Supplerende opgaver. 2. Beregn gennemsnit og median for variablen Serum Creatinine. 3. Beregn gennemsnit og varians for BMI delt op efter Sex.

Transkript

1 Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Helle Sørensen Oktober 2009 Supplerende opgaver Når der nedenfor envises til Biostatistics menes der lærebogen Biostatistics: a guide to design, analysis and discovery af Forthofer, Lee og Hernandez, 2007, 2. udgave (Academice Press). Det er markeret med parentes efter opgavetitlen hvis opgaven skal løses vha. SAS. Datasættene kan findes på hjemmesiden, dvs. under Absalon. Vælg Andet materiale. BK.1: Indlæsning og tilrettelæggelse af data (SAS) 1. Konstruér et SAS-datasæt test med tre variable x, y og z og 12 observationer der antager værdierne (0,1,6), (1,0,9), (0,0,1), (0,0,20), (0,1,5), (0,1,2), (1,1,3), (1,1,8), (1,1,7), (0,1,0), (0,0,15), (1,1,4). I de følgende 4 spørgsmål genbruges datasættet test vha. ordren set. 2. Konstruér på grundlag af test et nyt datasæt der kun indeholder variablene x og y. 3. Konstruér på grundlag af test et nyt datasæt der kun indeholder observationer hvor x har værdien Konstruér på grundlag af test et nyt datasæt der kun indeholder observationer hvor x har værdien 0 og y har værdien Konstruér på grundlag af test et nyt datasæt der kun indeholder variablen z og kun observationer hvor y har værdien Beregn gennemsnittet af x, gennemsnittet af y og gennemsnittet af z. BK.2: Beregninger og tegninger (SAS) 1. Hent datasættet i Biostatistics Tabel 3.1 (side 22) på og indlæs det som SAS-datasæt. 2. Beregn gennemsnit og median for variablen Serum Creatinine. 3. Beregn gennemsnit og varians for BMI delt op efter Sex. 4. Lav et plot af Systolic Blood Pressure mod Age 5. Tegn histogrammer for Age, BMI, Serum Creatinine og Systolic Blood Pressure. 1

2 6. Lav et boxplot af Serum Creatinine delt op efter Sex 7. Beregn andre interessante størrelser efter eget valg. BK.3: Mean and standard deviation for normal samples For a sample y 1,..., y n from the normal distribution with mean µ and standard deviation σ we expect 95% of the observations to fall within the interval (µ 2σ, µ + 2σ), that is, in the interval mean ± 2 standard deviation The figure shows histograms for three samples, each of size The data are drawn from the normal distribution, but with three different means and standard deviations. 1. For each histogram, use the above result to give a (rough) estimate of the mean and the standard deviation. Density Density Density BK.4: Indtag af A-vitamin (SAS) Data til denne opgave stammer fra et stort studie om danskernes kostvaner fra Indtaget af A-vitamin for 1079 mænd er listet i filen avit.txt som ligger på kursushjemmesiden. 1. Indlæs datasættet. Da datasættet er stort er det måske nemmest at klikke sig frem på følgende måde: Klik på File i topmenuen Vælg Import data Vælg *.txt som filtype Browse dig frem til datafilen Giv datasættet et navn som skrives i member-boksen Til sidst beder SAS om et filnavn hvor den kan gemme noget kode så du nemt kan indlæse datasættet en anden gang uden at skulle bruge import-wizarden igen. Du kan angive en file eller lade være: SAS-datasættet bliver lavet under alle omstændigheder. 2

3 Tryk Finish 2. Tegn et histogram og et QQ-plot over A-vitaminindtaget. Er det rimeligt at antage at A-vitaminindtaget er normalfordelt? 3. Konstruér en ny variabel der indeholder den naturlige logaritme til A- vitaminindtaget. Vink: Lav et nyt datasæt, hvor du bruger set til at tage udgangspunkt i det oprindelige datasæt og så laver en ny variabel med kommandoen logavit=log(avit). 4. Tegn et histogram og et QQ-plot over den nye variabel. Er det rimeligt at antage at logaritmen til A-vitaminindtaget er normalfordelt. 5. Beregn gennemsnit og stikprøvespredning for logaritmen til A-vitaminindtaget vha. proc univariate. 6. Antag at logaritmen til A-vitaminindtaget er normalfordelt med de parametre du netop er bestemt. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig mand har et logaritmisk A-vitaminindtag mellem 7.60 og 8.29? 7. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig mand har et A-vitaminindtag mellem 2000 og 4000? Vink: På hvilken skala er det rimeligt at bruge normalfordelingen? BK.5: Nikkelallergi Som en del af et større forsøg undersøgte man nikkelallergiske reaktioner hos seks nikkelallergikere. Lymfocytter blev dyrket og stimuleret med NiSO 4. På basis af dyrkningen bestemte man et såkaldt stimultionsindeks for hver person, som mål for den allergiske reaktion. Målingerne var: 14.9, 8.2, 3.6, 3.2, 2.8, 1.9 og det kan i det følgende benyttes at gennemsnit og spredning for stikprøven er 5.77 og Antag at stimulationsindekset kan antages at være normalfordelt, og beregn et 95% konfidensinterval for middelværdien i denne normalfordeling. 2. Beregn også et 90% konfidensinterval for den samme størrelse. 3. Hvilket af følgende udsagn passer: Vi vil forvente at 95% af alle nikkelallergikere har et stimulationsindeks mellem 0.5 og 11. Vi vil forvente at intervallet fra 0.5 til 11 med 95% sandsynlighed det gennemsnitlige stimulationsindeks blandt nikkelallergikere. Hvad er forskellen mellem de to udsagn? 3

4 4. Er det mon rimeligt at antage at stimulationsindekset følger en normalfordeling? Kan man undersøge antagelsen? BK.6: vedr. Biostatistics opgave 7.6 Du skal bruge tallene i Biostatistics opgave 7.6 (side 208), men ikke svare på spørgsmålene. Svar derimod på spørgsmålene nedenfor. Du kan benytte at ȳ = og at s = Opstil en statistisk model for data. 2. Hvilken værdi af middelværdien svarer til at måleinstrumentet virker, dvs. i gennemsnit måler den rigtige værdi? 3. Test hypotesen om at måleinstrumentet i gennemsnit måler den rigtige værdi. 4. Angiv et konfidensinterval for middelværdien af målinger fra instrumentet. BK.7: vægttab over 6 uger (SAS) Data til opgaven ligger i filen weightloss.txt på kursushjemmesiden. 1. Løs Biostatistics opgave 7.12 (side 210) 2. Beregn også et estimat og et konfidensinterval for det forventede vægttab i løbet af en periode på 6 uger. Vink: Det er nok en god ide at beregne vægttabet for hver af de 20 personer og bruge det i analysen. Hvorfor? BK.8: Ekstra spørgsmål til Vinter , opgave 1 Denne opgave består af supplerende spørgsmål Vinter , opgave Angiv estimatet for spredningen i fordelingen af logaritmen til radium-226 niveauet. 2. Bestem et interval hvor man med sandsynlighed 95% vil forvente at finde logaritmen til radium-226 niveauet for en tilfældig jordprøve fra samme område som data kommer fra. 3. Bestem et interval hvor man med sandsynlighed 95% vil forvente at finde radium-226 niveauet for en tilfældig jordprøve fra samme område som data kommer fra. BK.9: Effekt af behandling på Serum Creatinine, del 1 (SAS) Anvend datamaterialet fra Biostatistics Tabel 3.1 og undersøg, om der er forskel på niveauet for Serum Creatinine hos dem der er blevet behandlet og dem der ikke er blevet behandlet. 4

5 BK.10: Effekt af behandling på Serum Creatinine, del 2 (SAS) Betragt datamaterialet fra Biostatistics Tabel 3.1 og anvend Wilcoxons Rangsum test til at undersøge, om der er forskel på niveauet for Serum Creatinine hos dem der er blevet behandlet og dem der ikke er blevet behandlet. Sammenlign med resultaterne fra opgave BK.9. BK.11: Gene expression levels (SAS) Two groups were compared in an experiment with six microarrays. Two conditions (the test group and the reference group) were examined on each array and the amount of protein synthesized by the gene (also called the gene expression) was measured for the two groups. The expression levels for the six arrays are shown below Test group Reference group Test if the expression level is identical for the test and reference group. The data is saved in the file gene.txt. 2. Compute a confidence interval for the difference in expression level between the test and the reference group. BK.12: Points in a swarm The following experiment was carried out in order to investigate how well people can estimate the number of points in a swarm of points. Seven persons were asked to look at a number of pictures with points. Each picture was shown four times for each person, in a random order, and five seconds each time. For each showing the persons should estimate/guess the number of points in the picture. For a picture with 161 points the average over the four estimates for the seven persons were Person Average guess The sample mean is and the sample standard deviation is Is there a systematic tendency to overestimate or underestimate the number of points? Hint: The mean ȳ = is the estimate of a parameter. What is the interpretation of this parameter? And which tools can you use to say something about the likely values of this parameter, based on your data? 5

6 2. Which assumptions were used in order the answer question 1.? 3. The experimenter would like the 95% confidence interval to have a length of at most 10. Calculate, just roughly, how many persons should be included in the experiment in order to obtain this. Assume now that a guess from a random person is normally distributed with mean 161 and standard deviation Calculate an interval where you wold expect to find the guesses for 95% of the people in the population. Explain the difference in interpretation between this interval and the interval you computed i question 2. BK.13: T-test og konfidensintervaller Betragt to-stikprøve T-testet og diskuter følgende påstand: Man kan udføre testet for µ 1 = µ 2 ved at se om konfidensintervallerne for de to gruppegennemsnit overlapper. BK.14: Analyse af Collinge-data (SAS) I denne opgave skal du analysere variablen h fra Collinge-datasættet. Udfør en analyse med henblik på at undersøge om type har en effekt på h. Data ligger på websiden og du skal selvfølgelig bruge SAS. Se evt. eksempel 1.3 i Variansanalyse i SAS 1. BK.15: Vægt af rotter (SAS) Filen ratweight.txt indeholder data for vægtøgning hos 40 rotter i et forsøg. Rotterne er inddelt i fire grupper svarende til fire forskellige diæter. De fire diæter er de fire kombinationer af proteinkilden (kød eller korn) og proteinmængden (lav eller høj). Analysér data med henblik på at undersøge om kilden og mængden af protein har en effekt på rotternes vægtøgning. Angiv også estimater og konfidensintervaller for interessante forskelle mellem behandlinger. BK.16: Forsøgsplaner og dataanalyse Et forsøg skal planlægges for at undersøge effekten af et bestemt stof på koncentrationen af et hormon. Stoffet tilsættes kosten for forsøgspersonerne. Der benyttes tre forskellige behandlinger: A. Tilsætning af stoffet til kosten i lav koncentration B. Tilsætning af stoffet til kosten i høj koncentration C. Ingen tilsætning af stoffet Efter en uges behandling måles koncentrationen af hormonet i blodet hos forsøgspersonerne. 6

7 1. Antag først at 60 personer indgår i forsøget, således at hver behandling gives til 20 personer. Hvilken type analyse er rimelig at benytte? 2. Antag i stedet at der kun indgår 20 personer i forsøget, men at hver person prøver alle tre behandlinger. Behandlingerne gives med en måneds mellemrum (således at det er rimeligt at antage at tidligere behandlinger ikke har en effekt) og rækkefølgen er tilfældig. Hvilken type analyse er rimelig at benytte? 3. Antag endelig at 30 mænd og 30 kvinder indgår i forsøget, således at hver behanling gives til 10 mænd og 10 kvinder. Hvilken analyse er rimelig at benytte? Hvilke effekter har du mulighed for at teste for? BK.17: Kolesterolkoncentration (SAS) I denne opgave skal du analysere data fra Eksempel 12.5 i Zar, Biostatistical Analysis hvor kolesterolkoncentrationen er målt tre gange for syv forsøgspersoner. De tre målinger svarer til indtagelse af tre forskellige medikamenter, og spørgsmålet er om medikamenterne har forskellige effekt på kolesterolkoncentrationen. Du kan se data i kopierne fra Zar, og de ligger desuden i filen zar12_5.txt. BK.18: Data fra eget fagområde Tænk over forsøg/problemstillinger/data fra Biokemi (eller hvad der nu måtte være dit fagområde) hvor det ville være naturligt at bruge følgende metoder: ensidet variansanalyse tosidet variansanalyse (både blokforsøg og tofaktorforsøg) tresidet variansanalyse lineær regression BK.19: Ekstra spørgsmål til Blok , opgave 3 Denne opgave består af supplerende spørgsmål Blok , opgave 3. Data ligger på websiden i filen j3.txt. Lav residualplot svarende til analysen hvor de utransformerede titer-værdier bruges som respons. Hvordan passer residualplottet med konklusionen fra Bartlett s test? Lav residualplot svarende til analysen hvor de log-transformerede titerværdier bruges som respons. Hvordan passer residualplottet med konklusionen fra Bartlett s test? 7

8 BK.20: Vedr. Vinter , opgave 2 (SAS) Denne opgave går ud på selv at køre analysen fra Vinter , opgave 2 i SAS. Data ligger på websiden i filen b2.txt. Lav residualplot svarende til startmodellen. Er der grund til at være bekymret over modellens evne til at beskrive data? Prøv at gøre som vi har gjort ved forelæsningerne: fjern en ikke-signifikant faktor/effekt ad gangen indtil alle faktorer har en signifikant effekt. BK.21: Effekt af nervegas på reaktionstid (SAS) Data i denne opgave stammer fra to eksperimenter, hvor man målte fluers reaktionstid efter de var blevet udsat for nervegas. Målingen for den enkelte flue består i den tid reaktionstiden der går fra fluen bringes i kontakt med giften og indtil den ikke længere kan stå på benene. I det første eksperiment blev fluerne udsat for giften i 30 sekunder og i det andet i 60 sekunder. Målingerne af reaktionstiden ses nendenfor. Reaktionstider for 31 fluer udsat for nervegas Reaktionstid i sekunder kontakttid sekunder kontakttid sekunder Kilde: Blæsild P. og Granfeldt J., Statistik for biologer og geologer, Århus Universitet Data ligger på websiden i filen reaktionstid.txt. 1. Lav et QQ-plot for hver af de to grupper af observationer. Er det rimeligt at beskrive reaktionstiden ved hjælp af normalfordelingen? 2. Lav en ny variabel der indeholder reaktionstiderne transformeret med den naturlige logaritme. Lav QQ-plot for hver af de grupper af observationer. Er det rimeligt at beskrive log-reaktionstiden ved hjælp af normalfordelingen? 3. Undersøg om fordelingen af reaktionstiden afhænger af om kontakttiden er 30 eller 60 sekunder. Vink: Hvilken variabel skal du analysere? 4. Angiv et konfidensinterval for middelværdien af de logaritmetransformerede reaktionstider. 5. Angiv et skøn for middelværdien af reaktionstiderne samt et konfidensinterval for middelværdien af reaktionstiderne. 8

9 BK.22: Transport af bakterier Bakterieprøver fra patienter transporteres ofte til laboratoriet ved stuetemperatur samt mere eller mindre udsat for luftens ilt. Dette er især uheldigt for prøver som indeholder anaerobe bakterier. Nedenstående talmateriale er hentet fra et større projekt, der har til formål at undersøge transportmetodens indvirkning på forskellige anaerobe bakteriestammers overlevelse. Her skal vi kun interessere for en enkelt bakteriestamme, to temperaturer (4 og 22 ) og tre transportmedier (agar, tør, stuart). For hver kombination af temperatur og medie er der foretaget to forsøg. Målingerne i tabellen er log 10 ( log 10 (overlevelsesraten)), hvor overlevelsesraten er defineret ved hjælp af den brøkdel af bakterierne til tid 0, der overlever et døgn. Man ved af erfaring at denne transformation gør observationerne tilnærmelsesvis normalfordelte med samme varians. Temperatur Medie agar tør Stuart 4 o o Undersøg om overlevelsesraten afhænger af transporttemperatur og transportmedie. Bilag: Data antages at ligge i datasættet bakterie med de tre variable temp, medie og rate. PROGRAM1: PROGRAM2 UDSKRIFT1 PROC GLM; CLASS temp medie; MODEL rate=temp medie; RUN; PROC GLM; CLASS temp medie; MODEL rate=temp medie/solution; RUN; The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values temp medie 3 agar stuart tor Number of observations 12 Dependent Variable: rate Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.0001 Error Corrected Total

10 R-Square Coeff Var Root MSE rate Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F temp <.0001 medie <.0001 temp*medie UDSKRIFT2 The GLM Procedure Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.0001 Error Corrected Total Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F temp <.0001 medie <.0001 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept B <.0001 temp B <.0001 temp B... medie agar B medie stuart B <.0001 medie tor B... BK.23: Udstødningsgasser For 23 bilmotorer har man målt sammenhørende værdier af HC, CO og NOX i udstødningsgassen (enhed: gram per mile). Nedenfor findes en udskrift fra SAS-programmet PROC CORR. 1. Hvilke af de tre variable er positivt og hvilke er negativt korrelede?. 2. Er der nogle af de tre variable der kan antages at være ukorrelerede? For 23 andre motorer havde man målt HC i udstødningen. Disse målinger havde et gennemsnit på og en empirisk spredning givet ved s = Kan disse nye målinger antages at ligge på samme niveau som de 23 første. Bilag: Data antages at ligge i datasættet motor med de fire variable gruppe, der angiver om det er første eller anden gruppe, og HC, CO og NOX. PROGRAM DATA corr; SET motor; IF gruppe=1; 10

11 PROC CORR; VAR HC CO NOX; PROC TTEST DATA=motor; CLASS gruppe; VAR HC; RUN; UDSKRIFT The CORR Procedure (for gruppe 1) 3 Variables: HC CO NOX Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum HC CO NOX Pearson Correlation Coefficients, N = 23, Prob > r under H0: Rho=0 HC CO NOX HC < CO <.0001 <.0001 NOX <.0001 The TTEST Procedure. Statistics Lower CL Upper CL Lower CL Upper CL Variable GRUPPE N Mean Mean Mean Std Dev Std Dev Std Dev Std Err HC HC HC Diff (1-2) T-Tests Variable Method Variances DF t Value Pr > t HC Pooled Equal HC Satterthwaite Unequal Equality of Variances Variable Method Num DF Den DF F Value Pr > F HC Folded F BK.24: Effekt af kosttilskud på vægt Ved en undersøgelse af kosttilskuds indflydelse på vægt deltes 7 uger gamle rotter i 4 grupper med samme gennemsnitsvægt. Disse fik 4 forskellige kombinationer af kosttilskud. Ved forsøgets afslutning måltes rotternes vægt. I tabellen er vist antal, n, gennemsnit, x, og empirisk varians, s 2 for vægten af rotterne i de fire grupper. 11

12 For x 1, x 2,..., x n er disse størrelser defineret ved x = 1 n n r=1 x r, s 2 = 1 n 1 n (x r x) 2. r=1 I det følgende kan det antages, at vægten af rotterne er normalfordelt og at rotter i samme gruppe stammer fra samme fordeling. Bemærk, at den vedlagte SAS-udskrift kan anvendes ved opgavebesvarelsen. Antal, gennemsnit og empirisk varians for vægt af rotter Gruppe n x s Undersøg om de fire grupper kan antages at have samme varians. 2. Vis, at de fire grupper ikke kan antages at have samme middelværdi. Gruppe 1 og 3 havde fået samme kosttilskud, bortset fra at gruppe 3 også havde fået calciumtilsætning. 3. Vis, at gruppe 1 og gruppe 3 kan antages at have samme middelværdi. Også gruppe 2 og gruppe 4 havde fået samme kosttilskud, bortset fra at gruppe 4 også her havde fået calciumtilsætning. 4. Kan gruppe 2 og gruppe 4 antages at have samme middelværdi? Bilag: Data antages at ligge i datasættet rotte med de to variable gruppe, der angiver gruppe, og vgt, der angiver slutvægt. PROGRAM: PROC GLM DATA=rotte; CLASS gruppe; MODEL vgt= gruppe /SS1 SOLUTION; MEANS gruppe/hovtest=bartlett; UDSKRIFT: General Linear Models Procedure Class Level Information Class Levels Values GRUPPE Number of observations in data set = 61 Dependent Variable: VGT Source DF Sum of Squares F Value Pr > F Model Error Corrected Total

13 R-Square C.V. VGT Mean T for H0: Pr > T Std Error of Parameter Estimate Parameter=0 Estimate INTERCEPT B GRUPPE B B B B... Bartlett s Test for Homogeneity of vgt Variance Source DF Chi-Square Pr > ChiSq gruppe Kilde: W.W. Daniel: Biostatistics, Wiley, 1999 BK.25: Effekt af bestråling på livslængde I et laboratorieeksperiment, hvor man ønskede at studere virkningen af bestråling på livslængde, blev to grupper af RFM hanmus udsat for en stråledosis på 300 rad i en alder af 5-6 uger. Den først gruppe levede i almindelige laboratorieomgivelser, mens den anden gruppe levede i bakteriefrie omgivelser. Efter deres død blev musene obducerede. og det blev afgjort om de var døde af lymfom i skjoldbruskkirtlen, celle sarkom eller af andre årsager. I tabellen nedenfor er angivet overlevelsestiderne for de to grupper af mus. Dødsårsag Tid til død i dage Almindelige laboratorieomgivelser (95) Lymfom Sarkom Andre årsager Bakteriefrie omgivelser (82) Lymfom Sarkom Andre årsager

14 1. I SAS-udskriften nedenfor er overlevelsestiden for de mus, der er døde af lymfom i skjoldbruskirtlen sammenlignet for de to musegrupper ved et Wilcoxontest. Hvad er testets konklusion. Forklar hvorfor det ikke ville være rimeligt at bruge et t-test. 2. Diskuter om forudsætningerne for meningsfuldt at anvende Wilcoxontestet er opfyldt i den betragtede situation. Bilag: Data antages at ligge i datasættet mus2 med de tre variable sygdom, der angiver dødsårsag, mus, der angiver hvilke omgivelser musene har levet i og tid, der angiver levetid i dage. PROGRAM: DATA temp; SET mus2; IF sygdom= lymfom ; PROC NPAR1WAY; CLASS mus; VAR tid; RUN; UDSKRIFT: The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable tid Classified by Variable mus Sum of Expected Std Dev Mean mus N Scores Under H0 Under H0 Score laboratorie bakteriefri Wilcoxon Two-Sample Test Statistic Normal Approximation Z One-Sided Pr < Z Two-Sided Pr > Z BK.26: Syntesefraktion hos hamstre I et forsøg interesserer man sig for den såkaldte syntesefraktion i kindposevæv hos hamstre. En del af dette forsøg kan beskrives på følgende måde. På samme tidspunkt (kl 10.00) injiceres et radioaktivt sporstof i en gruppe hamstre. 14

15 Kl slås samtlige hamstre ned, og ved hjælp af det radioaktive sporstof bestemmes syntesefraktionen for højre og venstre kindpose for hver hamster. Undersøg ved et parret t-test, om der kan antages at være samme niveau for syntesefraktionen i højre og venstre kindpose. Diskuter testet i forhold til analysen i bilaget. Syntesefraktion i højre og venstre kindpose hos hamstre. Hamster Syntesefraktion højre venstre Bilag: Data antages at ligge i datasættet hamster med de tre variable hamster, side og fraktion. PROGRAM; UDSKRIFT PROC GLM DATA=hamster; CLASS hamster side; MODEL fraktion=hamster side; RUN; The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values hamster side 2 h v Number of observations 10 Dependent Variable: fraktion Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE fraktion Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F hamster side BK.27: Pakker med hakket kød På et slagteri pakkes hakket kød i pakker med påtrykt nettoindhold på 500 g. Maskinen på slagteriet er indstillet så der i gennemsnit kommer 510 g kød 15

16 i pakkerne og man ved at maskinen har en præcision der gør at spredningen på kødets vægt i en pakke er 15 g. Vægten af en pakke kan antages at være normalfordelt. 1. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældigt udvalgt pakke kød indeholder mindre end 500 g? 2. Hvad er sandsynligheden for at gennemsnittet af to tilfældigt udvalgte pakker kød vejer mindre end 500 g? 3. Hvad er sandsynligheden for at gennemsnittet af 10 tilfældigt udvalgte pakker kød vejer mindre end 500 g? 16