Varmekapaciteten af en toatomig ideal gas

Transkript

1 Saisisk mkanik 9 Sid 1 af 9 n af n oaomig ida gas Udovr dn ransaorisk nrgi, vi oaomig moky bsiddr såv n roaorisk som n raorisk nrgi. Da dn harmonisk osiaor dannr grundag for bskrivsn af såv roaion som raion 1, r oaomig moky gnnm d rspkiv gnfrkvnsr kndgn vd karakrisisk mpraurr θ ro og θ, sådan a d ihørnd bidrag i og iføg udryk (8.16) og (8.17) r funkionr af hhv. θ ro og θ og drvd giv vd grafr som dm i Fig Drmd havs iføg opg. M ro im im = =, (9.1) im ro = im = R. (9.) Udryk (9.1) og (9.) gædr såds md god inærms for θ θ. ro, θ θ hhv. ro, 1 Jf. KM7 s. ff. homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8

2 Saisisk mkanik 9 Sid af 9 Da θ iføg ab 1- r par sørrssordnr sørr nd θ ro, fås dn ndnfor vis -afhængighd af. D r vandr paaur hhv. 5 = R og = 7 = R, R oprædr ud for θro, θro θ og θ, hvor dr r hhv. (ransaorisk), 5 ( ransaorisk og roaorisk) og 7 ( ransaorisk, roaorisk og raorisk) frihdsgradr i ovrnssmms md d kassisk Duong-Pi -rsua f = R (9.) fra dn kinisk gasori. homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8

3 Saisisk mkanik 9 Sid af 9 n af fas sof ih. insin-modn I d og d fg. afsni brags krysa, hvis N idnisk aomr bskrivs som assmby af N dkobd harmonisk osiaorr, id hvr aom i gir kan rr i r dimnsionr. For insin-mpraurn θ i form af udryk (8.1) fås fra udryk (8.16) 1 1 = θ +, (9.4) θ Nk og fra udryk (8.17) fås n mospifik varmkapai på θ θ = R θ. (9.5) og har såds samm kvaiaiv forøb som vis i Fig For θ havs iføg udryk (9.) og for θ havs iføg udryk (9.5) R, (9.6) θ R θ. (9.7) Udryk (9.5) kan fis i ksprimn kurvr vd a ipass θ, hvik svarr i a ipass osiaor-gnfrkvnsn. D r imidrid ikk muig a find god fi for båd små og sor, og insinmodn vnr drmd pads i forbdring. Hri iggr såds, a osiaorrn r idnisk. Dr r såds 6 frihdsgradr pr. aom. homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8

4 Saisisk mkanik 9 Sid 4 af 9 n af fas sof ih. Dby-modn I modsæning i insin-modn agr Dby-modn højd for kobingn mm d forskig osiaorr. Kobd harmonisk osiaorr rag drfor o kobd osiaorr, dr iføg opg. Q har o gnfrkvnsr 1 og hørnd i d o vis gnsvingningsisand ( gn-mods ), hvor d o parikr (f.ks. aomr) svingr md samm ampiud i hhv. fas og modfas. I hnhod i suprposiionsprinipp kan nhvr svingningsisand såds bskrivs som n ovrjring af diss o gnsvingningsisand. Dr r såds én gnfrkvns pr. osiaor, og Dby-modn hvir på n anags om, a d N gnfrkvnsr for krysa r frkvnsrn af d muig sånd bøgr i krysa, hvis d brags som koninur asisk mdium 4. Hvis d for nmhds skyd anags, a krysa r n rning 5 md sidængd L, forkommr sånd bøgr md 6 L λ =, n. (9.8) n 4 Hvor dr såds ss bor fra dn aomar srukur. 5 Ndnsånd rsuar kan viss a gæd for a krysar md rumfang uans udformning. 6 ingsn for sånd bøgr r såds, a sidængdn r h ana hav bøgængdr: L = n λ. homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8

5 Saisisk mkanik 9 Sid 5 af 9 I koninur asisk mdium kan dr for n givn udbrdssrning forkomm r inær uafhængig asisk bøgr i form af n ongiudina og o på hinandn vinkr poarisrd ransvrsa bøgr, hvis udbrdssfarr r hhv. og. Hvis z-aksn vægs i udbrdssrningn, fås såds hhv. for bøgudsving fr z-aksn og for bøgudsving fr - og y-aksn. 7 = λ, (9.9) = λ (9.1) d kombinaion af udryk (9.8) md udryk (9.9) og (9.1) fås hhv. og sådan a ana af sånd bøgr md [ ; d] n n z = L (9.11) = L L, ny =, (9.1) + iføg udryk (6.) r giv vd π π π π 4 4 dg ndn nydny nzdnz L L π = + + = + L L d : d 1 4π +, (9.1) dg = d dr iføg anagsn r ig ana af osiaorr md [ ; d] ( ) 4π N d = d + : 1 +. (9.14) 7 Diss mariaafhængig udbrdssfarr r sørr, jo krafigr aomrn r bund i hinandn, svarnd i jo hårdr/sværr a dformr maria r. homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8

6 Saisisk mkanik 9 Sid 6 af 9 Da d samd ana osiaorr r N, dfinrr ma 4 1 ( ) π ma (9.15) N = N d = + n maksima u-off-frkvns 8 ma 9ρ 1 N = +, (9.16) 4π ud fra hvikn udryk (9.14) kan skrivs N = d (9.17) ( ) d ma Da osiaorrn md frkvnsn [ ; d] + udgør undr-assmby af osiaorr, dr som i insin-modn har samm frkvns, fås diss osiaorrs bidrag i vd indsæs af udryk (8.1) og (9.17) i udryk (9.4): d, 1 1 = N( ) dh + h k = ma h d, h k (9.18) hvor nupunksnrgin r udad, frsom dn iføg opg. ikk har bydning for varmkapain. 8 A dr i priodisk krysa i modsæning i i koninur mdium rn fysisk må ksisr n sådan u-off-frkvns, ss af dn ihørnd minimumbøgængd, som i maria md bøgudbrdssfar = = r giv vd Da λ min = = = ma N 4π 4π N r d gnnmsniig rumfang pr. parik, r λ min såds af samm sørrssordn dn gnnmsniig. N raomar afsand N, og mindr bøgængdr (sørr frkvnsr) givr såds ikk andning i ny svingningsisand. homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8

7 Saisisk mkanik 9 Sid 7 af 9 Fononr Hidi har d bragd parikr vær aomr, dr r sknig i kraf af drs paring i gir og drfor ovrhodr M-saisikkn. n arnaiv, ækvivan bskrivs r a brag d kvanisrd raionr som viru parikr. Hvr osiaor r kndgn vd n frkvns og drmd vd n nrgi 1 ( n ) ε = + h, og d svarr såds i, a dn pågædnd gnsvingningsisand indhodr n fononr md frkvnsn og nrgin h. 9 Da fononrn r usknig, og da dr kan vær ubgræns ana af dm i hvr gnsvingningsisand, r fononrn bosonr undr -saisik. Mn i modsæning i virkig parikr, hvis ana kan varirs i åbn sysmr, r ana af fononr ikk n uafhængig variab, hvorfor μ = for n fonongas. Ana af fononr md [ ; + d ] r såds iføg udryk (4.15) N ( ) d = og diss fononrs bidrag i r drmd d, dg, (9.19) h k ( ) = h N d = h dg. h k (9.) 9 mærk, a dnn bskrivs r h anaog i bskrivsn af M-fr som n srøm af foonr. homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8

8 Saisisk mkanik 9 Sid 8 af 9 Sammnigning af udryk (9.) md udryk (9.18) visr, a =, (9.1) dg d ma hvik vha. udryk (9.16) kan ss a vær idnisk md udryk (9.1). d indsæs af udryk (9.1) i udryk (9.19) fås 1 N og drmd iføg udryk (9.) ( ) d = ma h k d, (9.) ma h d, d h, (9.) ma k = = som udryk vd Dby-mpraurn kan skrivs h ma θd (9.4) k θ D h = k d, θ =. (9.5) D k Ingra i udryk (9.5) r n undig rækk 11 og har drmd ingn kspii anayisk øsning, mn d kan svsag øss numrisk, id θ D iføg udryk (9.4) og (9.16) kan bsmms ud fra sofæhdn udbrdssfarr og. ρ N og d mariaafhængig 1 mærk, a N( ) d i udryk (9.17) r ana af osiaorr md ; d udryk (9.) iføg udryk (9.19) r ana h dg dg [ + ], hvorimod a N( ) af fononr md [ ; d] +. k 1 11 n sum md undig mang d, dr i d ifæd kan udds vd gnagn pari graion. d i homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8

9 Saisisk mkanik 9 Sid 9 af 9 Højmpraurgrænsn r bhand i opg. P, og i avmpraurgrænsn θd π d d =Γ ( 4) =! π =, 15 sådan a dr for θ gædr D θ r 1 D (9.6) 4 π Nk 5 θd 1 R 4 π 5 θd, (9.7). (9.8) Udryk (9.8) kads Dbys -ov. Fig. 1-4 visr dn gansk god ovrnssmms mm Dby-modns forudsigsr og ksprimn daa. For høj r dr god ovrnssmms md dn kassisk Duong-Pi-mod = f R, for mmsor og høj r dr god ovrnssmms md insinmodn, hvorimod d kun r Dby-modn, dr md rimighd rprodurr d ksprimn rsuar for a. 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n Γ n = d = n Γ n 1 = n n Γ n = n!. homas. Lyng, Insiu for Fysik og Nanoknoogi, AAU 8//8