derfor potentielt være med til at fokusere hvad og hvordan -aspekterne. 3.4 Kvalitetskriterier En evaluering er en form for undersøgelse, og til kvalitetskontrol af evalueringer benytter man ofte de samme begreber som til andre undersøgelser, nemlig validitet og reliabilitet (Kristensen, 2007). Disse begreber er beskrevet i afsnit 2. Validitet og reliabilitet bruges om evalueringsprocessen som helhed, men tager hver især afsæt i en af delprocesserne beskrevet i Højgaard (2008). Validitet er knyttet til delprocessen karakteristik, fordi der med validitet er fokus på, at det der evalueres også er dét, der egentlig skulle evalueres. Reliabilitet, der drejer sig om hvorvidt andre, der udfører samme evaluering, vil komme frem til samme resultat, tager afsæt i bedømmelses-processen. I kapitel 2 blev det beskrevet, at man ønsker at opnå både høj validitet og høj reliabilitet, og det samme er tilfældet med evalueringer (Højgaard, 2008). I Højgaard (2008) beskrives multiple-choice-tests af færdigheder som et eksempel på en evalueringsform, der giver gode muligheder for at sikre både høj validitet og høj reliabilitet, fordi det som følge af evalueringsformen er forholdsvis nemt at karakterisere, identificere og bedømme besvarelser. I evalueringssituationer af mere kompleks karakter er det langt fra givet, at man kan sikre både høj validitet og høj reliabilitet, fx når man arbejder med at evaluere kompetencer. Ifølge Tomas Højgaard (2008) kan kompetencemål styrke karakteristikdelen af en evalueringsproces, idet kompetencemål kan eksplicitere ikke-trivielle ambitioner med en bestemt undervisning. Til gengæld bliver det en udfordring at gennemføre identificerings- og bedømmelses-processerne. Kompetencer og kompetencemål er i fokus i næste kapitel, hvor jeg vil sætte fokus på de matematiske kompetencer og særligt modelleringskompetencen. 13

20 4 Matematisk modelleringskompetence Som nævnt i indledningen var udgivelsen af rapporten Kompetencer og matematiklæring: Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark af Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen (2002) en af de faktorer, der var medvirkende til at igangsætte udviklingen af beskrivelsen af matematisk faglighed mod en kompetencetænkning (Ministeriet for børn, undervisning og ligestilling, 2015). Begrebet kompetence har i KOM-rapporten betydningen ekspertise, og det at have matematisk kompetence består derfor i at have viden om, at forstå, udøve, anvende, og kunne tage stilling til matematik og matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå (Niss og Jensen, 2002, s. 43). Det er værd at bemærke i beskrivelsen af matematisk kompetence, at der ligger et handlingselement i beskrivelsen. Det er således ikke nok med viden for at være kompetent, man skal også kunne handle på denne viden (Niss og Jensen, 2002). De matematiske kompetencer bliver i KOM-rapporten beskrevet som en hjælp til blandt andet at give en karakteristik af, hvad det vil sige at beherske matematik og til at karakterisere den enkelte elevs udvikling og progression i matematik-tilegnelsen (Niss og Jensen, 2002). Det at være god til matematik består af mere og andet end at kunne en række begreber, teorier og metoder. Kompetencernes potentiale består blandt andet i at sætte ord på denne yderligere kunnen og handlen, og dermed bliver det muligt at gøre det til en del af faglighedsbeskrivelser i læseplaner. I de kommende afsnit vil jeg først give en kort beskrivelse af de 8 matematiske kompetencer, og dernæst gå i dybden med en beskrivelse af modelleringskompetencen. 4.1 De otte matematiske kompetencer En matematisk kompetence bliver i KOM-rapporten beskrevet som indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer (Niss og Jensen, 2002, s. 43), og i rapporten identificeres der 8 af disse matematiske kompetencer. Ofte illustreres disse i form af en kompetenceblomst, som vist på Figur 3. I rapporten bemærkes det, at det kan [...] være nyttigt at tænke på de otte kompetencer som udgørende et sæt af velafgrænsede dimensioner, som tilsammen udspænder matematisk kompetence (Niss og Jensen, 2002, s. 44), men samtidig påpeges det også, at dette er en pragmatisk påstand, der ikke er mulig at dokumentere videnskabeligt. Kompetencerne er velafgrænsede med hver deres kerne, og hver enkelt kompetence kan ikke reduceres til en kombination af de øvrige (Niss og Jensen, 2002). Samtidig er kompetencerne alle forbundne, og mange matematiske aktiviteter vil kræve aktivering af flere af kompetencerne. Farveopdelingen på Figur 3 angiver en opdeling af kompetencerne i to grupper. Dette er blot én måde at opdele kompetencerne på, men det er denne, der er anvendt i KOM-rapporten. I gruppen at kunne spørge og svare i og med matematik hører tankegangskompetencen, problembehandlingskompetencen, modelleringskompetencen og ræsonnementskompetencen, mens repræsentationskompetencen, symbol- og formalismekompetencen, kommunikationskompetencen og hjælpemiddelkompetencen 14

21 Kapitel 4. Matematisk modelleringskompetence Figur 3: Illustration af de otte matematiske kompetencer. Figuren er lavet på baggrund af figuren i Niss og Jensen (2002, s. 45). hører under at kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber (Niss og Jensen, 2002, s. 44). De otte matematiske kompetencer har alle en dual karakter: en produktiv side, der angår evnen til at gennemføre de processer, som en kompetence består af, og en undersøgende side, der omhandler evnen til at kunne forstå, analysere og kritisk bedømme allerede udførte processer og de produkter, de resulterede i (Niss og Jensen, 2002). Den produktive side af modelleringskompetencen beskrives i afsnit 4.2.1, mens afsnit fokuserer på den undersøgende side af modelleringskompetencen. I Fælles Forenklede Mål er fire af de otte kompetencer lagt sammen to og to. Der er således kun seks kompetencer i stedet for otte, hvoraf de to hedder repræsentation og symbolbehandling og ræsonnement og tankegang (Ministeriet for børn, undervisning og ligestilling, 2015). Årsagen til denne sammenlægning var ønsket om at forenkle de otte kompetencer (Ministeriet for børn, undervisning og ligestilling, 2015), og man har ment, at dette kunne gøres ved at slå nogle af beskrivelserne sammen. Sammenlægningen berører dog ikke modelleringskompetencen, som også i Forenklede Fælles Mål fremstilles som en selvstændig kompetence. Jeg vil ikke gå ind i yderligere beskrivelser af de syv kompetencer, der ikke er i fokus i dette speciale, men i stedet henvise til KOM-rapportens beskrivelse af disse (Niss og Jensen, 2002, s ). Dog vil jeg nævne, at alle kompetencerne er generelle beskrivelser, der ikke er afhængige af fagligt stof eller uddannelsestrin, og dermed giver kompetencerne mulighed for at beskrive elevers matematiske udvikling på en måde, så den kan følges og sammenlignes igennem hele uddannelsessystemet (Niss og Jensen, 2002). 15

22 4.2 Modelleringskompetence Matematiske modeller spiller en central rolle i forhold til modelleringskompetencen. Formålet med en matematisk model er at beskrive, forstå eller forklare en situation eller løse et problem i en ekstra-matematisk sammenhæng (Niss, Blum og Galbraith, 2007). I arbejdet med matematiske modeller indgår der både elementer af matematik og den ekstra-matematiske verden, hvilket nødvendiggør at modellen bygger på antagelser og idealiseringer. Dette grundlag gør modellen åben for kritik og videreudvikling (Blum og Niss, 1991). Der eksisterer en række forskellige beskrivelser af, hvad matematisk modellering er (Frejd, 2013), hvilket kan skyldes en egentlig forskel i opfattelsen af, hvad begrebet modellering dækker over, eller de uddannelsesmæssige forhold man arbejder under (Niss et al., 2007). Disse forskellige syn på modellering kommer blandt andet til udtryk i forhold til produktiv modellering, hvor der findes en bred vifte af illustrationer af modelleringsprocessen (se afsnit 4.2.1). Manglen på en entydig definition af matematisk modellering i forskningslitteraturen skaber udfordringer både for forskerne selv og læserne af teksterne. Forskellige illustrationer af modelleringsprocessen med varierende detaljeringsgrad åbner dog også op for nogle muligheder; I Niss et al. (2007) stilles der fx spørgsmålstegn ved, om alle beskrivelser af modelleringsprocessen nødvendigvis er lige gode i alle sammenhænge Den produktive side af modelleringskompetencen Den produktive side består i at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden for matematikken selv (Niss og Jensen, 2002, s. 52). Denne side af modelleringskompetencen bringes i spil, når problemstillinger i ekstramatematiske situationer løses ved brug af matematik. Aktiv modelbygning 2 illustreres ofte i form af en modelleringscyklus som den på Figur 4. Modelleringscyklussens delprocesser er beskrevet i Jensen (2007, s ) og den korte gennemgang, der følger her, bygger der på: Udgangspunktet for aktiv modelbygning er den oplevede virkelighed. Det første trin i modelbygningen er at gøre sig bevidst, hvad motivationen er for at lave en model, herunder hvilken opgave modellen har, hvilket fører til en fokusering på et undersøgelsesområde, der er en afgrænset del af virkeligheden. For at muliggøre modelbygning skal undersøgelsesområdet reduceres til et system, der er mindre komplekst, hvilket sker på baggrund af bevidste og ubevidste antagelser om undersøgelsesområdet. Herefter oversættes systemets objekter og deres relationer til matematik, således at resultatet, det matematiske system, kan analyseres. Den matematiske analyse giver en række modelresultater, der skal fortolkes internt i forhold til modellen (Kan man konkludere noget på baggrund af resultaterne?) og eksternt i form af en oversættelse tilbage til konteksten (Giver resultaterne mening i forhold til udgangspunktet for modelleringen? Og kan de føre til en øget erkendelse 2 At processen kaldes modelbygning betyder ikke, at eleverne skal bygge en fysisk model, men dækker over den proces, hvor der skabes en model uafhængigt af modellens karakter. 16

23 Kapitel 4. Matematisk modelleringskompetence Figur 4: Illustration af modelleringscyklussen (Blomhøj og Jensen, 2007, s. 48). eller handling?). Til slut følger en evaluering af modelleringsprocessen: I hvilke sammenhænge er modellen gyldig? Kan modellen forbedres? Var modellering en velvalgt fremgangsmåde? Figuren er ikke en opskrift på modellering, og ofte vil en modelleringsproces indebære spring frem og tilbage i modelleringscyklussen, men den kan give et overblik over hvilke delprocesser der indgår i modelleringsarbejde. Der findes mange bud på illustrationer af modelleringsprocessen; Flere af disse kan ses i Haines og Crouch (2010) og Maaß (2006). Delprocesserne i figurerne er overordnet set rimeligt ens, selv om figurerne layoutmæssigt varierer. Med opdelingen af modelleringscyklussen i delprocesser opstår muligheden for at arbejde med udvalgte dele af modelleringscyklussen som fx matematisering og matematisk analyse. En sådan tilgang kaldes atomistisk og står i modsætning til den holistiske tilgang, hvor man arbejder med hele modelleringsprocessen, hvilket kan give udfordringer i forhold til at have overblik og at kunne styre den samlede modelleringsproces (Jensen, 2007). Foruden de delprocesser, der er illustreret i modelleringscyklussen, lægges der i KOM-rapporten også vægt på, at man som modelbygger skal kunne kommunikere med andre både om den model, man har bygget og modelresultaterne (Niss og Jensen, 2002). En modelleringsproces kunne fx tage udgangspunkt i spørgsmålet: Hvordan bør to nærliggende benzintanke reagere på hinandens prisnedsættelser? Det videre arbejde kræver blandt andet, at der tages en række valg angående antagelser og idealiseringer og afhængigt af disse kan problemstillingen fx bearbejdes ved brug af differentialligninger. Andre eksempler på modelbygningsoplæg kan blandt andet ses i Højgaard (2010), Lingefjärd (2006) og Dyke (1987). 17