Fuld fart frem og bremsen i

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fuld fart frem og bremsen i"

Transkript

1 Á fullum lum hraða og hemlum svo Greinin segir frá reynslu kennaranema af gerð stærðfræðilíkana. Þeir smíðuðu líkan og notuðu síðan til þess að athuga staðhæfingu sem ætlað var að reyna að fá ökumenn til þess að virða hraðatakmarkanirnar 50 km/klst. í þéttbýli. Út frá þessari vinnu kennaranemanna er fjallað um mikilvæga þætti í líkanasmíð, greiningu og gagnrýni á líkön. Að lokum er athygli beint að almennri menntun í stærðfræði og hvaða hlutverki hæfnin til þess að smíða stærðfræðilíkön eigi að gegna innan hennar. Täyttä ttä vauht auhtia ia etee eenpäin j ja a jar arrut ut päälle le Artikkelin lähtökohtana ovat kokemukset opettajankoulutuksessa käytetystä mallintamisprosessista, jossa opettajaksi opiskelevat rakensivat ja analysoivat matemaattisen mallin tanskalaisen liikennekampanjan väittämästä, jolla pyrittiin pitämään 50 km/t nopeusrajoitus taajamissa. Artikkelissa kuvataan niitä elementtejä, jotka ovat välttämättömiä matemaattisen mallin rakentamiseen, analyysiin ja kritiikkiin. Lopuksi käsitellään sitä roolia, joka mallintamiskompetenssin kehittämisellä tulisi olla yleissivistävässä matematiikan opetuksessa. 116 norden 2000

2 Morten Blomhøj Fuld fart frem og bremsen i 10 = 44 du u ramme ammer r hårdere e end du u tror For nogle år siden lancerede Rådet for Større Færdselssikkerhed en kampagne med overskriften 10 = 44 Du rammer hårdere end du tror. Kampagneplakaten viste et billede af en tilsyneladende død pige med 10 = 44 skrevet med rødt i panden. Efter nogen tid blev der indrykket annoncer i aviserne, der forklarede baggrunden for kampagnens slogan. Historien var som følger: En bil, der kører 50 km/t, overhales af en bil, der kører 60 km/t. Da bilerne er lige ud for hinanden, løber en pige ud på vejen et stykke foran. De to førere reagerer lige hurtigt og bilerne bremser lige godt. Bilen, der kører 50 km/t, når netop at standse, inden den rammer pigen. Men den anden rammer hende med 44 km/t. 9 ud af 10 dør af en sådan påkørsel. Kampagnens påstand giver anledning til undren hos læseren. Den stemmer ikke helt overens med vores intuition. Kan det virkelig passe, at en overskridelse af hastighedsbegrænsningen med 10 km/t kan betyde så meget? Hvordan er man nået frem til dette resultat, er det baseret på målinger eller er det noget man har regnet sig frem til? Gælder det altid det afhænger vel også af andre forhold vejbanens beskaffenhed f.eks.? Hvis man vil kontrollere kampagnens påstand, kan man gøre det ved at opstille en matematisk model, der gør det muligt at regne på, hvordan bilernes hastigheder og dermed deres positioner ændrer sig under opbremsningen. Et t modelle lering ingsf sforløb løb i læreruddanne uddannelse lsen Denne problemstilling var en blandt flere udgangspunkter for de studerendes arbejde med matematisk modellering i et forløb på Skive Seminarium i efteråret Med udgangspunkt i erfaringer fra dette forløb viser jeg i det følgende, hvilke forskellige elementer der kan indgå i en sådan modelleringsproces. En mulig første tilgang til opstilling af en model over det fænomen, der beskrives i kampagnen, kan være at formulere påstanden i annonceteksten og sigtet med at opstille en matematisk model i ens eget sprog. Det kan f.eks. føre til følgende sætninger: Den bil, der kører hurtigst må selvfølgelig nå hen til pigen først. Bilerne når altså ikke hen til pigen på samme tid. Afstanden til pigen i det øjeblik, hvor bilerne er lige ud for hinanden, svarer altså til den strækning, som den første bil skal bruge til at standse. Vi skal beregne, hvor hurtigt den anden bil kører på det sted, hvor den første bil netop er stoppet. 1 Det drejede sig om et forløb på 4. årgang af et liniefagshold. Forløbet var tilrettelagt af holdets matematiklærer Troels Lange i samarbejde med psykolog Rigmor Gade ligeledes Skive Seminarium og forfatteren. Jeg vil benytte lejligheden til at takke for et godt samarbejde og sige tak til holdet for deres positive medvirken. norden

3 En sproglig bearbejdelse er et vigtigt element i en matematisk modelleringsproces i en undervisningssituation. Selve formuleringen af formålet bidrager ofte til en personliggørelse af sigtet med at opstille modellen. Samtidig sker der er en vigtig første strukturering af problemsituationen gennem den sproglige formulering. Der lægges normalt ikke megen vægt på betydningen af en sproglig bearbejdelse i skolens matematikundervisning. Men i forbindelse med modellering er der brug for øget fokus på den sproglige side af faget, og hermed er der en anledning til tværfagligt samarbejde med modersmålsundervisningen. For at komme videre med modelopstillingen er det nødvendigt at overveje, hvilke forhold der skal indgå i modellen. Kampagnens påstand er generel og det er derfor rimeligt at se bort fra specielle forhold som f.eks. vejens beskaffenhed og førernes køreegenskaber. Man kan således antage, at bilernes opbremsning kan beskrives alene ved den tid, der går, fra førerne ser pigen, til de begynder at bremse og bilernes bremseevne. Bilerne antages kun at adskille sig fra hinanden ved deres hastighed på det tidspunkt, hvor førerne ser pigen. Sådanne antagelser må naturligvis baseres på en viden om det fænomen, som modellen skal beskrive. For den kyndige bilist er det klart, at der går et lille øjeblik, fra føreren opdager pigen, til han træder på bremsen det er det, der i teoriundervisningen til køreprøven kaldes for reaktionstiden. Der er imidlertid forskel på at have en viden om det fænomen, som man ønsker at beskrive ved hjælp af en matematisk model og så til at kunne bringe denne viden i spil i modelleringsprocessen. Samspil mellem forskellige former for viden og erfaringer er således central i forbindelse med modelleringskompetence. De valg, man gør i forbindelse med afgrænsning af modellen, har konsekvenser for modellens anvendelighed. Med ovenstående antagelser kan modellen således ikke forventes med nogen særlig præcision at kunne beregne, hvordan en konkret opbremsning vil forløbe. Den enkelte opbremsning vil netop være afhængig af de lokale vejforhold og førerens køreegenskaber. Refleksion over sammenhængen mellem de grundlæggende modelantagelser og modellens anvendelsesområde er også et element i arbejdet med matematisk modellering. Næste skridt i processen er at give en matematisk beskrivelse af, hvordan bilernes hastigheder ændrer sig, fra det øjeblik førerne ser pigen. Under reaktionstiden er det rimeligt at antage, at bilernes hastigheder ikke ændrer sig. Det svarer til, at bilerne kører med konstant hastighed på det tidspunkt førerne opdager pigen de er altså ikke midt i en acceleration eller en opbremsning. Når først bremsen er aktiveret, kan man antage, at hastigheden aftager lineært med tiden svarende til, at opbremsningen foregår med konstant acceleration. Hvilket blandt andet indebærer en antagelse om, at hjulene ikke blokerer under opbremsningen. For at man kan regne på modellen, skal disse antagelser matematiseres. Det kan gøres ved at udnytte differential- og integralregning, og sammenhængen mellem acceleration, hastighed og stedfunktion. Men en sådan tilgang kræver faglige forudsætninger i matematik og fysik svarende til gymnasiets højeste niveau. En anden mulighed er at tænke i, hvordan bilernes hastigheder og dermed deres position ændrer sig i løbet af et lille tidsinterval t, og på den baggrund opstille formler, der beskriver ændringerne i disse størrelser skridt for skridt. En sådan tilgang er baseret på matematiske begreber og metoder, der kan behandles i folkeskolens matematikundervisning. Til gengæld kræver det anvendelse af edb, når man ud fra de opstillede formler skridt for skridt skal beregne bilernes positioner under opbremsningen. Viden om mulighederne for, hvordan sådanne beregninger kan foretages ved hjælp af en computer, er således en forudsætning for bevidst at kunne vælge denne tilgang. 118 norden 2000

4 Inden man kan matematisere antagelserne er det nødvendigt at indføre passende symbolske betegnelser for de størrelser, der indgår i modellen. I undervisningssammenhæng er der ofte særlige vanskeligheder knyttet til netop dette element i modelleringsprocessen. Det kræver nemlig erfaring og en struktureret tankegang at indføre symboler, inden man har overblik over, hvilke matematiske formler symbolerne skal indgå i. I denne situation lader vi t betegne tiden (målt i sekunder) fra det øjeblik førerne opdager pigen. t = 0 svarer altså til dette tidspunkt. t reak betegner reaktionstiden, og bilerne begynder altså at bremse til tiden t = t reak. Bilernes hastighed til tiden t kalder vi for henholdsvis V 1 (t) og V 2 (t) (måles i m/sek.) og deres position målt i meter fra det sted, hvor bilerne var til tiden t = 0, kalder vi for S 1 (t) og S 2 (t). Inden bilerne begynder at bremse har vi dermed, at V 1 (t reak )=V 1 (0)=50km/time= 13,9m/sek. og at V 2 (t reak )=V 2 (0)=60km/time=16,7m/sek. Efter at bilerne er begyndt at bremse (t > t reak ) gælder for begge biler, at V(t + t) =V(t) b t hvor b (måles i m/sek.) er den acceleration, der bremses med. Denne formel beskriver en ret linie med hældningen b. Liniens placering fastlægges af begyndelsesbetingelsen. For bil 1 s vedkommende går linien gennem punktet (t reak, 13.9). En sådan ligning kaldes generelt for en differensligning, fordi den angiver forskellen mellem funktionsværdier til to forskellige tidspunkter: V(t + t) V(t) = b t. For at kunne besvare det spørgsmål, vi har formuleret, er det også nødvendigt at kunne beregne, hvordan bilernes position ændrer sig under opbremsningen. Her kan vi imidlertid bruge det samme strukturende greb, nemlig at opstille en formel for den strækning bilerne kører i løbet af et lille tidsinterval, t. Når t er passende lille, kan vi regne som om, hastighederne af de to biler er konstante i dette interval. Med denne tilnærmelse får vi følgende differensligning for, hvor langt der køres på t sek.: S(t + t) S(t) +v(t) t Formlen siger, at til tiden t + t har bilen kørt det stykke den havde kørt til tiden t, plus det stykke, den har kørt i løbet af de sidste t sekunder, når vi antager at hastigheden har været konstant, v(t), i denne periode. Vi ved jo, at bilernes hastigheder aftager under opbremsningen, så det er oplagt, at vi begår en lille fejl som gør, at vi overvurder er bilernes bremselængde, når vi regner på denne måde. Det er samtidig oplagt, at jo mindre vi vælger t jo mindre en fejl begår vi. Sådanne overvejelser om præcisionen af de metoder, der anvendes i forbindelse med analyse af en matematikmodel, er et vigtigt element i en matematisk modelleringsproces. De formler, vi nu har opstillet, giver ikke umiddelbart svar på spørgsmålet, om hvor hurtigt den anden bil kører i det øjeblik den rammer pigen. Men vi kan bruge formlerne til skridt for skridt at beregne bilernes hastigheder og deres positioner, og vi har hermed opstillet en matematisk model af den situation, der beskrives i kampagnen. Hvis man skal udføre beregningerne i hånden, er det imidlertid en noget tidskrævende proces. Vi kender hverken reaktionstiden eller bremseevnen, og derfor vil vi have brug for at foretage de samme beregninger flere gange med forskellige værdier af t reak og b. Disse parametre må formodes at påvirke modellens beregning af påkørselshastigheden, og en mulig anvendelse af modellen kunne netop være at undersøge, om der findes realistiske værdier af t reak og b, hvor modellens resultater er i overensstemmelse med påstanden i kampagnen. Det er derfor værd at overveje, hvordan vi kan få modellen omsat til et computerprogram. I denne sammenhæng er det oplagt at bruge et norden

5 tidsskridt (sek.): 0,10 v1(0) (km/time): 50 reaktiontid (sek.): 1,50 v2(0) (km/time): 60 bremseevne (m/sek.^2) 8,00 tid (sek.) v1 (m/sek.) s1 (m) v2 (m/sek.) s2 (m) 0 13,89 0,00 16,67 0,00 1,50 13,89 20,83 16,67 25,00 1,60 13,09 22,22 15,87 26,67 1,70 12,29 23,53 15,07 28,25 1,80 11,49 24,76 14,27 29,76 1,90 10,69 25,91 13,47 31,19 2,00 9,89 26,98 12,67 32,53 2,10 9,09 27,97 11,87 33,80 2,20 8,29 28,88 11,07 34,99 2,30 7,49 29,70 10,27 36,09 2,40 6,69 30,45 9,47 37,12 2,50 5,89 31,12 8,67 38,07 2,60 5,09 31,71 7,87 38,93 2,70 4,29 32,22 7,07 39,72 2,80 3,49 32,65 6,27 40,43 2,90 2,69 33,00 5,47 41,05 3,00 1,89 33,27 4,67 41,60 3,10 1,09 33,46 3,87 42,07 3,20 0,29 33,56 3,07 42,45 3,30-0,51 33,59 2,27 42,76 Formlen i B8 er: C8$f$1/3,6 Formlen i C7 er: C8B7*$C$2 Tilsvarende for D7 og E7. Formlen i B8 er: C8B7-$C$3*$C$1 Denne formel er kopieret i B- og D-søjlen fra og med celle 9. Formlen i C8 er: =C7+B7*$C$1 Denne formel er kopieret i C- og E-søjlen fra og med celle 9. regneark, fordi formlerne netop fortæller, hvordan hastighederne og positionerne ændrer sig skridt for skridt. En sådan sammenhæng kan repræsenteres i et regneark ved at lave en søjle til hver af de indgående variable, og ved i hver række at beregne tiden t og bilernes hastigheder og positioner til dette tidspunkt. Her er gengivet et sådant regneark lavet i Excel af to lærerstuderende i forbindelse med forløbet på Skive Seminarium. Det er værd at understrege, at alle de mange overvejelser og refleksioner vedrørende modellens opbygning ikke blev foretaget i den velordnede rækkefølge, de er blevet præsenteret i forud for opstillingen af regnearket. Som det er karakteristisk for matematisk modellering, har der derimod været tale om en cyklisk proces, hvor forskellige ideer og antagelser blev diskuteret samtidig med udviklingen af regnearket, der således blev lavet om flere gange i processen. Så snart modellens ligninger er repræsenteret i et regneark kan man eksperimentere med modellen. For hvert valg af værdier for reaktionstid og bremseevne kan regnearket beregne forløbet af opbremsningen. Realistiske værdier for reaktionstiden ligger nok i intervallet 0,5 1,5 sek., mens bremseevnen ligger mellem 6,8 m/sek 2, der er lovens krav til, hvor godt en bil skal kunne bremse, og 9,8 m/sek 2, der er den fysiske grænse for, hvor godt en bil kan bremse ved hjælp af friktion mod vejen. Hvis vejen er vandret, kan friktionskraften nemlig ikke overstige den kraft, der trykker bilen ned mod vejen og det er jo tyngdekraften. I det viste regneark er t reak sat til 1,5 sek. og b til 8 m/sek 2. Ved at analysere tallene i arket kan man se, at bil 1 stopper efter 33,6 meter. Det er 120 norden 2000

6 altså her pigen står i dette tilfælde. Med andre værdier ville pigen stå et andet sted! Ved at gå ind i søjle E kan vi finde ud af, hvornår bil 2 passerer dette sted. Vi kan se, at det sker efter ca. 2,05 sek. På dette tidspunkt er hastigheden af bil 2 omkring 12 m/sek., hvilket svarer til 43,3 km/time. Med disse værdier er der altså rimelig overensstemmelse mellem modellens resultater og kampagnens påstand. Værdierne t reak =1,5 sek. og b til 8 m/sek. 2 er netop bestemt ved at eksperimentere med modellen for at få resultaterne til at passe med kampagnens påstand. Det er oplagt at repræsentere modellens resultater grafisk. Det kan f.eks. gøres ved at plotte sammenhørende værdier af bilernes position og hastighed. Sådanne grafer viser altså, hvor stærkt bilerne kører på forskellige steder under opbremsningen. Udfra figuren kan man se, at bil 1 stopper efter ca. 34 meter. Her er dens hastighed nemlig 0, og det er altså her pigen står. Den hastighed, som bil 2 rammer pigen med, kan aflæses direkte af grafen som V2 svarende til sted hvor V1 = 0. Spørgsmålet om, hvorvidt påstanden i kampagnen holder, kan nu formuleres inden for modellen som et spørgsmål om, hvorvidt en reaktionstid på 1,5 sek. og en bremseevne på 8 m/sek 2 er realistiske værdier. De lærerstuderende havde bl.a. denne vurdering: En reaktionstid på 1,5 sek. er nok lige i overkanten for bilister, der ikke er påvirket af spiritus eller andet. En bremseevne på 8m/sek 2 er til gengæld nok en rimelig antagelse. Hvis man vælger at sætte reaktionstiden til 1 sek. i stedet for 1,5 sek., rammer bil 2 pigen med ca. 41 km/t, hvilket jo også er en ganske høj fart at blive påkørt med. Som overordnet konklusion kan vi altså slå fast, at vores model bekræfter påstanden i kampagnen om, at en overskridelse af hastighedsbegrænsningen i byer med 10 km/time har dramatiske konsekvenser for den hastighed, hvormed man rammer forhindringer, der viser sig meter forude. Modellens resultater kan således bruges som argument for hastighedsbegrænsning i byerne på 50 km/time. Inden man anvender modellen i en sådan sammenhæng, bør den imidlertid afprøves empirisk. I modellen fortsætter opbremsningen efter V1 er blevet 0, således at hastigheden bliver negativ. Det vil svare til, at bilen begynder at bakke, når blot man træder længe nok på bremsen. Det er naturligvis ikke i overensstemmelse med virkeligheden og fænomenet skyldes, at formlen for, hvordan hastigheden ændrer sig, kun er en rimelig beskrivelse af virkeligheden, så længe hastigheden er større end 0. Ved hjælp af regnearket kan man relativt let undersøge, hvordan ændringer i parameterværdierne påvirker modellens resultater. Følgende citat fra en af rapporterne fra forløbet viser, at sådanne undersøgelser kan føre til et overraskende resultat: Vi har eksperimenteret med modellen og fundet ud af, at den hastighed, som bil nr. 2 rammer pigen med, vokser, når vi sætter reaktionstiden op og når vi sætter bremseevnen op. Men når vi ændrer på disse størrelser, betyder det også, at pigen står et andet sted. Det er selvfølgelig bedst at have gode bremser. Sætter man således b = 9,8 m/sek 2 og t reak = 1,5 sek. får man, at bil 2 rammer pigen norden

7 med ca. 46 km/t. Fænomenet skyldes, at afstanden til pigen bliver mindre, når bremseevnen sættes op. Bil 2 får dermed et kortere vejstykke at bremse på. Vi ved, at skridtlængden Dt har betydning for modellens resultater. Vi bør derfor også undersøge, hvor lille t skal være, hvis vi ønsker at kunne bestemme påkørselshastigheden med f.eks. en decimals nøjagtighed. Det kan gøres ved at undersøge, hvordan resultaterne ændrer sig, når vi sætter skridtlængden ned. Det viser sig faktisk, at vi skal helt ned på en skridtlængde på 1/100 sek. for at få en sådan præcision. Modelle lering ingsk skomp mpetenc nce og g almendanne ndannelse lse Som eksemplet viser er det at kunne opstille, analysere og kritisere matematiske modeller en sammensat og kompleks kompetence. Modelleringskompetence indbefatter evne til at kunne formulere, afgrænse og strukturere en problemstilling således, at den kan gøres til genstand for matematisk behandling, samt evne til at kunne foretage en sådan matematisering. Her er det nødvendigt at kunne trække på en forståelse af de involverede matematiske begreber, men evne til at opstille matematiske modeller kan ikke udvikles alene gennem arbejde med de faglige begreber. Det kræver, at der tilstrækkelig ofte arbejdes med problemsituationer, der udfordrer disse evner. Modelleringskompetence omfatter også evne til at kunne foretage en relevant analyse af en model ved hjælp af f.eks. numeriske, grafiske og analytiske metoder. Som i eksemplet er det her ofte en forudsætning, at man behersker relevante edb-værktøjer. Det selv at have opstillet en matematisk model medfører ikke af sig selv, at man kan fortolke, vurdere og kritisere modellens resultater på en relevant måde. Sådanne evner må udvikles gennem at praktisere fortolkning og kritik i forskellige modelleringssituationer (Blomhøj, 1992). Vi lever i et samfund, der udvikler sig i en retning, hvor opstilling og anvendelse af matematiske modeller spiller en stadig mere fremtrædende rolle. Det gælder inden for udvikling og anvendelse af teknologi i produktionen og det gælder brug af matematiske modeller i forbindelse med samfundsmæssige problemstillinger. Af aktuelle eksempler på anvendelse af matematiske modeller i forbindelse med samfundsmæssige problemer kan nævnes: trafikprognoser og modeller for vandgennemstrømningen i forbindelse med beslutningen om Øresundsforbindelsen, risikovurdering som grundlag for bekæmpelse af salmonellainfektioner fra fødevarer, dokumentationen af faldende sædkvalitet hos mænd, indsatsen over for forurening af vandmiljøet med næringsstoffer, vurdering af AIDS-epidemiens omfang, teorien om menneskeskabte påvirkninger af det globale klima. Brugen af matematiske modeller spiller i disse sammenhænge en afgørende rolle for, at problemerne opdages og tematiseres som samfundsmæssige problemer. Ifølge den tyske sociolog Ulrik Beck (Beck, 1997) udvikler det moderne højteknologiske samfund sig i retning af et risikosamfund, hvor det afgørende spørgsmål lyder: Hvordan kan man forhindre, uskadeliggøre, dramatisere og kanalisere de risici og farer, som systematisk skabes i den højtudviklede moderniseringsproces? Det drejer sig ikke længere udelukkende om nyttiggørelse af naturen, om menneskets befrielse fra det traditionelle samfunds tvang, men derimod også og væsentligst om selve den teknologiske og økonomiske udviklings følgeproblemer. (Beck, 1997, s. 28) Det dominerende problem i risikosamfundet handler om at kunne optimere håndteringen af de risici, som den højteknologiske modernisering medfører i forhold til givne interessekonflikter. Videnskaberne og i særdeleshed matematik spiller en vigtig rolle i denne proces, fordi det er gennem videnskabeligt forklarede årsagssammenhænge 122 norden 2000

8 blandt andet i form af matematiske modeller, at de samfundsskabte risici bliver en samfundsmæssig og politisk realitet. Og det er de videnskabelige analyser af problemerne, der skal producere forslag til håndtering af disse risici. De samfundsskabte risici bliver med rette eller urette gjort til genstand for sammenligning og kvantificering gennem matematisk modellering. I et sådant samfund er det oplagt, at matematik er en vigtig faktor. Ethvert forsøg på at kvantificere, forudsige og konsekvensberegne mulige reguleringer af de risici, som samfundet producerer, kræver anvendelse af matematik i form af matematiske modeller. Modelleringskompetence og herunder faglig kritisk dømmekraft over for brugen af matematiske modeller bliver hermed af betydning for fastholdelse og udvikling af vores demokrati. Det er derfor vigtigt at overveje, hvordan matematikundervisning kan bidrage til at udvikle kompetencer, der er relevante både for det enkelte individs aktive deltagelse i samfundet og for samfundets behov for uddannelse af kvalificeret arbejdskraft. Hvis man med almendannelse forstår uddannelse, der skal være af værdi for et liv levet under almindelige livsbetingelser, er det for mig at se, oplagt at udvikling af modelleringskompetence må være en central del af matematikundervisningens bidrag til almendannelse i det moderne, højteknologiske samfund. Både for kommende eksperter og kommende lægflok er kendskab til begrebet matematisk model og personlige erfaringer med selv at opstille, analysere og kritisere matematiske modeller i simple problemsituationer et værdifuldt bidrag til almendannelse. Modelle lering i skole olens matemat matikund ikundervisning isning Men betyder det så, at vi skal til at undervise i den slags matematik, der indgår i de matematiske modeller, der bruges i samfundet? Nej, det betyder det ikke, og det er under alle omstændigheder illusorisk at tro, at vi gennem folkeskolens matematikundervisning og matematikundervisningen i ungdomsuddannelserne kan udvikle de nødvendige faglige forudsætninger for at almindelige elever skal kunne forstå og kritisere indholdet i avancerede matematiske modeller, der anvendes i forbindelse med samfundsmæssige problemstillinger. Det betyder derimod, at tilegnelsen af grundlæggende matematiske begreber og metoder, som vi kender fra folkeskolens matematikundervisning, skal ske med henblik på, at eleverne bliver i stand til selvstændigt at anvende deres matematiske viden over for spørgsmål og problemer, de møder uden for matematikundervisningen. Og at der skal arbejdes målrettet på at udvikle elevernes mulighed for at reflektere over brugen af matematik i simple problemsituationer. Hvis sådanne intentioner skal realiseres, kræver det, at der i matematikundervisningen tilstrækkeligt ofte skabes situationer, hvor eleverne faktisk arbejder med at opstille og analysere simple matematiske modeller. Eksemplet med fartkampagnen viser, at der i arbejdet med modellering også kan være behov for at indføre nye matematiske begreber som f.eks. differensligninger. Dette begreb er et stærkt redskab til modellering af dynamiske fænomener og samtidig kan det udgøre et fundament for eventuel efterfølgende tilegnelse af differentialregningens begreber. Ligeledes er en egentlig integration af edb ofte også en forudsætning for at kunne arbejde med modellering i matematikundervisning. Øget fokus på modellering medfører altså også nye udfordringer med hensyn til valg af fagligt indhold i skolens matematikundervisning (Blomhøj, 1993). Det er endvidere en afgørende forudsætning, at der kan afsættes tilstrækkelig tid til sammenhængende modelleringsforløb. Det er nok nødvendigt at udnytte andre former for organisering af undervisningen end det traditio- norden

9 nelle lektionsopdelte skema, hvis der skal arbejdes seriøst med matematisk modellering i skolens matematikundervisning. Men det vigtigste er, at lærerne gennem deres grund- og efteruddannelse får mulighed for selv at udvikle modelleringskompetence og for at overveje de didaktiske muligheder og vanskeligheder i forbindelse med modellering i skolens matematikundervisning. Erfaringerne fra forløbet i læreruddannelsen viste, at de lærerstuderende fandt det meget relevant og spændende at arbejde med matematisk modellering og at deres erfaringer gav et godt grundlag for didaktiske refleksioner over arbejdet med modellering i skolens matematikundervisning. Slip bremsen og sæt fuld fart på modellering i matematikundervisningen. Note: Artiklen er skrevet i tilknytning til projektet Edb s betydning for læring og undervisning i matematik under Center for Forskning i Matematiklæring. Referenc ncer: Beck, U. (1997): Risikosamfundet på vej mod en ny modernitet. Hans Reitzels forlag, København. (Første tyske udgave 1986). Blomhøj, M. (1992): Modellering i den elementære matematikundervisning et didaktisk problemfelt. Tekst MI 58, Matematisk Institut, Danmarks Lærerhøjskole. Blomhøj, M. (1993): Modellerings betydning for tilegnelsen af matematiske begreber. Nordisk MatematikkDidaktikk, nr. 1, s norden 2000

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Modellering 0745 - Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Matematisk modellering I kursusbeskrivelsen Når man bruger matematik til at beskrive og forstå virkeligheden

Læs mere

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces..

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Mundtlig matematik - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Hjørring 7. sep. 2012 Line Engsig matematikvejleder på Skovshoved Skole og Mikael

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet * Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen Syddansk Universitet * Inspireret af Swetz, F. & Hartzler, J. S. (eds) 1991, Yellow Traffic Lights, in Mathematical Modeling in the Secondary School

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Matematik B stx, maj 2010

Matematik B stx, maj 2010 Bilag 36 Matematik B stx, maj 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

På väg mot IT i undervisningen

På väg mot IT i undervisningen På väg mot IT i undervisningen Morten Blomhøj Göte Dahland disputerade i maj 1998 på en avhandling om IT i svensk matematikundervisning, som här anmäls av fakultetsopponenten. Frågeställningar om möjligheter

Læs mere

Introduktion til IBSE-didaktikken

Introduktion til IBSE-didaktikken Introduktion til IBSE-didaktikken Martin Krabbe Sillasen, Læreruddannelsen i Silkeborg, VIA UC IBSE-didaktikken tager afsæt i den opfattelse, at eleverne skal forstå, hvad det er de lærer, og ikke bare

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Vikar-Guide. 1. Fælles gennemgang: Vikarguiden findes på side 5. 2. Efter fælles gennemgang: Venlig hilsen holdet bag Vikartimen.

Vikar-Guide. 1. Fælles gennemgang: Vikarguiden findes på side 5. 2. Efter fælles gennemgang: Venlig hilsen holdet bag Vikartimen. Vikar-Guide Fag: Klasse: OpgaveSæt: Fysik/Kemi 7. klasse Reaktionstid 1. Fælles gennemgang: Vikarguiden findes på side 5. 2. Efter fælles gennemgang: Venlig hilsen holdet bag Vikartimen.dk Hjælp os med

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne.

Vedlagt følger en beskrivelse af proceduren ved skriftlig censur samt en vejledning i bedømmelse af besvarelserne. o Til censor Fagkonsulent Matematik, htx Vedr.: Skriftlig censur i matematik på htx Velkommen som skriftlig censor i matematik på htx. Marit Hvalsøe Schou Oehlenschlægersvej 55 5230 Odense M Tlf: 2565

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matematik Morgener - et udviklingsarbejde. Af: Morten Blomhøj og Mikael Skånstrøm

Matematik Morgener - et udviklingsarbejde. Af: Morten Blomhøj og Mikael Skånstrøm Matematik Morgener - et udviklingsarbejde Af: Morten Blomhøj og Mikael Skånstrøm Vi arbejder på et ønske om at udvikle en praksis, hvor eleverne kan blive optaget af at bruge matematik til at beskrive

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Kan det virkelig passe?

Kan det virkelig passe? Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) Kan det virkelig passe? - om matematiklæring This page intentionally left blank Ole Skovsmose og Morten Blomhøj (red.) Kan det virkelig passe? - om matematiklæring

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Lærerorientering til opgaver pa Bakken og i Dyrehaven:

Lærerorientering til opgaver pa Bakken og i Dyrehaven: Lærerorientering til opgaver pa Bakken og i Dyrehaven: Opgaverne er alle bygget op efter samme koncept; eleverne laver observationer i Dyrehaven og på Bakken og bruger derefter observationerne til at lave

Læs mere

Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme

Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme Aktionslæring som metode til udvikling af didaktisk professionalisme Af Jytte Vinther Andersen, konsulent, og Helle Plauborg, ph.d.-stipendiat 20 Denne artikel handler om aktionslæring. Aktionslæring er

Læs mere

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi Målsætning Økonomiske beregninger som baggrund for vurdering af konkrete problemstillinger. Målsætningen for temaet Hvordan får jeg råd? er, at eleverne gennem arbejde med scenariet udvikler matematiske

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag

Microsoft Excel - en kort introduktion. Grundlag Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

TEKNISK GYMNASIUM HTXHJØRRING HTX TEKNISK GYMNASIUM HJØRRING 2015. eucnord.dk

TEKNISK GYMNASIUM HTXHJØRRING HTX TEKNISK GYMNASIUM HJØRRING 2015. eucnord.dk TEKNISK GYMNASIUM HTXHJØRRING HTX TEKNISK GYMNASIUM HJØRRING 2015 eucnord.dk Velkommen til HTX Hjørring Studieforberedelse og almendannelse Teknisk Gymnasium tilbyder et fællesskab, hvor aktiviteterne

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Avnø udeskole og science

Avnø udeskole og science www.nts-centeret.dk Avnø Avnø Avnø udeskole og science Hvad kan uderummet gøre for naturfagene?... og hvordan kan udeskolelærere bruge NTS centrene? 12.4.2011 Nationalt center for undervisning i natur,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Mathias Turac 01-12-2008

Mathias Turac 01-12-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Definition af pædagogiske begreber. Indhold. Praksisbaseret, praksisnær og praksisrelateret undervisning. Pædagogiske begreber, oktober 2014

Definition af pædagogiske begreber. Indhold. Praksisbaseret, praksisnær og praksisrelateret undervisning. Pædagogiske begreber, oktober 2014 Definition af pædagogiske begreber I tekster om reformen af erhvervsuddannelserne anvendes en række pædagogiske begreber. Undervisningsministeriet beskriver i dette notat, hvordan ministeriet forstår og

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Viden i spil. læringsmiljø og nye aktivitetsformer.

Viden i spil. læringsmiljø og nye aktivitetsformer. Viden i spil Denne publikation er udarbejdet af Formidlingskonsortiet Viden i spil. Formålet er i højere grad end i dag at bringe viden fra forskning og gode erfaringer fra praksis i spil i forbindelse

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Faglighed i. Fællesskabets skole. Danmarks Lærerforening

Faglighed i. Fællesskabets skole. Danmarks Lærerforening Faglighed i Fællesskabets skole Danmarks Lærerforening Folkeskolens opgave er i samarbejde med forældrene at fremme elevernes tilegnelse af kundskaber, færdigheder, arbejdsmetoder og udtryksformer, der

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Matematik (aldersspecialiseret)

Matematik (aldersspecialiseret) Studieordningsbestemmelser for Læreruddannelsen i Århus Matematik (aldersspecialiseret) Fagets identitet Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved samspillet mellem matematiske kompetencer,

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

FARTBEGRÆNSNING & TRAFIKSIKKERHED

FARTBEGRÆNSNING & TRAFIKSIKKERHED 27-1-2012 KOMMUNIKATION & SAMFUND FARTBEGRÆNSNING & TRAFIKSIKKERHED Roskilde Tekniske Skole, HTX Søren Witek & Christoffer Thor Paulsen Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Problemformulering... 3 Danskernes

Læs mere

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet

MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet MatematiKan Et matematisk skriveværktøj for hele skoleforløbet Tænk, hvis alle elever kunne arbejde med procesorienteret matematik. En arbejdsform, hvor du forsøger at arbejde med matematiske problemstillinger

Læs mere

Almen studieforberedelse stx, juni 2013

Almen studieforberedelse stx, juni 2013 Bilag 9 Almen studieforberedelse stx, juni 2013 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Almen studieforberedelse er et samarbejde mellem fag inden for og på tværs af det almene gymnasiums tre faglige hovedområder:

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1

Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1 Kinematik Kinematik Indhold. Retlinet beægelse.... Jæn retlinet beægelse...3 3. Ujæn beægelse...4 4. Konstant accelereret beægelse...5 5. Tilbagelagt ej ed en konstant accelereret beægelse...8 6. Frit

Læs mere

UPV og obligatorisk optagelsesprøve

UPV og obligatorisk optagelsesprøve Region Hovedstaden optageområde Nordsjælland UPV og obligatorisk optagelsesprøve En beskrivelse af form og indhold rektorerne 2015 1 Optagelsesprøve og vurdering af uddannelsesparathed 2015 Region Hovedstaden

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne:

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne: Lærervejledningen giver supplerende oplysninger og forslag til scenariet. En generel lærervejledning fortæller om de gennemgående træk ved alle scenarier samt om intentionerne i Matematikkens Univers.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere