Brownsk Bevægelse fra pollenkorn til matematisk blomst

Transkript

1 HCØ-dage 2007 Brownsk Bevægelse fra pollenkorn til matematisk blomst Niels Richard Hansen Institut for Matematiske Fag Forskningsgruppe: Statistik og Sandsynlighedsregning Præsentation ved HCØ-dage p.1/12

2 Brownsk Bevægelse Robert Brown Thorvald Nicolai Thiele Louis Bachelier Albert Einstein Norbert Wiener Paul Pierre Lévy. p.2/12

3 Brownsk Bevægelse Gulvet i Hafnias forhal (Foto: Jan Parner, Codan Forsikring A/S) En liter mælk og et gulv i Hafnia.... p.3/12

4 Brownsk Bevægelse Botanikeren Robert Brown lagde navn til fysisk Brownsk bevægelse det observerbare at små partikler i væske bevæger sig.. p.4/12

5 Brownsk Bevægelse Botanikeren Robert Brown lagde navn til fysisk Brownsk bevægelse det observerbare at små partikler i væske bevæger sig. Robert Brown, A brief Account of Microscopical Observations on the Particles Contained in the Pollen of Plants; and of the General Existence of Active Molecules in Organic and Inorganic Bodies (1827).. p.4/12

6 Brownsk Bevægelse Botanikeren Robert Brown lagde navn til fysisk Brownsk bevægelse det observerbare at små partikler i væske bevæger sig. Robert Brown, A brief Account of Microscopical Observations on the Particles Contained in the Pollen of Plants; and of the General Existence of Active Molecules in Organic and Inorganic Bodies (1827). En fysisk endsige matematisk teori og forståelse ligger et stykke ude i fremtiden.. p.4/12

7 Brownsk Bevægelse Albert Einstein udleder teoretisk i 1905 tilsyneladende uden referencer til empiriske observationer Brownsk bevægelse som en konsekvens af eksistensen af atomer.. p.5/12

8 Brownsk Bevægelse Albert Einstein udleder teoretisk i 1905 tilsyneladende uden referencer til empiriske observationer Brownsk bevægelse som en konsekvens af eksistensen af atomer. Einstein giver også en korrekt beskrivelse af, hvordan det matematiske objekt Brownsk bevægelse ser ud dersom det findes.... p.5/12

9 Matematisk Brownsk Bevægelse Wiener processen eller Matematisk Brownsk bevægelse er defineret som en kontinuert funktion med følgende statistiske karakteristika:. p.6/12

10 Matematisk Brownsk Bevægelse Wiener processen eller Matematisk Brownsk bevægelse er defineret som en kontinuert funktion med følgende statistiske karakteristika: Tilvæksten ændringen over et tidsinterval af længde er normalfordelt med middelværdi 0 og varians σ 2. Tilvækster over disjunkte tidsintervaller er stokastisk uafhængige.. p.6/12

11 Matematisk Brownsk Bevægelse Wiener processen eller Matematisk Brownsk bevægelse er defineret som en kontinuert funktion med følgende statistiske karakteristika: Tilvæksten ændringen over et tidsinterval af længde er normalfordelt med middelværdi 0 og varians σ 2. Tilvækster over disjunkte tidsintervaller er stokastisk uafhængige. Vi tilskriver beviset for eksistensen af sådan et matematisk objekt til Norbert Wiener (1923).. p.6/12

12 Kvadratiske rester Et tal d er kvadratisk rest modulo c, hvis der findes x således at resten af x 2 ved division med c er lig d der er altså en løsning (x, r) til x 2 = rc + d.. p.7/12

13 Kvadratiske rester Et tal d er kvadratisk rest modulo c, hvis der findes x således at resten af x 2 ved division med c er lig d der er altså en løsning (x, r) til x 2 = rc + d. Man kan fortolke ovenstående i heltalsringen Z eller i den Gaussiske talring af komplekse tal a + ib for a, b Z.. p.7/12

14 Thiele Thorvald Nicolai Thiele var professor i astronomi ved Københavns Universitet, medstifter af Dansk Matematisk Forening (1873) og Dansk Aktuarforening (1901). Medstifter af livsforsikringsselskabet Hafnia (1872) og angiveligt ophavsmand til fliselægningen i Hafnias gamle forhal (bygget ).. p.8/12

15 Thiele Thorvald Nicolai Thiele var professor i astronomi ved Københavns Universitet, medstifter af Dansk Matematisk Forening (1873) og Dansk Aktuarforening (1901). Medstifter af livsforsikringsselskabet Hafnia (1872) og angiveligt ophavsmand til fliselægningen i Hafnias gamle forhal (bygget ). Thiele dør i 1910, 71 år gammel. Gulvet er med stor sikkerhed en farvelægning af de kvadratiske rester i den Gaussiske talring modulo 71!. p.8/12

16 Thiele og Brownsk bevægelse Thiele beskriver i 1880 en fejlmodel for målinger med aggregering af fejl over tid i artiklen Om Anvendelser af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en systematisk Karakter. Modellen er essentielt identisk med den matematiske Brownske bevægelse.. p.9/12

17 Brownsk bevægelse i arbejdstøjet Som model for fluktuationer på de finansielle markeder går tilbage til Bachelier: The Theory of Speculation (1900).. p.10/12

18 Brownsk bevægelse i arbejdstøjet Som model for fluktuationer på de finansielle markeder går tilbage til Bachelier: The Theory of Speculation (1900). Robert C. Merton (Harvard) og Myron S. Scholes (Stanford) får Nobelprisen i økonomi i 1997 for Black-Scholes modellen fra Modellen baseret på Brownsk bevægelse giver bl.a. en eksplicit metode til hvorledes en option på køb af en aktie skal prisfastsættes.. p.10/12

19 Emner fra moderne forskning Lévy processer Paul Lévy. p.11/12

20 Emner fra moderne forskning Lévy processer Paul Lévy Som Wiener processen men med normalfordelingen erstattet af andre statistiske fordelinger.. p.11/12

21 Emner fra moderne forskning Lévy processer Paul Lévy Som Wiener processen men med normalfordelingen erstattet af andre statistiske fordelinger. Anvendes bl.a. i økonomi/finansiering som erstatning for Brownsk bevægelse.. p.11/12

22 Emner fra moderne forskning Lévy processer Paul Lévy Som Wiener processen men med normalfordelingen erstattet af andre statistiske fordelinger. Anvendes bl.a. i økonomi/finansiering som erstatning for Brownsk bevægelse. Stokastisk analyse (stokastiske differentialligninger) og statistik.. p.11/12

23 Emner fra moderne forskning Lévy processer Paul Lévy Som Wiener processen men med normalfordelingen erstattet af andre statistiske fordelinger. Anvendes bl.a. i økonomi/finansiering som erstatning for Brownsk bevægelse. Stokastisk analyse (stokastiske differentialligninger) og statistik. Wendelin Werner modtager Fields medaljen 2006 bl.a. for sit arbejde med 2-dimensional Brownsk bevægelse.. p.11/12

24 Mere om Brownsk bevægelse Brownsk bevægelse er selv-similær dvs. zoomer vi ind på processen ser den ud, som før vi zoomede ind.. p.12/12

25 Mere om Brownsk bevægelse Brownsk bevægelse er selv-similær dvs. zoomer vi ind på processen ser den ud, som før vi zoomede ind. Brownsk bevægelse er kontinuerte funktioner, der er intetsteds differentiable. Dvs. til intet tidspunkt er der en veldefineret tangent til bevægelsen.. p.12/12

26 Mere om Brownsk bevægelse Brownsk bevægelse er selv-similær dvs. zoomer vi ind på processen ser den ud, som før vi zoomede ind. Brownsk bevægelse er kontinuerte funktioner, der er intetsteds differentiable. Dvs. til intet tidspunkt er der en veldefineret tangent til bevægelsen.... og der vides helt utroligt meget mere om den matematiske teori for Brownsk bevægelse. Brownsk bevægelse spiller i dag stadig en stor rolle i matematisk finansieringsteori, forsikringsmatematik og statistik.. p.12/12