Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P"

Transkript

1 Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul

2 Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene er indrettet sådan at du opdager indholdet af differentialregningen Det er vigtigt at du selv fumler dig frem til facitterne Det er vigtigt at der ikke er nogen der fortæller dig en smart måde at finde facitterne på Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med differentialregningen Indhold Graf 1 Lineær graf 2 Tangent 3 Krum graf 4 Tangent på Nspire's grafskærm 5 Væksthastighed 7 Forskrift for tangenthældning 8 Differentialkvotient 9 Undersøge graf med y ' 10 Hvad fortæller y '? 12 Skrivemåderne f () og f '() 13 Vokse og aftage15 Differentialregning Et oplæg 1 udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra wwwmat1dk Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lærer og skole/kursus

3 Graf Øvelse 1 På en skærm er der et rektangel Når vi ændrer bredden, ændres højden automatisk Figuren nedenfor viser hvordan højden ændres Figuren viser hvordan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden (a) Når bredden er 21, er højden (b) Højden er mindst når bredden er (c) Den mindste højde er (d) Den største højde er (e) Højden er størst når bredden er Øvelse 3 Figuren nedenfor viser hvordan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden (a) Når bredden er 3, så er højden (b) Angiv på figuren det punkt A som giver denne oplysning (c) Når bredden er 18, så er højden (d) Angiv på figuren det punkt B som giver denne oplysning På figuren mangler en del af grafen (e) Vi trækker i rektanglet så bredden bliver 26, og ser at højden er 27 Tilføj på figuren det grafpunkt C som viser dette (f) Vi trækker i rektanglet så bredden bliver 37, og ser at højden er 28 Tilføj på figuren det grafpunkt D som viser dette Øvelse 2 (a) Når bredden er 32, er højden (b) Hvis vi indstiller bredden til 23, får vi så en mindre højde end når vi indstiller bredden til 32? Svar: (c) Hvis vi indstiller bredden til 2, får vi så en mindre højde end når vi indstiller bredden til 32? Svar: (d) Hvilke bredder kan vi bruge hvis vi ikke vil have at højden er mindre end den er når bredden er 32? Svar: (e) Hvilke bredder kan vi bruge hvis vi ikke vil have at højden er større end den er når bredden er 13? Svar: Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

4 Øvelse 4 I koordinatsystemet nedenfor skal du tegne en sammenhængende graf så følgende er opfyldt: Når bredden er 10, er højden større end når bredden er 5 eller 20 Når bredden er 30, er højden større end når bredden er 20 eller 35 Øvelse 6 Figuren nedenfor viser hvordan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden Lineær graf Øvelse 5 Figuren nedenfor viser hvordan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden (a) Når vi ændrer bredden fra 5 til 15, så bliver højden enheder større (b) Når vi ændrer bredden fra 15 til 25, så bliver højden enheder større (c) Når vi gør bredden 10 enheder større, så bliver højden enheder større (d) Når vi gør bredden 1 enhed større, så bliver højden enheder større (e) Grafens hældningskoefficient er (f) Højden vokser gange så hurtigt som bredden (a) Når bredden er 6 er højden (b) Når bredden er 8 er højden (c) Når vi ændrer bredden fra 6 til 8, så bliver højden enheder større (d) Når vi ændrer bredden fra 8 til 10, så bliver højden enheder større (e) Når vi gør bredden 2 enheder større, så bliver højden enheder større (f) Når vi gør bredden 1 enhed større, så bliver højden enheder større (g) Grafens hældningskoefficient er (h) Højden vokser gange så hurtigt som bredden Øvelse 7 Om et rektangel gælder: Når vi gør bredden 1 enhed større, så bliver højden 0,6 enheder større (a) Når vi gør bredden 10 enheder større, så bliver højden enheder større Om rektanglet gælder også: Når bredden er 2 enheder, er højden 5 enheder (b) I koordinatsystemet nedenfor skal du tegne grafen der viser sammenhængen mellem bredde og højde (c) Grafens hældningskoefficient er (d) Højden vokser gange så hurtigt som bredden Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

5 f l P m Q Øvelse 8 Figuren nedenfor viser hvordan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden Bemærkninger: m er ikke tangenten til grafen i Q Tangenten i Q er den linje gennem Q der bedst følger grafen nær Q Denne linje er ikke tegnet på figuren I ethvert punkt på den viste graf kan vi tegne en tangent Øvelse 10 På figuren nedenfor viser K-grafen hvordan en størrelse y ændres når vi ændrer en størrelse (a) Når vi ændrer bredden fra 11 til 12 enheder, så bliver højden enheder mindre (b) Når vi gør bredden 1 enhed større, så bliver højden enheder mindre (c) Grafens hældningskoefficient er P m n Q K Tangent Teori 9 Tangent På figuren er P et punkt på f-grafen, og l er en ret linje Der gælder l er tangenten til grafen i P da l er den rette linje gennem P der bedst følger grafen nær P Brug oplysningerne i Teori 9 til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser: (a) Er linjen n tangent til K-grafen i punktet R? Svar: (b) Er linjen n tangent til K-grafen i punktet Q? Svar: (c) Er linjen m tangent til K-grafen i punktet P? Svar: R Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

6 Krum graf Øvelse 11 På figuren nedenfor viser den ene graf sammenhængen mellem bredde og højde for et rektangel L, og den anden graf viser sammenhængen mellem bredde og højde for et andet rektangel P L-grafen er tangent til P-grafen i punktet A Øvelse 12 Åbn dokumentet diff-oplaeg-oev12 Skærmbilledet ser ud som vist nedenfor L P A (a) Når vi ændrer bredden i L-rektanglet fra 8 til 13, så bliver højden enheder større (b) Når vi gør L-rektanglets bredde 1 enhed større, så bliver højden enheder større (c) For L-rektanglet gælder at højden vokser gange så hurtigt som bredden (d) De to grafer er næsten ens nær punktet A, så de to rektanglers højder vokser på ca samme måde når bredden er ca (e) For P-rektanglet gælder at når bredden er 8, så vokser højden gange så hurtigt som bredden (f) Når P-rektanglets bredde er 8, så er dets højde Brug svarene på (e) og (f) til at udregne svaret på (g): (g) Når P-rektanglets bredde er 8, 2, så er dets højde ca -punktet viser en -værdi (på figuren 12,82) og y-punktet viser den tilhørende værdi af y (på figuren 369) (a) Træk -punktet med konstant fart fra venstre side af skærmen til højre side af skærmen Hvordan ændres y-punktets hastighed? Svar: (b) y vokser med ca samme hastighed som når er ca (helt tal) (c) y vokser ca halvt så hurtigt som når er ca (helt tal) (d) y vokser ca dobbelt så hurtigt som når er ca (helt tal) Teori 13 Tangenthældning og hastighed Hvis en graf viser hvordan en størrelse y ændres når vi ændrer en størrelse, og tangenthældningen er t i grafpunktet med førstekoordinat p (hvor p og t står for bestemte tal) så gælder: y vokser t gange så hurtigt som når er p Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

7 Øvelse 14 Nedenfor er vist en graf der overalt krummer samme vej Grafen viser hvordan længden y af et linjestykke ændres når vi gør længden af et andet linjestykke større Oplysningen i Teori 13 skal bruges i nogle af spørgsmålene Tangenthældningen er 0,4 i grafpunktet med førstekoordinat 20 (a) y vokser gange så hurtigt som når er 20 (b) Er tangenthældningen i grafpunktet med førstekoordinat 21 større end eller mindre end tangenthældningen i grafpunktet med førstekoordinat 20 Svar: (c) Bliver y altid større når vi gør større? Svar: (d) Hvis vi lader vokse med konstant fart, vil y så vokse med konstant fart, vokse langsommere og langsommere, eller vokse hurtigere og hurtigere? Svar: Øvelse 15 Den krumme graf nedenfor viser hvordan et rektangels højde ændres når vi ændrer bredden (a) I punktet med førstekoordinat 10 er tangenthældningen (b) I punktet med førstekoordinat 20 er tangenthældningen (c) Når bredden er 10, er højden (d) Når bredden er 10, så vokser højden gange så hurtigt som bredden (e) Når bredden er 20, er højden (f) Når bredden er 20, så vokser højden gange så hurtigt som bredden Brug svarene på (c)-(f) til at udregne svarene på (g) og (h): (g) Når bredden er 10, 1, så er højden ca (h) Når bredden er 19, 8, så er højden ca Tangent på Nspire's grafskærm Øvelse 16 I denne opgave skal du frembringe et skærmbillede på Nspire og derefter bruge dette skærmbillede til at løse nogle opgaver På en skærm er et rektangel Vi kan ændre dets bredde til ethvert tal i intervallet 0 < 5 Rektanglets højde beregner computeren ved at udføre følgende kommandoer: A: Gang bredde med sig selv B: Gang A-resultat med 0,1 C: Læg 0,3 til B-resultat (a) Udtryk højden ved : Højde = Nu skal du frembringe skærmbilledet på følgende måde: Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

8 Først skal du begynde helt forfra: Tast c og vælg 6:Nyt dokument Så skal du danne et koordinatsystem: Vælg 2:Tilføj Grafer og Geometri Indstil koordinatsystemet: Tast b og vælg 4:Vindue 1:Dialogboks Sæt XMin= -05 XMa=55 X-skala=1 YMin= -05 YMa=35 Y-skala=1 Flyt mellem felter med e eller ge Afslut med eller Flyt markør til den ene ende af tangent (for at undgå at hældning skrives oven i koordinater) så tangent blinker Tast d Ret punktets førstekoordinat til 2: Flyt markør til førstekoordinat Tast Slet tallet med, tast 2 og afslut med Nu skal skærmen se sådan ud: Tast funktionen: /< Slet f 1( ) = og skriv h ( ) = < 5 Tast Fjern indtastningslinjen: Tast b og vælg 2:Vis 6:Skjul indtastningslinje Du kan flytte forskriften sådan: Flyt markør til forskrift, hold nede til hånd lukker, flyt ved at trykke flere gange på ringen rundt om Tast d Nu skal skærmen se sådan ud: Afsæt et punkt på grafen: Tast b og vælg 6:Punkter og linjer 2:Punkt på Flyt markør til graf så der står punkt på Tast d Få tegnet tangenten i punktet: Tast b 6:Punkter og linjer 7:Tangentlinje Flyt markøren til det punkt du lige har afsat, så der står punkt ADVARSEL: Der må IKKE stå punkt på Tast d Få beregnet tangenthældningen: Tast b og vælg 7:Målinger 3:Hældning På dette skærmbillede ser vi: Når bredden er 2, er højden 0, 7 Når bredden er 2, vokser højden 0, 4 gange så hurtigt som bredden Du skal finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser nedenfor, ved at ændre førstekoordinaten til det punkt du har afsat på grafen: (b) Når bredden er 2, 01, så er højden (c) Når bredden ændres fra 2 til 2, 01, så bliver højden enheder større (d) Når bredden er 2, 5, er højden (e) Når bredden er 2, 5, så vokser højden gange så hurtigt som bredden (f) Når bredden er 2, 51, så er højden (g) Når vi ændrer bredden fra 2, 5 til 2, 51, så bliver højden enheder større (h) Gem dokumentet med filnavnet diff-oplaeg-oev16 For at gøre dette skal du taste /c vælge 1:Filer 3:Gem taste filnavnet taste Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

9 Væksthastighed Teori 17 Væksthastighed Når tallene på -aksen er tidspunkter, så bruger vi ikke et udtryk som "y vokser 3 gange så hurtigt som " I stedet udtrykker vi dette ved at sige "væksthastigheden er 3" Altså er Væksthastighed = tangenthældning Øvelse 18 På en skærm er der et rektangel L som ændrer højde, og et ur Grafen nedenfor viser hvordan højden ændres L Øvelse 19 På figuren nedenfor viser P-grafen hvordan højden af et rektangel vokser L-grafen viser hvordan rektanglet fra øvelse 18 vokser L-grafen er tangent til P-grafen i punktet A (a) De to grafer er næsten ens nær punktet A, så de to rektanglers højder vokser på ca samme måde når klokken er ca (b) Kl 12 er P-rektanglets højde cm (c) Kl 12 er P-rektanglets væksthastighed cm pr time A P L (a) Kl 7 er højden cm (b) Kl 12 er højden cm (c) I tidsrummet fra 7 til 12 bliver rektanglet cm højere (d) I tidsrummet fra 12 til 17 bliver rektanglet cm højere (e) På 5 timer bliver rektanglet cm højere (f) På 1 time bliver rektanglet cm højere (g) På 0, 1 time bliver rektanglet cm højere (h) På ethvert tidspunkt er højdens væksthastighed cm pr time Øvelse 20 Fra kl 1 til kl 11 vokser arealet af en figur Det er oplyst at y = hvor y er arealet, og er tiden (i timer) (a) Lav for denne forskrift et Nspireskærmbillede af den type som du brugte til at finde svarene på (b)-(g) i øvelse 16 (b) Kl 2 er arealet (c) Kl 2 er arealets væksthastighed (d) Kl 4 er arealet (e) Kl 4 er arealets væksthastighed (f) Kl 8 er arealet (g) Kl 8 er arealets væksthastighed (h) Gem dokumentet med filnavnet diff-oplaeg-oev20 Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

10 Forskrift for tangenthældning Øvelse 21 Den krumme graf nedenfor viser hvordan højden af et rektangel vokser (a) Gæt ud fra tabellen en simpel metode til at udregne tangenthældningen i et grafpunkt hvis førstekoordinat er kendt Skriv metoden som en formel: Tangenthældning = Brug formlen fra (a) til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser: (b) I grafpunktet med førstekoordinat 1,8 er tangenthældningen (c) I grafpunktet med førstekoordinat er tangenthældningen 9,5 Øvelse 23 På en graf er aflæst følgende punkter (, y) og tangenthældninger: (a) På figuren kan vi aflæse væksthastigheder Udfyld den tomme plads i følgende tabel: (timer): Væksthastighed: 1 1,5 (b) Gæt ud fra tabellen en simpel metode til at udregne væksthastigheden når tidspunktet er kendt Skriv metoden som en formel: Væksthastighed = Brug formlen fra (b) til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser: (c) Kl 4 er væksthastigheden (d) Kl er væksthastigheden 3,5 enheder pr time (e) I grafpunktet med førstekoordinat 4 er tangenthældningen (f) I grafpunktet med førstekoordinat er tangenthældningen 5 Øvelse 22 På en graf er aflæst følgende tangenthældninger: : Tangenthældning: : y: Tangenthældning: (a) Gæt formler ud fra tabellen: y = Tangenthældning = Brug formlerne fra (a) til at finde ud af hvad der skal stå på de tomme pladser: (b) Grafpunktet med førstekoordinat 1, 5 har andenkoordinat (c) I grafpunktet med førstekoordinat 1,5 er tangenthældningen (d) I grafpunktet med førstekoordinat er tangenthældningen 36 (e) Grafpunktet med positiv førstekoordinat har andenkoordinat 36 Øvelse 24 For en graf kan følgende formler bruges til at beregne andenkoordinat y og tangenthældning for et punkt hvis førstekoordinat er kendt: y = 1 Tangenthældning = 1 2 (a) Grafpunktet med førstekoordinat 2 har andenkoordinat Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

11 (b) I grafpunktet med førstekoordinat 2 er tangenthældningen (c) I grafpunktet med positiv førstekoordinat er tangenthældningen 4 (d) Grafpunktet med førstekoordinat har andenkoordinat 0, 4 Differentialkvotient Teori 25 Differentialkvotient En funktions differentialkvotient er en ny funktion som blandt andet kan bruges til at beregne tangenthældning og væksthastighed Vi kan få Nspire til at finde differentialkvotienten Begynd på et nyt dokument ( c 6 ) og vælg 1:Tilføj Grafregner Vi vil finde differentialkvotienten af 1 y = Tast b og vælg 4:Calculus 1:Differentialkvotient Så fremkommer symbolet: Funktionen y = ln( 2 +1) har differentialkvotienten y = Teori 27 Graf og tangent I ligningerne (1) (2) er 1 y = y = 1 2 Dette er kun et eksempel Normalt er der en ny forskrift i hver ny opgave Vi har fundet forskriften for y' ved at differentiere forskriften for y på Nspire = førstekoordinat til et grafpunkt P y = andenkoordinat til P y = tangenthældning i P METODE: Når vi kender ét af disse tre tal kan vi sætte det ind i en af de to ligninger (1) og (2) og bestemme et andet af de tre tal Vi indsætter 4 for i (2) og får y' ved at taste eller Skriv i første felt, skriv forskriften i andet felt, og tast : Vi indsætter 4 for y' i (2) og får ved at taste Her står at funktionen 1 y = har differentialkvotienten 1 y = 2 Symbolet y læses "y-mærke" og betyder differentialkvotienten af y Øvelse 26 Funktionen y = 1 har differentialkvotienten y = Øvelse 28 En funktion har forskriften y = 0,5 1, 6 Brug metoderne fra Teori 25 og Teori 27: (a) y = (b) Når = 7, 2 er y = (c) Når = 4, 2 er y = (d) Når y = 5, 0 er = (e) Når y = 9, 2 er = Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

12 Øvelse 29 Figuren viser grafen for funktionen y = 0, ,8 + 2,5 samt tangenterne i grafpunkterne A, B og C l A B m Løs (a)-(g) på regneskærmen uden at bruge ekstremumsværktøjer Du skal altså bruge metoderne fra Teori 25 og Teori 27 (a) y = (b) Førstekoordinaten for A er 1 I A er tangenthældningen (c) A har andenkoordinaten (d) I B er tangenthældningen 0 B har førstekoordinaten (e) B har andenkoordinaten (f) C har andenkoordinaten 2, 5 C har førstekoordinaten (g) I C er tangenthældningen n C Øvelse 31 Et dyr vokser sådan at y = 3,0 1, 31 hvor y er længden i mm og er antal uger efter 1 maj (a) y = Løs (b)-(e) på regneskærmen ved at bruge metoden fra Teori 30 (b) 8 uger efter 1 maj er længden mm (c) 8 uger efter 1 maj er væksthastigheden mm pr uge (d) uger efter 1 maj er længden 14 mm (e) uger efter 1 maj er væksthastigheden 4,7 mm pr uge Undersøge graf med y' Øvelse 32 Figuren viser grafen for funktionen y = 2 4,4 + 2 Teori 30 Funktion og væksthastighed For en plante gælder (1) y = 8 0,19 0, 9 og dermed (2) y = 0,02 0, 9 hvor = antal dage efter 1 juni y = plantens højde i cm y = højdens væksthastighed Dette er kun et eksempel Normalt er der en ny forskrift i hver ny opgave Vi har fundet forskriften for y' ved at differentiere forskriften for y på Nspire METODE: Når vi kender ét af disse tre tal kan vi sætte det ind i en af de to ligninger (1) og (2) og bestemme et andet af de tre tal (a) y = (b) I toppunktet er tangenthældningen (c) Brug svarene på (a) og (b) til at udregne toppunktets førstekoordinat: Toppunktets førstekoordinat er (d) Skærinspunktet med andenaksen har førstekoordinaten (e) Når = 0, er y = (f) I skæringspunktet med andenaksen er tangenthældningen Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

13 Øvelse 33 Figuren viser grafen for funktionen y = + 2, A er det grafpunkt hvis andenkoordinat er funktionens minimum B er det grafpunkt hvis andenkoordinat er funktionens maksimum (a) Angiv på figuren punkterne A og B (b) I A er tangenthældningen (c) I B er tangenthældningen Løs (d)-(g) på regneskærmen uden brug af ekstremumsværktøjer (d) A har førstekoordinaten (e) B har førstekoordinten (f) Funktionens maksimum er (g) Funktionens minimum er Øvelse 34 Temperaturen i en beholder ændres sådan at 1 y = , 0,4 2, 5 hvor y er temperaturen målt i C, og er tiden målt i timer Figuren viser grafen for denne sammenhæng (a) På det tidspunkt hvor temperaturen er højest, er y = Løs (b)-(d) på regneskærmen uden brug af ekstremumsværktøjer (b) Temperaturen er højest på tidspunktet timer (c) Den højeste temperatur er C (d) Den laveste temperatur er C Øvelse 35 En linje l har hældningskoefficienten 3 og går gennem punktet P (2, 1) (a) l har ligningen Linjen m er tangent i punktet Q til grafen for funktionen y = 2 1 Q har førstekoordinaten 5 Løs (b)-(d) på regneskærmen uden at bruge tangentværktøj (b) Q har andenkoordinaten (c) m har hældningskoefficienten (d) m har ligningen Øvelse 36 Linjen n er tangent i punktet R til grafen for funktionen y = 2 1 n har hældningskoefficienten 1 4 Løs (a)-(c) på regneskærmen uden at bruge tangentværktøj (a) R har førstekoordinaten (b) R har andenkoordinaten (c) n har ligningen Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

14 Hvad fortæller y'? Øvelse 37 En population vokser sådan at 150 y = e 0,13 hvor y er antallet af individer, og er antal døgn efter 15 maj (a) 10 døgn efter 15 maj er antallet af individer (b) 10 døgn efter 15 maj er væksthastigheden individer pr døgn (c) Når = 30 er y = (d) Når = 30 er y = (e) Hvad fortæller facit i (c) om populationen? Svar: (f) Hvad fortæller facit i (d) om populationen? Svar: Øvelse 38 Temperaturen af en klods aftager sådan at y = 28 0,968 7 hvor y er temperaturen i C, og er antal minutter efter kl 2 (a) 5 minutter efter kl 2 aftager temperaturen med hastigheden C pr minut (b) 5 minutter efter kl 2 er temperaturen C (c) Når = 60 er y = (d) Når = 60 er y = (e) Hvad fortæller facit i (c) om temperaturen? Svar: (f) Hvad fortæller facit i (d) om temperaturen? Svar: Øvelse 39 Et dyr løber i visse situationer sådan at y = 9 1, , 2 50 hvor y er hvor langt dyret har løbet (målt i meter), og er hvor lang tid dyret har løbet (målt i sekunder) (a) Når dyret har løbet i 3 sekunder, er farten meter pr sekund (b) Når dyret har løbet i 3 sekunder, har det løbet meter (c) Når = 40, er y = (d) Når = 40, er y = (e) Hvad fortæller facit i (c) om dyret? Svar: _ (f) Hvad fortæller facit i (d) om dyret? Svar: _ Øvelse 40 Et bestemt træ vil under passende omstændigheder vokse sådan at y = 0,95 0,085 hvor y er højden i meter, og er diameteren i meter (a) Når diameteren er 5 meter, er højden meter (b) Når diameteren er 5 meter, vokser højden gange så hurtigt som diameteren (c) Når = 7, 5 er y = (d) Når = 7, 5 er y = (e) Hvad fortæller facit i (c) om træet? Svar: (f) Hvad fortæller facit i (d) om træet? Svar: Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

15 Øvelse 41 For en plante gælder at 100 y = 100 hvor y er prisen i kr og er højden i meter (a) Når højden (målt i meter) er 2, skal man gange en lille stigning i højden med for at få den tilsvarende stigning i prisen (målt i kr) (b) Når = 4 er y = (c) Hvad fortæller facit i (b) om prisen? Svar: _ (b) Om funktionen g gælder også at g ( 3) = 2 Hvad fortæller dette om grafen for g? Svar: (c) I koordinatsystemet nedenfor skal du tegne grafen for en funktion g sådan at hele grafen er krum, og så der gælder g ( 1,8) = 0,5, g ( 3) = 1, 5 og g ( 3) = 2 Skrivemåderne f () og f ' () Teori 42 Skrivemåderne f () og f () Når p, q og r er tal, gælder om grafen for en funktion f : f ( p) er andenkoordinaten til grafpunktet med førstekoordinat p f ( p) = q betyder: q er andenkoordinaten til grafpunktet med førstekoordinat p f ( p) er tangenthældningen i grafpunktet med førstekoordinat p f ( p) = r betyder: r er tangenthældningen i grafpunktet med førstekoordinat p Øvelse 43 Brug oplysningerne i Teori 42: (a) Om en funktion g gælder at g ( 3) = 1,5 Hvad fortæller dette om grafen for g? Svar: Øvelse 44 Figuren viser grafen for en funktion h Brug oplysningerne i Teori 42: (a) h (1) = h (1) = (b) h (2) = h (2) = (c) Når h ( ) = 2, er = (d) Når h ( ) = 2, er = eller = h Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

16 Øvelse 45 En funktion f har forskriften f ( ) = (a) f () = (b) Når = 3 er + 2 = (c) Når = 3 er f () = (d) f (3) = (e) Når = 3 er 2 = (f) Når = 3 er f () = (g) f (3) = 2 Brug oplysningerne i Teori 42: (h) Hvad fortæller facit i (d) om grafen? Svar: (i) Hvad fortæller facit i (g) om grafen? Svar: Øvelse 46 Tegn en simpel krum graf for en funktion f sådan at der både gælder f ( 2) < f (3) og f ( 2) > f (3) Øvelse 48 Om en funktion f er oplyst at f ( 4) = 6 og f ( 4) = 2 (a) Hvad fortæller dette om grafen for f? Svar: _ Figuren viser grafen for en funktion g g Øvelse 47 Tegn en simpel krum graf for en funktion g sådan at der både gælder og g (2) er 1, 5 enheder større end g (1) g (2) er større end g (1) (b) g (4) = og g (4) = (c) Når g ( ) = 9, er = (d) Når g ( ) = 2, er = En funktion h har forskriften h ( ) = 3 (e) Et punkt P på h-grafen har førstekoordinat 4 P har andenkoordinat I P er tangenthældningen Opgaven fortsætter på næste side! Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

17 (f) I et punkt Q på h-grafen er tangenthældningen 2 Q har førstekoordinat eller (g) Et punkt R på h-grafen har andenkoordinat 6 R har førstekoordinat Vokse og aftage (b) De punkter på g-grafen hvori tangenthældningen er 0, har -koordinaterne og (c) Er g aftagende mellem disse to tal? Svar: Øvelse 51 Figuren viser en del af grafen for en funktion f Øvelse 49 Figuren viser tre punkter på grafen for en funktion f f ( ) = hemmelig forskrift f ( ) = 3 (a) For hvert af de tre punkter skal du udregne tangentens hældningskoefficient og tegne tangenten Hældninger: (b) Bemærk at det ikke kun er for - værdierne 1,9, 4 og 5 at du kan udregne tangenthældningen Du kan udregne tangenthældningen for enhver - værdi Tangenthældningen er negativ når < Tangenthældningen er positiv når > f ( ) = hemmelig forskrift f ( ) = (6 ) 10 3 (a) Er f voksende i hele intervallet > 0? Svar: Øvelse 52 Figuren viser en del af grafen for en funktion f Øvelse 50 For en funktion g gælder: g ( ) = hemmelig forskrift g ( ) = 2 4 (a) I det punkt på g-grafen hvis -koordinat er 0, er tangenthældningen f ( ) = hemmelig forskrift f ( ) = 4,4 100 (a) Er f voksende? Svar: Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

18 Øvelse 53 Figuren viser hele grafen for en funktion f Øvelse 55 Figuren viser grafen for en funktion f f f ( ) = hemmelig forskrift, 0 < < f ( ) =, 0 < < 14 (a) Er f voksende noget sted? Svar: (a) Skriv at f er voksende, eller skriv to - værdier hvor den største ikke har den største funktionsværdi Svar: Øvelse 56 Figuren viser grafen for en funktion f Teori 54 En funktion er voksende i et -interval hvis der for alle -værdier i dette interval gælder: Jo større er, jo større er f () Hvis vi skal vise at f ikke er voksende, så skal vi altså finde to -værdier hvor den største af dem ikke har den største funktionsværdi En funktion er aftagende i et -interval hvis der for alle -værdier i dette interval gælder: Jo større er, jo mindre er f () Hvis vi skal vise at f ikke er aftagende, så skal vi altså finde to -værdier hvor den største af dem ikke har den mindste funktionsværdi (a) Skriv at f er voksende, eller skriv to - værdier hvor den største ikke har den største funktionsværdi Svar: Øvelse 57 En funktion f er givet ved f 1,3 f ( ) = 2 + 1, 1, > 0 (a) Skriv at f er aftagende, eller skriv to - værdier hvor den største ikke har den mindste funktionsværdi Svar: Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

19 Øvelse 58 Figuren viser grafen for funktionen f ( ) = 0,5 2 3,2 + 5,52, 1 5 (a) f () = (e) Skriv at f er voksende, eller angiv to - værdier hvor den største af dem ikke har den største funktionsværdi: Øvelse 60 (a) Tegn grafen for en funktion f så f () er voksende, og f () er aftagende (b) Af forskriften får vi f (3,1) = (c) Når f ( ) = 0, er = (d) Skriv at f er aftagende i intervallet 1 3,2, eller angiv to tal i intervallet hvor det største af dem ikke har den mindste funktionsværdi: (e) Skriv at f er voksende i intervallet 3,2 5, eller angiv to tal i intervallet hvor det største af dem ikke har den største funktionsværdi: (b) Tegn grafen for en funktion g så g () er aftagende, og g () er aftagende Øvelse 59 Figuren viser grafen for funktionen f ( ) = ( 1,6) 3 + 1,8 (a) f () = (c) Tegn grafen for en funktion h der opfylder følgende fire betingelser: h () er aftagende i intervallet 2 h () er voksende i intervallet 2 h () er voksende i intervallet 3 h () er aftagende i intervallet 3 (b) Af forskriften får vi f (1,5) = (c) Af forskriften får vi f (1,6) = (d) Når f ( ) = 0, er = Differentialregning Et oplæg Side Karsten Juul

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Regneark Excel fortsat

Regneark Excel fortsat Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Differentialkvotient bare en slags hældning

Differentialkvotient bare en slags hældning Differentialkvotient bare en slags hældning Et kort eksperiment som indledning til differentialregning Forfatter: Behrndt Andersen, Texas Instruments, behrndt@ti.com Matematisk område+niveau: Differentialregning

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Integralregning ( 23-27)

Integralregning ( 23-27) Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen,

Læs mere

1. Installere Logger Pro

1. Installere Logger Pro Programmet Logger Pro er et computerprogram, der kan bruges til at opsamle og behandle data i de naturvidenskabelige fag, herunder fysik. 1. Installere Logger Pro Første gang du installerer Logger Pro

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler

Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-1stx131-mat/a-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression.

Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1)

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere