Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008

Transkript

1 Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december

2 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg materialer Opstilling Eksperimentet Data 4 4 Teori Ændring af r Bearbejdning af data 8 6 Vurdering Usikkerhedsfaktorer Optimering Konklusion 11 8 Bilag 12 2

3 1 Formål At måle tyngdeaccelerationen ved at måle hastigheden af en kugle der triller ned ad et skråplan og vurdere hvordan opstillingen kan optimeres. 2 Forsøg 2.1 materialer Skråplansopstilling med pc To stålkugler af forskellig størrelse Lineal og skydelære (vægt 2.2 Opstilling 2.3 Eksperimentet Skråplanet består af en sliske, hvor en kugle kan rulle ned. På slisken er monteret 2 fotoceller og vha LabView registreres starttidspunktet og tiderne, hvor kuglen passerer de to fotoceller. LabView programmet skråplan.vi virker efter følgende procedure: 3

4 For at udføre forsøget 10 gange a Indtast vejlængden. b Start programmet ved at klikke på blok -pilen i programmets toolbar. c Placer stålkuglen bag den røde pind ved toppen af banen. d Gentag b og c 8 gange. e Tryk på stop. f Gentag b og c de sidste 2 gange. g Programmet spørger nu om et filnavn. I filen vil der nu være tre kolloner, som svarer til Hastighederne er målt i cm/s. 3 Data s 5 t 2 + t 1 t 2 t 1 2 Først foretog vi nogle målinger på vores opstilling, så vi på baggrund af disse vil kunne bestemme en teoretisk værdi af accelerationen. For alle forsøg er afstanden d, som er bredden af slisken og som skal bruges til at bestemme r. d = 0, 6cm ± 0, 005cm For forsøg 1, 2, 3, 4 og 6 er L = L 1 og h = h 1. for forsøg 5 er L = L 2 og h = h 2. L 1 = 90, 1cm h 1 = 22, 2cm L 2 = 92, 2cm h 2 = 11, 3cm 4

5 For forsøg 1, 2, 3, 4 og 5 er radius R af kuglen. R 1 = 1, 0cm 2 ± 0, 005cm 2 Mens den til forsøg 6 var R 2 = 0, 9cm 2 ± 0, 005cm 2 Til sidst er afstanden fra kuglen slippes til hastigheden måles s 1 = 70, 3cm s 2 = 61, 5cm s 3 = 50, 9cm s 4 = 41, 5cm s 5 = 41, 5cm s 6 = 57, 0cm Data fra forsøgene kan findes på ehansen/elogs/fysik2/uge48/uge48.html 5

6 4 Teori Da kuglen opfylder rullebetingelsen, fås det at sammenhængen mellem kuglens fart v, og kuglens vinkelhastighed ω er: v = r ω hvor r ikke er kuglens radius, men afstanden fra kuglens centrum, ned til slisken. Ser vi på systemet som et isoleret system, vil den totale mekaniske energi, inden kuglen sættes i bevægelse være. E p = sin(φ s g m hvor φ er banens vinkel med vandret og nulpunktet for potentiel energi ligger i højden hvor vi måler hastigheden. Når kuglen slippes vil den potentielle energi omsættes til kinetisk energi, som er givet ved. E k = 1 2 mv Iω2 = 1 2 mv I v2 r = 1 (m 2 2 v2 + Ir 2 Inertimomentet for en kugle er givet ved I = 2 5 mr2 Da energien er bevaret, kan de to ligninger (E p og E k sætte lig hinanden og inetimomentet for en kugle sættes ind. E p = E k sin(φ sgm = 1 ( 2 v2 m + 2mR2 5r 2 g = benyttes hjælpesætningen a = v2 v 2 0 2(s s 0 g = a sin(φ v 2 2s sin(φ (1 + 2R2 5r 2 fås ligningen fra opgaveformuleringen (1 + 2R2 For en klods, der i stedet glider uden friktion ned af en flade, vil det svare til at man satte vinkelhastigheden lig 0 og fik ligningen. sin(φ smg = 1 2 mv2 g = 5r 2 v 2 2s sin(φ = 6 a sin(φ

7 Accelerationen af en sådan klods vil derfor være større end af kuglen. Nu er det sjældent at der slet ingen friktion er mellem en klods og dens underlag, når den glider hen over det, så udtrykket vil i virkeligheden nok se ud som. (1 µg = a sin(φ hvor µ er gnidningskoefficienten mellem klodsen og underlaget. 4.1 Ændring af r Hvis vi tænker os at vi kan ændre bredden af slisken, så d 2R, hvad vil så ske med kuglens acceleration. Problemet kan anskues på to måder. Først hvis vi ser på det moment, som tyngdekraften laver omkring aksen gennem punkterne, hvor kuglen rører slisken. Bliver d større, vil tyngdekraftens arm blive mindre og dermed momentet mindre. Da inertimomentet er det samme, vil dette betyde at vinkelaccelerationen bliver mindre. Dette fås af τ = Iα Når vinkelaccelerationen bliver mindre, bliver accelerationen også mindre da. a = r α Grænsetilfældet er når d = 2R, hvor tyngdekraftens arm vil være 0, så accelerationen af kuglen vil blive 0. Dette er stadig såfrem kuglen ikke glider på slisken. Den anden måde at se det på, er hvis vi lader d nærme sig 2R, så vil r blive mindre. Da r er proportionalitetsfaktoren mellem v og ω, vil hastigheden af kuglen blive mindre. v = r ω Da der i startpositionen stadig er samme mængde energi til rådighed E p = sin(φ sgm må det betyde at forholdet mellem den kinetiske energifording bliver ændret. Da kuglen skal rotere hurtigere, for samme hastighed, må det betyde at en større mængde af den kinetiske energi bliver bundet i rotationen. Den hastighed vi måler, når kuglen har rullet afstanden s, vil derfor være mindre nu d er blevet større. Vi kan så også slutte at accelerationen af kuglen vil være mindre. 7

8 5 Bearbejdning af data Fra hvert forsøg har vi 10 målinger, alle foretaget over den samme afstand. For at bestemme kuglens acceleration bestemmer vi derfor middelværdien for den målte hastighed og tid. Forsøg s v v t t cm m/s ± s ± cm m/s ± s ± cm m/s ± s ± cm m/s ± s ± cm m/s ± s ± cm m/s ± s ± Vi kan så vælge at bestemme kuglens acceleration på tre måder. a = v2 2s a = v t a = 2s t 2 Da vi fandt forskellige værdier af a alt efter hvilken måde vi beregner den på, lægger vi de tre fundne værdier til hvert forsøg med. Forsøg a 1 = v a t 1 a 2 = 2s a t 2 2 a 3 = v2 a 2s m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± Vi vælger derfor nu at bestemme den teoretiske værdi af accelerationen for forsøgene. Dette findes ved a = g sin(φ 1 + 2R2 5r 2 sin(φ bestemmes ved sin(φ = r = h h 2 +L 2 og r ved R 2 ( 1 2 d2 = R d2 Så a = gh h2 + L 2 (1 + 2R2 5(R d2 8

9 I de fire første forsøg er tallene uændrede, men for forsøg 5 og forsøg 6 er hhv. hældningen af slisken og kuglens radius ændret. Værdierne indsættes og a bestemmes. Forsøg acceleration a 1, 2, 3 og 4 1, 448m/s 2 5 0, 6948m/s 2 6 1, 3682m/s 2 Af de tre måder vi har bestemt accelerationen på er det metoden a 3 = v2, som 2s giver en værdi der ligger tættest på det teoretiske. Vi tror derfor at der er en systematisk fejl på måleudstyret, så vi får en forkert værdi på tiden t, da denne indgår i de to andre udregninger af a. Det ses også at afvigelsen på a 2 = 2s er t 2 større end a 1 = v, hvilket tyder på at det er på t at fejlkilden ligger. t Vi vælger derfor at tro på at a 3 er korrekt. Så vi beregner tyngdeaccelerationen g ud fra a 3. g = a h 2 + L 2 h ( 2R (R d2 Forsøg tyngdeacceleration g g m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ± m/s 2 ±0.372 Usikkerheden på g er bestemt ved min-maks metoden ved følgende g = g(r R, d + d, a + a, L + L, h h g(r, d, a, L, h g = (a + a ( (h h 2 + (L + L 2 2(R R h h 5((R R 2 1(d + 4 d2 a ( h 2 + L 2 2R h 5(R d2 Vi tager så gennemsnittet af de beregnede g er og deres usikkerheder, da vi ikke har kunne finde en anden måde at estimere g på ud fra vores resultater. g = 9.100m/s 2 ± (4.04% 9

10 6 Vurdering Vores estimat af tyngdeaccelerationen ligger 0,72 fra den korrekte værdi, og vores fejl kan ikke forklares med måleussikerhed på vores data, da usikkerheden ligger på 4.04%. Det kunne derfor tyde på en systematisk fejl og vi vil derfor se på hvordan vi kan forbedre forsøgsopstillingen og hvilke data, som er vigtige at have en lav usikkerhed på. 6.1 Usikkerhedsfaktorer Først ser vi på hvilke faktorer, vi ikke har taget højde for i vores beregningsmodel. Luftmodstand. Selv om kuglen bevæger sig forholdsvist langsomt, vil der være en kraft der mindsker kuglens fart pga. luftmodstanden. Dette vil betyde at vores beregning af g vil være mindre end forventet. Den usikkerhedsfaktor har minimal betydning. Friktion. Selv om vi forudsætter at kuglen triler uden at glide på slisken, vil der stadig være en minimal friktion. Denne vil ligeledes være årsag til en kraft der modvirker kuglens bevægelse, men er ligesom luftmodstanden meget lille. Hastighedsmåling. Målingen af hastigheden skete ved at tage gennemsnitsfarten over en kort afstand (5 cm. Det svarer til at vi antager at farten er konstant i dette tidsrum, hvilket den ikke er. I vores beregninger antog vi at den havde den målte fart midt mellem det to målepunkter, selv om vi ikke ved præcis hvor den havde den målte hastighed, blot at den må have haft den et sted på de 5 cm mellem de to målepunkter. Det giver derfor en usikkerhed på ±2.5cm på vores s, som vi ikke har taget med i beregningerne. Om dette vil have en stor betydning for vores beregning af g kan ses af næste afsnit. 6.2 Optimering Hvis vi først ser på vores beregninsmodel. g = a h 2 + L 2 h ( 2R (R d2 Som egentlig burde se sådan ud, da det oprindeligt var disse værdier der blev brugt. g = v2 ( h 2 + L 2 2R sh 5(R d2 Da størrelsen af d og R er meget lille og disse er kvardrerede, vil selv en lille usikkerhed på disse betyder en forholdsvis stor usikkerhed på g. L, s og h er derimod 10

11 mellem gange større end d og R, men måleusikkerheden på disse størrelser er også 100 gange større, har derfor lige så stor betydning for g. Vi så desuden at det forsøg hvor vi havde en mindre hældning på slisken, blev g betydelig mindre end de resterende forsøg. Vi tror derfor det vil forbedre forsøget at have en smule mere hældning på slisken. Da det er svært at mindske måleusikkerheden på d og R kunne det være interessant at prøve et forsøg, hvor vi benyttede en større sliske og kugle, så usikkerheden på disse størrelser ikke havde samme betydning. Det er også muligt at der har været en fejl ved måleudstyret. Vi så jo hvordan vi fik forskellige værdier af a, alt efter hvilke data vi beregnede ud fra, så det er muligt der også har været en fejl på hastighedsmålingen. Den eneste vi med sikkerhed kender måleusikkerheden på af de indgående størrelser til beregning af a var s, da vi manuelt målte den. Så hvis fx at målingen af tiden var forkert, kunne det skyldes at tidmålerens ur gik langsommere end tiden reelt gør. Dermed vil der ikke kun være en fejl på gennemsnitstiden ( t 1 +t 2 ( 2 men også på hastigheden 5 t 2 t 1, men denne fejl vil være mindre. 7 Konklusion Da den værdi vi har fundet af g har vist sig gennerelt at være for lille, og ligger uden for usikkerheden på forsøget, må vi konkludere at vi et eller andet sted har begået en systematisk fejl. Om fejlen skyldes at vi i vores beregningsforløb ikke har taget højde for alle faktorer, eller om der er en fejl på måleudstyret i vores opstilling, er vi lidt i tvivl om, og det vil kræve en sammenligning med et kontrolforsøg at vurdere. Estimat af g g = 9.100m/s 2 ± (4.04% 11

12 8 Bilag Plot af g beregnet ud fra de 6 forsøg, med usikkerhedsintervaller. 12