Fuld fart frem og bremsen i

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fuld fart frem og bremsen i"

Transkript

1 Á fullum lum hraða og hemlum svo Greinin segir frá reynslu kennaranema af gerð stærðfræðilíkana. Þeir smíðuðu líkan og notuðu síðan til þess að athuga staðhæfingu sem ætlað var að reyna að fá ökumenn til þess að virða hraðatakmarkanirnar 50 km/klst. í þéttbýli. Út frá þessari vinnu kennaranemanna er fjallað um mikilvæga þætti í líkanasmíð, greiningu og gagnrýni á líkön. Að lokum er athygli beint að almennri menntun í stærðfræði og hvaða hlutverki hæfnin til þess að smíða stærðfræðilíkön eigi að gegna innan hennar. Täyttä ttä vauht auhtia ia etee eenpäin j ja a jar arrut ut päälle le Artikkelin lähtökohtana ovat kokemukset opettajankoulutuksessa käytetystä mallintamisprosessista, jossa opettajaksi opiskelevat rakensivat ja analysoivat matemaattisen mallin tanskalaisen liikennekampanjan väittämästä, jolla pyrittiin pitämään 50 km/t nopeusrajoitus taajamissa. Artikkelissa kuvataan niitä elementtejä, jotka ovat välttämättömiä matemaattisen mallin rakentamiseen, analyysiin ja kritiikkiin. Lopuksi käsitellään sitä roolia, joka mallintamiskompetenssin kehittämisellä tulisi olla yleissivistävässä matematiikan opetuksessa. 116 norden 2000

2 Morten Blomhøj Fuld fart frem og bremsen i 10 = 44 du u ramme ammer r hårdere e end du u tror For nogle år siden lancerede Rådet for Større Færdselssikkerhed en kampagne med overskriften 10 = 44 Du rammer hårdere end du tror. Kampagneplakaten viste et billede af en tilsyneladende død pige med 10 = 44 skrevet med rødt i panden. Efter nogen tid blev der indrykket annoncer i aviserne, der forklarede baggrunden for kampagnens slogan. Historien var som følger: En bil, der kører 50 km/t, overhales af en bil, der kører 60 km/t. Da bilerne er lige ud for hinanden, løber en pige ud på vejen et stykke foran. De to førere reagerer lige hurtigt og bilerne bremser lige godt. Bilen, der kører 50 km/t, når netop at standse, inden den rammer pigen. Men den anden rammer hende med 44 km/t. 9 ud af 10 dør af en sådan påkørsel. Kampagnens påstand giver anledning til undren hos læseren. Den stemmer ikke helt overens med vores intuition. Kan det virkelig passe, at en overskridelse af hastighedsbegrænsningen med 10 km/t kan betyde så meget? Hvordan er man nået frem til dette resultat, er det baseret på målinger eller er det noget man har regnet sig frem til? Gælder det altid det afhænger vel også af andre forhold vejbanens beskaffenhed f.eks.? Hvis man vil kontrollere kampagnens påstand, kan man gøre det ved at opstille en matematisk model, der gør det muligt at regne på, hvordan bilernes hastigheder og dermed deres positioner ændrer sig under opbremsningen. Et t modelle lering ingsf sforløb løb i læreruddanne uddannelse lsen Denne problemstilling var en blandt flere udgangspunkter for de studerendes arbejde med matematisk modellering i et forløb på Skive Seminarium i efteråret Med udgangspunkt i erfaringer fra dette forløb viser jeg i det følgende, hvilke forskellige elementer der kan indgå i en sådan modelleringsproces. En mulig første tilgang til opstilling af en model over det fænomen, der beskrives i kampagnen, kan være at formulere påstanden i annonceteksten og sigtet med at opstille en matematisk model i ens eget sprog. Det kan f.eks. føre til følgende sætninger: Den bil, der kører hurtigst må selvfølgelig nå hen til pigen først. Bilerne når altså ikke hen til pigen på samme tid. Afstanden til pigen i det øjeblik, hvor bilerne er lige ud for hinanden, svarer altså til den strækning, som den første bil skal bruge til at standse. Vi skal beregne, hvor hurtigt den anden bil kører på det sted, hvor den første bil netop er stoppet. 1 Det drejede sig om et forløb på 4. årgang af et liniefagshold. Forløbet var tilrettelagt af holdets matematiklærer Troels Lange i samarbejde med psykolog Rigmor Gade ligeledes Skive Seminarium og forfatteren. Jeg vil benytte lejligheden til at takke for et godt samarbejde og sige tak til holdet for deres positive medvirken. norden

3 En sproglig bearbejdelse er et vigtigt element i en matematisk modelleringsproces i en undervisningssituation. Selve formuleringen af formålet bidrager ofte til en personliggørelse af sigtet med at opstille modellen. Samtidig sker der er en vigtig første strukturering af problemsituationen gennem den sproglige formulering. Der lægges normalt ikke megen vægt på betydningen af en sproglig bearbejdelse i skolens matematikundervisning. Men i forbindelse med modellering er der brug for øget fokus på den sproglige side af faget, og hermed er der en anledning til tværfagligt samarbejde med modersmålsundervisningen. For at komme videre med modelopstillingen er det nødvendigt at overveje, hvilke forhold der skal indgå i modellen. Kampagnens påstand er generel og det er derfor rimeligt at se bort fra specielle forhold som f.eks. vejens beskaffenhed og førernes køreegenskaber. Man kan således antage, at bilernes opbremsning kan beskrives alene ved den tid, der går, fra førerne ser pigen, til de begynder at bremse og bilernes bremseevne. Bilerne antages kun at adskille sig fra hinanden ved deres hastighed på det tidspunkt, hvor førerne ser pigen. Sådanne antagelser må naturligvis baseres på en viden om det fænomen, som modellen skal beskrive. For den kyndige bilist er det klart, at der går et lille øjeblik, fra føreren opdager pigen, til han træder på bremsen det er det, der i teoriundervisningen til køreprøven kaldes for reaktionstiden. Der er imidlertid forskel på at have en viden om det fænomen, som man ønsker at beskrive ved hjælp af en matematisk model og så til at kunne bringe denne viden i spil i modelleringsprocessen. Samspil mellem forskellige former for viden og erfaringer er således central i forbindelse med modelleringskompetence. De valg, man gør i forbindelse med afgrænsning af modellen, har konsekvenser for modellens anvendelighed. Med ovenstående antagelser kan modellen således ikke forventes med nogen særlig præcision at kunne beregne, hvordan en konkret opbremsning vil forløbe. Den enkelte opbremsning vil netop være afhængig af de lokale vejforhold og førerens køreegenskaber. Refleksion over sammenhængen mellem de grundlæggende modelantagelser og modellens anvendelsesområde er også et element i arbejdet med matematisk modellering. Næste skridt i processen er at give en matematisk beskrivelse af, hvordan bilernes hastigheder ændrer sig, fra det øjeblik førerne ser pigen. Under reaktionstiden er det rimeligt at antage, at bilernes hastigheder ikke ændrer sig. Det svarer til, at bilerne kører med konstant hastighed på det tidspunkt førerne opdager pigen de er altså ikke midt i en acceleration eller en opbremsning. Når først bremsen er aktiveret, kan man antage, at hastigheden aftager lineært med tiden svarende til, at opbremsningen foregår med konstant acceleration. Hvilket blandt andet indebærer en antagelse om, at hjulene ikke blokerer under opbremsningen. For at man kan regne på modellen, skal disse antagelser matematiseres. Det kan gøres ved at udnytte differential- og integralregning, og sammenhængen mellem acceleration, hastighed og stedfunktion. Men en sådan tilgang kræver faglige forudsætninger i matematik og fysik svarende til gymnasiets højeste niveau. En anden mulighed er at tænke i, hvordan bilernes hastigheder og dermed deres position ændrer sig i løbet af et lille tidsinterval t, og på den baggrund opstille formler, der beskriver ændringerne i disse størrelser skridt for skridt. En sådan tilgang er baseret på matematiske begreber og metoder, der kan behandles i folkeskolens matematikundervisning. Til gengæld kræver det anvendelse af edb, når man ud fra de opstillede formler skridt for skridt skal beregne bilernes positioner under opbremsningen. Viden om mulighederne for, hvordan sådanne beregninger kan foretages ved hjælp af en computer, er således en forudsætning for bevidst at kunne vælge denne tilgang. 118 norden 2000

4 Inden man kan matematisere antagelserne er det nødvendigt at indføre passende symbolske betegnelser for de størrelser, der indgår i modellen. I undervisningssammenhæng er der ofte særlige vanskeligheder knyttet til netop dette element i modelleringsprocessen. Det kræver nemlig erfaring og en struktureret tankegang at indføre symboler, inden man har overblik over, hvilke matematiske formler symbolerne skal indgå i. I denne situation lader vi t betegne tiden (målt i sekunder) fra det øjeblik førerne opdager pigen. t = 0 svarer altså til dette tidspunkt. t reak betegner reaktionstiden, og bilerne begynder altså at bremse til tiden t = t reak. Bilernes hastighed til tiden t kalder vi for henholdsvis V 1 (t) og V 2 (t) (måles i m/sek.) og deres position målt i meter fra det sted, hvor bilerne var til tiden t = 0, kalder vi for S 1 (t) og S 2 (t). Inden bilerne begynder at bremse har vi dermed, at V 1 (t reak )=V 1 (0)=50km/time= 13,9m/sek. og at V 2 (t reak )=V 2 (0)=60km/time=16,7m/sek. Efter at bilerne er begyndt at bremse (t > t reak ) gælder for begge biler, at V(t + t) =V(t) b t hvor b (måles i m/sek.) er den acceleration, der bremses med. Denne formel beskriver en ret linie med hældningen b. Liniens placering fastlægges af begyndelsesbetingelsen. For bil 1 s vedkommende går linien gennem punktet (t reak, 13.9). En sådan ligning kaldes generelt for en differensligning, fordi den angiver forskellen mellem funktionsværdier til to forskellige tidspunkter: V(t + t) V(t) = b t. For at kunne besvare det spørgsmål, vi har formuleret, er det også nødvendigt at kunne beregne, hvordan bilernes position ændrer sig under opbremsningen. Her kan vi imidlertid bruge det samme strukturende greb, nemlig at opstille en formel for den strækning bilerne kører i løbet af et lille tidsinterval, t. Når t er passende lille, kan vi regne som om, hastighederne af de to biler er konstante i dette interval. Med denne tilnærmelse får vi følgende differensligning for, hvor langt der køres på t sek.: S(t + t) S(t) +v(t) t Formlen siger, at til tiden t + t har bilen kørt det stykke den havde kørt til tiden t, plus det stykke, den har kørt i løbet af de sidste t sekunder, når vi antager at hastigheden har været konstant, v(t), i denne periode. Vi ved jo, at bilernes hastigheder aftager under opbremsningen, så det er oplagt, at vi begår en lille fejl som gør, at vi overvurder er bilernes bremselængde, når vi regner på denne måde. Det er samtidig oplagt, at jo mindre vi vælger t jo mindre en fejl begår vi. Sådanne overvejelser om præcisionen af de metoder, der anvendes i forbindelse med analyse af en matematikmodel, er et vigtigt element i en matematisk modelleringsproces. De formler, vi nu har opstillet, giver ikke umiddelbart svar på spørgsmålet, om hvor hurtigt den anden bil kører i det øjeblik den rammer pigen. Men vi kan bruge formlerne til skridt for skridt at beregne bilernes hastigheder og deres positioner, og vi har hermed opstillet en matematisk model af den situation, der beskrives i kampagnen. Hvis man skal udføre beregningerne i hånden, er det imidlertid en noget tidskrævende proces. Vi kender hverken reaktionstiden eller bremseevnen, og derfor vil vi have brug for at foretage de samme beregninger flere gange med forskellige værdier af t reak og b. Disse parametre må formodes at påvirke modellens beregning af påkørselshastigheden, og en mulig anvendelse af modellen kunne netop være at undersøge, om der findes realistiske værdier af t reak og b, hvor modellens resultater er i overensstemmelse med påstanden i kampagnen. Det er derfor værd at overveje, hvordan vi kan få modellen omsat til et computerprogram. I denne sammenhæng er det oplagt at bruge et norden

5 tidsskridt (sek.): 0,10 v1(0) (km/time): 50 reaktiontid (sek.): 1,50 v2(0) (km/time): 60 bremseevne (m/sek.^2) 8,00 tid (sek.) v1 (m/sek.) s1 (m) v2 (m/sek.) s2 (m) 0 13,89 0,00 16,67 0,00 1,50 13,89 20,83 16,67 25,00 1,60 13,09 22,22 15,87 26,67 1,70 12,29 23,53 15,07 28,25 1,80 11,49 24,76 14,27 29,76 1,90 10,69 25,91 13,47 31,19 2,00 9,89 26,98 12,67 32,53 2,10 9,09 27,97 11,87 33,80 2,20 8,29 28,88 11,07 34,99 2,30 7,49 29,70 10,27 36,09 2,40 6,69 30,45 9,47 37,12 2,50 5,89 31,12 8,67 38,07 2,60 5,09 31,71 7,87 38,93 2,70 4,29 32,22 7,07 39,72 2,80 3,49 32,65 6,27 40,43 2,90 2,69 33,00 5,47 41,05 3,00 1,89 33,27 4,67 41,60 3,10 1,09 33,46 3,87 42,07 3,20 0,29 33,56 3,07 42,45 3,30-0,51 33,59 2,27 42,76 Formlen i B8 er: C8$f$1/3,6 Formlen i C7 er: C8B7*$C$2 Tilsvarende for D7 og E7. Formlen i B8 er: C8B7-$C$3*$C$1 Denne formel er kopieret i B- og D-søjlen fra og med celle 9. Formlen i C8 er: =C7+B7*$C$1 Denne formel er kopieret i C- og E-søjlen fra og med celle 9. regneark, fordi formlerne netop fortæller, hvordan hastighederne og positionerne ændrer sig skridt for skridt. En sådan sammenhæng kan repræsenteres i et regneark ved at lave en søjle til hver af de indgående variable, og ved i hver række at beregne tiden t og bilernes hastigheder og positioner til dette tidspunkt. Her er gengivet et sådant regneark lavet i Excel af to lærerstuderende i forbindelse med forløbet på Skive Seminarium. Det er værd at understrege, at alle de mange overvejelser og refleksioner vedrørende modellens opbygning ikke blev foretaget i den velordnede rækkefølge, de er blevet præsenteret i forud for opstillingen af regnearket. Som det er karakteristisk for matematisk modellering, har der derimod været tale om en cyklisk proces, hvor forskellige ideer og antagelser blev diskuteret samtidig med udviklingen af regnearket, der således blev lavet om flere gange i processen. Så snart modellens ligninger er repræsenteret i et regneark kan man eksperimentere med modellen. For hvert valg af værdier for reaktionstid og bremseevne kan regnearket beregne forløbet af opbremsningen. Realistiske værdier for reaktionstiden ligger nok i intervallet 0,5 1,5 sek., mens bremseevnen ligger mellem 6,8 m/sek 2, der er lovens krav til, hvor godt en bil skal kunne bremse, og 9,8 m/sek 2, der er den fysiske grænse for, hvor godt en bil kan bremse ved hjælp af friktion mod vejen. Hvis vejen er vandret, kan friktionskraften nemlig ikke overstige den kraft, der trykker bilen ned mod vejen og det er jo tyngdekraften. I det viste regneark er t reak sat til 1,5 sek. og b til 8 m/sek 2. Ved at analysere tallene i arket kan man se, at bil 1 stopper efter 33,6 meter. Det er 120 norden 2000

6 altså her pigen står i dette tilfælde. Med andre værdier ville pigen stå et andet sted! Ved at gå ind i søjle E kan vi finde ud af, hvornår bil 2 passerer dette sted. Vi kan se, at det sker efter ca. 2,05 sek. På dette tidspunkt er hastigheden af bil 2 omkring 12 m/sek., hvilket svarer til 43,3 km/time. Med disse værdier er der altså rimelig overensstemmelse mellem modellens resultater og kampagnens påstand. Værdierne t reak =1,5 sek. og b til 8 m/sek. 2 er netop bestemt ved at eksperimentere med modellen for at få resultaterne til at passe med kampagnens påstand. Det er oplagt at repræsentere modellens resultater grafisk. Det kan f.eks. gøres ved at plotte sammenhørende værdier af bilernes position og hastighed. Sådanne grafer viser altså, hvor stærkt bilerne kører på forskellige steder under opbremsningen. Udfra figuren kan man se, at bil 1 stopper efter ca. 34 meter. Her er dens hastighed nemlig 0, og det er altså her pigen står. Den hastighed, som bil 2 rammer pigen med, kan aflæses direkte af grafen som V2 svarende til sted hvor V1 = 0. Spørgsmålet om, hvorvidt påstanden i kampagnen holder, kan nu formuleres inden for modellen som et spørgsmål om, hvorvidt en reaktionstid på 1,5 sek. og en bremseevne på 8 m/sek 2 er realistiske værdier. De lærerstuderende havde bl.a. denne vurdering: En reaktionstid på 1,5 sek. er nok lige i overkanten for bilister, der ikke er påvirket af spiritus eller andet. En bremseevne på 8m/sek 2 er til gengæld nok en rimelig antagelse. Hvis man vælger at sætte reaktionstiden til 1 sek. i stedet for 1,5 sek., rammer bil 2 pigen med ca. 41 km/t, hvilket jo også er en ganske høj fart at blive påkørt med. Som overordnet konklusion kan vi altså slå fast, at vores model bekræfter påstanden i kampagnen om, at en overskridelse af hastighedsbegrænsningen i byer med 10 km/time har dramatiske konsekvenser for den hastighed, hvormed man rammer forhindringer, der viser sig meter forude. Modellens resultater kan således bruges som argument for hastighedsbegrænsning i byerne på 50 km/time. Inden man anvender modellen i en sådan sammenhæng, bør den imidlertid afprøves empirisk. I modellen fortsætter opbremsningen efter V1 er blevet 0, således at hastigheden bliver negativ. Det vil svare til, at bilen begynder at bakke, når blot man træder længe nok på bremsen. Det er naturligvis ikke i overensstemmelse med virkeligheden og fænomenet skyldes, at formlen for, hvordan hastigheden ændrer sig, kun er en rimelig beskrivelse af virkeligheden, så længe hastigheden er større end 0. Ved hjælp af regnearket kan man relativt let undersøge, hvordan ændringer i parameterværdierne påvirker modellens resultater. Følgende citat fra en af rapporterne fra forløbet viser, at sådanne undersøgelser kan føre til et overraskende resultat: Vi har eksperimenteret med modellen og fundet ud af, at den hastighed, som bil nr. 2 rammer pigen med, vokser, når vi sætter reaktionstiden op og når vi sætter bremseevnen op. Men når vi ændrer på disse størrelser, betyder det også, at pigen står et andet sted. Det er selvfølgelig bedst at have gode bremser. Sætter man således b = 9,8 m/sek 2 og t reak = 1,5 sek. får man, at bil 2 rammer pigen norden

7 med ca. 46 km/t. Fænomenet skyldes, at afstanden til pigen bliver mindre, når bremseevnen sættes op. Bil 2 får dermed et kortere vejstykke at bremse på. Vi ved, at skridtlængden Dt har betydning for modellens resultater. Vi bør derfor også undersøge, hvor lille t skal være, hvis vi ønsker at kunne bestemme påkørselshastigheden med f.eks. en decimals nøjagtighed. Det kan gøres ved at undersøge, hvordan resultaterne ændrer sig, når vi sætter skridtlængden ned. Det viser sig faktisk, at vi skal helt ned på en skridtlængde på 1/100 sek. for at få en sådan præcision. Modelle lering ingsk skomp mpetenc nce og g almendanne ndannelse lse Som eksemplet viser er det at kunne opstille, analysere og kritisere matematiske modeller en sammensat og kompleks kompetence. Modelleringskompetence indbefatter evne til at kunne formulere, afgrænse og strukturere en problemstilling således, at den kan gøres til genstand for matematisk behandling, samt evne til at kunne foretage en sådan matematisering. Her er det nødvendigt at kunne trække på en forståelse af de involverede matematiske begreber, men evne til at opstille matematiske modeller kan ikke udvikles alene gennem arbejde med de faglige begreber. Det kræver, at der tilstrækkelig ofte arbejdes med problemsituationer, der udfordrer disse evner. Modelleringskompetence omfatter også evne til at kunne foretage en relevant analyse af en model ved hjælp af f.eks. numeriske, grafiske og analytiske metoder. Som i eksemplet er det her ofte en forudsætning, at man behersker relevante edb-værktøjer. Det selv at have opstillet en matematisk model medfører ikke af sig selv, at man kan fortolke, vurdere og kritisere modellens resultater på en relevant måde. Sådanne evner må udvikles gennem at praktisere fortolkning og kritik i forskellige modelleringssituationer (Blomhøj, 1992). Vi lever i et samfund, der udvikler sig i en retning, hvor opstilling og anvendelse af matematiske modeller spiller en stadig mere fremtrædende rolle. Det gælder inden for udvikling og anvendelse af teknologi i produktionen og det gælder brug af matematiske modeller i forbindelse med samfundsmæssige problemstillinger. Af aktuelle eksempler på anvendelse af matematiske modeller i forbindelse med samfundsmæssige problemer kan nævnes: trafikprognoser og modeller for vandgennemstrømningen i forbindelse med beslutningen om Øresundsforbindelsen, risikovurdering som grundlag for bekæmpelse af salmonellainfektioner fra fødevarer, dokumentationen af faldende sædkvalitet hos mænd, indsatsen over for forurening af vandmiljøet med næringsstoffer, vurdering af AIDS-epidemiens omfang, teorien om menneskeskabte påvirkninger af det globale klima. Brugen af matematiske modeller spiller i disse sammenhænge en afgørende rolle for, at problemerne opdages og tematiseres som samfundsmæssige problemer. Ifølge den tyske sociolog Ulrik Beck (Beck, 1997) udvikler det moderne højteknologiske samfund sig i retning af et risikosamfund, hvor det afgørende spørgsmål lyder: Hvordan kan man forhindre, uskadeliggøre, dramatisere og kanalisere de risici og farer, som systematisk skabes i den højtudviklede moderniseringsproces? Det drejer sig ikke længere udelukkende om nyttiggørelse af naturen, om menneskets befrielse fra det traditionelle samfunds tvang, men derimod også og væsentligst om selve den teknologiske og økonomiske udviklings følgeproblemer. (Beck, 1997, s. 28) Det dominerende problem i risikosamfundet handler om at kunne optimere håndteringen af de risici, som den højteknologiske modernisering medfører i forhold til givne interessekonflikter. Videnskaberne og i særdeleshed matematik spiller en vigtig rolle i denne proces, fordi det er gennem videnskabeligt forklarede årsagssammenhænge 122 norden 2000

8 blandt andet i form af matematiske modeller, at de samfundsskabte risici bliver en samfundsmæssig og politisk realitet. Og det er de videnskabelige analyser af problemerne, der skal producere forslag til håndtering af disse risici. De samfundsskabte risici bliver med rette eller urette gjort til genstand for sammenligning og kvantificering gennem matematisk modellering. I et sådant samfund er det oplagt, at matematik er en vigtig faktor. Ethvert forsøg på at kvantificere, forudsige og konsekvensberegne mulige reguleringer af de risici, som samfundet producerer, kræver anvendelse af matematik i form af matematiske modeller. Modelleringskompetence og herunder faglig kritisk dømmekraft over for brugen af matematiske modeller bliver hermed af betydning for fastholdelse og udvikling af vores demokrati. Det er derfor vigtigt at overveje, hvordan matematikundervisning kan bidrage til at udvikle kompetencer, der er relevante både for det enkelte individs aktive deltagelse i samfundet og for samfundets behov for uddannelse af kvalificeret arbejdskraft. Hvis man med almendannelse forstår uddannelse, der skal være af værdi for et liv levet under almindelige livsbetingelser, er det for mig at se, oplagt at udvikling af modelleringskompetence må være en central del af matematikundervisningens bidrag til almendannelse i det moderne, højteknologiske samfund. Både for kommende eksperter og kommende lægflok er kendskab til begrebet matematisk model og personlige erfaringer med selv at opstille, analysere og kritisere matematiske modeller i simple problemsituationer et værdifuldt bidrag til almendannelse. Modelle lering i skole olens matemat matikund ikundervisning isning Men betyder det så, at vi skal til at undervise i den slags matematik, der indgår i de matematiske modeller, der bruges i samfundet? Nej, det betyder det ikke, og det er under alle omstændigheder illusorisk at tro, at vi gennem folkeskolens matematikundervisning og matematikundervisningen i ungdomsuddannelserne kan udvikle de nødvendige faglige forudsætninger for at almindelige elever skal kunne forstå og kritisere indholdet i avancerede matematiske modeller, der anvendes i forbindelse med samfundsmæssige problemstillinger. Det betyder derimod, at tilegnelsen af grundlæggende matematiske begreber og metoder, som vi kender fra folkeskolens matematikundervisning, skal ske med henblik på, at eleverne bliver i stand til selvstændigt at anvende deres matematiske viden over for spørgsmål og problemer, de møder uden for matematikundervisningen. Og at der skal arbejdes målrettet på at udvikle elevernes mulighed for at reflektere over brugen af matematik i simple problemsituationer. Hvis sådanne intentioner skal realiseres, kræver det, at der i matematikundervisningen tilstrækkeligt ofte skabes situationer, hvor eleverne faktisk arbejder med at opstille og analysere simple matematiske modeller. Eksemplet med fartkampagnen viser, at der i arbejdet med modellering også kan være behov for at indføre nye matematiske begreber som f.eks. differensligninger. Dette begreb er et stærkt redskab til modellering af dynamiske fænomener og samtidig kan det udgøre et fundament for eventuel efterfølgende tilegnelse af differentialregningens begreber. Ligeledes er en egentlig integration af edb ofte også en forudsætning for at kunne arbejde med modellering i matematikundervisning. Øget fokus på modellering medfører altså også nye udfordringer med hensyn til valg af fagligt indhold i skolens matematikundervisning (Blomhøj, 1993). Det er endvidere en afgørende forudsætning, at der kan afsættes tilstrækkelig tid til sammenhængende modelleringsforløb. Det er nok nødvendigt at udnytte andre former for organisering af undervisningen end det traditio- norden

9 nelle lektionsopdelte skema, hvis der skal arbejdes seriøst med matematisk modellering i skolens matematikundervisning. Men det vigtigste er, at lærerne gennem deres grund- og efteruddannelse får mulighed for selv at udvikle modelleringskompetence og for at overveje de didaktiske muligheder og vanskeligheder i forbindelse med modellering i skolens matematikundervisning. Erfaringerne fra forløbet i læreruddannelsen viste, at de lærerstuderende fandt det meget relevant og spændende at arbejde med matematisk modellering og at deres erfaringer gav et godt grundlag for didaktiske refleksioner over arbejdet med modellering i skolens matematikundervisning. Slip bremsen og sæt fuld fart på modellering i matematikundervisningen. Note: Artiklen er skrevet i tilknytning til projektet Edb s betydning for læring og undervisning i matematik under Center for Forskning i Matematiklæring. Referenc ncer: Beck, U. (1997): Risikosamfundet på vej mod en ny modernitet. Hans Reitzels forlag, København. (Første tyske udgave 1986). Blomhøj, M. (1992): Modellering i den elementære matematikundervisning et didaktisk problemfelt. Tekst MI 58, Matematisk Institut, Danmarks Lærerhøjskole. Blomhøj, M. (1993): Modellerings betydning for tilegnelsen af matematiske begreber. Nordisk MatematikkDidaktikk, nr. 1, s norden 2000

UCC - Matematikdag - 08.04.14

UCC - Matematikdag - 08.04.14 UCSJ Målstyret + 21 PD - UCC - 25.02.14 www.mikaelskaanstroem.dk Der var engang. Skovshoved Skole Hvad svarer du på elevspørgsmålet: Hvad skal jeg gøre for at få en højere karakter i mundtlig matematik?

Læs mere

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces..

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Mundtlig matematik - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Hjørring 7. sep. 2012 Line Engsig matematikvejleder på Skovshoved Skole og Mikael

Læs mere

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering

Matematiklærernes dag 08.11.2010. Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Modellering 0745 - Modellering Matematiklærernes dag 08.11.2010 Matematisk modellering I kursusbeskrivelsen Når man bruger matematik til at beskrive og forstå virkeligheden

Læs mere

UCC - Matematikdag - 08.04.14

UCC - Matematikdag - 08.04.14 I hold på 3-4 (a) Problemformulering: Hvor lang tid holder en tube tandpasta? Gå gennem modellens faser fra (a) til (f) Hvad er en matematisk modelleringsproces? Virkelighed (f) Validering (a) Problemformulering

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: STANDSELÆNGDE Når en bilist opdager en fare på vejen - legende børn, en hund, der løber på kørebanen, en kvinde i kørestol eller lignende - vil man forsøge at undgå ulykken.

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 4.-10. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds- og tænkemåder, matematikdidaktisk teori samt matematiklærerens praksis i folkeskolen

Læs mere

UCC - Matematiklærerens dag 28.04.15.

UCC - Matematiklærerens dag 28.04.15. UCC - Matematiklærerens dag 28.04.15. 1 UCSJ FFM + 21+Ude-demoer UCC - Matematiklærerens dag 28.04.15. 2 www.mikaelskaanstroem.dk Og det er jer.! UCSJ 10. klasse 25. August 2014 3 UCC - Matematiklærerens

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

WORKSHOP 1A, DLF-kursus, Brandbjerg, 25. november 2015

WORKSHOP 1A, DLF-kursus, Brandbjerg, 25. november 2015 WORKSHOP 1A, DLF-kursus, Brandbjerg, 25. november 2015 At I får indblik i matematisk modellering, og i hvad undervisning i matematisk modellering kan bestå i på forskellige klassetrin. konkrete ideer til

Læs mere

2 Udfoldning af kompetencebegrebet

2 Udfoldning af kompetencebegrebet Elevplan 2 Udfoldning af kompetencebegrebet Kompetencebegrebet anvendes i dag i mange forskellige sammenhænge og med forskellig betydning. I denne publikation som i bekendtgørelse og vejledning til matematik

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved

Læs mere

Regneark hvorfor nu det?

Regneark hvorfor nu det? Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, klassetrin

Kompetencemål for Matematik, klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds- og tænkemåder, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og

Læs mere

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet * Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen Syddansk Universitet * Inspireret af Swetz, F. & Hartzler, J. S. (eds) 1991, Yellow Traffic Lights, in Mathematical Modeling in the Secondary School

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Matematikken og naturens kræfter

Matematikken og naturens kræfter INTRO Omdrejningspunktet for dette tema er matematikkens anvendelse som beskrivelsesmiddel i forbindelse med fysiske love. Temaet er inddelt i følgende fire emner: Pendulure Frit fald Bremselængder og

Læs mere

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1 Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte

Læs mere

Modellering af balance på en vippe

Modellering af balance på en vippe Modellering af balance på en vippe Dette er en beskrivelse af et undervisningsforløb i Fysik/Kemi og matematik i 8. klasse på Tingkærskolen i Odense. Deltagerne i forløbet var lærer Thor Hansen og de to

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematik og målfastsættelse

Matematik og målfastsættelse Matematik og målfastsættelse Målfastsættelse, feedforward og evaluering i matematik, oplæg og drøftelse 1 Problemløsning s e k s + s e k s t o l v 2 Punkter Målfastsættelse af undervisning i matematik

Læs mere

HASTIGHEDSKAMPAGNE 2003

HASTIGHEDSKAMPAGNE 2003 HASTIGHEDSKAMPAGNE 2003 DEN LILLE FARTOVERSKRIDELSE Trafikulykker koster hvert år et stort antal døde og kvæstede. Og modsat hvad man måske skulle tro, så kan de mindre forseelser alt for nemt få et tragisk

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen

Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Eksperimentel matematikundervisning Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Matematikkens ansigter Ligesom den græske gud Morpheus, der i kunstneren Lionel

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Mundtlig gruppeprøve i matematik. 17-09-2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 1

Mundtlig gruppeprøve i matematik. 17-09-2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 1 Mundtlig gruppeprøve i matematik 2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 1 Hvorfor en mundtlig prøve? Der er trinmål, vi ikke kan prøve eleverne i ved en skriftlig prøve Eller kun delvist kan prøve

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Kompetenceprofil for Kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab, Akvatisk Videnskab og Teknologi

Kompetenceprofil for Kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab, Akvatisk Videnskab og Teknologi Kompetenceprofil for Kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab, Akvatisk Videnskab og Teknologi Profil kandidatuddannelsen i ingeniørvidenskab (cand.polyt.) En civilingeniør fra DTU har en forskningsbaseret

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

CAS som grundvilkår. Matematik på hf. Marts 2015 Bodil Bruun, fagkonsulent i matematik stx/hf

CAS som grundvilkår. Matematik på hf. Marts 2015 Bodil Bruun, fagkonsulent i matematik stx/hf CAS som grundvilkår Matematik på hf Marts 2015 Bodil Bruun, fagkonsulent i matematik stx/hf At spørge og svare i, med, om matematik At omgås sprog og redskaber i matematik De 8 kompetencer = 2 + 6 kompetencer

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

To trafikmodeller. Jens Lund Tornbjerg Gymnasium

To trafikmodeller. Jens Lund Tornbjerg Gymnasium To trafikmodeller af Jens Lund Tornbjerg Gymnasium Indledning Dette er en rapport om et undervisningsforløb, der er gennemført i en 2.g-matematikerklasse i det 3- årige forløb til A-niveau ifølge bekendtgørelsen

Læs mere

MathCad Hvad, hvorfor og hvordan?

MathCad Hvad, hvorfor og hvordan? MathCad Hvad, hvorfor og hvordan? Flemming Nielsen, Statens Pædagogiske Forsøgscenter, København To år med matematikskriveværktøjet MathCad i en pædagogisk praksis På seminaret præsenterede jeg kort, hvordan

Læs mere

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kort bestemmelse af faget Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved et samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds-

Læs mere

Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011

Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2015 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Niveau A Emil Hartvig emh@skivets.dk 1bhtx13 Oversigt over gennemførte

Læs mere

I fysik er der forskellige skriftlige discipliner, som du kan læse mere om på denne og de følgende sider.

I fysik er der forskellige skriftlige discipliner, som du kan læse mere om på denne og de følgende sider. Side 1 af 7 Indhold Rapportering rapportskrivning... 1 Løsning af fysikfaglige problemer opgaveregning.... 2 Formidling af fysikfaglig indsigt i form at tekster, præsentationer og lignende... 4 Projektrapporter...

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole Uddannelse HTX Fag og niveau Matematik B Lærer(e) PBL Hold 2. c. KDS

Læs mere

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1): Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg

Læs mere

Dette kapitel tager især udgangspunkt i det centrale kundskabs- og færdighedsområde: Matematik i anvendelse med økonomi som omdrejningspunktet.

Dette kapitel tager især udgangspunkt i det centrale kundskabs- og færdighedsområde: Matematik i anvendelse med økonomi som omdrejningspunktet. Dette kapitel tager især udgangspunkt i det centrale kundskabs- og færdighedsområde: Matematik i anvendelse med økonomi som omdrejningspunktet. Kapitlet indledes med fokus på løn og skat og lægger op til,

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Fagdidaktik mellem fag og didaktik. En konferencerapport

Fagdidaktik mellem fag og didaktik. En konferencerapport Fagdidaktik mellem fag og didaktik En konferencerapport Gymnasiepædagogik Nr. 55. 2005 GYMNASIEPÆDAGOGIK Nr. 55 Oktober, 2005 Redaktør: Erik Damberg (DIG) Tel: (+45) 65 50 31 30 Fax: (+45) 65 20 28 30

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 10/11 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik C Trille Hertz Quist 1.c mac Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING

UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Marie

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Læreplansændringer & Nye eksamensformer mulige scenarier

Læreplansændringer & Nye eksamensformer mulige scenarier Læreplansændringer & Nye eksamensformer mulige scenarier Læreplansændringer? Nye kernestofemner? Færre? Flere? Specielt: Trigonometri og statistik hvordan? Eksamensopgaver? Programmering? Bindinger på

Læs mere

Almen studieforberedelse. 3.g

Almen studieforberedelse. 3.g Almen studieforberedelse 3.g. - 2012 Videnskabsteori De tre forskellige fakulteter Humaniora Samfundsfag Naturvidenskabelige fag Fysik Kemi Naturgeografi Biologi Naturvidenskabsmetoden Definer spørgsmålet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen.

Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf Fag og niveau

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK. Sommeruni 2015. Louise Falkenberg og Eva Rønn

SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK. Sommeruni 2015. Louise Falkenberg og Eva Rønn SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK Sommeruni 2015 Louise Falkenberg og Eva Rønn UCC PRÆSENTATION Eva Rønn, UCC, er@ucc.dk Louise Falkenberg, UCC, lofa@ucc.dk PROGRAM Mandag d. 3/8 Formiddag (kaffepause

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG

Læs mere

Der er ikke væsentlig niveauforskel i opgaverne inden for de fire emner, men der er fokus på forskellige matematiske områder.

Der er ikke væsentlig niveauforskel i opgaverne inden for de fire emner, men der er fokus på forskellige matematiske områder. Dette tema lægger forskellige vinkler på temaet biografen. Udgangspunktet er således ikke et bestemt matematisk område, men et stykke virkelighed, der bl.a. kan beskrives ved hjælp af matematik. I dette

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Vejledning til Projektopgave. Akademiuddannelsen i projektstyring

Vejledning til Projektopgave. Akademiuddannelsen i projektstyring Vejledning til Projektopgave Akademiuddannelsen i projektstyring Indholdsfortegnelse: Layout af projektopgave!... 3 Opbygning af projektopgave!... 3 Ad 1: Forside!... 4 Ad 2: Indholdsfortegnelse inkl.

Læs mere

Introduktion til IBSE-didaktikken

Introduktion til IBSE-didaktikken Introduktion til IBSE-didaktikken Martin Krabbe Sillasen, Læreruddannelsen i Silkeborg, VIA UC IBSE-didaktikken tager afsæt i den opfattelse, at eleverne skal forstå, hvad det er de lærer, og ikke bare

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 13. august 2008. Kl. 09.00 13.00 STX082-MAB

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU. Onsdag den 13. august 2008. Kl. 09.00 13.00 STX082-MAB STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2008 MATEMATIK B-NIVEAU Onsdag den 13 august 2008 Kl 0900 1300 STX082-MAB Opgavesættet er delt i to dele Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål Delprøven

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Kvaliteter hos den synligt lærende elev

Kvaliteter hos den synligt lærende elev Kvaliteter hos den synligt lærende elev Taksonomisk opbygning af aspekter hos synligt lærende elever Jeg skaber forbindelser Jeg forbinder viden og tænkning for at skabe nye forståelser Jeg forbinder ikke

Læs mere

Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden

Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Velkommen til Nat Bach Science på RUC Naturvidenskab i virkeligheden Lidt om Nat Bach Matematisk modellering i epidemiologi Beviser og ræsonnementer i matematik Morten Blomhøj, Studieleder for Nat Bach

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Matematik B stx, maj 2010

Matematik B stx, maj 2010 Bilag 36 Matematik B stx, maj 2010 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Indledning. Pædagogikkens væsen. Af Dorit Ibsen Vedtofte

Indledning. Pædagogikkens væsen. Af Dorit Ibsen Vedtofte Forord Pædagogik for sundhedsprofessionelle er i 2. udgaven gennemskrevet og suppleret med nye undersøgelser og ny viden til at belyse centrale pædagogiske begreber, der kan anvendes i forbindelse med

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

2) foretage beregninger i sammenhæng med det naturfaglige arbejde, 4) arbejde sikkerhedsmæssigt korrekt med udstyr og kemikalier,

2) foretage beregninger i sammenhæng med det naturfaglige arbejde, 4) arbejde sikkerhedsmæssigt korrekt med udstyr og kemikalier, Formål Faget skal give eleverne indsigt i det naturfaglige grundlag for teknik, teknologi og sundhed, som relaterer sig til et erhvervsuddannelsesområde. For niveau E gælder endvidere, at faget skal bidrage

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Nyt i faget Matematik

Nyt i faget Matematik Almen voksenuddannelse Nyt i faget Matematik Juli 2012 Indhold Bekendtgørelsesændringer Ændringer af undervisningsvejledningen Den nye opgavetype ved den skriftlige prøve efter D Ændringer af rettevejledningen

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matematik A - Læreplan for forsøg med netadgang ved skriftlig eksamen

Matematik A - Læreplan for forsøg med netadgang ved skriftlig eksamen Matematik A - Læreplan for forsøg med netadgang ved skriftlig eksamen 1. Identitet og formål 1.1 Identitet Matematik A Stx, september 2009 Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter

Læs mere