Månen. og andre uægte måner. Knud Erik Sørensen. Indledning 2 Tidekræfter 2 En simpel model af tidekraften 3 Eksempler på virkningen af tidekræfter

Transkript

1 Knud Erik Sørensen Månen og andre uægte måner Indledning 2 Tidekræfter 2 En simpel model af tidekraften 3 Eksempler på virkningen af tidekræfter Rochegrænser 4 Simpel model for Rochegrænser 4 Eksempler på Roche-grænser Planetariske ringe Rochegrænser og kometer Rochegrænsen i stellarfysik Tovtrækkeriet 5 f-forholdet 5 Data Overblik over ydre måner Kriteriet på en ægte måne 8 Bælternes udstrækning 8 Jorden og dens måne 8 Potentialbrønde 9 Kilder og litteratur 10

2 Månen og andre uægte måner 2 Indledning Artiklens titel er naturligvis valgt for at tiltrække læserens opmærksomhed og er bestemt ikke uden problemer, for hvad er en uægte måne? Og hvad er i det hele taget en måne? Den Store Danske Encyklopædi fortæller, at en måne er et større himmellegeme, der kredser om en planet, og vi får her også at vide, at Måner kan enten være indfangne asteroider som Mars måner Phobos og Deimos og de yderste af Jupiters måner, eller de kan være dannet i samme proces som moderplaneten som fx Jupiters store galileiske måner. Her forklares imidlertid ikke, hvordan man kan afgøre, om en måne er uægte, dvs. indfanget, eller ej. For mange år siden læste jeg en overraskende artikel om, hvor fast bundne solsystemets måner er til deres moderplaneter. Desværre kan jeg hverken huske artiklens forfatter eller tidsskriftet, hvori den forekom. Det eneste, jeg husker klart er, at der omkring hver planet skulle være et bælte, hvor måner kunne eksistere fredeligt uden at blive revet bort af Solen, og uden at blive revet i stykker af tidekraften. Forfatterens kriterium for ægthed var, at tiltrækningskraften fra moderplaneten skulle overstige Solens tiltrækningskraft med en bestemt faktor. I denne artikel regner jeg på disse forhold og har valgt at sætte den nævnte faktor til 34. Denne værdi er ikke så arbitrær, som den måtte se ud til. Som baggrundsstof opstiller jeg kort modeller for tidekræfter og for Rochegrænser, før jeg ved hjælp af et regneark beregner bredden af de nævnte bælter. Jeg sammenholder naturligvis også med månernes faktiske afstande og vover at drage en konklusion om månernes ægthed. Den valgte beregningsmetode kan naturligvis ikke føre til en indiskutabel konklusion om månernes ægthed, og f.eks. bliver konklusionen for Phobos og Deimos ud fra min beregning en anden end Encyklopædiens. Min metode er baseret alene på dynamik, hvilket må siges at være mangelfuldt, men jeg finder, at den alligevel bringer interessante forhold for dagen! Som enhver god historie indeholder også denne en stor overraskelse, som her vedrører vor egen måne, Månen.. Tidekræfter Navnet tidekraft eller tidevandskraft bruges om en bestemt fiktiv kraft i et tyngdefelt. Med et legemes massemidtpunkt som reference kan kraften populært beskrives som en kraft, der synes at ville splitte et legeme ad. Af gravitationsloven F = G m1 m 2 r 2 fremgår, at gravitationsvekselvirkningen F mellem to legemer med masse m 1 og m 2 aftager med kvadratet på afstanden r mellem dem. I konsekvens heraf vil det ene legeme på grund af dets udstrækning befinde sig i et inhomogent tyngdefelt fra det andet legeme, hvorfor dets massedele bliver udsat for en forskellig acceleration. Hvis dette legemes dele ikke blev holdt sammen af egen gravitation og intermolekylære kræfter, ville det derfor blive revet i stykker.

3 Månen og andre uægte måner 3 En simpel model af tidekraften Betragt følgende situation: m p m m d r To partikler L 1 og L 2 begge med massen m, befinder sig i afstandene r - d_ 2, henholdsvis r + d_ 2 fra et legeme med massen m p.vi antager, at d<<r, samt at legemerne er homogene, og at deres centre ligger på linje. Gravitationskræfterne fra m p på de to partikler er Vi definerer nu tidekraften til at være og får F 1 = G mp m ( r - d_ 2 ) 2 henholdsvis F = G mp m 2 F tide = F 1 - F 2 F tide = G mp m m p m - G ( r - d_ 2 ) 2 ( r + d_ 2 ) 2. ( r + d_ 2 ) 2. Medtages højst 2. orden i en rækkeudvikling, har vi følgende approximative udtryk for tidekraften 2 m p m d F tide = G r 3 Denne kraft giver anledning til følgende acceleration i den relative bevægelse af L 1 og L 2. 2 m p d a tide = G r 3 Eksempler på virkningen af tidekræfter Tyngdefeltet fra Solen og fra Månen giver anledning til markante tidekræfter på Jorden. Virkningen heraf i form af et par tidevandsbjerge, der ruller rundt om Jorden, er velkendt. Den gnidning, som bølgen giver anledning til, omsætter langsomt Jordens rotationsenergi til indre kinetiske energi. I konsekvens heraf daler Jordens rotationstid med ca. 1 ms pr. århundrede, og Månens afstand fra Jorden vokser med ca. 38 mm pr. år. Synlige beviser for denne nedbremsning har geo logerne fundet i visse kalklag fra Devontiden, hvor der spores 400 daglag pr. år. Tidekræfter giver naturligvis også anledning til en bølge på landjorden, men på grund af dennes stivhed bliver effekten højst 30 cm her. For Månens vedkommende har tidevandskræfter bevirket, at Månens rotationshastighed er nedbremset, så der nu er en 1:1 resonans med omløbstiden om Jorden, kort sagt har Månen bunden rotation. Virkningen af tidekræfterne kan være enormt store. Fx bevirker tidefeltet på Jupiters måne Io, at dennes overflade periodisk hæves over hundrede meter, en bevægelse der opvarmer Ios indre. En konsekvens heraf er, at Io er dækket af aktive vulkaner og i øvrigt regnes som solsystemets mest geologisk -aktive objekt.

4 Månen og andre uægte måner 4 Rochegrænser Tidekraften aftager med afstanden til centrallegemet i tredje potens, altså med r 3. En måne, der kredser for tæt på sin moderplanet, risikerer at blive trukket i stykker af tidekræfter, hvis gravitationkraften og de intermolekylære kræfter mellem månens dele ikke er store nok. Jeg ser nu nærmere på dette forhold. Simpel model for Rochegrænser Lad os hertil betragte to små minimåner hver med med masse m m, radius r m og densitet ρ m. Vi tænker os, at de to minimåner rører hinanden, medens de kredser i en cirkelbane med radius r omkring en planet med masse m p, radius r p og densitet ρ p. m p m m m m 2r m Tidekraften mellem de to minimåner er: medens gravitationskraften mellem dem er: r F tide = G 2 mp mm 2 r m r 3 F grav = G mm m m (2 r m ) 2 Minimånerne forbliver sammen, hvis F grav > F tide Vi tænker os, at de involverede legemer er homogene og kugleformede, hvorfor Uligheden F grav > F tide kan så løses med hensyn til r: eller m p = 4_ 3 π r p 3 ρ p og m m = 4_ 3 π r m 3 ρ m r > ρ p ρ m r p r > 2,52 3 ρ p ρ m r p Antager vi yderligere, at planeten og minimånerne er lavet af samme materiale, kan dette reduceres til r > 2,52 r p De omhandlede minimåner kan være bestanddele af en større måne, og denne må i så fald befinde sig mindst i 2,52 planetradiers afstand fra planeten, hvis tidekræfterne ikke skal rive månen i stykker. Approximationen bygger på, at planet og måne har samme densitet. Denne approximation er acceptabel til de

5 Månen og andre uægte måner 5 fleste forhold, for selv om månens og planetens densiteter afviger noget fra hinanden, influerer det ikke så voldsomt på resultatet, idet kun den tredje rod af densitetsforholdet indgår. Den her viste teori er i en lidt mere avanceret udgave fremsat af den franske fysiker Éduoard Roche ( ), som minimumsafstanden Rochegrænsen nu er opkaldt efter. Eksempler på Roche-grænser Rochegrænser og kometer I 1992 passerede kometen Schumacher-Levy 9 forbi Jupiter inden for dennes Rochegrænse og blev brudt op i mindst 21 separate stykker, som efterfølgende blev spredt ud for til sidst at ende på Jupiter i juli Rochegrænsen i stellarfysik Rochegrænse-begrebet spiller også en væsentlig rolle i forbindelse med dobbeltstjerners deformation på grund af den gensidige tyngdepåvirkning. Her bliver der dog tale om en ækvipotentialflade af form som et et rumligt ottetal. Et stor stjerne i et dobbeltstjernepar kan i sit livsforløb udvide sig så voldsomt, at den overskrider sin egen Roche-grænse, hvorved materiale fra den overføres til den mindre stjerne i parret. Tovtrækkeriet Vi skal i det følgende betragte planetsystemets måner én for en. De er naturligvis udsat for kraftpåvirkninger fra mange sider: fra moderplaneten, fra andre planeter, fra andre måner, fra Solen, fra andre stjerner, og hvad der ellers findes af massehavende objekter i universet. Dette indebærer et sandt tovtrækkeri. Af udtrykket for gravitationskraften F = G m1 m 2 d 2 ser vi, at kraften bliver stor, hvis det trækkende legeme ligger i kort afstand d og/eller, hvis det trækkende legeme har en stor masse. Med den begrundelse vil vi i det følgende koncentrere os om trækket i en måne fra dennes moderplanet og fra Solen. Forholdet mellem disse to træk betegnes i det følgende med f. f-forholdet Det ses let, at f = F p Fs = m p m s ( d s 2 d p ) Her refererer index p til moderplaneten og s til Solen. Vi bemærker straks, at månens masse ikke indgår i forholdet. Kraftforholdet har to faktorer: et masseforhold og kvadratet på et afstandsforhold. Data m/kg 2 r/km d/au d/km m/m J m/m S Solen 1, , ,000 Merkur 3, ,387 5, ,055 1, Venus 4, ,723 1, ,815 2, Jorden 5, ,000 1, ,000 3, Mars 6, ,524 2, ,107 3,

6 Månen og andre uægte måner 6 Jupiter 1, ,203 7, ,816 9, Saturn 5, ,555 1, ,161 2, Uranus 8, ,218 2, ,536 4, Neptun 1, ,110 4, ,147 5, hvor r = objektets radius, m = objektets masse, d = objektets afstand til Solen, m J = Jordens masse og m S = Solens masse. AU betegner en astronomisk enhed = ,7 km. f-forholdet for de ydre planeters måner Jeg betragter nu planeterne og deres største måner efter tur, men gemmer dog Jordens måne til senere. For hver planet giver jeg en vurdering af antallet af uægte måner. I det følgende er d = Planetens afstand til Solen. Denne afstand bruges også om månens afstand til Solen d m = Månens afstand til moderplaneten f = Forholdet mellem moderplanetens og Solens gravitationstræk i månen Neptun Måne d m 1 Triton , Nereid , Naiad , Thalassa , Despina , Galatea , Larissa , Proteus , Bemærk, hvor svagt Nereid er bundet til Neptun! i hvert fald sammenlignet med de øvrige måner. Nereids bane er meget excentrisk med en mindste afstand på blot km og største afstand på km. I sidstnævnte afstand er f-forholdet nede på 10. På den baggrund vil jeg antage, at Nereid er en indfanget måne! I har man fundet yderliger 5 måner omkring Neptun. Disse har alle f-værdier under 5! Uranus Måne d m 1 Ariel , Umbriel , Titania , Oberon , Miranda , Cordelia , Orphelia , Bianca , Cressida , Desdemona , Juliet , Portia , Rosalind , Belinda , Puck , Vi ser, at alle måner er overbevisende bundet til Uranus og derfor er ægte måner! Saturn Måne d m 1 Mimas , Enceladus , Tethys ,

7 Månen og andre uægte måner 7 4 Dione , Rhea , Titan , Hyperon , Iapetus , ,0 9 Phoebe , ,48 10 Janus , Epimetheus , Helene , Telesto , Calypso , Atlas , Prometheus , Pandora , Pan , Bemærk den lave f-værdi for Phoebe! Det er rimeligt at anse den for at være indfanget! Jupiter Måne d m 1 Io , Europa , Ganymede , Callisto , Amalthea , Himalia , ,39 7 Elara , ,20 8 Pasiphae , ,05 9 Sinope , ,03 10 Lysithea , ,21 11 Carme , ,13 12 Ananke , ,29 13 Leda , ,70 14 Thebe , Adrastea , Metis , Alle fastbundne måner svæver i Jupiters ækvatorplan og der er ikke tvivl om ejerforholdet! Men der er altså også en række svagtbundne, som må anses for at være indfangne. Mars Måne d m 1 Phobos , Deimos , f-forholdet for Deimos er betænkelig lavt! Overblik over ydre måner Planet Antal måner Heraf indfangne Neptun 8 1 Uranus 15 0 Saturn 18 1 Jupiter 16 8 Mars 2 1 Betegnelsen indfangen er usikker i den forstand, at den er baseret på et kriterium, som nu vil blive defineret.

8 Månen og andre uægte måner 8 Kriteriet på en ægte måne Tidligere omtalte jeg Neptuns Nereid, hvor f-forholdet er 34, som en indfanget måne. Det inspirerer mig til at opstille følgende hypotese: Styrkeforholdet 34 er skilleværdien mellem ægte og indfangne måner! Sammen med Roche-grænsen giver dette kriterium, at der omkring enhver planet er et bælte, som en ægte måne må befinde sig i. Den maximale afstand er bestemt ved, at styrkeforholdet skal være mindst 34, medens den minimale afstand er Roche-grænsen, som her sættes til 2,5 gange planetens radius uden skelen til densiteter. Bælternes udstrækning Jeg kan nu lave en tabel over et tilladt bælte for måner omkring enhver af planeterne. Bæltets ydre grænser er bestemt ved f-forholdet 34, den indre grænse er bestemt som Roche-grænsen. Diameter/km Solafstand/km Indre grænse/km Ydre grænse/km Solen Merkur , Venus , Jorden , Mars , Jupiter , Saturn , Uranus , Neptun , Selv om tallene taler for sig selv, kan der dog knyttes nogle få kommentarer til Jupiter: Amalthea ligger bare km fra Roche-grænsen! Mars: Det tilladte område er for Mars vedkommende meget smalt. Der kan vel ikke samles materiale nok i dette rum til måner! Mars måner er da også kun klippestykker! Venus: Det tilladte område er meget, meget smalt, og Venus har jo heller ikke har nogen måne. Merkur: Merkur kan slet ikke have nogen måne, idet den ydre grænse er mindre end den indre! Jorden og dens måne Endelig er vi kommet til vor egen klodes måne. Og her kommer overraskelsen! Jorden Måne d m Månen ,45 Rochegrænsen for Jorden ligger km fra Jordens Centrum, medens F p /F s = 34 opnås i afstanden km fra Jordens centrum og vores måne ligger i afstanden km! Det faktiske styrkeforhold er 0,45, så Månens bevægelse er bestemt af Solen og i mindre høj grad af Jorden. Det rejser nogle spørgsmål:

9 Månen og andre uægte måner 9 Hvorfor befinder Månen sig i denne store afstand? Har Månen engang været inden for den tilladte grænse? Har tidekræfter drevet den derud, hvor den nu er? Hvorfor cirkulerer Månen ikke i ækvatorplanet, men i ekliptikaplanet? Af ovenstående kunne man forledes til at tro følgende Månen kan ikke være en ægte måne! Faktisk må det være rigtigst at sige, at Månen bevæger sig i en bane om Solen, idet Solens gravitationskraft dominerer. Månen er for stor til, at Jorden kan have indfanget den, og derfor må det være en selvstændig planet. Dermed er Jorden-Månen en dobbeltplanet! Jorden/Månen kan være et eksempel på, at der kan være to tætliggende kondensationskerner! en slags mellemting mellem små planeter dannet uden måner og store planeter dannet med mange måner. Og hermed slutter denne historie næsten! Potentialbrønde En asteroide, som passerer en planet, kan naturligvis havne endog særdeles stabilt i en potentialbrønd omkring planeten blot forudsættes, at asteroiden på en eller anden måde kan slippe af med tilstrækkelig energi. Betragtningerne i denne fortælling udsiger intet om, at endog solidt forankrede måner ikke kan være indfangne. Det skulle lige nævnes!

10 Månen og andre uægte måner 10 Kilder og litteratur The New Solar System, J. Kelly Beatty, Carlyn Collins Petersen og Andrew Chaikin, Sky Publishing Corporation & Cambridge University Press ISBN Opslag i Den Store Danske Encyklopædi. Alle beregninger er udført i et regnearksprogram. -ooo- Egebjerg, december Lettere revideret juni K.E. Sørensen